Patyczki liczbowe

Trójkąt Yang Hui (Pascala) z użyciem patyczków, przedstawiony przez Zhu Shijie w 1303.

Patyczki do liczenia (chiń. upr. 籌; chiń. trad. 筹; pinyin chóu; jap. 算木, sangi) to małe pręciki, zwykle mające 3–14 cm długości, używane przez matematyków w Chinach, Japonii, Korei i Wietnamie. Są one rozkładane poziomo lub pionowo, aby przedstawić dowolną liczbę lub ułamek.

Zapis bazujący na ich ułożeniu nazywa się patyczki liczbowe. Jest to prawdziwie pozycyjny system liczbowy z cyframi od 1 do 9, a później także i 0.

Historia

Patyczki do liczenia były używane przez starożytnych Chińczyków od ponad dwóch tysięcy lat. W 1954 odnaleziono 40 patyczków z Okresu Walczących Królestw w Zuojiagongshan (左家公山) w Changsha w prowincji Hunan^[1].

W 1973 archeolodzy odkryli kilka drewnianych skryptów w grobie z czasów dynastii Han w Hubei, na jednym z nich znajdowała się inskrypcja: „当利二月定算”, jest to jeden z najwcześniejszych przykładów stosowania patyczków liczbowych w zapisie.

W 1976, pakiet kościanych patyczków z czasów Dynastii Han został odkryty w powiecie Qianyang w Shanxi.^[2] Oznacza to, że patyczki musiały być używane także wcześniej; Laozi, w tekście z Okresu Walczących Królestw, powiedział „dobry kalkulator nie korzysta z patyczków”^[3].

Gdy rozkwitła era abakusa, patyczki zostały porzucone, z wyjątkiem Japonii, gdzie rozwinięto z nich symboliczny zapis do algebry.

Sposób użycia

Patyczki liczbowe przedstawiają cyfry za pomocą ilości patyczków, przy czym prostopadłe patyczki oznaczają pięć. Aby uniknąć nieporozumień, poziome i pionowe formy są używane zamiennie. W ogólności, pionowe pręciki przedstawiają jednostki, setki, dziesiątki tysięcy, itd. Natomiast poziome oznaczają dziesiątki, tysiące, setki tysięcy itd. Sun Zi napisał, że „jeden jest pionowe, dziesięć jest poziome”^[4]^[5]. Później kamień do gry w go był czasem używany do przedstawienia 0.

Zamienność form pionowych i poziomych jest bardzo istotna aby prawidłowo zrozumieć inskrypcje w rękopisach. Na przykład, w Licheng suanjin, 81 zapisano jako , a 108 zapisano jako ; jasne jest, że na drugim umieszczono puste zero na „planszy do liczenia” (np.: podłodze lub macie), nawet jeśli w zapisie nie było odstępu. W tym samym rękopisie, 405 zapisano jako , z odstępem z oczywistych powodów, a nie ma sposobu, aby odczytać to jako „45” . Innymi słowy, zapisywane cyfry patyczkowe niekoniecznie muszą być pozycyjne, lecz na planszy do liczenia z pewnością są. jest dokładnym obrazem liczby patyczkowej na planszy.

Wartość *cyfry patyczkowej* w zależności od pozycji w Encyklopedii Cesarza Yongle

Matematyk dynastii Song Jia Xian stosował ręcznie zapisane kolejno chińskie potęgi dziesiątki 步十百千万 jako wartość cyfry patyczkowej na zadanej pozycji, jak to wynika ze szkicu na stronie w Encyklopedii Cesarza Yongle. Ułożył on 七万一千八百二十四 (7 10000 1 1000 8 100 2 10 4) jako

七一八二四	7	1	8	2	4
万千百十步	10000	1000	100	10	krok

Potraktował on chińskie potęgi dziesiątki jako znaczniki pozycji, a 七一八二四 stały się pozycyjnymi cyframi dziesiętnymi. Następnie zapisał cyfry patyczkowe na pozycyjnych cyfrach dziesiętnych:

七	一	八	二	四
万	千	百	十	步

*patyczki liczbowe* w japońskiej książce do matematyki

W Japonii, matematycy umieszczali patyczki liczbowe na planszy do liczenia, arkuszu materiału z siatką, i używali jedynie pionowych form w oparciu o siatkę.

Liczby dodatnie
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Pionowe
Poziome

Liczby ujemne
	0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9
Pionowe
Poziome

^{[potrzebny przypis]}

Przykłady:

231
5089
-407
-6720

Liczby patyczkowe

Liczby patyczkowe to pozycyjny system liczbowy utworzony z kształtów patyczków liczbowych. Liczby dodatnie zapisujemy wprost a ujemne z ukośnym słupkiem na ostatniej cyfrze. Pionowy słupek w poziomych formach 6–9 jest krótszy, aby zachować tę samą wysokość wszystkich znaków.

Okrąg (〇) reprezentuje 0. Wielu historyków myśli, że Gautama Siddha zapożyczył go od cyfr indyjskich w 718^[4], lecz inni sądzą, że został utworzony od chińskiego wypełniacza miejsca na tekst „□”^[6].

W XIII wieku matematycy Dynastii Song zmienili zapis cyfr dla 4, 5 i 9, aby zredukować liczbę kresek^[6]. Nowa pozioma forma ostatecznie przekształciła się w cyfry Suzhou. Japończycy kontynuowali użycie form tradycyjnych.

Liczby dodatnie (tradycyjne)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Pionowe
Poziome

Liczby ujemne (tradycyjne)
	-0	-1	-2	-3	-4	-5	-6	-7	-8	-9
Pionowe

Liczby dodatnie (Dynastia Song)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Pionowe
Poziome

Przykłady:

	Tradycyjny	Dynastia Song
231
5089
-407
-6720

Ułamki

Ułamki liczb patyczkowych są wyrażane jako dwie liczby patyczkowe jedna nad drugą (bez żadnych dodatkowych symboli jak współczesna kreska ułamkowa).

Unicode

Unicode 5.0 zawiera cyfry dla liczb patyczkowych w zarezerwowanym dla nich obszarze Supplementary Multilingual Plane (SMP) od U+1D360 do U+1D37F. Kody znaków dla cyfr poziomych 1-9 są w obszarze od U+1D360 do U+1D368, a ich odpowiedniki pionowe od U+1D369 do U+1D371. Te pierwsze to tzw. jednostki, a drugie dziesiątki^[7], co jest sprzeczne z zasadami opisanymi wyżej. Zero należy przedstawiać za pomocą U+3007 (〇, ideographic number zero), a znak negacji jako U+20E5 (combining reverse solidus overlay)^[8]. Jako że znaki te zostały umieszczone w zbiorze Unicode niedawno oraz z uwagi na to, że są dodane do SMP, ich dostępność w czcionkach może być mocno ograniczona. Szare obszary oznaczają kody nieprzypisane.

Cyfry dla liczb patyczkowych diagram Unicode.org (PDF)
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
U+1D36x	퍠	퍡	퍢	퍣	퍤	퍥	퍦	퍧	퍨	퍩	퍪	퍫	퍬	퍭	퍮	퍯
U+1D37x	퍰	퍱

Przypisy

↑ 中国独特的计算工具. [dostęp 2007-12-16]. [zarchiwizowane z tego adresu (2008-08-23)].
↑ Wu Wenjun ed, Grand Series of History of Chinese Mathematics, vol 1, p371
↑ 老子: 善數者不用籌策。
↑ ^a ^b Qīngxiáng Wáng: Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods). Tokyo: Tōyō Shoten, 1999. ISBN 4-88595-226-3.
↑ Chińskie Wikiźródło 正負術曰: 同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。
↑ ^a ^b Baocong Qian: Zhongguo Shuxue Shi (The history of Chinese mathematics). Beijing: Kexue Chubanshe, 1964.
↑ The Unicode Standard, Version 5.0 - Electronic edition. Unicode, Inc., 2006. s. 558.
↑ The Unicode Standard, Version 5.0 - Electronic edition. Unicode, Inc., 2006. s. 499–500.

[1] 中国独特的计算工具. [dostęp 2007-12-16]. [zarchiwizowane z tego adresu (2008-08-23)].

[2] Wu Wenjun ed, Grand Series of History of Chinese Mathematics, vol 1, p371

[3] 老子: 善數者不用籌策。

[wang-4] Qīngxiáng Wáng: Sangi o koeta otoko (The man who exceeded counting rods). Tokyo: Tōyō Shoten, 1999. ISBN 4-88595-226-3.

[5] Chińskie Wikiźródło 正負術曰: 同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。

[qian-6] Baocong Qian: Zhongguo Shuxue Shi (The history of Chinese mathematics). Beijing: Kexue Chubanshe, 1964.

[7] The Unicode Standard, Version 5.0 - Electronic edition. Unicode, Inc., 2006. s. 558.

[8] The Unicode Standard, Version 5.0 - Electronic edition. Unicode, Inc., 2006. s. 499–500.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]