Krzywa Jordana

Krzywa Jordana – homeomorficzny obraz okręgu na płaszczyźnie. Funkcjonuje też nieco słabsza definicja:

Odwzorowanie ciągłe przedziału $(\alpha ,\beta )$ w płaszczyznę nazywa się krzywą $\gamma$ na płaszczyźnie. Jeśli $\gamma (\alpha )=\gamma (\beta ),$ to tę krzywą nazywa się zamkniętą, a jeśli ponadto jest ona różnowartościowa w przedziale $\{t\colon \alpha <t<\beta \},$ nazywana jest ona krzywą Jordana.

W praktyce krzywą Jordana nazywa się też obraz tej krzywej na płaszczyźnie i ten obiekt jest homeomorficzny z okręgiem.

Twierdzenia

Który z zaznaczonych punktów należy do wnętrza wielokąta?

Z krzywą Jordana związanych jest kilka twierdzeń.

Twierdzenie o krzywej Jordana

Każda krzywa Jordana rozdziela płaszczyznę na dwa odrębne obszary i jest ich wspólnym brzegiem.

Twierdzenie to było przez długi czas uważane za oczywiste, po raz pierwszy zapisał je jednak Camille Jordan w 1887 roku, dzięki czemu nosi jego imię. Dosyć łatwo je udowodnić dla krzywych gładkich lub odcinkami gładkich, jednak dla krzywych w żadnym punkcie niegładkich jest to zadanie trudne. Pierwszy poprawny dowód twierdzenia Jordana podał w roku 1905 Oswald Veblen.

Twierdzenie Jordana-Schönfliesa

Dla każdej krzywej Jordana istnieje homeomorfizm płaszczyzny na siebie, który przeprowadza tę krzywą na okrąg.

Twierdzenie Jordana-Brouwera

Każda $(n-1)$-wymiarowa sfera zanurzona w $n$-wymiarowej przestrzeni euklidesowej rozdziela tę przestrzeń na dwa rozłączne obszary.

Twierdzenie to nie daje się uogólnić do odpowiednika twierdzenia Jordana-Schönfliesa dla $n$ wymiarów – istnieją bryły, których powierzchnia jest homeomorficzna ze sferą, jednak zewnętrze nie jest homeomorficzne z zewnętrzem kuli. Pierwszą odkrytą taką bryłą była rogata sfera Alexandera.

Zobacz też

• łuk zwykły (łuk Jordana)

Bibliografia

• Jan Krzyż, Julian Ławrynowicz: Elementy analizy zespolonej. Warszawa: WNT, 1981. ISBN 83-204-0239-5.
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: PWN, 1962.
• Witold Hurewicz, Henry Wallman: Teoria wymiaru (tłum. ros.). Moskwa: ГИИЛ, 1945.

Linki zewnętrzne

• Grant Sanderson, Who cares about topology? (Inscribed rectangle problem), 3blue1brown, YouTube, [dostęp 2021-03-15] – materiał o problemie prostokątów wpisanych w krzywe Jordana.