Półgrupa

Półgrupa – grupoid, w którym działanie jest łączne, czyli zbiór $A$ z określonym na nim działaniem dwuargumentowym $\cdot ,$ w którym dla wszelkich elementów $a,b,c\in A$ zachodzi^[1]:

(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).

Gdy działanie jest dodatkowo przemienne, półgrupę nazywa się przemienną bądź abelową.

Szczególnymi przypadkami półgrup są:

monoidy, w których wyróżniony jest ponadto element neutralny działania $\cdot ;$
grupy, w których dodatkowo istnieje element neutralny, a każdy element ma dany element odwrotny.

Przykłady

Pełna półgrupa transformacji dowolnego zbioru.
Półgrupa relacji dwuargumentowych ustalonego zbioru.
Liczby całkowite dodatnie z dodawaniem.
Liczby całkowite z mnożeniem (również z dodawaniem, jako grupa przemienna).
Zbiór mas umieszczonych w punktach zbioru wypukłego $W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ z działaniem, które dwóm masom przyporządkowuje sumę ich mas wraz z ich środkiem masy: półgrupa na zbiorze $\mathbb {R} _{+}\times W,$ której działanie zadane jest wzorem
${\big (}(m_{1},\mathbf {x} _{1}),(m_{2},\mathbf {x} _{2}){\big )}\mapsto \left(m_{1}+m_{2},{\frac {m_{1}\mathbf {x} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right).$
Półgrupa macierzy Reesa.