Anel

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

Definission

As ciama anel na strutura algébrica $(A,+,\cdot )$ , anté che:

(A,+) a l'é në strop comutativ, dont l'element identità a l'é 'd sòlit denotà 0 o $0_{A}$ ;
$(A,\cdot )$ a l'é un semistrop, visadì ël prodot (o multiplicassion) $\cdot$ a l'é associativ: a(bc)=(ab)c për tuti j' $a,b,c\in A$ ;
a son vàlide le doe distributività: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ e $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ për tuti j' $a,b,c\in A$ .

J'element a,b dl'anel A as diso përmutàbij si ab=ba. Për minca cobia d'element përmutàbij ëd n'anel a val la fórmola dël binòmi.
N'anel comutativ a l'é n'anel anté che la multiplicassion a l'é comutativa: $ab=ba$ për tuti j' $a,b\in A$ .

N'anel con unità a l'é n'anel anté ch'a-i é n'element, ëd sòlit denotà 1 o $1_{A}$ , ch'a l'é element identità për ël prodot, visadì $1_{A}a=a1_{A}=a$ për minca $a\in A$ . An d'àutre paròle, n'anel con unità a l'é n'anel anté che $(A,\cdot )$ a l'é un monòid.

Esempi d'anej

Ch'as consìdera në strop comutativ G. Definioma an G un prodot an butant $xy=0_{G}$ për minca $x,y\in G$ . Antlora $(G,+,\cdot )$ a l'é n'anel.
L'ansem dle class ëd congruensa con soe operassion a l'é n'anel.
Ch'as fissa në strop abelian (G,+) e ch'as consìdera l'ansem E ëd tuti ij morfism dë strop $G\to G$ , con l'adission f+g an E definìa da

\forall x\in G,(f+g)(x)=f(x)+g(x)

.

Parèj, (E,+) a ven a esse në strop abelian. Consideroma tanme prodot an E l'operassion ëd composission. Costa operassion a l'ha n'element unità, ch'a l'é l'identità ëd G. An dzorpì, a valo le propietà distributive d'ës prodot rëspet a l'adission. An efet, për minca

f,g,h\in E

e

x\in G

,

[f(g+h)](x)=f[(g+h)(x)]=f[g(x)+h(x)]=fg(x)+fh(x)=(fg+fh)(x) e

[(f+g)h](x)=(f+g)[h(x)]=f[h(x)]+g[h(x)]=(fh)(x)+(gh)(x)=(fh+gh)(x).

Donca, rëspet a coste operassion, E a l'é n'anel con unità (an general nen comutativ). A l'é dit anel dj'endomorfism dlë strop G.

N'esempi d'anel nen comutativ e sensa unità as peul oten-e an partend da lë strop {0,1,2,3} dle class ëd resta mòdol 4 e definendje un prodot përparèj:

0\cdot x=x\cdot 0=0

,

1\cdot 1=1,1\cdot 2=2,1\cdot 3=3

,

2\cdot 1=2\cdot 2=2\cdot 3=0

,

3\cdot 1=1,3\cdot 2=2,3\cdot 3=3

.

L'ansem $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ dle fonsion reaj ëd variàbil real a l'é n'anel con j'operassion d'adission e multiplicassion pontoal:

(f+g)(x)=f(x)+g(x),

(fg)(x)=f(x)g(x).

J'anej ëd Boole.

Chèiche propietà elementar

Ch'as consìdera n'anel A. Da la definission as peulo dimostresse vàire propietà elementar.

$a0_{A}=0_{A}a=0_{A}$ për minca $a\in A$ .

An efet, $a0_{A}=a(0_{A}+0_{A})=a0_{A}+a0_{A}$ e $0_{A}a=(0_{A}+0_{A})a=0_{A}a+0_{A}a$ . Dagià che (A,+) a l'é në strop, as peul gavesse $a0_{A}$ da minca banda dla prima equassion e $0_{A}a$ da minca banda dla sconda e oten-e la conclusion vorsùa.

(-a)b=a(-b)=-(ab) për minca $a,b\in A$ .

An efet, $ab+((-a)b)=(a+(-a))b=0_{A}b=0_{A}=a0_{A}=a(b+(-b))=ab+a(-b)$ .

Për minca nùmer natural n e minca $a,b\in A$ a valo j'ugualianse (na)b=n(ab)=a(nb).

An efet, an dovrand la propietà distributiva, (na)b=(a+a+...+a)b=ab+ab+...+ab=n(ab). Ant l'istessa manera, a(nb)=a(b+b+...+b)=ab+ab+...+ab=n(ab).

Ël prodot a l'é distributiv ëdcò rëspet a la diferensa: për minca $x,y,z\in A$ , a valo j'ugualianse x(y-z)=xy-xz e (x-y)z=xz-yz.

An efet, x(y-z)=x[y+(-z)]=xy+x(-z)=xy+(-xz)=xy-xz. Ant l'istessa manera, (x-y)z=[x+(-y)]z=xz+(-y)z=xz+(-yz)=xz-yz.

A l'é possìbil che an n'anel con unità $0_{A}=1_{A}$ , ma ant ës cas-sì da le propietà sì-dzora a-i ven che $A=\{0_{A}\}$ . An efet, pijà qualsëssìa $x\in A$ , i l'oma che $0_{A}=x0_{A}=x1_{A}=x$ .

Sot-anej

Un sot-ansem B ëd n'anel A as dis stàbil, o sarà, si $x+y,xy\in B$ për qualsëssìa $x,y\in B$ .
Un sot-anel d'A a l'é 'n sot-ansem ëstàbil d'A ch'a sia ëdcò chiel n'anel, dotà dj'operassion d'A.

Condission necessaria e bastèivola përchè un sot-ansem B d'A a na sia un sot-anel e l'é che $0_{A}\in B$ e $a+b,ab,-a\in B$ për minca $a,b\in B$ . Na condission equivalenta a l'é che $0_{A}\in B$ e $a-b,ab\in B$ për minca $a,b\in B$ .

Minca sot-anel ëd n'anel comutativ a l'é 'dcò chiel comutativ.

Esempi

Antra ij sot-anej ëd n'anel A a-i son sempe $\{0_{A}\}$ e A midem, ch'a son dit sot-anej impròpi. Tuti j'àutri sot-anej, s'a-i na son, a son dit pròpi.
Si B a l'é sot-anel d'A e C a l'é sot-anel ëd B, antlora C a l'é sot-anel d'A.
Si B e C a son sot-anej d'A e $C\subseteq B$ , antlora C a l'é ëdcò sot-anel ëd B.
Dàita na famija nen veuida ${\mathcal {F}}$ ëd sot-anej d'A, l'antërsession ëd costa famija a l'é 'n sot-anel d'A. Donca a esist ëdcò ël pì cit sot-anel ch'a conten minca element d' ${\mathcal {F}}$ : as treuva an pijand l'antërsession ëd tuti ij sot-anej ch'a conten-o l'union d' ${\mathcal {F}}$ (e a-i na j'é almanch un, visadì A midem). An general, l'union d' ${\mathcal {F}}$ a l'é nen un sot-anel.
Ant l'anel $\mathbb {Z} _{6}=\{0,1,2,3,4,5\}$ dle class ëd resta mòdol 6, ël sot-ansem B={0,2,4} a l'é 'n sot-anel.
Për minca nùmer natural n, l'ansem $n\mathbb {Z}$ dij mùltipl antregh d'n a l'é 'n sot-anel ëd $\mathbb {Z}$ . Për $n\in \{0,1\}$ i l'oma ij sot-anej impròpi. Armarcoma che, për $n\geq 2$ , as trata 'd sot-anej sensa unità.
Consideroma un sot-ansem I ëd n'anel A e definioma $C_{I}=\{a\in A\mid \forall u\in I,au=ua\}$ . As agiss d'un sot-anel d'A. An efet:

0_{A}\in C_{I}

;

pijà

a_{1},a_{2}\in C_{I}

e

u\in I

i l'oma

(a_{1}-a_{2})u=a_{1}u-a_{2}u=ua_{1}-ua_{2}=u(a_{1}-a_{2})

e

(a_{1}a_{2})u=a_{1}(a_{2}u)=a_{1}(ua_{2})=(a_{1}u)a_{2}=(ua_{1})a_{2}=u(a_{1}a_{2})

; donca

a_{1}-a_{2},a_{1}a_{2}\in C_{I}

.

Ël sot-anel

C_{A}

a l'é dit ël sènter ëd l'anel A.

Ch'as consìdera l'anel $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ con j'operassion definìe për componente:

(m,n)+(h,k)=(m+h,n+k)

,

(m,n)(h,k)=(mh,nk)

.

As agiss ëd n'anel con unità (1,1). Ël sot-ansem

\mathbb {Z} \times \{0\}

a l'é 'n sot-anel, con unità 'dcò chiel, ma soa unità a l'é (1,0).

Anej prodot

Ch'as consìdera na famija nen veuida $\{R_{i}\}_{i\in I}$ d'anej. L'anel prodot diret a l'é otnù dal prodot cartesian $R=\prod _{i\in I}R_{i}$ an definend j'operassion për componente:

(a+b)(i)=a(i)+b(i),
(ab)(i)=a(i)b(i).

Ël zero dl'anel prodot a l'é l'element definì da $0_{R}(i)=0_{R_{i}}$ , për minca $i\in I$ e l'opòst -a ëd l'element $a\in R$ a l'é definì da (-a)(i)=-a(i) për minca $i\in I$ .
Da costa definission a-i ven, an particolar, che R a l'é comutativ si e mach si minca $R_{i}$ a-l l'é. Si tuti j'anej ëd la famija a l'han n'unità, antlora ëdcò ël prodot diret a-l l'ha: a l'é l'element dont tute le componente a son l'unità ant ël fator corëspondent.

Si për minca $j\in J$ i pijoma un sot-anel $B_{j}$ d' $R_{j}$ , i otnoma un sot-anel $\prod _{j\in J}B_{j}$ dël prodot diret.

Divisor ëd zero

An n'anel A, n'element x diferent da $0_{A}$ as dis divisor ëd zero a snistra s'a esist n'element y an A, diferent da $0_{A}$ tal che $xy=0_{A}$ . Ant l'istessa manera as definisso ij divisor ëd zero a drita. Noté che si x a l'é divisor ëd zero a snistra, e $y\neq 0$ a l'é tal che $xy=0_{A}$ , antlora y a l'é divisor ëd zero a drita.

As dis che an n'anel a val ël prinsipi d'anulament dël prodot si l'ùnica manera për un prodot d'esse $0_{A}$ a l'é che almanch un dij doi fator a sia $0_{A}$ , visadì ch'a-i sio pa ëd divisor ëd zero.

Esempi

Ant l'anel $\mathbb {Z} _{6}$ dle class ëd resta mòdol 6 a-i son ëd divisor ëd zero; tutun ël sot-anel {0,2,4} a-n n'ha pa.
Fissà 'n nùmer natural $n\geq 1$ , l'ansem dle matris quadrà reaj d'órdin n con soe operassion d'adission e prodot riga për colòna a l'é n'anel. Si $n\geq 2$ , ël prodot a l'é nen comutativ e a-i son ëd divisor ëd zero: për esempi, denotà $E_{ij}$ la matris fàita tuta da 0, gavà n'1 al pòst (i,j), si $j\neq h$ i l'oma che $E_{ij}E_{hk}$ a l'é la matris con tuti 0.

Propietà. An n'anel A a valo le laj ëd simplificassion dël prodot si e mach si a-i son nen ëd divisor ëd zero.

Dimostrassion. Si an A a-i son ëd divisor ëd zero, ch'as consìdero doi element x e y diferent da $0_{A}$ taj che $xy=0_{A}$ . Antlora $xy=x0_{A}$ , ma $y\neq 0_{A}$ . Ant l'istessa manera as fa vëdde che ël prodot as peul nen simplifichesse a drita.
Për l'anvers, suponoma che ël prodot a sia nen simplificàbil a snistra (l'istess rasonament as fa s'a l'é nen simplificàbil a drita). Antlora a-i son d'element $x,y,z\in A$ , con $x\neq 0_{A}$ e $y\neq z$ , taj che xy=xz. A-i na ven che $x(y-z)=xy-xz=0_{A}$ e donca ch'a-i son ëd divisor ëd zero.

Armarché che dì che n'anel A a l'ha pa 'd divisor ëd zero a l'é l'istess che dì che $A-\{0_{A}\}$ a l'é 'n sot-semistrop dël semistrop $(A,\cdot )$ .

N'anel comutativ sensa divisor ëd zero as dis domini d'antegrità.

La caraterìstica 'd n'anel

Consideroma n'anel A e n'element $x\in A$ . A peul desse ch'a esisto dij nùmer naturaj positiv n taj che $nx=0_{A}$ . Ant ës cas-sì, ël pì cit ëd costi nùmer a l'é dit caraterìstica d'x. S'a-i é gnun nùmer parèj, as dis che x a l'ha caraterìstica zero (o infinìa).

La caraterìstica 'd n'anel A a l'é, s'a esist, ël pì cit nùmer natural positiv N tal che $Nx=0_{A}$ për tuti j' $x\in A$ . S'un nùmer parèj a esist nen, antlora as dis che la caraterìstica d'A a l'é zero (o infinìa).

Propietà. An n'anel con unità, la caraterìstica dl'anel a l'é cola 'd soa unità.

Dimostrassion. Si la caraterìstica d' $1_{A}$ a l'é m>0, pijà un qualsëssìa $x\in A$ i l'oma

mx=m(1_{A}x)=(m1_{A})x=0_{A}x=0_{A}

.

Si nopà la caraterìstica d' $1_{A}$ a l'é zero, antlora cola d'A a peul nen esse positiva, e donca a l'é zero 'dcò chila.

Propietà. An n'anel, tuti j'element ch'a son nen divisor ëd zero a l'han la midema caraterìstica.

Dimostrassion. Consideroma d'element x e y ch'a sio nen divisor ëd zero e foma l'ipòtesi che la caraterìstica d'x a sia m>0.
Antlora: $0_{A}=0_{A}y=(mx)y=x(my)$ . Dagià che x a l'é nen divisor ëd zero, a dev esse $my=0_{A}$ ; donca la caraterìstica d'y a l'é positiva e a l'é al màssim cola d'x. An baratand ël ròl d'x e y i otnoma che soe caraterìstiche a son j'istesse.

Esempi

J'anej $\mathbb {Z}$ dj'antregh, $\mathbb {Q}$ dij rassionaj, $\mathbb {R}$ dij reaj a l'han caraterìstica 0, përchè costa a l'é la caraterìstica dl'1.
J'anej $n\mathbb {Z}$ dij mùltipl antregh dël natural n>0 a l'han tuti caraterìstica 0.
J'anej $\mathbb {Z} _{n}$ dle class ëd resta mòdol $n\geq 2$ a l'han caraterìstica n. Parèj, la caraterìstica ëd $\mathbb {Z} _{6}$ a l'é 6; sò sot-anel {0,2,4} a l'ha, nopà, caraterìstica 3. Noté però che la caraterìstica ëd n'element an n'anel o ant un sot-anel a resta la midema.

Ideaj

Un sot-anel I ëd n'anel A a l'é dit ideal ësnistr si $\forall x\in I,\forall a\in A,ax\in I$ ; a l'é dit ideal drit si $\forall x\in I,\forall a\in A,xa\in I$ . N'ideal ch'a sia tant ësnistr che drit a l'é ciamà ideal bilateral, o bele mach ideal (ant j'anej comutativ, ideaj snistr, drit e bilateraj a son l'istess).
An minca anel, l'ideal nul $\{0_{A}\}$ e A midem a son d'ideaj bilateraj, dit ideaj banaj; j'àutri ideaj, s'a-i na son, a son dit pròpi.
N'ideal (snistr, drit o bilateral) d'A a l'é ëdcò ideal (snistr, drit o bilateral) ëd minca sot-anel B d'A ch'a lo conten-a.
J'deaj bilateraj a l'han an teorìa dj'anej un ròl parèj ëd col dij sot-ëstrop normaj an teorìa djë strop.

Propietà. Si n'anel A a l'ha n'unità, costa a aparten a gnun ideal pròpi dl'anel.

Dimostrassion. Si l'unità a sta an n'ideal I, për minca $a\in A$ i l'oma $a=1_{A}a\in I$ .

Esempi

Fissà un nùmer antregh n, an qualsëssìa anel A l'ansem $\{na\mid a\in A\}$ a l'é n'ideal bilateral d'A.
L'ansem dle matris reaj quadrà d'órdin 2 con seconda riga nula a l'é n'ideal drit, ma nen ësnistr, ant l'anel dle matris reaj quadrà d'órdin 2.
Pijà 'n sot-ansem X ëd n'anel A, l' anulator ësnistr d'X a l'é l'ansem $\{a\in A\mid \forall x\in X,ax=0_{A}\}$ . As trata 'd n'ideal ësnistr d'A. An efet, $0_{A}$ a jë sta andrinta; pijà a,b an st'ansem e $x\in X$ i l'oma $(a-b)x=ax-bx=0_{A}$ . Për finì, pijà a ant l'anulator ësnitr e $b\in A$ i l'oma che, për minca $x\in X$ , $bax=0_{A}$ . Ant l'istessa manera as definisso l'anulator drit e l'anulator d'X (ës darié a l'é l'ansem dj' $a\in A$ taj che $ax=xa=0_{A}$ për minca $x\in X$ ): ël prim a l'é n'ideal drit d'A, lë scond n'ideal bilateral.
Considerà na famija nen veuida ${\mathcal {F}}$ d'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel, l'antërsession $\bigcap {\mathcal {F}}$ a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral). Donca, pijà un qualsëssìa sot-ansem S ëd n'anel, ël pì cit ideal (drit, snistr o bilateral) ch'a conten S a l'é l'antërsession ëd la famija ëd tuti j'ideaj (snistr, drit o bilateraj) ch'a conten-o S. Cost-sì as dis ideal generà da S.
Si I e J a son doi ideaj (snistr, drit o bilateraj) ëd n'anel A, l'ideal generà da $I\cup J$ a l'é l'ideal soma $I+J=\{i+j\mid i\in I,j\in J\}$ . An efet, $0_{A}\in I+J$ e pijà $i,i'\in I,j,j'\in J$ , i l'oma che $i+j-(i'+j')=i-i'+j-j'\in I+J$ . Për finì, butoma che I e J a sio d'ideaj snistr (istess rasonament s'a son drit o bilateraj); pijà $i\in I,j\in J,a\in A$ , i l'oma che $a(i+j)=ai+aj\in I+J$ .
Ant un prodot diret $\prod _{j\in J}R_{j}$ d'anej, si për minca fator $R_{j}$ i pijoma n'ideal (snistr, drit o bilateral) $B_{j}$ , ël prodot $\prod _{j\in J}B_{j}$ a resta n'ideal (snistr, drit o bilateral).
La soma direta dla famija nen veuida d'anej $\{R_{h}\}_{h\in J}$ a l'é ël sot-ansem dël prodot diret ëd coj element ch'a l'han tute le componente nule, gavà na quantità finìa. A l'é n'ideal bilateral, dagià che ël prodot ëd qualsëssìa cobia d'element dël prodot diret a l'ha componenta nula andoa che almanch un dij doi fator a l'ha componenta nula. Cand J a l'é n'ansem finì, la soma direta a coincid con ël prodot diret.

Ideaj massimaj

N'ideal M ëd n'anel A a l'é dit massimal si $M\neq A$ e a-i é gnun ideal U tal che $M\subset U\subset A$ . Për esempi, j'ideaj massimaj ëd $\mathbb {Z}$ a son j'ansem dij mùltipl ëd chèich nùmer prim.

Ant l'anel $R={\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )$ dle fonsion continue da l'antërval [0,1] ant ij reaj, l'ideal $M_{\gamma }=\{f\in R\mid f(\gamma )=0\}$ , anté che $\gamma \in [0,1]$ , a l'é massimal.
Pr'ës-ciaré sòn, pijoma n'ideal U ch'a conten-a ëd fasson pròpia M e na fonsion $g\in U-M$ . Antlora, $g(\gamma )=\alpha \neq 0$ . D'àutra part, $h(x)=g(x)-\alpha \in M\subseteq U$ e donca la fonsion costanta α, diferensa ëd g(x) e h(x), a l'é an U. A-i na ven che $1=\alpha \alpha ^{-1}\in U$ e U=R.
As peul mostresse che tuti j'ideaj massimaj d'R a son ëd cost tipo.

Anel cossient

Pijà n'ideal I ëd n'anel A e n'element $a\in A$ , dagià che (I,+) a l'é 'n sot-ëstrop d'(A,+) as peul consideresse ël cossient A/I. Ansima a cost cossient, ëdcò la multiplicassion as definiss ëd fasson natural an butand (a+I)(b+I)=ab+I e A/I a arzulta esse n'anel, dit anel cossient.
Armarché che sa definission ëd prodot a veul nen dì che l'ansem dij prodot $\{xy\mid x\in a+I,y\in b+I\}$ a sia l'ansem ab+I, dagià che an general a val mach l'anclusion

\{xy\mid x\in a+I,y\in b+I\}\subseteq ab+I

.

Për dimostré costa relassion a basta noté che, pijà qualsëssìa $u,v\in I$ i l'oma

(a+u)(b+v)=ab+av+ub+uv\in ab+I

.

Si A a l'é comutativ, ëdcò A/I a-l l'é.

Esempi

Për minca nùmer natural $n\geq 1$ , l'anel $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ , cossient dj'antregh rëspet a l'ideal dij mùltipl d'n, a l'é l'anel dle class ëd resta mòdol n.
Sa costrussion a peul generalisesse: pijà n'anel A e n'antregh n, l'anel A/nA as ciama l'anel ridot d'A mòdol n.

N'àutra costrussion dj'anej cossient

Ch'as consìdera na relassion d'equivalensa $\sigma$ ansima a n'anel A e foma l'ipòtesi che $\sigma$ a sia compatìbil rëspet a j'operassion, visadì:

x\sigma x'\wedge y\sigma y'\Rightarrow x+y\sigma x'+y'\wedge xy\sigma x'y'

.

As peulo antlora definì d'operassion ëd soma e prodot ansima al cossient $A/\sigma$ përparèj:

[x]_{\sigma }+[y]_{\sigma }=[x+y]_{\sigma }

,

[x]_{\sigma }[y]_{\sigma }=[xy]_{\sigma }

.

Con coste operassion, $A/\sigma$ a ven a esse n'anel, ciamà anel cossient d'A rëspet a $\sigma$ .
Si A a l'é comutativ, ëdcò $A/\sigma$ a-l l'é; si A a l'ha n'unità $1_{A}$ , antlora ëdcò $A_{\sigma }$ a-l l'ha e costa-sì a l'é $[1_{A}]_{\sigma }$ .

Le doe costrussion a arzulto esse equivalente. An efet, a val la propietà sì-dapress.

Propietà. Na relassion d'equivalensa σ a l'é compatìbil con j'operassion si e mach si la partission ch'a detèrmina a l'é cola dij lateraj ëd n'ideal bilateral.

Dimostrassion. Dàita σ compatìbil, i l'oma che

a\sigma b\Leftrightarrow a-b\in [0_{A}]_{\sigma }

e $[0_{A}]_{\sigma }$ a l'é n'ideal bilateral dont le class ëd σ a son ij lateraj. Viceversa, dàit n'ideal bilateral I, la relassion

a\sigma _{I}b\Leftrightarrow a-b\in I

a l'é na relassion d'equivalensa compatìbil con j'operassion.
Le fonsion $\sigma \mapsto [0_{A}]_{\sigma },I\mapsto \sigma _{I}$ a son anverse un-a dl'àutra.

Morfism

Considerà j'anej A e A', un morfism (o omomorfism) d'anej antra A e A' a l'é na fonsion $f:A\to A'$ ch'a conserva j'operassion, visadì

f(x+y)=f(x)+f(y),

f(xy)=f(x)f(y),

për minca $x,y\in A$ .
Un morfism surietiv as dis ëdcò epimorfism e un morfism inietiv monomorfism.

Si A,B,C a son d'anej e $f:A\to B,g:B\to C$ a son ëd morfism, antlora soa composission $gf:A\to C$ a l'é 'n morfism.

Nos d'un morfism

La nos d'f a l'é $kerf=\{a\in A\mid f(a)=0_{A'}\}$ . As trata 'd n'ideal. An efet, a l'é la nos d'un morfism dë strop, donca a l'é 'n sot-ëstrop d'A. An dzorpì, për tuti j' $a\in kerf$ e tuti ij $b\in A$ ,

f(ab)=f(a)f(b)=0_{A'}f(b)=0_{A'}

e

f(ba)=f(b)f(a)=f(b)0_{A'}=0_{A'}

,

donca sia ab che ba a stan an kerf.

Esempi

Pijà n'anel A e un sò ideal I, la projession $A\to A/I$ ch'a manda minca $a\in A$ an $a+I\in A/I$ a l'é 'n morfism.
Ch'as consìdera la fonsion $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{6}$ ch'a manda mìnca nùmer antregh an soa class ëd resta. As trata 'd n'epimorfism. Noté che antant che an $\mathbb {Z}$ minca nùmer diferent da 0 a l'ha caraterìstica zero e $\mathbb {Z}$ a l'ha pa 'd divisor ëd zero, minca element ëd $\mathbb {Z} _{6}$ diferent da zero a l'ha caraterìstica finìa e $\mathbb {Z} _{6}$ a l'ha 'd divisor ëd zero.
A-i é mach n'epimorfism $\mathbb {Z} _{6}\to \mathbb {Z} _{2}$ . Noté che antant che 3 a l'é 'n divisor ëd zero an $\mathbb {Z} _{6}$ , soa plancia 1 a-l l'é nen an $\mathbb {Z} _{2}$ .
Le projession canòniche $\pi _{h}:\prod _{m\in J}R_{m}\to R_{h}$ d'un prodot diret ansima ai sò fator a son d'epimorfism. J'iniession canòniche $j_{h}:R_{h}\to \prod _{m\in J}R_{m}$ definìe an manera che $j_{h}(a)$ a l'ha a tanme componenta d'ìndes h e tute j'àutre componente nule, a son ëd monomorfism. Pijà $h,k\in J$ , la composission $\pi _{h}j_{k}:R_{k}\to R_{h}$ a l'é l'identità cand h=k e ël morfism ch'a manda tut an $0_{R_{h}}$ dësnò. Le projession canòniche rëstrenzùe a la soma direta a son ancor dj'epimorfism e la plancia ëd minca iniession canònica a l'é un sot-ansem dla soma direta.

Chèiche propietà sempie

Dàit un morfism d'anej $f:A\to A'$ e un sot-anel B d'A, f(B) a l'é sot-anel d'A'. An particolar, la plancia d'f a l'é 'n sot-anel d'A'.

Dimostrassion. Ël sot-ansem f(B) a l'é 'n sot-ëstrop d'A', dagià che f a l'é ëdco 'n morfism dë strop. Pijà peui $x,y\in A$ , i l'oma che $f(x)f(y)=f(xy)\in f(B)$ .

Dàit un morfism antra anej $f:A\to A'$ e un sot-anel B' d'A', $f^{-1}(B')$ a l'é 'n sot-anel d'A.

Dimostrassion. I l'oma che $f^{-1}(B')$ a l'é 'n sot-ëstrop d'A. An dzorpì, pijà $x,y\in f^{-1}(B')$ , i l'oma $f(xy)=f(x)f(y)\in B'$ e donca $xy\in f^{-1}(B)$ .

La plancia omomorfa ëd n'anel comutativ a l'é comutativa.

Dimostrassion. A basta armarché che ant ës cas-sì f(x)f(y)=f(xy)=f(yx)=f(y)f(x).

Si A a l'é n'anel con unità e $f:A\to A'$ a l'é n'epimorfism antra anej, con $f(1_{A})=0_{A'}$ , antlora $A'=\{0_{A'}\}$ .

Dimostrassion. S'i pijoma qualsëssìa $a'\in A'$ e $a\in A$ con f(a)=a', i l'oma che $a'=f(a)=f(1_{A}a)=f(1_{A})f(a)=0_{A'}a'=0_{A'}$ .

Si $f:A\to A'$ a l'é n'epimorfism antra anej e A a l'ha n'unità $1_{A}$ , antlora $f(1_{A})$ e l'é l'unità d'A'; an dzorpì, si $a\in A$ a l'é anvertìbil, ëdcò f(a) a-l l'é e $[f(a)]^{-1}=f(a^{-1})$ .

Dimostrassion. Pijà $a'\in A'$ e $a\in A$ con f(a)=a', i l'oma $f(1_{A})a'=f(1_{A})f(a)=f(1_{A}a)=f(a)=a'$ e donca $f(1_{A})$ a l'é unità an A'. Si $a\in A$ a l'é anvertìbil, con anvers $a^{-1}$ , a-i ven che $f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(1_{A})=1_{A'}$ e donca $f(a^{-1})$ a l'é l'anvers d'f(a).

La plancia ëd n'ideal I (snistr, drit o bilateral) a travers n'epimorfism $f:A\to A'$ a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral, a sconda dij cas).

Dimostrassion. Butoma che I a sia n'ideal ësnistr d'A (istess rasonament s'as trata ëd n'ideal drit o bilateral). Pijoma $x\in A',a\in I$ për fé vëdde che $xf(a)\in f(I)$ . Antlora a-i é $y\in A$ con f(y)=x. Parèj, $xf(a)=f(y)f(a)=f(ya)\in f(I)$ .

La contra-plancia 'd n'ideal J (snistr, drit o bilateral) a travers un morfism d'anej $f:A\to A'$ a l'é n'ideal (snistr, drit o bilateral) d'A.

Dimostrassion. Për ël cas ëd n'ideal ësnistr (l'istess a val për n'ideal drit o bilateral), pijoma $x\in A,a\in f^{-1}(J)$ . Antlora $f(xa)=f(x)f(a)\in J$ e donca $xa\in f^{-1}(J)$ .

Isomorfism

Un morfism d'anej ch'a l'é na bijession a l'é dit isomorfism e ij doi anej isomorf. A-i na ven che n'isomorfism a conserva ëdcò (cand ch'a-i son) l'unità e j'anvers, visadì

f(1_{A})=1_{A'}

,

f(x^{-1})=[f(x)]^{-1}

për minca

x\in A

.

La relassion d'isomorfism $\simeq$ antra anej a l'é na relassion d'equivalensa.

Fatorisassion dij morfism

Ch'as pija un morfism antra anej $f:A\to B$ e n'ideal I d'A. Butoma che $I\subseteq kerf$ . Antlora a-i é 'n morfism d'anej $g:A/I\to B$ tal che g(a+I)=f(a) për tuti j' $a\in A$ .

An efet, g a l'é bin definì e a l'é un morfism dë strop, dagià che f a-l l'é. Për la multiplicassion, i l'oma

g((a+I)(b+I))=g(ab+I)=f(ab)=f(a)f(b)=g(a+I)g(b+I).

A-i na ven che minca omomorfism antra anej $f:A\to A'$ a peul decomponse tanme $f=j\varphi \pi$ anté che:

$\pi :A\to A/kerf$ a l'é la projession canònica, ch'a l'é n'epimorfism;
$\varphi (x+kerf)=f(x)$ a l'é n'isomorfism;
j a l'é ël fongament d'f(A) andrinta a A', ch'a l'é un monomorfism.

An particolar, armarcoma che:

minca ideal bilateral a l'é la nos ëd n'omomorfism d'anej;
A/kerf a l'é isomorf a f(A);
për $I=\{0_{A}\}$ , A/I a l'é isomorf a A;
për I=A i l'oma che A/I a l'é isomorf a $\{0_{A}\}$ ;
si I a l'é n'ideal bilateral d'A, la projession canònica $\pi :A\to A/I$ a génera na bijession antra la famija dj'ideaj (snistr, drit, bilateraj) d'A ch'a conten-o I e la famija dj'ideaj (snistr, drit, bilateraj) d'A/I.
dàit un morfism d'anej $f:A\to A'$ , n'ideal bilateral $I\subseteq A$ e n'ideal bilateral $I'\subseteq A'$ , si $f(I)\subseteq I'$ antlora f a passa al cossient e a génera un morfism ${\bar {f}}:A/I\to A'/I'$ definì da ${\bar {f}}(a+I)=f(a)+I'$ .

Esempi

Ch'as consìdera la fonsion $f:\mathbb {Z} [X]\to \mathbb {Z}$ cha assòssia a minca polinòmi a coeffisient antregh sò tèrmin costant. As trata d'un morfism, dont la nos a l'é l'ansem dij polinòmi ëd tèrmin costant nul e $f/kerf\simeq \mathbb {Z}$ . Minca lateral ëd kerf a l'é formà dai poliòmi ch'a partagio ël midem tèrmin costant.
N'esempi ch'a jë smija a l'é ël morfism $f:\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\to \mathbb {R}$ ch'a assòssia a minca $f\in \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ ël valor f(0). L'ideal I dle fonsion ch'a valo 0 ant l'orìgin a l'é la nos d'ës morfism; dagià che la plancia a l'é $\mathbb {R}$ (a basta mach consideré le fonsion costante) i otnoma che $(\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })/I\simeq \mathbb {R}$ .

Arpresentassion ëd n'anel an n'anel d'endomorfism

Cosideroma n'anel A. Për minca $a\in A$ ch'as consìdera la fonsion $f_{a}:A\to A$ definìa an butand $\forall x\in A,f_{a}(x)=ax$ , ciamà multiplicassion a snistra për a. As agiss d'un morfism dlë strop abelian (A,+):

f_{a}(x+y)=a(x+y)=ax+ay=f_{a}(x)+f_{a}(y)

.

An sa manera i l'oma definì na fonsion f da a l'anel dj'endomorfism ëd lë strop abelian (A,+). Costa-sì a l'é 'n morfism d'anej:

f(a+b)(x)=(a+b)x=ax+bx=f(a)(x)+f(b)(x)=[f(a)+f(b)](x)

;

f(ab)(x)=abx=f(a)f(b)x

.

La nos d'ës morfism a l'é $\{a\in A\mid \forall x\in A,ax=0_{A}\}$ , visadì l'anulator snistr d'A.

Ant ël cas A a l'abia n'unità $1_{A}$ , dagià che $a1_{A}=0_{A}\Leftrightarrow a=0_{A}$ , cost morfism a l'é 'n monomorifsm. Donca A a resta isomorf a l'anel dle multiplicassion a snistra. Parèj i l'oma otnù che minca anel con unità a l'é isomorf a n'anel d'endomorfism ëd sò strop abelian aditiv.