Teorema dla fonsion anversa

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

Ch'as consìdera na bijession $f:(x-\alpha ,x+\beta )\to (y-a,y+b)$ , con f(x)=y. Ch'as denòta con g la fonsion anversa. Ël teorema dla fonsion anversa a fortiss che si f a l'é derivàbil ant ël pont x con $f'(x)\neq 0$ e g a l'é continua ant ël pont y, antlora g a l'é derivàbil an y e soa derivà a l'é $g'(y)={\frac {1}{f'(x)}}$ .

N'osservassion amportanta

A venta armarché che mach j'ipòtesi che $f:(x-\alpha ,x+\beta )\to (y-a,y+b)$ a sia bijetiva e derivàbil an x e che $f'(x)\neq 0$ a basto pa a garantì che $f^{-1}$ a sia continua an y=f(x).

La dimostrassion

Da la derivabilità d'f, i l'oma che për $h\in (-\alpha ,\beta )$ a-i val la relassion

f(x+h)-f(x)=f'(x)h+\sigma (h)h

, con

\lim _{h\rightarrow 0}\sigma (h)=0

.

Pijà $k\in (-a,b)$ , ch'as consìdera h tal che $x+h=f^{-1}(y+k)$ , visadì $h=f^{-1}(y+k)-f^{-1}(y)$ . Antlora $k=(f'(x)+\sigma (h))h$ .
Dagià che $f^{-1}$ a l'é continua an y, a-i na ven che $\lim _{k\rightarrow 0}h=\lim _{k\rightarrow 0}f^{-1}(y+k)-f^{-1}(y)=0$ . An dzorpì, as peul armarchesse che, dagià che $f'(x)\neq 0$ e $\sigma$ a l'é infinitésim për $h\rightarrow 0$ , i l'oma $f'(x)+\sigma (h)\neq 0$ cand k a resta an n'anviron assè cit ëd 0. Donca

\lim _{k\rightarrow 0}{\frac {f^{-1}(y+k)-f^{-1}(y)}{k}}=\lim _{k\rightarrow 0}{\frac {1}{f'(x)+\sigma (h)}}={\frac {1}{f'(x)}}

.

N'esempi

Ch'as consìdera la fonsion y=f(x)=tanx, dont la derivà a l'é $f'(x)=1+\tan ^{2}x$ e l'anversa a l'é la fonsion $x=g(y)=f^{-1}(y)=\arctan y$ . An aplicand ël teorema i otnoma

g'(y)=f^{\prime -1}(y)={\frac {1}{1+\tan ^{2}x}}={\frac {1}{1+y^{2}}}

.