Prawo Ohma

Prawo Ohma – prawo fizyki głoszące proporcjonalność natężenia prądu płynącego przez przewodnik do napięcia panującego między końcami przewodnika. Prawidłowość odkrył w 1826 niemiecki nauczyciel matematyki, późniejszy fizyk, profesor politechniki w Norymberdze i uniwersytetu w Monachium, Georg Simon Ohm.

Historia i znaczenie

• W 1822 Humphry Davy opublikował rezultaty badań przewodzenia prądu elektrycznego w metalach. Stwierdził, że przewodnictwo drutów metalowych jest odwrotnie proporcjonalne do ich długości, a wprost proporcjonalne do pola powierzchni przekroju. Davy uporządkował też przewodniki ze względu na ich zdolność przewodzenia prądu.
• Georg Simon Ohm (wówczas gimnazjalny nauczyciel matematyki) badał zależność prądu elektrycznego od wymiarów przewodnika i przyłożonego napięcia od roku 1825. Stwierdził, że prąd jest zależny od przyłożonego napięcia, ale jego prace były niejasne i skomplikowane, nie znalazły szerszego uznania.
• W 1826 Ohm zaproponował opis swoich doświadczeń w postaci zbliżonej do znanej dzisiaj, stwierdzając, że prąd płynący w przewodniku jest proporcjonalny do przyłożonego napięcia. Mimo to upłynęło jeszcze kilka lat, zanim zostały one przyjęte przez środowiska naukowe.
• W latach 1845–1847 Gustav Kirchhoff przeprowadził analizę teoretyczną przepływu prądu i powiązał gęstość prądu z polem elektrycznym wewnątrz przewodnika.
• W 1900 Paul Drude sformułował swój model przewodnictwa metali, który wyjaśnił stwierdzoną doświadczalnie przez Ohma proporcjonalność prądu do napięcia.

Współcześnie wiadomo, że wiele materiałów zachowuje się inaczej niż stwierdził Ohm i proporcjonalność napięcia i prądu nie jest zachowana (prawo Ohma nie jest spełnione). Materiały i elementy elektroniczne, dla których spełnione jest prawo Ohma nazywa się liniowymi (lub omowymi), a dla których nie – nieliniowymi (lub nieomowymi).

Mimo że prawo Ohma nie jest uniwersalnym prawem przyrody, a jedynie relacją spełnioną dla pewnej klasy materiałów w ograniczonym zakresie napięć i prądów, ma duże znaczenie historyczne, a także praktyczne. Było ono pierwszym ilościowym matematycznym opisem przepływu prądu elektrycznego.

Sformułowanie

Prawo Ohma

Dla prądu stałego proporcjonalność napięcia $U$ i natężenia $I$ wyraża się wzorem:

$U=I\,R.$

Współczynnik proporcjonalności $R$ nazywa się rezystancją lub oporem elektrycznym.

Współczynnik proporcjonalności pomiędzy natężeniem i napięciem oznaczany jest zwykle przez $G$

$I=G\,U,$

nosi on nazwę konduktancji i jest odwrotnością rezystancji

${\frac {1}{G}}=R.$

Prawo Ohma jest prawem doświadczalnym i w niektórych materiałach (w szczególności w metalach) jest dość dokładnie spełnione dla ustalonych warunków przepływu prądu, szczególnie temperatury przewodnika. Materiały, które się do niego stosują, nazywamy przewodnikami omowymi lub „przewodnikami liniowymi” – w odróżnieniu od przewodników nieliniowych, w których opór jest funkcją natężenia płynącego przez nie prądu. Prawo to także nie jest spełnione gdy zmieniają się parametry przewodnika, szczególnie temperatura.

Zależność oporu od rozmiarów przewodnika

Opór odcinka przewodnika o stałym przekroju poprzecznym jest proporcjonalny do długości tego odcinka $l$ i odwrotnie proporcjonalny do pola przekroju $S{:}$

$R=\rho {\frac {l}{S}}.$

Zależność ta została stwierdzona doświadczalnie przez Davego jeszcze przed sformułowaniem prawa Ohma, a wyjaśniona teoretycznie przez Drudego w oparciu o jego model elektronów swobodnych. Stała ρ nosi nazwę rezystywności lub oporu właściwego i jest charakterystyczna dla materiału przewodnika. Odwrotność rezystywności nazywa się konduktywnością lub przewodnictwem właściwym, często jest oznaczana przez σ:

$\sigma ={\frac {1}{\rho }}.$

Prawo Ohma w postaci różniczkowej

Prąd o gęstości $j$ płynący w polu elektrycznym $E$ przez element o długości ${\text{d}}l$ o przekroju ${\text{d}}S$

Stosując prawo Ohma do elementarnego odcinka izotropowego przewodnika o długości ${\text{d}}l$ i powierzchni przekroju ${\text{d}}S$ (rysunek) można napisać

${\text{d}}I={\frac {1}{R}}\,{\text{d}}U.$

Wyrażając natężenie prądu za pomocą jego gęstości ${\vec {j}}{:}$

${\text{d}}I={\vec {j}}\,{\text{d}}{\vec {S}}$

oraz napięcie za pomocą natężenia pola elektrycznego ${\vec {E}}{:}$

${\text{d}}U={\vec {E}}\,{\text{d}}{\vec {l}},$

otrzymuje się:

${\vec {j}}\,{\text{d}}{\vec {S}}={\frac {1}{R}}{\vec {E}}\,{\text{d}}{\vec {l}}.$

Wybierając przekrój ${\text{d}}S$ prostopadle do kierunku płynącego prądu oraz podstawiając jako 1/R

${\frac {1}{R}}=\sigma {\frac {{\text{d}}S}{{\text{d}}l}},$

otrzymamy

${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}.$

Równanie to wiąże lokalną gęstość prądu z natężeniem pola elektrycznego w przewodniku. Zostało wyprowadzone przez Kirchhoffa, często jest nazywane prawem Ohma w postaci różniczkowej.

Prawo Ohma dla prądu przemiennego

W obwodach prądu przemiennego przebiegi prądu mogą być przesunięte w fazie w stosunku do napięcia. W takiej sytuacji do opisu zależności przemiennego prądu od napięcia stosuje się zwykle liczby zespolone, a odpowiednikiem oporu jest zespolona impedancja $Z{:}$

$u(\omega ,t)=Z(\omega )\ i(\omega ,t),$

gdzie:

$u(\omega ,t)$ – zespolone napięcie przemienne,

$i(\omega ,t)$ – zespolony prąd przemienny,

$Z(\omega )$ – impedancja.

Rezystancją nazywa się wtedy część rzeczywistą impedancji, a konduktancją część rzeczywistą odwrotności impedancji (nazywanej admitancją):

$R(\omega )=Re(Z(\omega )),\quad G(\omega )={\frac {R(\omega )}{|Z(\omega )|^{2}}}.$

W obwodach liniowych (spełniających prawo Ohma) impedancja nie zależy od amplitudy napięcia ani prądu, a amplituda prądu jest wtedy proporcjonalna do amplitudy napięcia.

Prawo Ohma w materiałach anizotropowych

W materiałach anizotropowych kierunek przepływu prądu elektrycznego nie musi być zgodny z kierunkiem przyłożonego pola elektrycznego. Zależność między gęstością prądu i natężeniem pola elektrycznego ma postać:

${\vec {j}}={\hat {\sigma }}{\vec {E}}.$

Konduktywność ${\hat {\sigma }}$ jest wtedy tensorem, a jeżeli materiał jest liniowy (omowy), to wszystkie jej składowe są stałe.

Opór w obwodach nieliniowych

Jeżeli elementy obwodu są nieliniowe (nie spełniają prawa Ohma), wielkość oporu zdefiniowana przez

$R={\frac {U}{I}}$

nie jest stała. Nazywa się go oporem całkowym, rezystancją statyczną lub całkową.

Definiuje się również różniczkowy opór elektryczny w postaci:

$R={\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}I}}.$

Rezystancje statyczna i dynamiczna elementów liniowych są stałe i sobie równe.

Bibliografia

• David J. Grffiths, Podstawy elektrodynamiki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.
• Andrzej Januszajtis: Fizyka dla politechnik. Pola. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982. ISBN 83-01-01665-5. Brak numerów stron w książce
• Alicja Nawrot, Dorota Karolczak, Jadwiga Jaworska: Encyklopedia – fizyka z astronomią. Kraków: GREG, 2013. ISBN 978-83-7517-210-2.
• I.W. Sawieliew: Wykłady z fizyki 2. Wyd. 2. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994. ISBN 83-01-11605-6. Brak numerów stron w książce
• Andrzej Kajetan Wróblewski: Historia fizyki. Od czasów najdawniejszych do współczesności. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 83-01-14635-4. Brak numerów stron w książce