Grupo fundamental

O grupo fundamental é o primeiro dos grupos de homotopia. Este grupo mede a conectividade de um espaço topológico. Um espaço topológico com grupo fundamental trivial diz-se simplesmente conexo.

O grupo fundamental de um toro é gerado pelas duas curvas a e b.

Definição

Seja $X\,$ um espaço topológico e $x\in X$ um ponto. O grupo fundamental de $X\,$ baseado em $x\,$, representado por $\pi _{1}(X,x)\,$ é definido pelo conjunto das classes de homotopia dos lacetes centrados em $x\,$ onde impomos a operação de grupo induzida pela operação justaposição: se $\gamma \,$ e $\gamma '\,$ são lacetes centrados em $x\,$, e $[\,\,]\,$ indica a classe de homotopia, então $[\gamma ][\gamma ']=[\gamma *\gamma ']\,$.

Toda curva $\gamma \,$ de $x\,$ a $y\,$ define um homomorfismo de grupos entre $\pi _{1}(X,x)\,$ e $\pi _{1}(X,y)\,$ por $\gamma _{*}[\alpha ]=[\gamma ^{-1}*\alpha *\gamma ],$. Este homomorfismo é inversível e logo, é um isomorfismo de grupos. Assim, quando $X\,$ é conexo por arcos, o ponto base não tem qualquer influência no grupo fundamental, ou seja, $\pi _{1}(X,x)\,$ é isomorfo a $\pi _{1}(X,y)\,$, para quaisquer $x,y\in X$.

Aplicações contínuas e homomorfismos

Se $f:X\to Y\,$ é uma aplicação contínua tal que $f(x)=y\,$, então ela induz um homomorfismo $f_{*}\,$ entre $\pi _{1}(X,x)\,$ e $\pi _{1}(Y,y)\,$ dado por $f_{*}[\gamma ]=[f\circ \gamma ]\,$. Se esta aplicação for um homeomorfismo, então o homomorfismo de grupos induzido é um isomorfismo. Um fato importante é que $f_{*}([\gamma ]*[\gamma ']=[f\circ \gamma ]*[f\circ \gamma ']\,$.

Functorialidade

Seja $Top_{*}\,$ a categoria dos espaços topológicos com base em um ponto. Isto é, a categoria cujos objetos são duplas $(X,x)\,$, onde o primeiro elemento é um espaço topológico e o segundo um ponto pertencente a ele, e os morfismos $f:(X,x)\to (Y,y)\,$ são aplicações contínuas $f:X\to Y\,$ tal que $f(x)=y\,$. Então $\pi _{1}\,$ pode ser visto como um functor entre $Top_{*}\,$ e $Grp\,$. Isso implica entre outras coisas que dois espaços topológicos conexos por caminhos com grupos fundamentais diferentes não podem ser homeomorfos.

Referências

• Munkres, James R. (2000). Topology. [S.l.]: Prentice Hall, Incorporated. ISBN 9780131816299 .
• Munkres, James R. (1997). Elements of Algebraic Topology. [S.l.]: Mir. 454 páginas. ISBN 5855012034 
• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0521795400 
• Joseph J., Rotman (1988). An Introduction to Algebraic Topology. [S.l.]: Springer. ISBN 0387966781