Número estranho

Na teoria dos números, um número estranho é um número natural abundante que não é semiperfeito.^[1]^[2] Noutras palavras, a soma dos divisores próprios (divisores incluindo 1, mas não si mesmo) do número é maior que o número, mas nenhum subconjunto desses divisores soma o número em si.

Exemplos

O menor número estranho é 70. Seus divisores próprios são 1, 2, 5, 7, 10, 14 e 35; a soma deles é 74, mas nenhum subconjunto desses números soma 70. O número 12, por exemplo, é abundante, mas não é estranho, pois os divisores próprios são 1, 2, 3, 4 e 6, que somam 16; mas 2 + 4 + 6 = 12.

Os primeiros números estranhos são

70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, ... (sequência A006037 na OEIS).

Propriedades

Problema de matemática em aberto:

Existe algum número estranho ímpar?

(mais problemas em aberto da matemática)

Existem infinitos números estranhos.^[3] Por exemplo, $70 p$ é estranho para todos os números primos $p \geq 149$ . De fato, o conjunto de números estranhos possui densidade assintótica positiva.^[4]

Não é conhecido se existe algum número estranho ímpar. Se existir, ele deverá ser maior que 10²¹.^[5]

Sidney Kravitz demonstrou que para um número inteiro positivo $k$ , um número primo $Q$ superior a $2 k$ , e $R={\frac {2^{k}Q-(Q+1)}{(Q+1)-2^{k}}}$ também primo maior que $2 k$ , então $n=2^{k-1}QR$ é um número estranho.^[6] Com esta fórmula, ele encontrou o grande número estranho $n=2^{56}\cdot (2^{61}-1)\cdot 153722867280912929\ \approx \ 2\cdot 10^{52}.$

Números estranhos primitivos

Uma propriedade dos números estranhos é que se $n$ é estranho, e $p$ é um primo maior que a soma dos divisores $σ (n)$ , então $pn$ também é estranho.^[4] Isso leva à definição de números estranhos primitivos: números estranhos que não são múltiplos de outros números estranhos (sequência A002975 na OEIS). Entre os 1765 números estranhos menores que um milhão, há 24 números estranhos primitivos. A construção de Kravitz produz números estranhos primitivos, já que todos os números estranhos da forma $2 k pq$ são primitivos, mas a existência de infinitos $k$ e $Q$ que produzem um primo $R$ não é garantida. É conjecturado que existem infinitos números estranhos primitivos, e Melfi mostrou que a infinitude de números estranhos primitivos é uma consequência da conjectura de Cramér.^[7] Números estranhos primitivos com até 16 fatores primos e 14712 dígitos foram encontrados.^[8]

Referências

↑ Benkoski, Stan (agosto–setembro de 1972). «E2308 (in Problems and Solutions)». The American Mathematical Monthly. 79 (7): 774. JSTOR 2316276. doi:10.2307/2316276
↑ Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. [S.l.]: Springer-Verlag. Seção B2. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248
↑ Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. pp. 113–114. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300
↑ ^a ^b Benkoski, Stan; Erdős, Paul (abril de 1974). «On Weird and Pseudoperfect Numbers». Mathematics of Computation. 28 (126): 617–623. JSTOR 2005938. MR 347726. Zbl 0279.10005. doi:10.2307/2005938
↑ Sloane, N. J. A. (ed.). «Sequência A006037 (Weird numbers: abundant (A005101) but not pseudoperfect (A005835))». On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (em inglês). OEIS Foundation — comentários sobre números estranhos ímpares
↑ Kravitz, Sidney (1976). «A search for large weird numbers». Baywood Publishing. Journal of Recreational Mathematics. 9 (2): 82–85. Zbl 0365.10003
↑ Melfi, Giuseppe (2015). «On the conditional infiniteness of primitive weird numbers». Elsevier. Journal of Number Theory. 147: 508–514. doi:10.1016/j.jnt.2014.07.024
↑ Amato, Gianluca; Hasler, Maximilian; Melfi, Giuseppe; Parton, Maurizio (2019). «Primitive abundant and weird numbers with many prime factors». Elsevier. Journal of Number Theory. 201: 436–459. arXiv:1802.07178. doi:10.1016/j.jnt.2019.02.027

Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Weird number», especificamente desta versão.

Ligações externas

Weisstein, Eric W. «Weird number». MathWorld (em inglês)

[1] Benkoski, Stan (agosto–setembro de 1972). «E2308 (in Problems and Solutions)». The American Mathematical Monthly. 79 (7): 774. JSTOR 2316276. doi:10.2307/2316276

[2] Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. [S.l.]: Springer-Verlag. Seção B2. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248

[3] Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. pp. 113–114. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300

[benk1-4] Benkoski, Stan; Erdős, Paul (abril de 1974). «On Weird and Pseudoperfect Numbers». Mathematics of Computation. 28 (126): 617–623. JSTOR 2005938. MR 347726. Zbl 0279.10005. doi:10.2307/2005938

[5] Sloane, N. J. A. (ed.). «Sequência A006037 (Weird numbers: abundant (A005101) but not pseudoperfect (A005835))». On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (em inglês). OEIS Foundation — comentários sobre números estranhos ímpares

[6] Kravitz, Sidney (1976). «A search for large weird numbers». Baywood Publishing. Journal of Recreational Mathematics. 9 (2): 82–85. Zbl 0365.10003

[7] Melfi, Giuseppe (2015). «On the conditional infiniteness of primitive weird numbers». Elsevier. Journal of Number Theory. 147: 508–514. doi:10.1016/j.jnt.2014.07.024

[8] Amato, Gianluca; Hasler, Maximilian; Melfi, Giuseppe; Parton, Maurizio (2019). «Primitive abundant and weird numbers with many prime factors». Elsevier. Journal of Number Theory. 201: 436–459. arXiv:1802.07178. doi:10.1016/j.jnt.2019.02.027

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