Zbiór typu G-delta

Definicja

Podzbiór przestrzeni topologicznej nazywamy zbiorem typu $G_{\delta }$ (czyt. „zbiorem typu gie delta”), gdy jest on przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.

Według nowszej terminologii (zob. Hierarchia zbiorów borelowskich) zbiory typu $G_{\delta }$ to inaczej zbiory klasy $\Pi _{2}^{0}.$

Własności

Jest widoczne wprost z definicji, że przecięcie przeliczalnie wielu zbiorów typu $G_{\delta }$ jest też zbiorem tego typu; wykazuje się, że jest nim również suma skończenie wielu takich zbiorów.

Dopełnienie zbioru $G_{\delta }$ jest zbiorem F_σ i na odwrót. Każdy zbiór otwarty jest typu $G_{\delta },$ a w przestrzeniach metryzowalnych również zbiory domknięte są tego typu.

Przykłady

• Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem typu $G_{\delta },$ można go bowiem zapisać jako przekrój

$\bigcap _{q\in \mathbb {Q} }\mathbb {R} \setminus \{q\}.$

• Zbiór liczb wymiernych nie jest zbiorem typu $G_{\delta }$ (ten nietrywialny fakt jest konsekwencją twierdzenia Baire’a).
• Można wykazać, że zbiór punktów ciągłości dowolnej funkcji $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ jest typu $G_{\delta }.$

Z powyższych przykładów wynika w szczególności, że nie może istnieć funkcja o dziedzinie $\mathbb {R}$ ciągła we wszystkich punktach wymiernych i tylko w nich. (Da się natomiast udowodnić istnienie funkcji określonej na $\mathbb {R} ,$ której zbiorem punktów ciągłości jest zbiór liczb niewymiernych).

Zobacz też

• zbiór borelowski
• zbiór typu F-sigma