Valor esperado
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Em estatística, especificamente em teoria das probabilidades, o valor esperado, também chamado esperança matemática ou expectância, de uma variável aleatória é a soma do produto de cada probabilidade de saída da experiência pelo seu respectivo valor. Isto é, representa o valor médio "esperado" de uma experiência se ela for repetida muitas vezes. Note-se que o valor em si pode não ser esperado no sentido geral; pode ser improvável ou impossível. Se todos os eventos tiverem igual probabilidade o valor esperado é a média aritmética.
Definição matemática
[editar | editar código-fonte]Esperança de uma variável aleatória
[editar | editar código-fonte]Para uma variável aleatória discreta X com valores possíveis e com as suas probabilidades representadas pela função , o valor esperado calcula-se pela série:
desde que a série seja convergente.
Para uma variável aleatória contínua X o valor esperado calcula-se mediante o integral de todos os valores da função de densidade :
Generalizando, seja g uma função que toma valores no espaço amostral de X. Então temos:
e
Deve-se notar que, no caso geral, não comuta com a função g, ou seja:
Esperança de variáveis aleatórias de mais de uma dimensão
[editar | editar código-fonte]Para o caso mais geral de ser uma variável aleatória de mais de uma dimensão, e com assumindo valores em um espaço vetorial normado, temos:
e
- , em que a integral de Lebesgue é usada.
Exemplos
[editar | editar código-fonte]- a variável aleatória X dada por p(X = -1) = p(X = 1) = 1/2 tem valor esperado 0.
- a variável aleatória X dada por para n = 1, 2, 3, ... não tem valor esperado.
- Seja um vetor aleatório Y de dimensão nX1, cujos componentes são as variáveis aleatórias . A esperança de Y, , é um vetor nX1 cujos componentes são as esperanças das variáveis aleatórias que compunham Y. Ou seja,
- .
Propriedades do valor esperado
[editar | editar código-fonte]Nas seguintes propriedades, são variáveis aleatórias, são constantes.
Sejam: x o vetor aleatório N X 1 com valor esperado E(X) e variância ; A uma matriz quadrada genérica de dimensão N x X; tr(A) o traço da matriz A. Então, a esperança da variável ao quadrado será:
E para duas variáveis aleatórias:
Estas propriedades podem ser generalizadas para qualquer número de variáveis aleatórias.
Operador esperança
[editar | editar código-fonte]O valor esperado de uma combinação linear de variáveis aleatórias é a combinação linear dos seus valores esperados:
Por esse motivo, a função E[] que associa a cada variável aleatória o seu valor esperado é um operador linear, chamado de operador esperança.
Esperança do produto
[editar | editar código-fonte]No caso geral, temos que
No caso particular de X e Y serem variáveis aleatórias independentes, temos que:
Esperança condicional
[editar | editar código-fonte]Seja uma variável aleatória e uma sigma-álgebra no espaço amostral . A esperança condicional de X, dado , é a variável aleatória tal que
Esta variável Z tem as seguintes propriedades:
- Z não contém mais informação que a contida em . Ou seja, a variável aleatória (que é sempre uma função) é mensurável com relação a (=constante em qualquer subconjunto da partição correspondente a ) [1]
- Z satisfaz a relação , onde é uma variável indicadora, que vale 1 se e 0 se .
- ↑ a b SILVA, Marcos Eugênio da. Uma Nota sobre Esperança Condicional e Expectativas Racionais. Disponível em: <http://www.econ.fea.usp.br/medsilva/material/eae0308/textos/Esperanca_Condicional_e_ER1.pdf>
- ↑ Esperança Condicional. Disponível em: <http://ferrari.dmat.fct.unl.pt/personal/mle/DocMAII/DocMAII0102/espcondicional.pdf>. Acesso em: 05 de abril de 2011.