Simetrie tetraedrică

Grupuri punctuale în spațiul tridimensional

Simetrie involutivă Cs, (*) [ ] =	Simetrie ciclică Cnv, (*nn) [n] =	Simetrie diedrală Dnh, (*n22) [n,2] =
Grup poliedric, [n,3], (*n32)
Simetrie tetraedrică Td, (*332) [3,3] =	Simetrie octaedrică Oh, (*432) [4,3] =	Simetrie icosaedrică Ih, (*532) [5,3] =

Tetraedru regulat, un exemplu de poliedru cu simetrie tetraedrică completă

Un tetraedru regulat are 12 simetrii de rotație (sau de conservare a orientării) și un ordin de simetrie de 24 incluzând transformări care combină o reflexie și o rotație.

Grupul tuturor simetriilor este izomorf cu grupul S₄, grupul simetric^⁠(d) al permutărilor a patru obiecte, deoarece există exact o astfel de simetrie pentru fiecare permutare a vârfurilor tetraedrului. Setul de simetrii care conservă orientarea formează un grup denumit subgrupul altern A₄ al S₄.

Detalii

Simetria chirală sau simetria completă (simetria tetraedrică achirală plus simetria piritoedrică) sunt simetrii punctuale discrete (sau echivalent, simetrii pe sferă). Ele se numără printre grupurile punctuale cristalografice ale sistemului cristalin cubic.

Văzute în proiecție stereografică, laturile hexaedrului tetrakis formează în plan 6 cercuri (sau linii radiale centrale). Fiecare dintre aceste 6 cercuri reprezintă o „oglindire” în simetria tetraedrică. Intersecția acestor cercuri se află în punctele de rotație de ordinele 2 și 3.

Axe de rotație

C3	C3	C2
2	2	3

Proiecție ortogonală	Proiecții stereografice
	cu 4 poziții	cu 3 poziții	cu 2 poziții
Simetrie tetraedrică chirală, T, (332), [3,3]+ = [1+,4,3+], =
Simetrie piritoedrică, Th, (3*2), [4,3+],
Simetrie tetraedrică achirală, Td, (*332), [3,3] = [1+4,3], =

Simetrie tetraedrică chirală

Grupul de rotație tetraedric T cu domeniul fundamental.

Un tetraedru poate fi plasat în 12 poziții distincte doar prin rotații. Acestea sunt ilustrate mai sus în formatul grafului ciclic⁠(d), rotații care permută tetraedrul prin poziții de-a lungul laturii de 180° (săgețile albastre) și a vârfului de 120° (săgeți roșii).

În hexaedrul tetrakis o față completă este un domeniu fundamental; alte poliedre cu aceeași simetrie pot fi obținute prin ajustarea orientării fețelor, de exemplu aplatizarea subseturilor de fețe selectate pentru a combina fiecare subset într-o singură față sau înlocuirea fiecărei fețe cu mai multe fețe sau cu o suprafață curbată.

T, 332, [3,3]⁺, sau 23, de ordinul 12 – chirală sau simetrie tetraedrică de rotație. Există trei axe de rotație ortogonale cu 2 poziții, cum ar fi simetria diedrică chirală D₂ sau 222, cu în plus patru axe cu 3 poziții, centrate între cele trei direcții ortogonale. Acest grup este izomorf cu A₄, grupul altern de 4 elemente; de fapt, este grupul de permutări parei ale celor patru axe cu 3 poziții: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234). ), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

Clasele de conjugare^⁠(d) ale T sunt:

• identitatea: e
• 4 × rotație de 120° în sens orar (văzută din vârf): (234), (143), (412), (321)
• 4 × rotație de 120° în sens antiorar (idem)
• 3 × rotație de 180°

Rotațiile cu 180° împreună cu identitatea formează un subgrup normal^⁠(d) de tip Dih₂, cu grup factor de tip Z₃. Cele trei elemente ale acestuia din urmă sunt identitatea, „rotația în sens orar” și „rotația în sens antiorar”, corespunzătoare permutărilor celor trei axe ortogonale cu 2 poziții, conservând orientarea.

A₄ este cel mai mic grup care demonstrează că inversa teoremei lui Lagrange nu este adevărată în general: având în vedere un grup finit G și un divizor d din |G|, nu există neapărat un subgrup al G de ordinul d: grupul G = A₄ nu are subgrup de ordinul 6. Deși este în general o proprietate pentru grupul abstract, din grupul de izometrie al simetriei tetraedrice chirale se observă că din cauza chiralității subgrupul ar trebui să fie C₆ sau D₃, dar niciunul nu corespunde.

Subgrupuri de simetrie tetraedrică chirală

Subgrupuri de simetrie tetraedrică chirală

Schoe.	Coxeter		Orb.	H-M	Generatori	Structură	Ciclic	Ordin	Index
T	[3,3]+	=	332	23	2	A4		12	1
D2	[2,2]+	=	222	222	3	D4		4	3
C3	[3]+		33	3	1	Z3		3	4
C2	[2]+		22	2	1	Z2		2	6
C1	[ ]+		11	1	1	Z1		1	12

Simetrie tetraedrică achirală

Grupul tetraedric complet T_d cu domeniul fundamental

T_d, *332, [3,3] sau 43m, de ordinul 24 – achiral sau simetrie tetraedrică completă, cunoscută și sub numele de grupul triunghiului^⁠(d) (2,3,3). Acest grup are aceleași axe de rotație ca și T, dar cu șase plane de oglindire, fiecare prin două axe cu 3 poziții. Axele cu 2 poziții sunt acum S₄ (4). T_d și O sunt izomorfe ca grupuri abstracte: ambele corespund lui S₄, grupul simetric pe 4 obiecte. T_d este reuniunea lui T cu mulțimea obținută prin combinarea fiecărui element al lui O \ T cu inversiune.

Clasele de conjugare ale T_d sunt:

• identitatea
• 8 × rotație de 120° (C₃)
• 3 × rotație de 180° (C₂)
• 6 × reflexie în planul celor două axe de rotație (C_s)
• 6 × reflexie improprie de 90° (S₄)

Subgrupuri de simetrie tetraedrică achirală

Subgrupuri de simetrie tetraedrică achirală

Schoe.	Coxeter		Orb.	H-M	Generatori	Structură	Ciclic	Ordin	Index
Td	[3,3]		*332	43m	3	S4		24	1
C3v	[3]		*33	3m	2	D6=S3		6	4
C2v	[2]		*22	mm2	2	D4		4	6
Cs	[ ]		*	2 or m	1	Z2 = D2		2	12
D2d	[2+,4]		2*2	42m	2	D8		8	3
S4	[2+,4+]		2×	4	1	Z4		4	6
T	[3,3]+		332	23	2	A4		12	2
D2	[2,2]+		222	222	2	D4		4	6
C3	[3]+		33	3	1	Z3 = A3		3	8
C2	[2]+		22	2	1	Z2		2	12
C1	[ ]+		11	1	1	Z1		1	24

Simetrie piritoedrică

Grupul piritoedric T_h cu domeniul fundamental

Cusăturile mingii de volei au simetrie piritoedrică

T_h, 3*2, [4,3⁺] sau m3, de ordinul 24 – simetrie piritoedrică. Acest grup are aceleași axe de rotație ca și T, cu plane de oglindire prin două dintre direcțiile ortogonale. Axele cu 3 poziții sunt acum axe S₆ (3) și există o inversiune față de centru. T_h este izomorf cu T × Z₂: orice element al lui T_h este fie un element al lui T, fie unul combinat cu inversiunea. În afară de aceste două subgrupuri normale, există și un subgrup normal D_2h (cel al unui cuboid), de tipul Dih₂ × Z₂ = Z₂ × Z₂ × Z₂. Este produsul direct^⁠(d) al subgrupului normal al lui T (vezi mai sus) cu C_i. Grupul factor este același ca mai sus: de tip Z₃. Cele trei elemente ale acestuia din urmă sunt identitatea, „rotația în sens orar” și „rotația în sens antiorar”, corespunzătoare permutărilor celor trei axe ortogonale cu 2 poziții, conservând orientarea.

Este simetria unui cub cu fiecare față divizată de un segment care împarte fața în două dreptunghiuri egale, astfel încât segmentele fețelor adiacente să nu se întâlnească la laturi. Simetriile corespund permutărilor uniforme ale diagonalelor corpului și aceleași permutări combinate cu inversiunea. De asemenea, este simetria unui piritoedru, care este extrem de asemănătoare cubului descris, fiecare dreptunghi fiind înlocuit cu un pentagon cu o axă de simetrie, cu 4 laturi egale și 1 latură diferită (cea corespunzătoare segmentului de divizare a feței cubului); adică, fețele cubului se umflă la linia de divizare și devin mai înguste acolo. Este un subgrup al grupului complet de simetrie icosaedrică (ca grup de izometrie, nu doar ca grup abstract), cu 4 din cele 10 axe cu 3 poziții.

Clasele de conjugare ale T_h cuprind pe cele ale T, cu două clase de 4 combinate, și fiecare cu inversiunea:

• identitatea
• 8 × rotație de 120° (C₃)
• 3 × rotație de 180° (C₂)
• inversiunea față de centru (S₂)
• 8 × rotație improprie de 60° (S₆)
• 3 × reflexie față de plan (C_s)

Subgrupuri cu simetrie piritoedrică

Subgrupuri piritoedrice

Schoe.	Coxeter		Orb.	H-M	Generatori	Structură	Ciclic	Ordin	Index
Th	[3+,4]		3*2	m3	2	A4×2		24	1
D2h	[2,2]		*222	mmm	3	D4×D2		8	3
C2v	[2]		*22	mm2	2	D4		4	6
Cs	[ ]		*	2 or m	1	D2		2	12
C2h	[2+,2]		2*	2/m	2	Z2×D2		4	6
S2	[2+,2+]		×	1	1	Z2		2	12
T	[3,3]+		332	23	2	A4		12	2
D3	[2,3]+		322	3	2	D6		6	4
D2	[2,2]+		222	222	3	D8		4	6
C3	[3]+		33	3	1	Z3		3	8
C2	[2]+		22	2	1	Z2		2	12
C1	[ ]+		11	1	1	Z1		1	24

Poliedre cu simetrie tetraedrică chirală

Icosaedrul colorat ca tetraedru snub are simetrie chirală.

Poliedre cu simetrie tetraedrică completă

Clasă	Nume	Imagine	Fețe	Laturi	Vârfuri
Poliedru platonic	Tetraedru		4	6	4
Poliedru arhimedic	Tetraedru trunchiat		8	18	12
Poliedru Catalan	Tetraedru triakis		12	18	8
Poliedru aproape Johnson	Tetraedru triakis trunchiat		16	42	28
	Dodecaedru tetrat		28	54	28
Poliedru stelat uniform	Tetrahemihexaedru		7	12	6

Vezi și

• Simetrie octaedrică
• Simetrie icosaedrică

Bibliografie

• en Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), p. 295
• en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5
• en Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN: 978-0-471-01003-6 [1]
• en Norman Johnson (2018), Geometries and Transformations, ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.5 Spherical Coxeter groups

Legături externe

• en Eric W. Weisstein, Tetrahedral group la MathWorld.