Logaritam

Logaritmi različitih osnova: crveni je za osnovu e, zeleni za osnovu 10, a ljubičasti za osnovu 1.7. Logaritmi svih osnova prolaze kroz tačku (1,0).

U matematici logaritam je funkcija koja određuje eksponent u jednačini bⁿ = x. Logaritam je inverzna funkcija u odnosu na eksponencijalnu. Obično se piše kao log_b x = n. Primer:

\!\,3^{4}=81\Leftrightarrow \log _{3}81=4

Logaritam je jedna od tri vrlo srodne funkcije. Ukoliko imamo bⁿ = x, b može da se odredi korenovanjem, n logaritmovanjem, a x eksponencijalnom funkcijom.

Negativni logaritam se piše kao n = −log_b x; primer njegove upotrebe je u hemiji gde predstavlja koncentraciju vodonika (pH vrednost).

Antilogaritam se koristi da označi funkciju inverznu logaritmu (eksponencijalna funkcija, odnosno stepenovanje). Piše se kao antilog_b(n) i znači isto što i bⁿ.

Dvostruki logaritam je inverzna funkcija dvostruke eksponencijalne funkcije. Super logaritam ili hiper logaritam je inverzna funkcija super eksponencijalne funkcije. Super logaritam za x raste sporije i od dvostrukog logaritma za veliko x.

Diskretni logaritam se pominje u teoriji konačnih grupa. Veruje se da je za neke konačne grupe diskretni logaritam veoma teško izračunati, dok je diskretne eksponencijale veoma lako izračunati. Ova asimetrija ima primene u kriptografiji.

Logaritamska i eksponencijalna funkcija: inverzne funkcije

Za svaku osnovu (b u bⁿ), postoji jedna logaritamska i jedna eksponencijalna funkcija; one su inverzne funkcije. Za bⁿ = x:

Eksponencijalna funkcija određuje x za dato n. Da bi se našlo x, treba b pomnožiti samim sobom n puta.
Logaritamska funkcija određuje n za dato x. n je onaj broj puta koliko treba podeliti x sa b da bi se dostiglo 1.

Upotreba logaritamske funkcije

Funkcija log_b(x) je definisana kada je x pozitivni realni broj i b pozitivni realni broj različit od 1. Pogledati logaritamske jednačine za nekoliko pravila u vezi logaritamske funkcije. Logaritamska funkcija može biti definisana i za kompleksne argumente. Ovo je objašnjeno na strani prirodnog logaritma.

Za cele brojeve b i x, broj log_b(x) je iracionalan (tj. ne može se izraziti kao razlomak dva cela broja) ako b ili x ima prost faktor koji drugi nema (tj. ako im je najveći zajednički delilac 1, a i b i x su veći od 1). U nekim slučajevima, ovu činjenicu je veoma lako dokazati. Na primer: ako je log₂3 racionalan broj, tada bismo imali log₂3 = n/m za neka dva pozitivna cela broja n i m, iz čega bi važilo 2ⁿ = 3^m. Međutim, poslednja jednačina je nemoguća jer je 2ⁿ paran broj, a 3^m neparan broj.

Nespecificirana osnova

Matematičari generalno razumeju ili "ln(x)" ili "log(x)" da znači log_e(x), tj. prirodni logaritam, a pišu "log₁₀(x)" samo ako je u pitanju dekadni logaritam.
Inženjeri, biolozi i još neki pišu samo "ln(x)" ili (ređe) "log_e(x)" kada se misli na prirodni logaritam broja x, a koriste "log(x)" da označe log₁₀(x) ili, u računarstvu, binarni logaritam log₂(x).
Ponekad se Log(x) (sa velikim slovom L) koristi da označi log₁₀(x) od strane ljudi koji koriste log(x) (sa malim slovom l) da označe log_e(x).
U većini programskih jezika uključujući i C programski jezik, C++, Pascal, Fortran i BASIC programski jezik, "log" ili "LOG" označava prirodni logaritam.

Promena osnove

Iako postoji nekoliko korisnih jednačina, najvažnija za upotrebu kalkulatora je naći logaritam sa osnovom različitom u odnosu na onu ugrađenu u sam kalkulator (obično su ugrađene log_e i log₁₀). Da bismo našli logaritam sa osnovom b koristeći neku drugu osnovu k:

\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}

**Dokaz jednačine za promenu osnove**
$b^{\log _{b}(x)}=x\!\,$	po definiciji
$\log _{k}\left(b^{\log _{b}(x)}\right)=\log _{k}(x)$	logaritmujemo obe strane
$\log _{b}(x)\,\log _{k}(b)=\log _{k}(x)$	uprostimo levu stranu jednakosti
$\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}\,\!$	podelimo sa log_k(b)

Sve ovo ukazuje da su sve logaritamske fukcije (bez obzira na osnovu) slične jedna drugoj.

Upotrebe logaritamske funkcije

Logaritmi su korisni u rešavanju jednačina gde je nepoznat eksponent. Logaritmi imaju prost izvod, tako da se često koriste kao rešenja integrala. Dalje, veliki broj jedinica u nauci se izražava preko logaritama drugih jedinica; pogledati logaritamsku skalu za objašnjenje i listu jedinica.

Lakše računice

Logaritmi prebacuju fokus sa običnih brojeva na eksponente. Dokle god se ista osnova koristi, ovime su neke operacije olakšane:

Operacije sa brojevima	Operacije sa eksponentima	Logaritamski identitet
$\!\,ab$	$\!\,A+B$	$\!\,\log(ab)=\log(a)+\log(b)$
$\!\,a/b$	$\!\,A-B$	$\!\,\log(a/b)=\log(a)-\log(b)$
$\!\,a^{b}$	$\!\,Ab$	$\!\,\log(a^{b})=b\log(a)$
$\!\,{\sqrt[{b}]{a}}$	$\!\,A/b$	$\!\,\log({\sqrt[{b}]{a}})=\log(a)/b$

Pre upotrebe elektronskih kalkulatora, ovo je činilo teške operacije sa dva broja lakšim. Jednostavno bi našli logaritam oba broja (za množenje i deljenje) ili samo prvog broja (za korenovanje ili gde je jedan broj već eksponent) u logaritamskoj tablici i izvršili prostiju operaciju nad njima.

Matematička analiza

Za izračunavanje izvoda logaritamske funkcije, koristi se sledeća formula

{\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}={\frac {\log _{b}(e)}{x}}

gde je ln prirodni logaritam, tj. sa osnovom e. Puštajući da b = e:

{\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}},\qquad \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln(x)+C

Može se videti da sledeća formula daje integral logaritamske funkcije

\int \log _{b}(x)\,dx=x\log _{b}(x)-{\frac {x}{\ln(b)}}+C=x\log _{b}\left({\frac {x}{e}}\right)+C

Istorija

Jost Birgi, švajcarski proizvođač satova je prvi primetio logaritme. Metod prirodnog logaritma je prvi predložio 1614 Džon Neper u svojoj knjizi Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Ovaj metod je doprineo u napretku nauke, a posebno astronomije čineći neke teške računice mogućim. Sve do upotrebe računara u nauci, ovaj metod je korišćen u svim granama praktične matematike. Pored svoje upotrebe u računicama, logaritmi su popunili važno mesto u višoj, teoretskoj matematici.

U početku, Neper je logaritme zvao "veštačkim brojevima", a antilogaritme "prirodnim brojevima". Kasnije, Neper je formirao reč logaritam, zvučnu kovanicu koja je trebala da označi odnos: λoγoς (logos) i αριθμoς (arithmos) što predstavlja broj. Termin antilogaritam je uveden pred kraj 17. veka i, iako se nikada nije preterano koristio u matematici, postojao je u tablicama dok nije izašao iz upotrebe.

Logaritamske tablice

Pre računara i kalkulatora, upotreba logaritama je značila upotrebu logaritamskih tablica koje su morale biti ručno pravljene. Logaritmi sa osnovom 10 su bili najzgodniji kada upotreba elektronskih sredstava nije bila dostupna.

Bridžs je 1617. godine objavio prvu tablicu logaritama sa osnovom 10 svih celih brojeva do 1000 sa tačnošću do osam decimalnih mesta. Nastavio je 1624. u delu Arithmetica Logarithmica sa tablicom koja je sadržala logaritme svih celih brojeva od 1 do 20.000 i od 90.000 do 100.000 sa tačnošću od četrnaest decimalnih mesta, kao i uvod u kome su teorija i upotreba logaritama u potpunosti razvijeni. Interval od 20.000 do 90.000 je popunio Adrijan Vlaku (Adrian Vlacq), holandski računar, ali u njegovoj tablici, koja se pojavila 1628, logaritmi su dati na samo deset decimala.

Kalet je 1795. dao logaritme od 100.000 do 108.000 sa tačnošću do osme decimale. Jedina bitna ekstenzija Vlakuove tablice je dao Sang 1871. čija je tablica imala logaritme svih brojeva do 200.000 na sedam decimala.

Brigs i Vlaku su takođe objavili originalne tablice logaritama trigonometrijskih funkcija.

Pored pomenutih tablica, velika kolekcija pod imenom Tables du Cadastre je konstruisana pod vođstvom Pronija, sa originalnim računicama, pod patronatom francuske republičke vlasti oko 1700. godine. Ovaj rad, koji je sadržao logaritme svih brojeva do 100.000 na devetnaest decimala i brojeva od 100.000 do 200.000 na dvadeset četiri decimale postoji samo u rukopisu u pariskoj observatoriji.

Današnjim studentima koji imaju mogućnost korišćenja računara i elektronskih kalkulatora, rad koji je uložen u ove tablice je samo mali indikator velike važnosti logaritama.

Algoritam

Da bi se izračunao log_b(x) ukoliko su b i x racionalni brojevi i x ≥ b > 1:

Neka je n₀ najveći ceo broj takav da je b^n₀ ≤ x ili,

n_{0}=\lfloor \log _{b}(x)\rfloor

onda

\log _{b}(x)=n_{0}+{\frac {1}{\log _{x/b^{n_{0}}}(b)}}

Ovaj algoritam rekurzivno primenjen daje verižni razlomak

\log _{b}(x)=n_{0}+{\frac {1}{n_{1}+{\frac {1}{n_{2}+{\frac {1}{n_{3}+\cdots }}}}}}.

Dati logaritam je za uglavnom iracionalan za većinu ulaznih promenljivih.

Povezano