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WO2024099513A1 - Verfahren und vorrichtung zur bestimmung von kapazität, innenwiderstand und leerlaufspannungskurve einer batterie - Google Patents

Verfahren und vorrichtung zur bestimmung von kapazität, innenwiderstand und leerlaufspannungskurve einer batterie Download PDF

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Publication number
WO2024099513A1
WO2024099513A1 PCT/DE2023/100825 DE2023100825W WO2024099513A1 WO 2024099513 A1 WO2024099513 A1 WO 2024099513A1 DE 2023100825 W DE2023100825 W DE 2023100825W WO 2024099513 A1 WO2024099513 A1 WO 2024099513A1
Authority
WO
WIPO (PCT)
Prior art keywords
battery
values
internal resistance
circuit voltage
mod
Prior art date
Application number
PCT/DE2023/100825
Other languages
English (en)
French (fr)
Inventor
Wolfgang Bessler
Original Assignee
Hochschule Offenburg
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Hochschule Offenburg filed Critical Hochschule Offenburg
Publication of WO2024099513A1 publication Critical patent/WO2024099513A1/de

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Classifications

    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01R—MEASURING ELECTRIC VARIABLES; MEASURING MAGNETIC VARIABLES
    • G01R31/00—Arrangements for testing electric properties; Arrangements for locating electric faults; Arrangements for electrical testing characterised by what is being tested not provided for elsewhere
    • G01R31/36—Arrangements for testing, measuring or monitoring the electrical condition of accumulators or electric batteries, e.g. capacity or state of charge [SoC]
    • G01R31/389—Measuring internal impedance, internal conductance or related variables
    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01R—MEASURING ELECTRIC VARIABLES; MEASURING MAGNETIC VARIABLES
    • G01R31/00—Arrangements for testing electric properties; Arrangements for locating electric faults; Arrangements for electrical testing characterised by what is being tested not provided for elsewhere
    • G01R31/36—Arrangements for testing, measuring or monitoring the electrical condition of accumulators or electric batteries, e.g. capacity or state of charge [SoC]
    • G01R31/367—Software therefor, e.g. for battery testing using modelling or look-up tables
    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01R—MEASURING ELECTRIC VARIABLES; MEASURING MAGNETIC VARIABLES
    • G01R31/00—Arrangements for testing electric properties; Arrangements for locating electric faults; Arrangements for electrical testing characterised by what is being tested not provided for elsewhere
    • G01R31/36—Arrangements for testing, measuring or monitoring the electrical condition of accumulators or electric batteries, e.g. capacity or state of charge [SoC]
    • G01R31/382—Arrangements for monitoring battery or accumulator variables, e.g. SoC
    • G01R31/3842—Arrangements for monitoring battery or accumulator variables, e.g. SoC combining voltage and current measurements

Definitions

  • the invention relates to a method for determining the internal resistance and/or the open circuit voltage curve and/or the capacity of a rechargeable battery, the method comprising various steps. Furthermore, the present invention relates to a device for determining the internal resistance and/or the open circuit voltage curve and/or the capacity of a rechargeable battery with a detection device for detecting measured values for the battery current ⁇ exp( ⁇ ) and the battery voltage ⁇ exp( ⁇ ) of the rechargeable battery, preferably at equidistant time intervals ⁇ t or at predetermined times, and an evaluation and control device to which the detected measured values can be fed, the evaluation and control device being designed to carry out the method for determining the internal resistance and/or the open circuit voltage curve and/or the capacity of a rechargeable battery.
  • An evaluation and control device is understood to mean any suitable device that provides this functionality, regardless of whether in the individual case a control in the narrower sense (i.e. a control of an output variable without feedback) or a regulation (i.e. a control of an output variable using feedback) is effected.
  • the present invention relates to a computer program for determining the internal resistance and/or the open circuit voltage curve and/or the capacity of a rechargeable battery for a device, wherein the computer program is designed in such a way that when the computer program is executed in the evaluation and control unit of a device for determining the internal resistance and/or the open circuit voltage curve and/or the capacity of a rechargeable battery, the method for determining the internal resistance and/or the open circuit voltage curve and/or the capacity of a rechargeable battery is carried out.
  • the internal resistance is one of the important characteristics of a battery. It causes a drop in the battery terminal voltage when the battery is loaded with current. There are various methods to measure the internal resistance, e.g. pulse tests or electrical impedance spectroscopy.
  • open circuit voltage ⁇ 0 (also: open-circuit voltage, OCV) as a function of the depth of discharge (DOD).
  • OCV open-circuit voltage
  • DOD depth of discharge
  • a method for determining the relative capacity ⁇ of an aged cell in relation to the capacity ⁇ ⁇ of a fresh cell (“nominal capacity”), referred to there as “state of health” (SOH). This method is further developed here to determine the capacity of an unknown battery.
  • the above-mentioned measurement methods require measurement in a laboratory environment with precise measuring devices. This is generally not possible with batteries in practical use, as they are an integral part of a device (e.g. smartphone, electric car, home storage) and cannot be removed and transferred to a laboratory or can only be done with great effort.
  • the invention is based on the object of creating a method for the approximate determination of the capacity and/or the internal resistance and/or the open circuit voltage curve of a rechargeable battery during normal use of the battery, which has improved accuracy and is also easy to implement in a battery management system. Furthermore, the invention is based on the object of creating a device which enables the aforementioned method to be carried out.
  • the invention is based on the object of creating a computer program which enables the aforementioned method to be carried out.
  • the technical object is solved by the present invention by a method for determining the internal resistance and/or the open circuit voltage curve and/or the capacity of a rechargeable battery with the following steps.
  • a dynamic, voltage-controlled, mathematical battery model is created, whereby for the internal resistance ⁇ and/or the open circuit voltage curve ⁇ 0 and/or the capacity C given initial values ⁇ 0 mod , ⁇ mod , ⁇ mod can be used.
  • the initial values can be chosen arbitrarily. Alternatively, known values can be used if one or more of these parameter values are known and should not be determined.
  • the model describes the dependence of the current on the voltage, i.e.
  • This system of equations allows the calculation of the output value ⁇ mod based on the input size ⁇ measure .
  • This is a voltage-controlled model (voltage as input variable).
  • more complex models can be used for the new method, e.g. extended equivalent circuit models.
  • Measured values for the battery current ⁇ mess( ⁇ ) and the battery voltage ⁇ mess( ⁇ ) of the rechargeable battery are recorded as a function of time over a predetermined period ⁇ .
  • measured values of the battery temperature ⁇ (t) are additionally recorded as a function of time over the period T.
  • the type of charging and discharging (constant or varying current intensity, interruptions, temporary changes in the current direction) in the period T is fundamentally irrelevant for the method. The method of the present invention can therefore also be used for measured values from practical battery operation.
  • the period ⁇ preferably includes at least one full cycle of the battery, i.e.
  • the time period T can also only include a full charge cycle, i.e. a complete charge from almost 0% state of charge to almost 100% state of charge.
  • the time period ⁇ can also only include partial cycles, provided that the current is not zero for the entire period (no resting battery).
  • the time period ⁇ can also include longer or shorter periods, whereby the general rule is that the longer ⁇ , the more accurate the values determined.
  • the specified time period ⁇ can also only be determined during the measurement, for example by counting the cumulative charge throughput and counting the achievement of a specified charge throughput as the achievement of a specified time period ⁇ .
  • the specified charge throughput can, for example, correspond to the equivalent charge throughput of a full cycle, in which case the time period T corresponds to a so-called equivalent full cycle. With an equivalent full cycle, it is irrelevant between which charge states or with which cycle depth the battery is operated, only the cumulative charge throughput is relevant.
  • Measured values for the battery voltage ⁇ mess( ⁇ ) are used as input for the dynamic, voltage-controlled, mathematical battery model and values for a simulated current ⁇ mod ( ⁇ ) are calculated as the output of the battery model.
  • both the input values, which are the measured values for the battery voltage, as well as the output values of the battery model, which are the simulated values for the current take the form of a set of time-discrete measurement or output values.
  • the input values are a time-discrete series of measurements of the battery voltage and the output values are a time-discrete series of values of the simulated current.
  • values for the internal resistance ⁇ are calculated using a given calculation rule. cal and/or the open circuit voltage curve ⁇ 0 cal and/or the capacity Ccal. A separate calculation rule is used for each of the determined values.
  • the values for the simulated current ⁇ mod( ⁇ ) and the recorded measured values for the current ⁇ mess( ⁇ ) are used in such a way that a deviation of the respective associated values from each other is used in the calculation rule.
  • the deviation can preferably be a difference between the values for the simulated current ⁇ mod ( ⁇ ) and the recorded measured values for the current ⁇ mess( ⁇ ) or a quotient of these.
  • the calculation rules only require the simulated current ⁇ mod( ⁇ ) and the recorded measured values for the current ⁇ measure ( ⁇ ) for an accurate determination of the values for the Internal resistance ⁇ cal and/or the open circuit voltage curve ⁇ 0 cal and/or the capacity Ccal.
  • the process of the present invention is therefore not only Laboratory conditions, but during any everyday use of the battery.
  • the method can comprise at least two iteration steps, each iteration step comprising the implementation of the complete method according to the first embodiment.
  • each iteration step except the first i.e. each time all steps of the method are carried out, when creating a dynamic, voltage-controlled, mathematical battery model for the given initial values ⁇ mod , ⁇ 0 mod and C mod for the internal resistance ⁇ and/or the open circuit voltage curve ⁇ 0 and/or the capacitance C the calculated values for the internal resistance ⁇ cal and/or the open circuit voltage curve ⁇ determined in the previous iteration step 0 cal and/or the capacity ⁇ cal used.
  • Such an adaptation of the initial conditions for the subsequent iteration step is also called a "model update".
  • a measurement period T is associated with an iteration step.
  • already known values can be used as initial values, or only individual values can be updated.
  • the method can comprise at least two iteration steps, each iteration step comprising the implementation of steps (a), (c) and (d) of the method according to claim 1.
  • each iteration step except for the first, at the place of the initial values specified in step (a) ⁇ mod , ⁇ 0 mod and C mod for the internal resistance ⁇ and/or the open circuit voltage curve ⁇ 0 and/or the capacitance C the calculated values for the internal resistance ⁇ cal and/or the open circuit voltage curve ⁇ determined in step (d) of the previous iteration step 0 cal and/or the capacity ⁇ cal used.
  • a data set of measured values is repeatedly evaluated without new measurements.
  • the iterations are repeated until the determined values converge. Convergence is achieved, for example, when the determined values from an iteration step differ by less than a predetermined percentage, e.g. 1%, from the determined values from the previous iteration step.
  • the methods are combined in such a way that measured values over a period T 1 are recorded, then up to to converge the values sought, several, but at least two, iteration steps are evaluated, and this is repeated with a further period T2.
  • the second period can follow directly on from the first.
  • the second period can also have a time interval, e.g. one day.
  • the method can be carried out in such a way that, using a deviation between the values for the simulated current ⁇ mod( ⁇ ) and the measured values for the battery current ⁇ mess( ⁇ ), deviations ⁇ ⁇ , ⁇ ⁇ are calculated.
  • the deviations ⁇ ⁇ , ⁇ ⁇ 0 , ⁇ C between the given initial values ⁇ mod, ⁇ 0 mod, Cmod and the respective calculated values ⁇ cal , ⁇ 0 cal , C cal and the deviation between the values for the simulated current ⁇ mod( ⁇ ) and the measured values for the battery current ⁇ mess( ⁇ ) can be differences. Quotients or other types of calculation of the deviations are also possible.
  • ⁇ mod the internal resistance of the battery model
  • ⁇ 0 mod the calculated value for the internal resistance ⁇ cal
  • ⁇ d ⁇ 0 /dDOD the slope of the open circuit voltage curve
  • ⁇ mod the current of the battery model and ⁇ measure the measured current of the battery.
  • ⁇ ⁇ 0 the difference between the open circuit voltage curve of the battery model ⁇ m 0 o d and the calculated value for the open circuit voltage curve ⁇ c 0 a l
  • ⁇ the slope of the open circuit voltage curve
  • ⁇ mod the current of the battery model
  • ⁇ measure is the measured current of the battery.
  • the following calculation rule can be used to determine the capacity C: ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ , where ⁇ ⁇ is the quotient of the capacity of the battery model ⁇ mod and the calculated value for the capacity of the battery ⁇ cal , ⁇ mod the current of the battery model and ⁇ measure the measured current of the battery.
  • ⁇ ⁇ dead ⁇ ⁇ 0 ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ measure , where ⁇ ⁇ dead the total voltage difference, ⁇ ⁇ 0 the difference between the open circuit voltage curve of the battery model ⁇ m 0 o d and the calculated value for the open circuit voltage curve ⁇ c 0 a l , ⁇ ⁇ the difference between the internal resistance of the battery model ⁇ mod and the calculated value for the internal resistance ⁇ cal , ⁇ the slope of the open circuit voltage curve, ⁇ mod the current of the battery model and ⁇ measure the measured current of the battery.
  • the voltage difference due to the internal resistance ⁇ ⁇ and the voltage difference due to the open circuit voltage curve ⁇ ⁇ 0 combine to form a total difference ⁇ ⁇ dead (the index "tot" for total).
  • the determinations of the internal resistance and the open circuit voltage curve run simultaneously, so that only a few cycles are necessary to determine both parameters very precisely.
  • ⁇ a numerical solution method is used
  • n is an index for the time-discrete values of the measured variables ⁇ mess( ⁇ ) and Vmess( ⁇ ) at certain discrete points in time ⁇ ⁇ .
  • an implicit Euler method is used to solve the equations.
  • the method is not limited to a solution using the implicit Euler method, but can also be solved using other numerical solution methods.
  • ⁇ the value of the slope of the open circuit voltage curve at time ⁇ , ⁇ ⁇ 1 the value of the slope of the open circuit voltage curve at time ⁇ ⁇ 1, ⁇ mess, ⁇ the recorded value of the battery current at time ⁇ , ⁇ measure, ⁇ 1 the recorded value of the battery current at time ⁇ ⁇ 1, ⁇ mods, ⁇ the current of the battery model at time ⁇ , ⁇ ⁇ the time interval between two consecutive measurements and ⁇ ⁇ ⁇ 1 the discrete value of the difference of the internal resistance at time ⁇ ⁇ 1.
  • the following calculation rule can be used to calculate the capacity with time-discrete recorded values of the battery's current: ⁇ ⁇ , ⁇ where ⁇ is the number of time steps, ⁇ ⁇ is the time between two consecutive measurements, ⁇ ⁇ is the quotient of the capacity of the battery model ⁇ mod and the calculated value for the capacity of the battery ⁇ cal , ⁇ mess, ⁇ the recorded value of the Battery current at time ⁇ and ⁇ mods, ⁇ is the simulated current of the battery model at time ⁇ .
  • the internal resistance is determined as a function of depth of discharge and/or current and/or temperature ⁇ (DOD, ⁇ , ⁇ ), whereby several values, e.g.
  • time-discrete values of the difference in the internal resistance ⁇ ⁇ n are calculated with the same assignment.
  • the time-discrete values of the difference in the internal resistance ⁇ ⁇ n can be averaged in so-called bins for the same temperatures (for example in specified steps of e.g. 1 K) or for the same depth of discharge (for example in specified steps of e.g. 1%) or for the same current strengths (for example in specified steps of e.g.
  • the open circuit voltage curve is determined as a function of the depth of discharge and/or the temperature, ⁇ 0 (DOD, ⁇ ) using several average values of the open circuit voltage curve ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ 0 ⁇ over the measurement period ⁇ are used for the determination, and the mean values of the open circuit voltage curve ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ 0 ⁇ be determined by averaging over different ranges of the depth of discharge (DOD) and/or the temperature ⁇ .
  • DOD depth of discharge
  • N measured values are taken in the period T for the current ⁇ mess, ⁇ and the tension ⁇ mess, ⁇ of the battery. Each measured value is assigned the temperature ⁇ and depth of discharge DOD of the battery at that time.
  • Time-discrete values of the difference of the open circuit voltage curve ⁇ ⁇ are calculated from the measured values. 0 n , calculated with the same assignment. That is, for example, a time-discrete value of the difference of the open circuit voltage curve ⁇ ⁇ 0 n the same assigned value for the temperature ⁇ and depth of discharge DOD of the battery as the measured values for the current ⁇ mess, ⁇ and the tension ⁇ mess, ⁇ .
  • the time-discrete values of the difference of the open circuit voltage curve ⁇ ⁇ 0 n can be averaged in so-called bins for the same temperatures (e.g. in 1°C steps) or depths of discharge (e.g. in 1% steps).
  • the technical object of the present invention is achieved by a device for determining the internal resistance and/or the open circuit voltage curve and/or the capacity of a rechargeable battery with a detection device for detecting measured values for the battery current ⁇ mess( ⁇ ) and the battery voltage ⁇ measure ( ⁇ ) and, for some embodiments of the invention, for the battery temperature ⁇ ( ⁇ ) of the rechargeable battery, preferably at equidistant time intervals ⁇ t or at predetermined times, and an evaluation and control device to which the recorded measured values can be fed.
  • the device is characterized in that the evaluation and control device for carrying out the described method for determining the internal resistance and/or the open circuit voltage curve and/or the capacity of a rechargeable battery.
  • the evaluation and control device can be integrated in particular into the battery management system (BMS) used in many battery systems today, which makes this information available to the user, for example by means of a display.
  • BMS battery management system
  • the technical object of the present invention is achieved by a computer program for determining the internal resistance and/or the open circuit voltage curve and/or the capacity of a rechargeable battery.
  • the computer program is designed in such a way that when the computer program is run in the evaluation and control device, the method for determining the internal resistance and/or the open circuit voltage curve and/or the capacity of a rechargeable battery is carried out.
  • Fig. 1 a schematic diagram of the method for determining internal resistance ⁇ , open circuit voltage curve ⁇ 0 and/or capacity C of a rechargeable battery
  • Fig.2 a schematic block diagram of a battery operated under load with a device according to the invention for carrying out the method
  • Fig.3a a simple equivalent circuit model of a battery
  • Fig.3b a more complex equivalent circuit model of a battery
  • Fig.4 an experimentally determined open circuit voltage curve ⁇ 0 (DOD) and its derivative d ⁇ 0 /dDOD
  • Fig.5b the measured current ⁇ measure ( ⁇ ), plotted against time for four consecutive full cycles, starting with a completely discharged battery
  • Fig.6 the open circuit voltage curve ⁇ 0 , the voltage of the real battery ⁇ measure
  • Fig.1 shows a schematic representation of the process.
  • the rechargeable battery 106, the first and second components of the overall algorithm 102, 104 and the overall algorithm 100 itself can be seen.
  • Recorded measured values of the voltage ⁇ measure (t) of the rechargeable battery 106 are transferred to the first part of the overall algorithm 102.
  • the first part of the overall algorithm 102 comprises the voltage-controlled battery model.
  • values for a simulated current ⁇ mod( ⁇ ) are calculated as the output of the battery model.
  • the values of the simulated current ⁇ mod( ⁇ ) and recorded measured values for the battery current ⁇ measure ( ⁇ ) of the rechargeable battery 106 are transferred to the second part of the overall algorithm 104.
  • calculated values for the internal resistance ⁇ cal and/or the open circuit voltage curve ⁇ are determined using a given calculation rule.
  • 0 cal and/or the capacity Ccal using the values for the simulated current ⁇ mod ( ⁇ ) and the recorded measured values for the current ⁇ mess( ⁇ ) are determined using a given calculation rule.
  • the determined values ⁇ cal, ⁇ 0 cal and Ccal are transferred as an update to the voltage-controlled model and replace the assumed values there ⁇ mod , ⁇ 0 mod and ⁇ mod .
  • the determined values ⁇ cal, ⁇ 0 cal and Ccal are output as the result of the overall algorithm 100.
  • this overall algorithm 100 can be easily integrated into an existing battery management system.
  • the battery management system (not shown) only needs to contain an evaluation and control unit 120 for carrying out the method.
  • the evaluation and control unit 120 comprises a unit 110 for measuring the battery voltage Umess, which is connected to the connections (poles) of the rechargeable battery 106.
  • the evaluation and control unit 120 comprises a unit 112 for measuring the battery current Imess, which can be designed in any way.
  • the unit 112 can comprise a shunt resistor that lies in the current path between the battery poles and any load RL, which is also designated with the reference number 114.
  • the unit 112 can be designed to measure the voltage across the shunt resistor and to calculate the current from the measured voltage drop and the resistance value of the shunt resistor.
  • the evaluation and control unit 120 can also comprise a device for detecting the temperature of the battery (not shown).
  • the evaluation and control unit 120 can also comprise a display unit 116 on which the determined values are displayed.
  • the evaluation and control unit 120 comprises a computing unit 118 for carrying out the calculations required for implementing the method, which can be designed as a microprocessor unit, for example.
  • the microprocessor unit can also have an analog/digital converter that converts the analog quantities U measure and I measure samples over time and converts it into digital values.
  • the battery model used in the process must be able to predict the time course of the current for a given voltage course. To do this, the model must have the following properties.
  • the model describes the dependence of the voltage on the state of charge (SOC) or a related value such as the depth of discharge (DOD), the remaining charge or the remaining energy.
  • a necessary model parameter for this is the capacity ⁇ of the battery.
  • Another necessary model parameter is the open circuit voltage curve ⁇ 0 (DOD).
  • the model describes the dependence of the voltage on the current, i.e. it has an internal resistance ⁇ mod Depending on the model complexity, the internal resistance results from a single model equation with a single parameter (e.g. Ohm’s law) or a combination of model equations and several parameters.
  • the internal resistance could be determined by a pulse test applied to the model according to equation (1).
  • the model is voltage-controlled. Accordingly, the measured voltage ⁇ measure the input size and the predicted current ⁇ mod the output size.
  • a simple equivalent circuit model that is sufficient for demonstrating the method is shown in Fig.3 a). It consists of a voltage source ⁇ 0 and a serial resistor ⁇ s . This model is described mathematically by a differential-algebraic system of equations: (3) (4)
  • the model has the three parameters serial resistance ⁇ s , battery capacity ⁇ and open circuit voltage curve ⁇ 0 (DOD).
  • SOC state of charge
  • the system of equations (3) and (4) allows the calculation of the output value ⁇ mod based on the input size ⁇ measure . This is a voltage-controlled model (voltage as input variable).
  • Other, more complex models are also suitable for use in the new method, e.g. extended equivalent circuit models as in Fig.3b).
  • the equivalent circuit in Fig.3b) is an example of a model in which the internal resistance ⁇ mod from several model elements, here from the Rs-(RC)1-(RC)2 chain.
  • the cells have a negative electrode made of graphite and a positive electrode made of a mixture of lithium nickel manganese cobalt oxide (NMC) and lithium manganese oxide (LMO). The cells were measured at an ambient temperature of 25 °C. Three different measurement protocols were carried out.
  • the open circuit voltage curve determined in this way ⁇ 0 (DOD) and its derivative d ⁇ 0 /dDOD are shown in Fig.4 and serve as a reference for the new method.
  • the open circuit voltage curve can be seen ⁇ 0 (DOD) in dotted line as voltage plotted against the depth of discharge DOD.
  • the curve shows an almost linear discharge of the battery until shortly before complete discharge.
  • the derivation of the open circuit voltage curve d ⁇ 0/dDOD is shown as a solid line and as a voltage over the Depth of discharge DOD is plotted.
  • the voltage for the discharge can be read off the axis on the right side of the diagram.
  • the curve shows an almost constant course until shortly before complete discharge.
  • the curve of the measured voltage ⁇ can be seen measure ( ⁇ ), plotted against time in Figure a), and the course of the measured current ⁇ mess( ⁇ ), plotted against time in Figure b).
  • the four full charge cycles are clearly visible.
  • the process began with a completely discharged battery. The process is also demonstrated using the partial cycles and the WLTP load profile as examples. Determination of the internal resistance
  • the real battery has a real internal resistance, which we refer to as R.
  • a value R is determined as a representative value using the process.
  • cal which is very close to the real internal resistance.
  • Fig.6 clearly shows that ⁇ ⁇ R and ⁇ DOD form a slope triangle.
  • the slope ⁇ ⁇ R / ⁇ DOD corresponds to the slope of the characteristic curve d ⁇ /dDOD and, because this is shifted parallel to the open circuit voltage, the slope of the open circuit voltage curve d ⁇ 0 /dDOD, which we will refer to as ⁇ below:
  • the negative sign is necessary because ⁇ ⁇ ⁇ 0 and ⁇ DOD ⁇ 0, but also ⁇ ⁇ 0.
  • ⁇ mod ⁇ m .
  • ⁇ mod ⁇ s + ⁇ 1 + ⁇ 2 .
  • the model parameters can then be adjusted (“updated”).
  • this is done analogously to equation (19) according to For more complex models, the determined value ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ be distributed in a suitable manner to the model parameters.
  • the slope triangle shown in Fig.6 changes from the difference quotient ⁇ ⁇ / ⁇ DOD to the differential quotient d ⁇ /dDOD.
  • the result equation (15) is therefore exactly valid, regardless of the dynamics and sign of the current.
  • the internal resistance is determined in practice in the following steps. First, a voltage-controlled battery model with known and/or predetermined parameter values for the capacity ⁇ mod and the provided. Arbitrary starting values are provided for the parameter(s) related to the internal resistance ⁇ of the model (e.g. ⁇ ⁇ for the simple equivalent circuit model in Fig.3a). The battery is charged over a period of time ⁇ with measurement of the current ⁇ measure and the tension ⁇ measure operated.
  • the results for experimental full cycles are shown in Fig.7.
  • the period ⁇ is chosen as a charge/discharge cycle (approx. 2.1 h).
  • Fig.7a) shows the measured voltage ⁇ measure as input for the voltage-controlled model.
  • Fig.7b) shows both the measured current ⁇ measure as well as the simulated current ⁇ mod from the voltage-controlled model.
  • ⁇ 1 between 0 and 2 h
  • Fig.7c shows the difference between simulated and experimental resistance ⁇ ⁇ determined according to equation (17) using the data shown in Fig.7b).
  • the value ⁇ ⁇ varies over time. In the first cycle (between 0 and 2 h) it takes on values of around 4 m ⁇ , with clear peaks particularly at the end of the charge and discharge.
  • ⁇ we choose the duration of the entire data set (2.1 h for the partial cycles, 3.2 h for the driving cycles).
  • equation (19) we obtain a new value for ⁇ cal .
  • the model has an assumed open circuit voltage curve, which we denote by ⁇ m 0 o d
  • ⁇ ⁇ 0 We denote the difference as ⁇ ⁇ 0 with All three parameters ⁇ ⁇ 0 , ⁇ m 0 o d and ⁇ c 0 a l depend on the depth of discharge DOD. Due to the difference, the voltage-controlled battery model will basically have a different current ⁇ mod than the real battery ⁇ measure . From the difference between ⁇ mod and ⁇ measure can therefore be set to ⁇ ⁇ 0 This relationship is derived below.
  • Fig.10 shows two open circuit voltage curves.
  • ⁇ e 0 xp (DOD) is shown as an example of a lithium-ion battery cell with a final charge voltage of 4.2 V and a final discharge voltage of 3.0 V.
  • DOD ex (marked as “operation point exp.” in Fig.10) this leads to the difference ⁇ ⁇ 0 ; in the example of Fig.10, ⁇ ⁇ 0 ⁇ 0.
  • the method presented here uses a voltage-controlled battery model. The model therefore has, by definition, the same voltage as the real battery at any given time. Battery.
  • the slope ⁇ ⁇ 0 / ⁇ DOD corresponds to the slope of the characteristic curve d ⁇ m 0 o d /dDOD, which we refer to as ⁇ :
  • This equation can be used to determine the desired value ⁇ ⁇ 0 be resolved: This equation is the central result of this analysis. It allows the calculation from ⁇ ⁇ 0 from discrete time series of ⁇ measure and ⁇ mod . For each time step a value of ⁇ ⁇ 0 obtained. Since ⁇ ⁇ 0 depends on DOD, averages must be calculated section by section (e.g. every 1-DOD percentage point). The open circuit voltage curve of the real battery to be determined is obtained in a final step according to Eq. (21) as follows: where ⁇ m 0 o d (DOD) is the parameter used in the model.
  • the open circuit voltage curve is determined in the following steps. First, a voltage-controlled battery model with known parameter values for the capacity ⁇ mod and for the one with the internal resistance ⁇ mod related parameters (e.g. ⁇ ⁇ for the simple equivalent circuit model in Fig.3a). An arbitrary starting value is used for the course of the open circuit voltage curve ⁇ m 0 o d ( ⁇ ⁇ ⁇ ) is assumed, preferably a linear curve between the charging and discharging voltage.
  • the battery is charged over a period of time ⁇ with measurement of current ⁇ measure and excitement ⁇ measure operated. Then the simulated current ⁇ mod over the period ⁇ using the voltage-controlled model. This is followed by the calculation of ⁇ ⁇ 0 according to equation (29).
  • the values ⁇ ⁇ ⁇ 0 are averaged section by section for DOD areas ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ 0 ⁇ (DOD) is averaged over the period ⁇ .
  • the approximate value for the real open circuit voltage curve is then calculated according to equation (30).
  • the procedure is repeated, whereby the parameter for the course of the open circuit voltage curve in the battery model is set to the determined value (“model update”).
  • Fig.11a shows the measured voltage ⁇ measure as input for the voltage-controlled model, plotted over time.
  • Fig.11b) shows both the measured current ⁇ measure as well as the simulated current ⁇ mod from the voltage-controlled model, plotted against time.
  • Fig.11c shows the difference between simulated and experimental open circuit voltage ⁇ ⁇ determined according to equation (29). 0 using the data shown in Fig. 11b).
  • the value ⁇ ⁇ 0 varies over time during the period ⁇ 1 (between 0 and 2 h): The values are symmetrical with respect to charge and discharge and show fluctuations down to -0.35 V. Over the first cycle duration ⁇ 1 these values are averaged section by section for each DOD percentage point. From this, the approximate value for the real open circuit voltage curve is calculated according to equation (30) ⁇ 0 (DOD).
  • Fig.11d shows the initially assumed linear curve as a thick solid line and the curve after ⁇ 1 determined curve as a thin solid line. This is already close to the reference curve, which is also shown as a dashed line in Fig.11d) is shown.
  • the open circuit voltage curve can be determined using the new method. This successfully demonstrates the method.
  • the model is updated with the determined curve before the second cycle in the period ⁇ 2 is continued.
  • ⁇ 2 , ⁇ 3 and ⁇ 4 The curves determined are also shown in Fig.11d). The method stabilizes close to the reference curve.
  • the model has an assumed capacity which we can calculate with ⁇ mod
  • ⁇ ⁇ the difference between the capacity assumed in the model usually does not correspond to the real capacity
  • the voltage-controlled battery model will generally have a different current ⁇ mod than the real battery ⁇ measure . From the difference between ⁇ mod and ⁇ measure can therefore be concluded that ⁇ ⁇ .
  • This relationship is derived below.
  • the battery is operated for a period of time ⁇ .
  • the amount of charge passed through ⁇ cal results from integration according to We choose the amount of current to be independent of the type of operation (charging, discharging or a combination of both) – only the absolute amount of charge passed through is relevant.
  • the voltage-controlled model is subjected to the experimentally measured voltage over the same period of time.
  • the amount of charge passed through by the model ⁇ mod is obtained analogously by integration according to
  • the quotient of ⁇ mod and ⁇ cal corresponds to the quotient of ⁇ mod and ⁇ cal , i.e.
  • the combination of equations (32) to (35) gives This equation describes the relationship between the desired quantity ⁇ ⁇ , the measured quantity ⁇ measure and the output of the voltage-controlled model ⁇ mod .
  • the integrals in equation (36) must be calculated.
  • the measured quantity ⁇ measure at certain discrete points in time ⁇ ⁇ This gives Eq. (32) as with ⁇ as the number of measurement points in the period ⁇ and ⁇ ⁇ as the time step size. This equation is the central result of this analysis.
  • a charge/discharge cycle is chosen as the period ⁇ (approx. 2.1 h), the algorithm is repeated after four periods ⁇ 1 until ⁇ 4 applied as an example of continuous use of the experimental time series.
  • Fig.12a) shows the experimentally measured voltage. This data serves as an input for the voltage-controlled model.
  • Fig.12b shows the measured current ⁇ measure and the current simulated with the model ⁇ mod .
  • ⁇ 1 between 0 and 2 h
  • Fig.12d shows the values for the capacity determined using the method, starting from the assumed initial capacity, here as a function of the updates carried out.
  • ⁇ 1 The capacity was determined for the first time after around 2 hours, and the value is already very close to the reference value.
  • ⁇ 2 the deviation between simulated and experimental current strength shown in Fig.12b) is further reduced, at the same time the quotient ⁇ ⁇ in Fig.12c) approaches one.
  • ⁇ ⁇ dead For each time step a value of ⁇ ⁇ dead Using equation (40) we can calculate ⁇ ⁇ 0 and ⁇ ⁇ are calculated. For this, ⁇ ⁇ dead sectionally over a matrix of DOD and ⁇ measure For each DOD section, a linear fit of ⁇ ⁇ is calculated according to Eq. (40). dead against ⁇ measure carried out. The y-axis intercept results in ⁇ ⁇ 0( DOD ) , from the slope ⁇ ⁇ (DOD). The latter value can be averaged over all DODs if required. The battery properties to be determined are then ⁇ cal and ⁇ c 0 a l determined analogously to equations (19) and (30). Finally, the model parameters can be updated analogously to equations (20) and (31).
  • the simultaneous determination of internal resistance and open circuit voltage curve is carried out in practice in the following steps.
  • a voltage-controlled Battery model with a known parameter value for the capacity ⁇ mod provided.
  • An arbitrary starting value is set for the one or more with the internal resistance ⁇ mod related parameters (e.g. ⁇ ⁇ for the simple equivalent circuit model in Fig.3a) and for the course of the assumed (it makes sense to assume a linear progression between the charging and discharging voltage).
  • the battery is charged over a period of time ⁇ with measurement of current ⁇ measure and excitement ⁇ measure operated.
  • the simulated current ⁇ mod over the period ⁇ using the voltage-controlled model. This is followed by the calculation of ⁇ ⁇ dead according to equation (42).
  • ⁇ dead are sectioned in a matrix of DOD and ⁇ measure - Sections to the mean ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ t ⁇ O ⁇ t (DOD, ⁇ ex ) are averaged over the period ⁇ . Then ⁇ ⁇ 0( DOD ) and ⁇ ⁇ (DOD) according to Eq. (40) by linear regression of ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ t ⁇ O ⁇ t (DOD, ⁇ measure ) against ⁇ measure for each DOD section. Subsequently, ⁇ ⁇ (DOD) is calculated over all DOD to ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ averaged.
  • the approximate value for the real internal resistance ⁇ cal according to equation (19) and the approximate value for the real open circuit voltage curve ⁇ c 0 a l (DOD) is calculated according to equation (30).
  • the procedure is repeated, whereby the one or more with the internal resistance ⁇ mod related parameters and the open circuit voltage curve ⁇ m 0 o d in the battery model are set to the determined values (“model update”).
  • model update This results in an iterative approximation to the real values of internal resistance and open circuit voltage curve.
  • the averaging of ⁇ ⁇ dead can also be carried out in sections for different measured temperatures.
  • the value ⁇ ⁇ (DOD) does not necessarily have to be averaged over all DOD.
  • Fig.15a shows the measured voltage ⁇ measure as input for the voltage-controlled model.
  • Fig.15b shows both the measured current ⁇ measure as well as the simulated current ⁇ mod from the voltage-controlled model.
  • ⁇ 1 between 0 and 2 h
  • Fig.15c shows the difference between simulated and experimental stress ⁇ ⁇ determined according to equation (2). dead using the data shown in Fig.15b). The value ⁇ ⁇ dead varies over time during the period ⁇ 1 (between 0 and 2 h).
  • Fig. 3a The simple equivalent circuit model of Fig. 3a is used.
  • the battery model receives the measured open circuit voltage curve ⁇ 0 (DOD) as shown in Fig. 4.
  • Fig.16 shows results for the full cycles.
  • a charge/discharge cycle is chosen as the time period ⁇ (approx. 2.1 hours). From Fig.16c) and Fig.16d) it is clear that the capacity and internal resistance converge towards the reference value after just three model updates (i.e. after three full cycles).
  • Fig.17 shows similar results for the partial cycles.
  • a partial charge/discharge cycle is chosen as the time period ⁇ (approx. 1 hour).
  • Fig.17c) and Fig.17d) it is clear that the capacity and internal resistance converge towards the reference value after around ten model updates (i.e. after ten partial cycles).
  • a voltage-controlled battery model with known parameter values for the internal resistance ⁇ mod related parameters (e.g. ⁇ ⁇ for the simple equivalent circuit model in Fig.3a).
  • Arbitrary starting values are provided for the capacity ⁇ mod and for the course of the assumed (it makes sense to assume a linear progression between the charging and discharging voltage).
  • the battery is charged over a period of time ⁇ with measurement of current ⁇ measure and excitement ⁇ measure operated.
  • the simulated current ⁇ mod over the period ⁇ using the voltage-controlled model. This is followed by the calculation of ⁇ ⁇ 0 according to equation (29).
  • the procedure described is demonstrated below using the experimental data already mentioned, namely a full cycle.
  • the simple equivalent circuit model from Fig.3a) is used.
  • the open circuit voltage curve ⁇ 0 (DOD) is also set to an arbitrary starting value, namely a linear curve between the two final voltages.
  • the time period ⁇ is set to a charge/discharge cycle (approx. 2.1 h).
  • the method is applied a total of nine times to this period and a model update is carried out each time.
  • the results are shown in Fig.18.
  • a voltage-controlled battery model is provided. Any starting values for the capacity ⁇ are used.
  • mod the one with the internal resistance ⁇ mod related parameters (e.g. ⁇ ⁇ for the simple equivalent circuit model in Fig.3a) and for the course of the assumed (it makes sense to assume a linear progression between the charging and discharging voltage).
  • the battery is charged over a period of time ⁇ with measurement of current ⁇ measure and excitement ⁇ measure operated.
  • the simulated current ⁇ mod over the period ⁇ using the voltage-controlled model. This is followed by the calculation of ⁇ ⁇ dead according to equation (42).
  • the values for ⁇ ⁇ dead are in a matrix of DOD and ⁇ measure -Intervals to the mean ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ t ⁇ O ⁇ t (DOD, ⁇ measure ) averaged over the period ⁇ .
  • ⁇ ⁇ 0( DOD ) and ⁇ ⁇ (DOD) are calculated according to Eq. (40) by linear regression of ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ t ⁇ O ⁇ t (DOD, ⁇ measure ) against ⁇ measure for each DOD section.
  • the values ⁇ ⁇ (DOD) are calculated over all DOD to ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ averaged.
  • ⁇ ⁇ is calculated according to Eq. (37).
  • the open circuit voltage curve ⁇ 0 (DOD) is also set to an arbitrary starting value, namely a linear curve between the two final voltages.
  • a charge/discharge cycle is selected as the period ⁇ (approx. 2.1 h).
  • the procedure is applied to this period a total of 19 times and a model update is carried out each time.
  • the results are shown in Fig.19. Fig.19a) and Fig.19b) show the voltage and current of the battery over the period ⁇ .

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Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren sowie eine Vorrichtung und ein Computerprogramm zur Ausführung des Verfahrens zur Bestimmung der Kapazität, des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve einer aufladbaren Batterie. Das Verfahren beruht auf der Messung von Batteriespannung (V mess) und Batteriestrom (I mess) über einen Zeitraum. Die gemessene Spannung wird auf ein spannungsgeführtes Batteriemodell aufgeprägt, das eine Stromstärke (I mod) berechnet. Das Batteriemodell wird mit beliebig angenommenen Werten für die zu bestimmenden Parameter (Kapazität und/oder Innenwiderstand und/oder Leerlaufspannungskurve) versehen. Da diese i.d.R. nicht den Werten der realen Batterie entsprechen, ergibt sich ein Unterschied zwischen simulierter Stromstärke (I mod) und gemessener Stromstärke (I mess). Aus diesem Unterschied wird mittels geeigneter Rechenvorschriften die Abweichung zwischen angenommenen und realen Werten für Kapazität, Innenwiderstand und/oder Leerlaufspannungskurve ermittelt. Daraus und aus den angenommenen Werten folgen die realen Werte für Kapazität, Innenwiderstand und/oder Leerlaufspannungskennlinie, welche gespeichert oder einem Nutzer angezeigt werden können. Sind ein oder mehrere der Parameter bereits von Beginn an bekannt, werden die bekannten Werte im Modell verwendet, und nur die unbekannten ermittelt. Die ermittelten Werte können auch verwendet werden, um das Modell zu aktualisieren. Weitere Messdaten, oder eine Wiederholung mit den gleichen Messdaten, erlauben dann eine Erhöhung der Messgenauigkeit. Auch ist eine kontinuierliche Messung von Kapazität, Innenwiderstand und/oder Leerlaufspannungskurve über lange Zeiträume möglich und damit eine Bewertung der Alterung der Batterie.

Description

Verfahren und Vorrichtung zur Bestimmung von Kapazität, Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve einer Batterie Die Erfindung betrifft ein Verfahren zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie, wobei das Verfahren verschiedene Schritte umfasst. Des Weiteren betrifft die vorliegende Erfindung eine Vorrichtung zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie mit einer Erfassungsvorrichtung zum Erfassen von Messwerten für den Batteriestrom ^^exp( ^^) und die Batteriespannung ^^exp( ^^) der aufladbaren Batterie, vorzugsweise in äquidistanten zeitlichen Abständen Δt oder zu vorgegebenen Zeitpunkten, und einer Auswerte- und Steuervorrichtung, welcher die erfassten Messwerte zuführbar sind, wobei die Auswerte- und Steuervorrichtung zur Durchführung des Verfahrens zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie ausgebildet ist. Unter einer Auswerte- und Steuervorrichtung wird dabei jede geeignete Vorrichtung verstanden, die diese Funktionalität bereitstellt, unabhängig davon, ob im Einzelfall eine Steuerung im engeren Sinn (d.h. eine Steuerung einer Ausgangsgröße ohne Rückkopplung) oder eine Regelung (d.h. eine Steuerung einer Ausgangsgröße unter Verwendung einer Rückkopplung) bewirkt wird. Des Weiteren betrifft die vorliegende Erfindung ein Computerprogramm zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie für eine Vorrichtung, wobei das Computerprogramm derart ausgestaltet ist, dass bei einem Ablauf des Computerprogramms in der Auswerte- und Steuereinheit einer Vorrichtung zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie das Verfahren zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie durchgeführt wird. Der Innenwiderstand ist eine der wichtigen charakteristischen Eigenschaften einer Batterie. Er verursacht einen Abfall der Batterie-Klemmenspannung, wenn die Batterie mit Strom belastet wird. Es gibt verschiedene Methoden, um den Innenwiderstand zu messen, z.B. Pulstests oder elektrische Impedanzspektroskopie. Bei einem Pulstest werden Strom ^^1 und Spannung ^^1 gemessen, dann Strom oder Spannung schnell (< 1 ms) geändert, und Strom ^^2 und Spannung ^^2 einige Sekunden nach der Änderung erneut gemessen. Der Innenwiderstand ^^ (üblicherweise in Ω angegeben) ergibt sich daraus zu
Figure imgf000004_0001
(1) Der Innenwiderstand ist verantwortlich für Spannungsabfälle und Wärmeentwicklung im Batteriebetrieb; er nimmt typischerweise im Laufe der Zeit zu (Alterung der Batterie). Somit nimmt die Leistungsfähigkeit der Batterie ab. Die Kenntnis des Innenwiderstands im Laufe der Betriebsdauer der Batterie ist daher von hoher Wichtigkeit, um Alterungszustand und Leistungsvermögen zu quantifizieren. Die Leerlaufspannungskurve ist eine weitere charakteristische Eigenschaft einer Batterie. Sie beschreibt den Verlauf der Leerlaufspannung ^^0( ^^ ^^ ^^) (auch: Ruhespannung, englisch: open-circuit voltage, OCV) als Funktion der Entladetiefe (englisch: depth of discharge, DOD). Es gibt verschiedene Methoden, um die Leerlaufspannungskurve zu messen. Bei einer „Quasi-OCV“-Messung wird die Batterie mit sehr niedrigen Stromstärken vollständig geladen und entladen; die Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD) ergibt sich als Mittelwert der gemessenen Spannungsverläufe von Ladung und Entladung. Die Leerlaufspannungskurve erlaubt Aussagen über die Batteriechemie, d.h. welche Elektrodenmaterialien in der Batterie zum Einsatz kommen, und über Alterungszustand und Alterungsmechanismen. Die Kenntnis der Leerlaufspannungskurve ist daher von hoher Wichtigkeit bei der Charakterisierung unbekannter Batterien (z.B. gebrauchter Batterien für Second-Life- Anwendungen) oder bei der Bewertung des Alterungszustands. Die Kapazität ^^ einer aufladbaren Batterie gibt die Ladungsmenge (typischerweise in Amperestunden, Ah) an, die von einer vollgeladenen Batterie entnommen werden können. Sie ist eine weitere zentrale Kenngröße einer Batterie. Die Messung der Kapazität erfolgt typischerweise im Laborversuch, indem eine volle Batterie mit konstanter Stromstärke ^^ vollständig entladen und die Kapazität nach ^^ = ^^ ∙ ^^Entladung (2) bestimmt wird. In der DE 102019127828 A1 wurde ein Verfahren zur Bestimmung der relativen Kapazität ^^ einer gealterten Zelle bezogen auf die Kapazität ^^ ^^ einer frischen Zelle („Nennkapazität“) entwickelt, dort bezeichnet als „state of health“ (SOH). Jenes Verfahren wird hier weiterentwickelt zur Bestimmung der Kapazität einer unbekannten Batterie. Die oben genannten Messmethoden (Pulstest, Quasi-OCV-Messung, Konstantstromentladung) erfordern eine Messung in Laborumgebung mit präzisen Messgeräten. Dies ist bei Batterien in praktischer Anwendung in der Regel nicht möglich, da sie fester Bestandteil eines Gerätes sind (z.B. Smartphone, Elektroauto, Heimspeicher) und nicht oder nur mit großem Aufwand ausgebaut und in ein Labor überführt werden können. Ausgehend von diesem Stand der Technik liegt der Erfindung die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung der Kapazität und/oder des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve einer aufladbaren Batterie während des normalen Einsatzes der Batterie zu schaffen, welches eine verbesserte Genauigkeit aufweist und zudem einfach in einem Batteriemanagementsystem zu implementieren ist. Weiterhin liegt der Erfindung die Aufgabe zugrunde, eine Vorrichtung zu schaffen, welche die Durchführung des vorgenannten Verfahrens ermöglicht. Schließlich liegt der Erfindung die Aufgabe zugrunde, ein Computerprogramm zu schaffen, welches die Durchführung des vorgenannten Verfahrens ermöglicht. Die technische Aufgabe wird von der vorliegenden Erfindung durch ein Verfahren zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie mit folgenden Schritten gelöst. Ein dynamisches, spannungsgeführtes, mathematisches Batteriemodell wird erstellt, wobei für den Innenwiderstand ^^ und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0 und/oder die Kapazität C vorgegebene Anfangswerte ^^0 mod, ^^mod, ^^mod verwendet werden. Die Anfangswerte können beliebig gewählt werden. Alternativ können bekannte Werte verwendet werden, falls einer oder mehrere dieser Parameterwerte bekannt sind und nicht bestimmt werden sollen. Das Modell beschreibt die Abhängigkeit der Stromstärke von der Spannung, d.h. es weist einen Innenwiderstand ^^mod auf. Je nach Modellkomplexität ergibt sich der Innenwiderstand aus einer einzelnen Modellgleichung mit einem einzelnen Parameter (z.B. Ohm’sches Gesetz) oder einer Kombination von Modellgleichungen und mehreren Parametern. Das Modell ist spannungsgeführt. Dementsprechend ist die gemessene Spannung ^^mess die Eingangsgröße und die vorhergesagte Stromstärke ^^mod die Ausgangsgröße. Nach einer Ausgestaltung der Erfindung kann das dynamische mathematische Batteriemodell aus einem Gleichungssystem bestehen oder hieraus entwickelt sein, welches folgende Gleichungen umfasst, aber nicht auf diese beschränkt ist: dDOD d ^^ = 1 ^^ ∙ ( ^^0(DOD) − ^^mess) s ^^
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wobei das Modell die drei Parameter serieller Widerstand ^^s, Kapazität der Batterie ^^ und Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD) umfasst. Die Entladetiefe DOD nimmt Werte zwischen 0 und 1 an, wobei DOD = 0 eine vollständig geladene Batterie und DOD = 1 eine vollständig entladene Batterie ist. Dieses Gleichungssystem erlaubt die Berechnung der Ausgangsgröße ^^mod auf Grundlage der Eingangsgröße ^^mess. Es handelt sich damit um ein spannungsgeführtes Modell (Spannung als Eingangsgröße). Alternativ können komplexere Modelle für den Einsatz in dem neuen Verfahren verwendet werden, z.B. erweiterte Ersatzschaltkreismodelle. Alternativ können die Modellgleichungen und Modellparameter auch als Funktion des Ladezustands (englisch: state of charge, SOC) angegeben werden, wobei SOC = 1 – DOD, SOC = 1 eine vollständig geladene Batterie und SOC = 0 eine vollständig entladene Batterie ist, oder als Funktion einer anderen damit zusammenhängenden Batterieeigenschaft. Messwerte für den Batteriestrom ^^mess( ^^) und die Batteriespannung ^^mess( ^^) der aufladbaren Batterie werden als Funktion der Zeit über einen vorgegebenen Zeitraum ^^ erfasst. Für manche Ausführungsformen der Erfindung werden zusätzlich Messwerte der Batterietemperatur ϑ(t) als Funktion der Zeit über den Zeitraum T erfasst. Die Art der Ladung und Entladung (konstante oder variierende Stromstärke, Unterbrechungen, zwischenzeitliche Wechsel der Stromrichtung) im Zeitraum T ist für das Verfahren grundsätzlich irrelevant. Damit ist das Verfahren der vorliegenden Erfindung auch für Messwerte aus einem praktischen Batteriebetrieb anwendbar. Vorzugsweise umfasst der Zeitraum ^^ mindestens einen Vollzyklus der Batterie, d.h. eine vollständige Ladung von annähernd 0 % Ladezustand bis annähernd 100 % Ladezustand und eine vollständige Entladung von annähernd 100 % bis annähernd 0 % Ladezustand. Alternativ kann der Zeitraum T auch nur einen Vollladezyklus umfassen, d.h. eine vollständige Ladung von annähernd 0 % Ladezustand bis annähernd 100 % Ladezustand. Des Weiteren kann der Zeitraum ^^ auch nur Teilzyklen umfassen, unter der Bedingung, dass die Stromstärke nicht im gesamten Zeitraum gleich null ist (keine ruhende Batterie). Der Zeitraum ^^ kann auch längere oder kürzere Zeiträume umfassen, wobei grundsätzlich gilt, dass je länger ^^, desto genauer die ermittelten Werte. Der vorgegebene Zeitraum ^^ kann auch erst während der Messung bestimmt werden, beispielsweise indem der kumulierte Ladungsdurchsatz mitgezählt und das Erreichen eines vorgegebenen Ladungsdurchsatzes als Erreichen eines vorgegebenen Zeitraums ^^ gewertet wird. Der vorgegebene Ladungsdurchsatz kann z.B. dem äquivalenten Ladungsdurchsatz eines Vollzyklus entsprechen, in diesem Fall entspricht der Zeitraum T einem so genannten Äquivalenten Vollzyklus. Bei einem Äquivalenten Vollzyklus ist es irrelevant, zwischen welchen Ladezuständen oder mit welcher Zyklentiefe die Batterie betrieben wird, maßgeblich ist nur der kumulierte Ladungsdurchsatz. Messwerte für die Batteriespannung ^^mess( ^^) werden als Eingangsgröße für das dynamische, spannungsgeführte, mathematische Batteriemodell verwendet und Werte für eine simulierte Stromstärke ^^mod( ^^) werden als Ausgangsgröße des Batteriemodells berechnet. Typischerweise nehmen sowohl die Eingangswerte, welche die Messwerte für die Batteriespannung sind, als auch die Ausgangswerte des Batteriemodells, welche die simulierten Werte für die Stromstärke sind, die Form einer Menge von zeitdiskreten Mess- bzw. Ausgangswerten an. D.h., die Eingangswerte sind eine zeitdiskrete Messreihe der Batteriespannung und die Ausgangswerte eine zeitdiskrete Reihe von Werten der simulierten Stromstärke. Unter Verwendung der Werte für die simulierte Stromstärke ^^mod( ^^) und der erfassten Messwerte für die Stromstärke ^^mess( ^^) werden mit jeweils einer vorgegebenen Rechenvorschrift Werte für den Innenwiderstand ^^cal und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0cal und/oder die Kapazität Ccal bestimmt. Für jede der bestimmten Größen wird eine eigene Rechenvorschrift verwendet. Die Werte für die simulierte Stromstärke ^^mod( ^^) und der erfassten Messwerte für die Stromstärke ^^mess( ^^) werden dabei so verwendet, dass eine Abweichung der jeweils zugehörigen Werte voneinander in der Rechenvorschrift verwendet wird. Die Abweichung kann dabei vorzugsweise eine Differenz der Werte für die simulierte Stromstärke ^^mod( ^^) und der erfassten Messwerte für die Stromstärke ^^mess( ^^) oder ein Quotient derer sein. Die Rechenvorschriften benötigen nur die simulierte Stromstärke ^^mod( ^^) und die erfassten Messwerte für die Stromstärke ^^mess( ^^) für eine genaue Bestimmung der Werte für den Innenwiderstand ^^cal und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0 cal und/oder die Kapazität Ccal. Das Verfahren der vorliegenden Erfindung ist somit nicht nur unter Laborbedingungen durchführbar, sondern während jeglichem alltäglichen Gebrauch der Batterie. Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann das Verfahren mindestens zwei Iterationsschritte umfassen, wobei jeder Iterationsschritt die Durchführung des kompletten Verfahrens nach der ersten Ausführungsform umfasst. D.h. Erstellen eines dynamischen, spannungsgeführten, mathematischen Batteriemodells, wobei für den Innenwiderstand ^^ und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0 und/oder die Kapazität C vorgegebene Anfangswerte ^^0 mod, ^^mod, ^^mod verwendet werden, Erfassen von Messwerten für den Batteriestrom ^^mess( ^^) und die Batteriespannung ^^mess( ^^) der aufladbaren Batterie über einen vorgegebenen Zeitraum ^^, Verwenden der Messwerte für die Batteriespannung ^^mess( ^^) als Eingangsgröße für das dynamische, spannungsgeführte, mathematische Batteriemodell, Berechnen von Werten für eine simulierte Stromstärke ^^mod( ^^) als Ausgangsgröße des Batteriemodells und Bestimmen von berechneten Werten für den Innenwiderstand ^^cal und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0 cal und/oder die Kapazität Ccal jeweils unter Verwendung der Werte für die simulierte Stromstärke ^^mod( ^^) und der erfassten Messwerte für die Stromstärke ^^mess( ^^) mit jeweils einer vorgegebenen Rechenvorschrift. Vorzugsweise werden in jedem Iterationsschritt außer dem ersten, d.h. bei jeder kompletten Durchführung aller Schritte des Verfahrens, beim Erstellen eines dynamischen, spannungsgeführten, mathematischen Batteriemodells für die vorgegebenen Anfangswerte ^^mod, ^^0 mod und Cmod für den Innenwiderstand ^^und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0 und/oder die Kapazität C die im vorherigen Iterationsschritt bestimmten berechneten Werte für den Innenwiderstand ^^cal und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0 cal und/oder die Kapazität ^^cal verwendet. Eine solche Anpassung der Anfangsbedingungen für den nachfolgenden Iterationsschritt wird auch „Modell-Update“ genannt. Ein Messzeitraum T ist einem Iterationsschritt zugehörig. Alternativ können auch bereits bekannte Werte als Anfangswerte verwendet werden, oder nur einzelne Werte aktualisiert werden. Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann das Verfahren mindestens zwei Iterationsschritte umfassen, wobei jeder Iterationsschritt die Durchführung der Schritte (a), (c) und (d) des Verfahrens nach Anspruch 1 umfasst. In jedem, außer dem ersten Iterationsschritt, werden an der Stelle der in Schritt (a) vorgegebenen Anfangswerte ^^mod, ^^0 mod und Cmod für den Innenwiderstand ^^ und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0 und/oder die Kapazität C die in Schritt (d) des vorherigen Iterationsschritts bestimmten berechneten Werte für den Innenwiderstand ^^cal und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0 cal und/oder die Kapazität ^^cal verwendet. In dieser Ausführungsform wird ein Datensatz aus Messwerten wiederholt ausgewertet, ohne neu zu messen. So können auch verfügbare, in der Vergangenheit gemessene Datensätze ausgewertet werden ohne eine physisch anwesende Batterie. Die Iterationen werden wiederholt bis zur Konvergenz der ermittelten Werte. Eine Konvergenz ist z.B. erreicht, wenn sich die ermittelten Werte aus einem Iterationsschritt um weniger als einen vorgegebenen Prozentsatz, z.B.1 %, von den ermittelten Werten aus dem vorhergehenden Iterationsschritt unterscheiden. Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung werden die Verfahren so kombiniert, dass Messwerte über einen Zeitraum T1 erfasst werden, im Anschluss bis zur Konvergenz der gesuchten Werte mit mehreren, aber mindestens zwei, Iterationsschritten ausgewertet werden, und dies mit einem weiteren Zeitraum T2 wiederholt wird. Der zweite Zeitraum kann direkt an den ersten anschließen. Der zweite Zeitraum kann auch einen zeitlichen Abstand haben, z.B. einen Tag. In diesem Fall würde eine Batterie täglich einmal ausgemessen und der Datensatz mehrere Male iterativ ausgewertet werden. Dies würde den Alterungszustand der Batterie überwachen. Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann das Verfahren so ausgeführt werden, dass unter Verwendung einer Abweichung zwischen den Werten für die simulierte Stromstärke ^^mod( ^^) und den Messwerten für den Batteriestrom ^^mess( ^^) jeweils Abweichungen Δ ^^, Δ ^^0, ΔC zwischen den jeweils vorgegebenen Anfangswerten ^^mod, ^^0 mod, Cmod und den jeweils berechneten Werten ^^cal, ^^0 cal, Ccal bestimmt werden. Aus den so bestimmten Abweichungen Δ ^^, Δ ^^0, ΔC und den vorgegebenen Anfangswerten ^^mod, ^^0mod, Cmod für Innenwiderstand ^^ und/oder Leerlaufspannungskurve ^^0 und/oder Kapazität C werden die berechneten Werte für Innenwiderstand ^^cal und/oder Leerlaufspannungskurve ^^0cal und/oder Kapazität Ccal bestimmt. Die Abweichungen Δ ^^, Δ ^^0, ΔC zwischen den jeweils vorgegebenen Anfangswerten ^^mod, ^^0mod, Cmod und den jeweils berechneten Werten ^^cal, ^^0 cal, Ccal sowie die Abweichung zwischen den Werten für die simulierte Stromstärke ^^mod( ^^) und den Messwerten für den Batteriestrom ^^mess( ^^) können insbesondere Differenzen sein. Auch Quotienten oder andere Berechnungsarten der Abweichungen sind möglich. Die Verwendung der Abweichung zwischen den Werten für die simulierte Stromstärke ^^mod( ^^) und den Messwerten für den Batteriestrom ^^mess( ^^) zur Bestimmung der Abweichungen Δ ^^, Δ ^^0, ΔC zwischen den jeweils vorgegebenen Anfangswerten ^^mod, ^^0mod, Cmod und den jeweils berechneten Werten ^^cal, ^^0cal, Ccal ermöglicht die Bestimmung der berechneten Werte ^^cal, ^^0 cal, Ccal bei vollkommen beliebig gewählten Anfangswerten ^^mod, ^^0 mod, Cmod. Das ermöglicht eine sehr einfache Anwendung des Verfahrens auch vollkommen ohne jegliches Vorwissen über die Werte der Batterie. Sollten einige Werte wie bspw. Kapazität, Leerlaufspannungskurve oder Innenwiderstand der Batterie bekannt sein, können diese als Anfangswerte ^^mod, ^^0mod, Cmod eingesetzt werden und beschleunigen so die Bestimmung der restlichen Werte. Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann für die Bestimmung des Innenwiderstands ^^ die folgende Rechenvorschrift verwendet werden:
Figure imgf000011_0001
, wobei Δ ^^ die Differenz zwischen dem Innenwiderstand des Batteriemodells ^^mod und dem berechneten Wert für den Innenwiderstand ^^cal, ^^ = d ^^0/dDOD die Steigung der Leerlaufspannungskurve, ^^mod die Stromstärke des Batteriemodells und ^^mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet. Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann für die Bestimmung der Leerlaufspannungskurve ^^0 die folgende Rechenvorschrift verwendet werden:
Figure imgf000011_0002
, wobei Δ ^^0 die Differenz zwischen der Leerlaufspannungskurve des Batteriemodells ^^m 0 od und dem berechneten Wert für die Leerlaufspannungskurve ^^c 0 al , ^^ die Steigung der Leerlaufspannungskurve, ^^mod die Stromstärke des Batteriemodells und ^^mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet. Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann für die Bestimmung der Kapazität C die folgende Rechenvorschrift verwendet werden: ^^ ^^ ,
Figure imgf000011_0003
wobei Δ ^^ den Quotienten aus der Kapazität des Batteriemodells ^^mod und dem berechneten Wert für die Kapazität der Batterie ^^cal, ^^mod die Stromstärke des Batteriemodells und ^^mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet. Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann für die gleichzeitige Bestimmung des Innenwiderstands ^^ und der Leerlaufspannungskurve ^^0 die folgende Rechenvorschrift verwendet werden: mit Δ ^^tot = Δ ^^0 − Δ ^^ ∙ ^^mess , wobei Δ ^^tot den Gesamtspannungsunterschied, Δ ^^0 die Differenz zwischen der Leerlaufspannungskurve des Batteriemodells ^^m 0 od und dem berechneten Wert für die Leerlaufspannungskurve ^^c 0 al , Δ ^^ die Differenz zwischen dem Innenwiderstand des Batteriemodells ^^mod und dem berechneten Wert für den Innenwiderstand ^^cal, ^^ die Steigung der Leerlaufspannungskurve, ^^mod die Stromstärke des Batteriemodells und ^^mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet. Der Spannungsunterschied aufgrund des Innenwiderstands Δ ^^ und der Spannungsunterschied aufgrund der Leerlaufspannungskurve Δ ^^0 kombinieren sich zu einem Gesamtunterschied Δ ^^tot (der Index „tot“ für total). Bei dieser Bestimmungsart laufen die Bestimmungen des Innenwiderstandes und der Leerlaufspannungskurve gleichzeitig, sodass nur wenige Zyklen notwendig sind, um beide Parameter sehr genau zu bestimmen. Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann für die Berechnung der zeitdiskreten Werte der Differenz des Innenwiderstands Δ ^^n und/oder der zeitdiskreten Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve Δ ^^ ^^ 0 und/oder für die diskreten Werte des Gesamtunterschieds ^^ ^^ ^^ ^^ ^^, ^^ ein numerisches Lösungsverfahren verwendet werden. Hier steht n als Index für die zeitdiskreten Werte der Messgrößen ^^mess( ^^) und Vmess( ^^) zu bestimmten diskreten Zeitpunkten ^^ ^^. Vorzugsweise wird ein implizites Eulerverfahren zur Lösung der Gleichungen verwendet. Das Verfahren ist jedoch nicht auf eine Lösung durch das implizite Eulerverfahren beschränkt, sondern kann auch durch andere numerische Lösungsverfahren gelöst werden. Die Berechnung der diskreten Werte der Differenz des Innenwiderstands Δ ^^n erfolgt in dieser Ausführungsform nach:
Figure imgf000012_0001
^, wobei ^^ ^^ den Wert der Steigung der Leerlaufspannungskurve zum Zeitpunkt ^^, ^^ ^^−1 den Wert der Steigung der Leerlaufspannungskurve zum Zeitpunkt ^^ − 1, ^^mess, ^^ den erfassten Wert der Stromstärke der Batterie zum Zeitpunkt ^^, ^^mess, ^^−1 den erfassten Wert der Stromstärke der Batterie zum Zeitpunkt ^^ − 1, ^^mod, ^^ die Stromstärke des Batteriemodells zum Zeitpunkt ^^, Δ ^^ den zeitlichen Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Messungen und Δ ^^ ^^−1 den diskreten Wert der Differenz des Innenwiderstands zum Zeitpunkt ^^ − 1 bezeichnet. Die Berechnung der diskreten Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve (Δ ^^ ^^ 0) erfolgt in dieser Ausführungsform nach: ^^
Figure imgf000013_0001
, wobei Δ ^^ ^^ 0 den diskreten Wert der Differenz der Leerlaufspannungskurve zum Zeitpunkt n
Figure imgf000013_0002
^ 0 ^−1 den diskreten Wert der Differenz der Leerlaufspannungskurve zum Zeitpunkt n-1 bezeichnet. Die Berechnung der diskreten Werte des Gesamtunterschieds ( ^^ ^^ ^^ ^^ ^^, ^^) erfolgt in dieser Ausführungsform nach: ^^
Figure imgf000013_0003
, wobei ^^ ^^ ^^ ^^ ^^, ^^ den diskreten Wert der Differenz des Gesamtunterschieds zum Zeitpunkt ^^ und Δ ^^ ^^ ^^ ^^, ^^−1 den diskreten Wert der Differenz des Gesamtunterschieds zum Zeitpunkt ^^ − 1 bezeichnet. Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung kann für die Berechnung der Kapazität mit zeitdiskret erfassten Werten der Stromstärke der Batterie die folgende Rechenvorschrift verwendet werden: ^^ ,
Figure imgf000013_0004
Δ ^^ wobei ^^ die Anzahl der Zeitschritte, Δ ^^ die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Messungen, Δ ^^ den Quotienten aus der Kapazität des Batteriemodells ^^mod und dem berechneten Wert für die Kapazität der Batterie ^^cal, ^^mess, ^^ den erfassten Wert der Stromstärke der Batterie zum Zeitpunkt ^^ und ^^mod, ^^ die simulierte Stromstärke des Batteriemodells zum Zeitpunkt ^^ bezeichnet. Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung werden mindestens zwei zeitdiskrete Werte der Differenz des Innenwiderstands Δ ^^ ^^ zu einem Mittelwert der Differenz des Innenwiderstandsത Δതത ^ത^ und/oder mindestens zwei zeitdiskrete Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve Δ ^^ ^^ 0 zu einem Mittelwert der Differenz der Leerlaufspannungskurveത Δത ^ത^ത0ത über einen Messzeitraum ^^ gemittelt, wobei im Messzeitraum ^^ n diskrete Messungen von Stromstärke ^^mess und Spannung ^^mess durchgeführt werden. Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung wird der Innenwiderstand als Funktion von Entladetiefe und/oder Stromstärke und/oder Temperatur ^^(DOD, ^^, ^^) ermittelt, wobei mehrere Werte, bspw. Mittelwerte, der Differenz des Innenwiderstandsത Δതത ^ത^ über den Messzeitraum ^^ für die Bestimmung verwendet werden, und wobei die Mittelwerte der Differenz des Innenwiderstandsത Δതത ^ത^ bestimmt werden, indem abschnittsweise über verschiedene Bereiche der Entladetiefe DOD und/oder Stromstärke ^^mess und/oder Temperatur ^^ gemittelt wird. Damit kann ein ladezustands-, stromstärke- und/oder temperaturabhängiger Innenwiderstand ^^(DOD, ^^, ^^) bestimmt werden. Hierfür werden N Messwerte im Zeitraum T für die Stromstärke ^^mess, ^^ und die Spannung ^^mess, ^^ der Batterie gemessen. Jedem Messwert wird die dem Zeitpunkt zugehörige Temperatur ^^ und Entladetiefe DOD der Batterie zugeordnet. Aus den Messwerten werden zeitdiskrete Werte der Differenz des Innenwiderstands Δ ^^n mit derselben Zuordnung berechnet. Das heißt, bspw. hat ein zeitdiskreter Wert der Differenz des Innenwiderstands Δ ^^n denselben zugeordneten Wert für die Temperatur ^^ und Entladetiefe DOD der Batterie wie die Messwerte für die Stromstärke ^^mess, ^^ und die Spannung ^^mess, ^^. Die zeitdiskreten Werte der Differenz des Innenwiderstands Δ ^^n können für gleiche Temperaturen (beispielsweise in vorgegebenen Schritten von z.B. 1 K) bzw. für gleiche Entladetiefen (beispielsweise in vorgegebenen Schritten von z.B. 1 %) bzw. für gleiche Stromstärken (beispielsweise in vorgegebenen Schritten von z.B. 1 % einer vorgegebenen nominellen Stromstärke, wie sie z.B. in einem Datenblatt angegeben ist) in sogenannten Bins gemittelt werden. Mit diesen gemittelten Werten wird ein ladezustands-, stromstärke- und/oder temperaturabhängiger Innenwiderstand ^^(DOD, ^^, ^^) bestimmt. Dies hilft bei einer möglichen Ursachensuche nach Fehlern oder Alterungszuständen der Batterie. Nach einer weiteren Ausführungsform der Erfindung wird die Leerlaufspannungskurve als Funktion der Entladetiefe und/oder der Temperatur, ^^0(DOD, ^^) ermittelt, wobei mehrere Mittelwerte der Leerlaufspannungskurveത Δത ^ത^ത0ത über den Messzeitraum ^^ für die Bestimmung verwendet werden, und wobei die Mittelwerte der Leerlaufspannungskurveത Δത ^ത^ത0ത bestimmt werden, indem abschnittsweise über verschiedene Bereiche der Entladetiefe (DOD) und/oder der Temperatur ^^ gemittelt wird. Hierfür werden N Messwerte im Zeitraum T für die Stromstärke ^^mess, ^^ und die Spannung ^^mess, ^^ der Batterie gemessen. Jedem Messwert wird die dem Zeitpunkt zugehörige Temperatur ^^ und Entladetiefe DOD der Batterie zugeordnet. Aus den Messwerten werden zeitdiskrete Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve Δ ^^0 n, mit derselben Zuordnung berechnet. Das heißt, bspw. hat ein zeitdiskreter Wert der Differenz der Leerlaufspannungskurve Δ ^^0 n denselben zugeordneten Wert für die Temperatur ^^ und Entladetiefe DOD der Batterie wie die Messwerte für die Stromstärke ^^mess, ^^ und die Spannung ^^mess, ^^. Die zeitdiskreten Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve Δ ^^0 n können für gleiche Temperaturen (z.B. in 1-°C-Schritten) bzw. Entladetiefen (z.B. in 1-%-Schritten) in sogenannten Bins gemittelt werden. Mit diesen gemittelten Werten wird eine ladezustands- und temperaturabhängige Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD, ^^) bestimmt. Dies hilft bei einer möglichen Ursachensuche nach Fehlern oder Alterungszuständen der Batteriebestandteile. Des Weiteren wird die technische Aufgabe der vorliegenden Erfindung durch eine Vorrichtung zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie mit einer Erfassungsvorrichtung zum Erfassen von Messwerten für den Batteriestrom ^^mess( ^^) und die Batteriespannung ^^mess( ^^) und, für manche Ausführungsformen der Erfindung, für die Batterietemperatur ^^( ^^) der aufladbaren Batterie, vorzugsweise in äquidistanten zeitlichen Abständen Δt oder zu vorgegebenen Zeitpunkten, und einer Auswerte- und Steuervorrichtung, welcher die erfassten Messwerte zuführbar sind gelöst. Die Vorrichtung ist dadurch gekennzeichnet, dass die Auswerte- und Steuervorrichtung zur Durchführung des beschriebenen Verfahrens zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie ausgebildet ist. Die Auswerte- und Steuervorrichtung kann insbesondere in das heute in vielen Batteriesystemen verwendeten Batteriemanagementsystem (BMS) integriert werden, welches diese Information dem Benutzer zur Verfügung stellt, beispielsweise mittels eines Displays. Des Weiteren wird die technische Aufgabe der vorliegenden Erfindung durch ein Computerprogramm zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie gelöst. Das Computerprogramm ist derart ausgestaltet, dass bei einem Ablauf des Computerprogramms in der Auswerte- und Steuervorrichtung das Verfahren zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie durchgeführt wird. Die Erfindung wird nachstehend anhand in der Zeichnung dargestellter Ausführungsbeispiele näher erläutert. In der Zeichnung zeigen: Fig.1 eine Prinzipdarstellung des Verfahrens zur Bestimmung von Innenwiderstand ^^, Leerlaufspannungskurve ^^0 und/oder Kapazität C einer aufladbaren Batterie; Fig.2 ein schematisches Blockdiagramm einer unter Last betriebenen Batterie mit einer Vorrichtung nach der Erfindung zur Durchführung des Verfahrens; Fig.3a) ein einfaches Äquivalenzschaltkreismodell einer Batterie; Fig.3b) ein komplexeres Äquivalenzschaltkreismodell einer Batterie; Fig.4 eine experimentell bestimmte Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD) sowie deren Ableitung d ^^0/dDOD; Fig.5a) die gemessene Spannung ^^mess( ^^), aufgetragen über der Zeit für vier konsekutive Vollzyklen, beginnend bei einer vollständig entladenen Batterie; Fig.5b) die gemessene Stromstärke ^^mess( ^^), aufgetragen über der Zeit für vier konsekutive Vollzyklen, beginnend bei einer vollständig entladenen Batterie; Fig.6 die Leerlaufspannungskurve ^^0, die Spannung der realen Batterie ^^mess und die Spannung des Batteriemodells ^^mod, aufgetragen über der Entladetiefe DOD; Fig.7 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die Bestimmung des Innwiderstands ^^, beispielhaft anhand vier konsekutiver experimenteller Vollzyklen (T1 bis T4); Fig.7a) die gemessene Spannung ^^mess als Eingangsgröße; Fig.7b) die gemessene Stromstärke ^^mess und simulierte Stromstärke ^^mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t; Fig.7c) den nach Gl. (17) ermittelten Unterschied zwischen simuliertem und experimentellem Widerstand ΔR; Fig.7d) den berechneten Innenwiderstand ^^cal der Batterie nach Gl. (19) nach jedem Zeitraum T; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für den Innenwiderstand; Fig.8 die Demonstration des neuen Verfahrens für die Bestimmung des Innwiderstands ^^, beispielhaft anhand experimenteller Teilzyklen (zwischen 25 % und 75 % Ladezustand); Fig.8a) die gemessene Spannung ^^mess, aufgetragen über der Zeit t; Fig.8b) die gemessene Stromstärke ^^mess, aufgetragen über der Zeit t; Fig.8c) den berechneten Innenwiderstand ^^cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert (hier 9 mΩ), im Verlauf von insgesamt 10 konsekutiven Modell-Updates; Fig.9 die Demonstration des neuen Verfahrens für die Bestimmung des Innwiderstands ^^, beispielhaft anhand experimenteller Fahrzyklen im „Worldwide Harmonised Light-Duty Vehicles Test Procedure“ (WLTP)- Protokoll; Fig.9a) die gemessene Spannung ^^mess, aufgetragen über der Zeit t; Fig.9b) die gemessene, dynamisch stark variierende Stromstärke ^^mess, aufgetragen über der Zeit t; Fig.9c) den berechneten Innenwiderstand ^^cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert (hier 9 mΩ), im Verlauf von insgesamt 40 konsekutiven Modell-Updates; Fig.10 die reale Leerlaufspannungskurve ^^e 0 xp einer Lithium-Ionen-Batteriezelle, aufgetragen als Spannung über der Entladetiefe DOD, und die initiale Annahme der Leerlaufspannungskurve im
Figure imgf000018_0001
; Fig.11 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die Bestimmung der Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD), beispielhaft anhand vier konsekutiver experimenteller Vollzyklen (T1 bis T4); Fig.11a) die gemessene Spannung ^^mess, aufgetragen über der Zeit t; Fig.11b) die gemessene Stromstärke ^^mess und die simulierte Stromstärke ^^mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t; Fig.11c) den nach Gl. (29) ermittelten Unterschied zwischen simulierter und experimenteller Leerlaufspannung Δ ^^0; Fig.11d) die nach Gl. (30) bestimmte Leerlaufspannungskurve ^^c 0 al (DOD) der Batterie nach jedem Zeitraum ^^; die gestrichelte Linie ist die unabhängig bestimmte Referenzkurve; Fig.12 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die Bestimmung der Kapazität ^^, beispielhaft anhand vier konsekutiver experimenteller Vollzyklen ( ^^1 bis ^^4); Fig.12a) die gemessene Spannung ^^mess, aufgetragen über der Zeit t; Fig.12b) die gemessene Stromstärke ^^mess und die simulierte Stromstärke ^^mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t; Fig.12c) den nach Gl. (37) ermittelten Unterschied zwischen simulierter und experimenteller Leerlaufspannung Δ ^^; Fig.12d) die ermittelte Kapazität ^^cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert von 30 Ah; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert; Fig.13 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die Bestimmung der Kapazität ^^, beispielhaft anhand experimenteller Teilzyklen; Fig.13a) die gemessene Spannung ^^mess, aufgetragen über der Zeit t für acht konsekutive Teilzyklen; Fig.13b) die gemessene Stromstärke ^^mess und die simulierte Stromstärke ^^mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t; Fig.13c) die ermittelte Kapazität ^^cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert (hier ^^mod = 2Ah); die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert. Fig.14 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die Bestimmung der Kapazität ^^, beispielhaft anhand experimenteller Fahrzyklen im „Worldwide Harmonised Light-Duty Vehicles Test Procedure“ (WLTP)-Protokoll; Fig.14a) die gemessene Spannung ^^mess, aufgetragen über der Zeit t für mehrere Entladungen im WLTP-Fahrzyklus und anschließender Konstantstromladung; Fig.14b) die gemessene Stromstärke ^^mess und die simulierte Stromstärke ^^mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t; Fig.14c) die ermittelte Kapazität ^^cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert (hier ^^mod = 10 Ah); die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert; Fig.15 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die gleichzeitige Bestimmung des Innenwiderstands ^^ und der Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD), beispielhaft anhand vier konsekutiver experimenteller Vollzyklen ( ^^1 bis ^^4); Fig.15a) die gemessene Spannung ^^mess, aufgetragen über der Zeit t für vier konsekutive Vollzyklen; Fig.15b) die gemessene Stromstärke ^^mess und die simulierte Stromstärke ^^mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t; Fig.15c) den nach Gl. (42) ermittelten Unterschied zwischen simulierter und experimenteller Spannung Δ ^^tot; Fig.15d) den berechneten Innenwiderstand ^^cal der Batterie nach Gl. (19) nach jedem Zeitraum T; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für den Innenwiderstand; Fig.15e) die nach Gl. (30) bestimmte Leerlaufspannungskurve ^^c 0 al (DOD) der Batterie nach jedem Zeitraum ^^; die gestrichelte Linie ist die unabhängig bestimmte Referenzkurve; Fig.16 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die gleichzeitige Bestimmung des Innenwiderstands ^^ und der Kapazität ^^, beispielhaft anhand vier konsekutiver experimenteller Vollzyklen ( ^^1 bis ^^4); Fig.16a) die gemessene Spannung ^^mess, aufgetragen über der Zeit t für vier konsekutive Vollzyklen; Fig.16b) die gemessene Stromstärke ^^mess und die simulierte Stromstärke ^^mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t; Fig.16c) die ermittelte Kapazität ^^cal der Batterie nach jedem Zeitraum T; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für die Kapazität; Fig.16d) den berechneten Innenwiderstand ^^cal der Batterie nach Gl. (19) nach jedem Zeitraum T; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für den Innenwiderstand; Fig.17 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die gleichzeitige Bestimmung des Innenwiderstands ^^ und der Kapazität ^^, beispielhaft anhand zwölf konsekutiver experimenteller Teilzyklen; Fig.17a) die gemessene Spannung ^^mess, aufgetragen über der Zeit t für zwölf konsekutive Teilzyklen; Fig.17b) die gemessene Stromstärke ^^mess und die simulierte Stromstärke ^^mod des spannungsgeführten Modells, aufgetragen über der Zeit t; Fig.17c) die ermittelte Kapazität ^^cal der Batterie nach jedem Zeitraum T; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für die Kapazität; Fig.17d) den berechneten Innenwiderstand ^^cal der Batterie nach Gl. (19) nach jedem Zeitraum T; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für den Innenwiderstand; Fig.18 die Ergebnisse des neuen Verfahrens für die gleichzeitige Bestimmung von Kapazität ^^ und Leerlaufspannungskurve ^^0, beispielhaft anhand eines experimentellen Vollzyklus; Fig.18a) die gemessene Spannung ^^mess, aufgetragen über der Zeit t für einen Vollzyklus; Fig.18b) die gemessene Stromstärke ^^mess, aufgetragen über der Zeit t; Fig.18c) die ermittelte Kapazität ^^cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert (hier ^^mod = 10Ah) über 9 konsekutive Modellupdates; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für die Kapazität; Fig.18d) die ermittelte Leerlaufspannungskurve ^^c 0 al (DOD) der Batterie über 9 konsekutive Modellupdates; die gestrichelte Linie ist die unabhängig bestimmte Referenzkurve; Fig.19 Ergebnisse des neuen Verfahrens für die gleichzeitige Bestimmung von Kapazität ^^, Innenwiderstand ^^ und Leerlaufspannungskurve ^^0, beispielhaft anhand eines experimentellen Vollzyklus; Fig.19a) die gemessene Spannung ^^mess, aufgetragen über der Zeit t für einen Vollzyklus; Fig.19b) die gemessene Stromstärke ^^mess, aufgetragen über der Zeit t; Fig.19c) die ermittelte Kapazität ^^cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert (hier ^^mod = 10Ah) über 19 konsekutive Modellupdates; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für die Kapazität; Fig.19d) den berechneten Innenwiderstand ^^cal der Batterie, ausgehend von einem beliebigen Startwert von 9 mΩ über 19 konsekutive Modellupdates; die gestrichelte Linie ist der unabhängig bestimmte Referenzwert für den Innenwiderstand; Fig.19e) die ermittelte Leerlaufspannungskurve ^^c 0 al (DOD) der Batterie über 19 konsekutive Modellupdates; die gestrichelte Linie ist die unabhängig bestimmte Referenzkurve. Fig.1 zeigt eine schematische Darstellung des Verfahrens. Zu sehen sind die aufladbare Batterie 106, der erste und zweite Bestandteil des Gesamtalgorithmus 102, 104 sowie der Gesamtalgorithmus 100 selbst. Erfasste Messwerte der Spannung ^^mess(t) der aufladbaren Batterie 106 werden an den ersten Teil des Gesamtalgorithmus 102 übertragen. Der erste Teil des Gesamtalgorithmus 102 umfasst das spannungsgeführte Batteriemodell. Im Batteriemodell werden beliebig angenommene Anfangswerte für die zu bestimmenden Größen Innenwiderstand ^^mod und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0mod und/oder die Kapazität ^^mod verwendet. Aus der gemessenen Spannung ^^mess(t) und den beliebigen Größen werden Werte für eine simulierte Stromstärke ^^mod( ^^) als Ausgangsgröße des Batteriemodells berechnet. Die Werte der simulierten Stromstärke ^^mod( ^^) und erfasste Messwerte für den Batteriestrom ^^mess( ^^) der aufladbaren Batterie 106 werden an den zweiten Teil des Gesamtalgorithmus 104 übertragen. Mit jeweils einer vorgegebenen Rechenvorschrift werden in diesem Teil berechnete Werte für den Innenwiderstand ^^cal und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0cal und/oder die Kapazität Ccal jeweils unter Verwendung der Werte für die simulierte Stromstärke ^^mod( ^^) und der erfassten Messwerte für die Stromstärke ^^mess( ^^) mit jeweils einer vorgegebenen Rechenvorschrift bestimmt. Die bestimmten Werte ^^cal, ^^0cal und Ccal werden als Update an das spannungsgeführte Modell übertragen und ersetzen dort die angenommenen Werte ^^mod, ^^0 mod und ^^mod. Die bestimmten Werte ^^cal, ^^0cal und Ccal werden als Ergebnis des Gesamtalgorithmus 100 ausgegeben. Wie in Fig.2 dargestellt, lässt sich dieser Gesamtalgorithmus 100 auf einfache Weise in ein bestehendes Batteriemanagementsystem integrieren. Hierzu muss in dem Batteriemanagementsystem (nicht dargestellt) lediglich eine Auswerte- und Steuereinheit 120 zur Durchführung des Verfahrens enthalten sein. Die Auswerte- und Steuereinheit 120 umfasst eine Einheit 110 zur Messung der Batteriespannung Umess, die mit den Anschlüssen (Polen) der aufladbaren Batterie 106 verbunden ist. Weiterhin umfasst die Auswerte- und Steuereinheit 120 eine Einheit 112 zur Messung des Batteriestroms Imess, die in beliebiger Weise ausgebildet sein kann. Beispielsweise kann die Einheit 112 einen Shunt-Widerstand umfassen, der im Strompfad zwischen den Batteriepolen und einer beliebigen Last RL liegt, die auch mit dem Bezugszeichen 114 bezeichnet ist. Die Einheit 112 kann dabei zur Messung der Spannung über den Shunt- Widerstand und zur Berechnung des Stroms aus dem gemessenen Spannungsabfall und dem Widerstandswert des Shunt-Widerstands ausgebildet sein. In einer weiteren Ausführung der Erfindung kann die Auswerte- und Steuereinheit 120 auch eine Vorrichtung zum Erfassen der Temperatur der Batterie (nicht abgebildet) umfassen. Die Auswerte- und Steuereinheit 120 kann auch eine Anzeigeeinheit 116 umfassen, auf welcher die ermittelten Werte angezeigt werden. Die Auswerte- und Steuereinheit 120 umfasst zur Durchführung der für die Realisierung des Verfahrens erforderlichen Berechnungen eine Recheneinheit 118, die beispielsweise als Mikroprozessoreinheit ausgebildet sein kann. Die Mikroprozessoreinheit kann dabei auch einen Analog/Digital-Wandler aufweisen, der ihr zugeführte analoge Größen Umess und Imess zeitlich abtastet und in digitale Werte umsetzt. Das in dem Verfahren verwendete Batteriemodell muss in der Lage sein, den zeitlichen Verlauf der Stromstärke bei einem gegebenen Verlauf der Spannung vorherzusagen. Dafür muss das Modell folgende Eigenschaften aufweisen. Das Modell beschreibt die Abhängigkeit der Spannung vom Ladezustand (state of charge, SOC) oder einer damit zusammenhängenden Größe wie der Entladetiefe (depth of discharge, DOD), der vorhandenen Restladung oder der vorhandenen Restenergie. Ein notwendiger Modellparameter ist dafür die Kapazität ^^ der Batterie. Ein weiterer notwendiger Modellparameter ist die Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD). Das Modell beschreibt die Abhängigkeit der Spannung von der Stromstärke, d.h. es weist einen Innenwiderstand ^^mod auf. Je nach Modellkomplexität ergibt sich der Innenwiderstand aus einer einzelnen Modellgleichung mit einem einzelnen Parameter (z.B. Ohm’sches Gesetz) oder einer Kombination von Modellgleichungen und mehreren Parametern. Der Innenwiderstand könnte durch einen auf das Modell angewandten Pulstest nach Gl. (1) bestimmt werden. Das Modell ist spannungsgeführt. Dementsprechend ist die gemessene Spannung ^^mess die Eingangsgröße und die vorhergesagte Stromstärke ^^mod die Ausgangsgröße. Es gibt viele verschiedene Modellierungsansätze, die diese Voraussetzungen erfüllen, z.B. Äquivalenzschaltkreismodelle oder physikalisch-chemische Modelle. Ein einfaches, aber für die Demonstration der Methode ausreichendes Äquivalenzschaltkreismodell ist in Fig.3 a) dargestellt. Es besteht aus einer Spannungsquelle ^^0 und einem seriellen Widerstand ^^s. Dieses Modell wird mathematisch durch ein differenziell-algebraisches Gleichungssystem beschrieben: (3)
Figure imgf000025_0001
(4) Das Modell hat die drei Parameter serieller Widerstand ^^s, Kapazität der Batterie ^^ und Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD). Die Entladetiefe DOD nimmt Werte zwischen 0 und 1 an, wobei DOD = 0 eine vollständig geladene Batterie und DOD = 1 eine vollständig entladene Batterie ist. Der DOD steht in direktem Zusammenhang mit dem Ladezustand (englisch: state of charge, SOC): SOC = 1 − DOD . (5) Der Ladezustand SOC ist eine üblich verwendete Größe, um anzugeben, wie voll die Batterie ist. Das Gleichungssystem (3) und (4) erlaubt die Berechnung der Ausgangsgröße ^^mod auf Grundlage der Eingangsgröße ^^mess. Es handelt sich damit um ein spannungsgeführtes Modell (Spannung als Eingangsgröße). Andere, komplexere Modelle sind ebenso für den Einsatz in dem neuen Verfahren geeignet, z.B. erweiterte Ersatzschaltkreismodelle wie in Fig.3b). Durch den Einsatz von Vorwissen über die Batterie in komplexeren Modellen, z.B. die Annahme einer Spannungshysterese ^^hys, kann die Genauigkeit des Verfahrens erhöht werden. Der Äquivalenzschaltkreis in Fig.3b) ist ein Beispiel für ein Modell, in dem der Innenwiderstand ^^mod aus mehreren Modellelementen folgt, hier aus der Rs-(RC)1- (RC)2-Kette. Für die Demonstration des vorliegenden Verfahrens wurden Experimente mit kommerziellen Lithium-Ionen-Pouchzellen mit einer Nennspannung von 3,75 V und einer Nennkapazität von 20 Ah durchgeführt. Die Zellen haben eine negative Elektrode aus Graphit und eine positive Elektrode aus einer Mischung aus Lithium-Nickel- Mangan-Kobaltoxid (NMC) und Lithium-Manganoxid (LMO). Die Zellen wurden bei 25 °C Umgebungstemperatur vermessen. Es wurden drei verschiedene Messprotokolle durchgeführt. Die Daten dieser Messungen sind die Grundlage für alle hier vorgestellten Verfahren. 1. Vollzyklen: CCCV-Entladung auf 3,0 V, CCCV-Ladung auf 4,2 V, 1C-Rate, C/10- Abschaltstrom, keine Pause) für mehrere Zyklen, beginnend mit einer vollständig entladenen Batterie. Diese Messdaten sind in Fig.5 gezeigt. 2. Teilzyklen: CC-Entladung und -Ladung zwischen 25 % und 75 % Ladezustand für mehrere Teilzyklen 3. Fahrzyklen: Ausgehend von einer vollgeladenen Batterie wurde ein dynamisches Lastprofil durchgeführt, das auf Basis der „Worldwide Harmonised Light-Duty Vehicles Test Procedure“ (WLTP) erstellt wurde. Dieses Profil enthält schnell aufeinanderfolgende Entlade- und Ladephasen, die aus den Beschleunigungs- und Bremsvorgängen eines Elektrofahrzeugs resultieren. Weiterhin wurde eine Quasi-OCV-Messung bei 0,05C-Rate durchgeführt. Die damit ermittelte Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD) sowie deren Ableitung d ^^0/dDOD sind in Fig.4 gezeigt und dienen als Referenz für das neue Verfahren. Zu sehen ist die Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD) in gepunkteter Linie als Spannung aufgetragen über der Entladetiefe DOD. Die Kurve zeigt eine annähernd lineare Entladung der Batterie bis kurz vor der vollständigen Entladung. Die Ableitung der Leerlaufspannungskurve d ^^0/dDOD ist als durchgezogene Linie dargestellt und als Spannung über der Entladetiefe DOD aufgetragen. Die Spannung für die Ableitung lässt sich an der Achse auf der rechten Seite des Diagramms ablesen. Die Kurve zeigt einen annähernd konstanten Verlauf bis kurz vor der vollständigen Entladung. Der Innenwiderstand wurde unabhängig aus den Vollzyklen bei 1C bestimmt nach
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(6) mit ^ത^chg als mittlere Ladespannung zwischen 25 % und 75 % SOC, ^ത^dis die mittlere Entladespannung zwischen 75 % und 25 % SOC und ^^ = 20 A. Es wurde ein Wert von ^^ = 4,579 mΩ ermittelt. Die Kapazität der Batterie wurde, ebenfalls aus den Vollzyklen, zu ^^ = 19,96 Ah bestimmt und entspricht damit fast genau der Nennkapazität von 20 Ah. Diese Werte für ^^ und ^^ dienen ebenfalls als Referenz für das neue Verfahren. Das neue Verfahren wird im Folgenden insbesondere auf Messwerte von vier konsekutiven Vollzyklen angewendet. Diese sind in Fig.5 gezeigt. Zu sehen sind der Verlauf der gemessenen Spannung ^^mess( ^^), aufgetragen über der Zeit in Abbildung a), und der Verlauf der gemessenen Stromstärke ^^mess( ^^), aufgetragen über der Zeit in Abbildung b). Die vier Vollladezyklen sind gut zu erkennen. Es wurde mit einer vollständig entladenen Batterie begonnen. Weiterhin wird das Verfahren exemplarisch auch anhand der Teilzyklen und des WLTP-Lastprofils demonstriert. Bestimmung des Innenwiderstands Die reale Batterie weist einen realen Innenwiderstand auf, den wir mit R bezeichnen. Stellvertretend wird mittels des Verfahrens ein Wert Rcal bestimmt, der dem realen Innenwiderstand sehr nahe ist. Das Modell hat einen angenommenen Innenwiderstand, den wir mit ^^mod bezeichnen. Wir bezeichnen den Unterschied als Δ ^^ mit Δ ^^ = ^^mod − ^^cal . (7) Aufgrund dieses Unterschieds wird das spannungsgeführte Batteriemodell eine andere Stromstärke ^^mod aufweisen als die reale Batterie. Wir bezeichnen den gemessenen Strom der realen Batterie mit ^^mess. Aus dem Unterschied zwischen ^^mod und ^^mess kann daher auf Δ ^^ geschlossen werden. Diese Beziehung wird im Folgenden hergeleitet. Die Herleitung erfolgt anhand Fig.6. Diese zeigt das Spannungsverhalten bei einer Batterieentladung mit konstanter Stromstärke. Gezeigt ist zunächst die Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD), hier ein beispielhafter Verlauf einer Lithium-Ionen- Batteriezelle mit einer Ladeschlussspannung von 4,2 V und einer Entladeschlussspannung von 3,0 V. Wir nehmen an, dass sich die reale Batterie an einem beliebigen Betriebspunkt befindet, markiert in der Abbildung als „operation point exp“, der einer bestimmten Entladetiefe DODexp entspricht. Bei Entladung mit der Stromstärke ^^mess liegt die Spannung der realen Batterie ^^mess(DODexp) aufgrund des Innenwiderstands R niedriger als die Leerlaufspannung, und zwar auf der in Fig.6 gezeigten Kurve ^^mess(DOD). Wir nehmen an, dass der Innenwiderstand des Batteriemodells größer ist als der der realen Batterie, also Δ ^^ > 0. Das Batteriemodell weist daher bei gleicher Entladetiefe DODexp eine noch niedrigere Spannung ^^mod(DODexp) auf, und zwar auf der in Fig.6 gezeigten Kurve ^^mod(DOD). Wir bezeichnen den Spannungsunterschied zwischen den beiden Kurven als Δ ^^R = ^^mod(DODexp) − ^^mess(DODexp) . Im Beispiel von Fig.6 ist Δ ^^R < 0. Wir definieren die Stromstärke als positiv für Batterieentladung. Nach dem Ohm’schen Gesetz folgt daher der Zusammenhang Δ ^^R = −Δ ^^ ∙ ^^mess . (8) Das hier vorgestellte Verfahren verwendet ein spannungsgeführtes Batteriemodell. Das Modell hat also zu jedem Zeitpunkt per Definition die gleiche Spannung wie die reale Batterie. Die Verschiebung der Kennlinien um Δ ^^R gegeneinander (für den gleichen DODexp) führt dazu, dass das Modell eine andere Entladetiefe DODmod im Vergleich zur realen Batterie (bei gleicher Spannung ^^mess) aufweist. Das Modell befindet sich demnach in dem in Fig.6 markierten Betriebspunkt „operation point (mod)“. Den Unterschied in den Entladetiefen bezeichnen wir als ΔDOD mit ΔDOD = DODmod − DODexp . (9) In unserem Beispiel ist ΔDOD < 0. Fig.6 zeigt anschaulich, dass Δ ^^R und ΔDOD ein Steigungsdreieck bilden. Die Steigung −Δ ^^R/ΔDOD entspricht der Steigung der Kennlinie d ^^/dDOD und, weil diese parallel zur Leerlaufspannung verschoben ist, der Steigung der Leerlaufspannungskurve d ^^0/dDOD, die wir im Folgenden als ^^ bezeichnen:
Figure imgf000028_0001
Das negative Vorzeichen ist notwendig, da Δ ^^ < 0 und ΔDOD < 0, jedoch auch ^^ < 0. Einsetzen von Gl. (8) in Gl. (10) liefert einen Zusammenhang zwischen ΔDOD und der unbekannten Größe Δ ^^, ΔDOD = Δ ^^∙ ^^mess ^^ . (11) Wir entwickeln als Nächstes einen Ausdruck für ΔDOD. Die Entladetiefe ändert sich zeitlich aufgrund eines angelegten Stroms. Dies lässt sich mit einer einfachen Differenzialgleichung beschreiben, die wir sowohl auf die reale Batterie als auch auf das Modell anwenden: dDOD exp d ^^ = ^^mess ^^ , (12) dDOD mod ^^mo d ^^ = d ^^ . (13) Wir ziehen Gl. (12) von Gl. (13) ab und substituieren Gl. (9) zu
Figure imgf000029_0001
Diese Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung von ΔDOD bei einem Unterschied zwischen simulierter und experimenteller Stromstärke. Wir setzen Gl. (11) ein und erhalten
Figure imgf000029_0002
Diese Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der gesuchten Größe Δ ^^, der Messgröße ^^mess, dem Ausgang des spannungsgeführten Modells ^^mod sowie den Modellparametern ^^ und ^^. Für die Berechnung von Δ ^^ muss die Zeitableitung der linken Seite von Gl. (15) integriert werden. Im praktischen Batteriebetrieb wird die Messgröße ^^mess zu bestimmten diskreten Zeitpunkten ^^ ^^ bestimmt. Es bietet sich daher ein implizites Euler-Verfahren für die Lösung von Gl. (15) an: Hier ist ^^ der aktuelle Zeitpunkt der Messung und Δ ^^ = ^^ ^^ − ^^ ^^−1 der zeitliche Abstand zum vorherigen Messpunkt. Diese Gleichung kann nach der gesuchten Größe Δ ^^ aufgelöst werden:
Figure imgf000030_0001
Diese Gleichung ist das zentrale Ergebnis dieser Analyse. Sie erlaubt die Berechnung von Δ ^^ aus diskreten Zeitreihen von ^^mess und ^^mod. Für jeden Zeitschritt wird ein Wert von Δ ^^ erhalten. Dieser kann bei Bedarf über mehrere Zeitschritte ^^ gemittelt werden nach Δതതത ^ ത ^ = 1 ^^ ∑ ^ ^^ ^ =1 Δ ^^ ^^ . (18) Diese Mittelung kann auch über bestimmte DOD-Abschnitte oder über Abschnitte von Strom oder Temperatur erfolgen, sodass die DOD-, Strom- oder Temperaturabhängigkeit von Δ ^^ erhalten wird. Die zu bestimmende Größe für den Innenwiderstand der realen Batterie ^^cal ergibt sich in einem abschließenden Schritt nach Gl. (7) zu
Figure imgf000030_0002
Bis zu diesem Punkt ist die Herleitung vollkommen unabhängig von der Art des verwendeten Batteriemodells. Dieses wird erst bei der Berechnung von Gl. (19) relevant. Der für diese Formel notwendige Innenwiderstand des Modells ^^mod errechnet sich aus den Modellparametern. Für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in Fig.3a) ist ^^mod = ^^m. Für das beispielhafte komplexe Äquivalenzschaltkreismodell in Fig.3b) ergibt sich ^^mod = ^^s + ^^1 + ^^2. Um die Genauigkeit des Verfahrens zu erhöhen und/oder das Modell für weitere Messdaten zu verwenden, kann im Anschluss eine Anpassung („Update“) der Modellparameter erfolgen. Für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in Fig.3a) erfolgt dies in Analogie zu Gl. (19) nach
Figure imgf000031_0001
Für komplexere Modelle muss der ermittelte Wertത Δതത ^ത^ in geeigneter Weise auf die Modellparameter verteilt werden. Für das beispielhafte komplexe Äquivalenzschaltkreismodell in Fig.3b) kann beispielsweiseത Δതത ^ത^ zu jeweils 1/3 von den drei Parametern ^^s, ^^1 und ^^2 abgezogen werden. Die oben dargestellte Ergebnisgleichung (15) wurde anhand Fig.6 unter der Annahme einer konstanten Stromstärke hergeleitet. Diese Annahme diente lediglich zur Plausibilisierung und ist nicht Voraussetzung für das vorliegende Verfahren. Ein Batteriebetrieb mit zeitlich beliebig variierender Stromstärke (Entladung oder Ladung) kann gedanklich aufgeteilt werden in kurze Abschnitte konstanter Stromstärke – ein solcher Abschnitt ist beispielsweise der Abstand Δ ^^ zwischen zwei Messpunkten, wie er in der diskretisierten Form Gl. (17) verwendet wird. Bei infinitesimal kurzen Zeitabschnitten geht das in Fig.6 gezeigte Steigungsdreieck vom Differenzenquotienten Δ ^^/ΔDOD in den Differenzialquotienten d ^^/dDOD über. Die Ergebnisgleichung (15) ist damit exakt gültig, unabhängig von Dynamik und Vorzeichen der Stromstärke. Mit den hergeleiteten Gleichungen erfolgt die Bestimmung des Innenwiderstands in der Praxis in folgenden Schritten. Zuerst wird ein spannungsgeführtes Batteriemodell mit bekannten und/oder vorbestimmten Parameterwerten für die Kapazität ^^mod und die
Figure imgf000031_0002
bereitgestellt. Beliebige Startwerte werden für den oder die mit dem Innenwiderstand ^^ des Modells zusammenhängenden Parameter (z.B. ^^ ^^ für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in Fig.3a) angenommen. Die Batterie wird über einen Zeitraum ^^ mit Messung der Stromstärke ^^mess und der Spannung ^^mess betrieben. Anschließend wird die simulierte Stromstärke ^^mod über den Zeitraum ^^ mittels des spannungsgeführten Modells berechnet. Darauf folgt die Berechnung von Δ ^^ nach Gl. (17). Die Werte Δ ^^ ^^ werden über den Zeitraum ^^ zum Mittelwertത Δതത ^ത^ gemittelt. Anschließend wird der Näherungswert ^^cal für den realen Innenwiderstand nach Gl. (19) berechnet. Optional wird die Durchführung des Verfahrens wiederholt, wobei der oder die mit dem Innenwiderstand ^^mod zusammenhängenden Parameter in dem Batteriemodell auf die ermittelten Werte gesetzt werden („Modell-Update“). Damit erfolgt eine iterative Annäherung des Innenwiderstands des Modells an den echten Innenwiderstand. Im Folgenden wird das Verfahren anhand der bereits erwähnten experimentellen Daten demonstriert, und zwar anhand aller drei Datensätze (Vollzyklen, Teilzyklen, Fahrzyklen). Es wird das einfache Äquivalenzschaltkreismodell von Fig.3a) verwendet. Die Kapazität wird auf den Referenzwert von ^^ = 19,96 Ah gesetzt, die Leerlaufspannungskurve auf den in Fig.4 gezeigten Referenzverlauf. Der Parameter für den seriellen Widerstand wird auf einen beliebigen Startwert gesetzt, hier exemplarisch auf ^^ ^^ = 9 mΩ. Die Ergebnisse für experimentelle Vollzyklen sind in Fig.7 dargestellt. Als Zeitraum ^^ wird ein Lade-/Entladezyklus gewählt (ca.2,1 h). Fig.7a) zeigt die gemessene Spannung ^^mess als Eingangsgröße für das spannungsgeführte Modell. Fig.7b) zeigt sowohl die gemessene Stromstärke ^^mess als auch die simulierte Stromstärke ^^mod aus dem spannungsgeführten Modell. Während des Zeitraums ^^1 (zwischen 0 und 2 h) ist eine deutliche Abweichung ^^mod − ^^mess der beiden Kurven ersichtlich. Fig.7c) zeigt den nach Gl. (17) ermittelten Unterschied zwischen simuliertem und experimentellem Widerstand Δ ^^ unter Verwendung der in Fig.7b) gezeigten Daten. Der Wert Δ ^^ variiert zeitlich. Im ersten Zyklus (zwischen 0 und 2 h) nimmt er Werte um die 4 mΩ an, mit deutlichen Spitzen insbesondere am jeweiligen Ende der Ladung und der Entladung. Der über die erste Zyklusdauer ^^1 gemittelte Wert beträgtത Δതത ^ത^ = 4,32 mΩ. Daraus wird nach Gl. (19) der berechnete Innenwiderstand ^^cal der Batterie zu ^^cal = ^^mod − Δ തതത ^ ത ^ = ^^s − Δ തതത ^ ത ^ = 9 mΩ − 4,32 mΩ = 4,68 mΩ . Dieser Wert liegt sehr dicht am Referenzwert von 4,58 mΩ. Bereits nach dem ersten Vollzyklus kann also der Innenwiderstand mit dem neuen Verfahren bestimmt werden. Damit ist das Verfahren erfolgreich demonstriert. Der serielle Widerstand des Modells wird nun nach Gl. (20) auf den neuen Wert gesetzt, ^^s,neu = ^^s −ത Δതത ^ത^, bevor mit dem zweiten Iterationsschritt im Zeitraum ^^2 fortgefahren wird. Analog wird nach ^^2, ^^3 und ^^4 verfahren. Die ermittelten Innenwiderstände sind in Fig.7d) dargestellt, ausgehend vom angenommenen Startwert. Das Verfahren stabilisiert nahe des Referenzwerts. Gleichzeitig wird die Vorhersagequalität des spannungsgeführten Modells besser (vgl. Fig.7b) für Zeiträume > 2 h) und damit Δ ^^ kleiner (vgl. Fig.7c) für Zeiträume > 2 h). Diese Ergebnisse verwenden Vollzyklen. Um die Flexibilität des Verfahrens zu demonstrieren, wurde es weiterhin auf Teilzyklen (25 % bis 75 % Ladezustand) und auf Fahrzyklen (Belastung der Batterie im Elektrofahrzeug) angewendet. Die Ergebnisse sind in Fig.8 (Teilzyklen) und Fig.9 (Fahrzyklen) dargestellt. Die experimentellen Datensätze bestehen aus jeweils 2-3 Stunden Batteriebetrieb. Wir folgen der beschriebenen Vorgehensweise. Der Startwert für den seriellen Widerstand wird zu ^^s = 9 mΩ gewählt. Als Zeitraum ^^ wählen wir die Dauer des gesamten Datensatzes (2,1 h für die Teilzyklen, 3,2 h für die Fahrzyklen). Nach Gl. (19) erhalten wir damit einen neuen Wert für ^^cal. Damit aktualisieren wir das Modell nach Gl. (20) und wiederholen dies mit den gleichen experimentellen Daten aus dem Zeitraum ^^, bis ^^cal auf einen konstanten Wert konvergiert. Für die Teilzyklen ist dies nach ca.5 Aktualisierungen der Fall, für die Fahrzyklen nach ca.25. Die konvergierten Werte liegen bei ^^cal = 4,20 mΩ (Teilzyklen, Fig.8d) bzw. ^^cal = 4,14 mΩ (Fahrzyklen, Fig. 9d), diese Werte liegen dicht am Referenzwert von ^^ = 4,58 mΩ. Anhand jedes einzelnen der gezeigten Datensätze konnte damit das neue Verfahren zur Bestimmung des Innenwiderstands einer aufladbaren Batterie erfolgreich demonstriert und seine hohe Flexibilität bezüglich Eingangsdaten gezeigt werden. Bestimmung der Leerlaufspannungskurve Die reale Batterie weist eine reale Leerlaufspannungskurve auf, die wir mit ^^0(DOD) bezeichnen. Stellvertretend wird mittels des Verfahrens ein Wert ^^c 0 al bestimmt, der dem realen Innenwiderstand sehr nahe ist. Das Modell hat eine angenommene Leerlaufspannungskurve, die wir mit ^^m 0 od bezeichnen. Wir bezeichnen den Unterschied als Δ ^^0 mit
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Alle drei Parameter Δ ^^0, ^^m 0 od und ^^c 0 al hängen von der Entladetiefe DOD ab. Aufgrund des Unterschieds wird das spannungsgeführte Batteriemodell grundsätzlich eine unterschiedliche Stromstärke ^^mod aufweisen als die reale Batterie ^^mess. Aus dem Unterschied zwischen ^^mod und ^^mess kann daher auf Δ ^^0 geschlossen werden. Diese Beziehung wird im Folgenden hergeleitet. Fig.10 zeigt zwei Leerlaufspannungskurven. Als reale Kurve ^^e 0 xp (DOD) ist beispielhaft die einer Lithium-Ionen-Batteriezelle mit einer Ladeschlussspannung von 4,2 V und einer Entladeschlussspannung von 3,0 V dargestellt. Für das
Figure imgf000034_0001
wird ein linearer Verlauf zwischen den Schlussspannungen angenommen. Für einen gegebenen Betriebspunkt DODexp (in Fig.10 markiert als „operation point exp.“) führt dies zum Unterschied Δ ^^0; im Beispiel von Fig.10 ist Δ ^^0 < 0. Das hier vorgestellte Verfahren verwendet ein spannungsgeführtes Batteriemodell. Das Modell hat also zu jedem Zeitpunkt per Definition die gleiche Spannung wie die reale Batterie. Die Verschiebung der Kennlinien um Δ ^^0 gegeneinander (für den gleichen DODexp) führt dazu, dass das Modell eine andere Entladetiefe DODmod im Vergleich zur realen Batterie (bei gleicher Spannung ^^mess) aufweist. Das Modell befindet sich demnach in dem in Fig.10 markierten Betriebspunkt „operation point mod“. Den Unterschied in den Entladetiefen bezeichnen wir als ΔDOD mit ΔDOD = DODmod − DODmess . (22) In unserem Beispiel ist ΔDOD < 0. Fig.10 zeigt anschaulich, dass Δ ^^0 und ΔDOD ein Steigungsdreieck bilden. Die Steigung −Δ ^^0/ΔDOD entspricht der Steigung der Kennlinie d ^^m 0 od /dDOD, die wir als ^^ bezeichnen:
Figure imgf000034_0002
Wir entwickeln als Nächstes einen Ausdruck für ΔDOD. Die Entladetiefe ändert sich zeitlich aufgrund eines angelegten Stroms. Dies lässt sich mit einer einfachen Differenzialgleichung beschreiben, die wir sowohl auf die reale Batterie als auch auf das Modell anwenden: dDOD exp = ^^mess d ^^ ^^ , (24) dDOD mod d ^^ = ^^mod ^^ . (25) Wir ziehen Gl. (24) von Gl. (25) ab und substituieren Gl. (22) zu d(ΔDOD) ^^mo − ^^ d ^^ = d mess ^^ . (26) Diese Gleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung von ΔDOD bei einem Unterschied zwischen simulierter und experimenteller Stromstärke. Wir setzen Gl. (23) ein und erhalten
Figure imgf000035_0001
Diese Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der gesuchten Größe Δ ^^0, der Messgröße ^^mess, dem Ausgang des spannungsgeführten Modells ^^mod sowie den Modellparametern ^^ und ^^. Für die Lösung muss die Zeitableitung der linken Seite von Gl. (27) integriert werden. Im praktischen Batteriebetrieb wird die Messgröße ^^mess zu bestimmten diskreten Zeitpunkten ^^ ^^ bestimmt. Es bietet sich daher ein implizites Euler-Verfahren für die Lösung von Gl. (27) an:
Figure imgf000035_0002
Hier ist ^^ der aktuelle Zeitpunkt der Messung und Δ ^^ = ^^ ^^ − ^^ ^^−1 der zeitliche Abstand zum vorigen Messpunkt. Diese Gleichung kann nach der gesuchten Größe Δ ^^0 aufgelöst werden:
Figure imgf000035_0003
Diese Gleichung ist das zentrale Ergebnis dieser Analyse. Sie erlaubt die Berechnung von Δ ^^0 aus diskreten Zeitreihen von ^^mess und ^^mod. Für jeden Zeitschritt wird ein Wert von Δ ^^0 erhalten. Da Δ ^^0 von DOD abhängt, müssen abschnittsweise Mittelwerte gebildet werden (z.B. alle 1-DOD-Prozentpunkte). Die zu bestimmende Leerlaufspannungskurve der realen Batterie ergibt sich in einem abschließenden Schritt nach Gl. (21) zu
Figure imgf000036_0001
wobei ^^m 0 od (DOD) der im Modell verwendete Parameter ist. Um die Genauigkeit des Verfahrens zu erhöhen und/oder das Modell für weitere Messdaten zu verwenden, kann im Anschluss eine Anpassung („Update“) des Modellparameters erfolgen nach ^^n 0 eu = ^^m 0 od − Δ ^^0. (31) Die Bestimmung der Leerlaufspannungskurve erfolgt in der Praxis in folgenden Schritten. Zuerst wird ein spannungsgeführtes Batteriemodell mit bekannten Parameterwerten für die Kapazität ^^mod und für den oder die mit dem Innenwiderstand ^^mod zusammenhängenden Parameter (z.B. ^^ ^^ für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in Fig.3a) bereitgestellt. Ein beliebiger Startwert wird für den Verlauf der Leerlaufspannungskurve ^^m 0 od ( ^^ ^^ ^^) angenommen, vorzugsweise ein linearer Verlauf zwischen Lade- und Entladeschlussspannung. Die Batterie wird über einen Zeitraum ^^ mit Messung von Stromstärke ^^mess und Spannung ^^mess betrieben. Anschließend wird die simulierte Stromstärke ^^mod über den Zeitraum ^^ mittels des spannungsgeführten Modells berechnet. Darauf folgt die Berechnung von Δ ^^0 nach Gl. (29). Die Werte Δ ^^ ^^ 0 werden abschnittsweise für DOD-Bereiche zum Mittelwert ത Δത ^ത^ത0ത(DOD) über den Zeitraum ^^ gemittelt. Anschließend wird der Näherungswert für die reale Leerlaufspannungskurve nach Gl. (30) berechnet. Optional wird die Durchführung des Verfahrens wiederholt, wobei der Parameter für den Verlauf der Leerlaufspannungskurve im Batteriemodell auf den ermittelten Wert gesetzt wird („Modell-Update“). Damit erfolgt eine iterative Annäherung der Leerlaufspannungskurve des Modells an die echte Leerlaufspannungskurve. Die Mittelung von Δ ^^ ^^ 0 kann auch abschnittsweise für verschiedene Bereiche von gemessenen Temperaturen durchgeführt werden. Damit kann eine temperaturabhängige Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD, ^^) bestimmt werden. Die Leerlaufspannungskurve ^^0 hängt von der Entladetiefe ab. Für eine vollständige Erfassung muss der Zeitraum ^^ daher so gewählt werden, dass die Batterie alle Ladezustände zwischen 0 % und 100 % mindestens einmal durchlaufen hat. Falls innerhalb von ^^ nur ein Teilbereich durchlaufen wird, kann die Leerlaufspannungskurve nur in diesem Teilbereich bestimmt werden. Im Folgenden wird das beschriebene Verfahren anhand der bereits erwähnten experimentellen Daten demonstriert, und zwar anhand der Vollzyklen (Fig.5). Es wird das einfache Äquivalenzschaltkreismodell von Fig 3a) verwendet. Die Kapazität wird auf den Referenzwert von ^^ = 19,96 Ah gesetzt, der serielle Widerstand auf den Referenzwert von ^^ ^^ = 4,579 mΩ. Die Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD) wird auf einen beliebigen Startwert gesetzt, und zwar einen linearen Verlauf zwischen den Schlussspannungen. Als Zeitraum ^^ wird ein Lade-/Entladezyklus gewählt (ca.2,1 h). Die Ergebnisse sind in Fig.11 dargestellt. Fig.11a) zeigt die gemessene Spannung ^^mess als Eingangsgröße für das spannungsgeführte Modell, aufgetragen über der Zeit. Fig.11b) zeigt sowohl die gemessene Stromstärke ^^mess als auch die simulierte Stromstärke ^^mod aus dem spannungsgeführten Modell, aufgetragen über der Zeit. Während des Zeitraums ^^1 (zwischen 0 und 2 h) ist eine deutliche Abweichung ^^mod − ^^mess der beiden Kurven ersichtlich, die in den darauffolgenden Zeitperioden immer kleiner wird. Fig.11c) zeigt den nach Gl. (29) ermittelten Unterschied zwischen simulierter und experimenteller Leerlaufspannung Δ ^^0 unter Verwendung der in Fig. 11b) gezeigten Daten. Der Wert Δ ^^0 variiert zeitlich während des Zeitraums ^^1 (zwischen 0 und 2 h): Die Werte sind symmetrisch bezüglich Ladung und Entladung und weisen Ausschläge bis auf –0,35 V auf. Über die erste Zyklusdauer ^^1 werden diese Werte abschnittsweise für jeden DOD-Prozentpunkt gemittelt. Daraus wird nach Gl. (30) der Näherungswert für die reale Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD) bestimmt. Fig.11d) zeigt die zu Beginn angenommene lineare Kurve als dicke durchgezogene Linie sowie die nach ^^1 ermittelte Kurve als dünne durchgezogene Linie. Diese liegt bereits nah an der Referenzkurve, die als gestrichelte Linie ebenfalls in Fig.11d) dargestellt ist. Bereits nach zwei Vollzyklen kann die Leerlaufspannungskurve mit dem neuen Verfahren bestimmt werden. Damit ist das Verfahren erfolgreich demonstriert. Nach dem Zeitraum ^^1 wird das Modell mit der ermittelten Kurve erneuert, bevor mit dem zweiten Zyklus im Zeitraum ^^2 fortgefahren wird. Analog wird nach ^^2, ^^3 und ^^4 verfahren. Die ermittelten Kurven sind ebenfalls in Fig.11d) dargestellt. Das Verfahren stabilisiert sich nahe der Referenzkurve. Gleichzeitig wird die Vorhersagequalität des spannungsgeführten Modells besser (vgl. Fig.11b) für Zeiträume > 2 h) und damit Δ ^^0 kleiner (vgl. Fig.11c) für Zeiträume > 2 h). Mit diesen Ergebnissen konnte das neue Verfahren zur Bestimmung der Leerlaufspannungskurve einer aufladbaren Batterie erfolgreich demonstriert werden. Bestimmung der Kapazität Die reale Batterie weist eine reale Kapazität auf, die wir mit ^^ bezeichnen. Stellvertretend wird mittels des Verfahrens ein Wert ^^cal bestimmt, der der realen Kapazität sehr nahe kommt. Das Modell hat eine angenommene Kapazität, die wir mit ^^mod bezeichnen. Wir bezeichnen den Unterschied als Δ ^^ mit
Figure imgf000038_0001
Da die im Modell angenommene Kapazität in der Regel nicht der realen Kapazität entspricht, wird das spannungsgeführte Batteriemodell grundsätzlich eine andere Stromstärke ^^mod aufweisen als die der realen Batterie ^^mess. Aus dem Unterschied zwischen ^^mod und ^^mess kann daher auf Δ ^^ geschlossen werden. Diese Beziehung wird im Folgenden hergeleitet. Die Batterie wird über einen Zeitraum ^^ betrieben. Die dabei durchgesetzte Ladungsmenge ^^cal ergibt sich durch Integration nach
Figure imgf000038_0002
Wir wählen den Betrag der Stromstärke, um unabhängig von der Art des Betriebs (Ladung, Entladung oder Kombination von beidem) zu sein – nur die absolut durchgesetzte Ladungsmenge ist relevant. Das spannungsgeführte Modell wird über den gleichen Zeitraum mit der experimentell gemessenen Spannung beaufschlagt. Die dabei vom Modell durchgesetzte Ladungsmenge ^^mod ergibt sich analog durch Integration nach
Figure imgf000039_0001
Der Quotient von ^^mod und ^^cal entspricht dem Quotienten von ^^mod und ^^cal, d.h.
Figure imgf000039_0002
Die Kombination von Gl. (32) bis (35) ergibt
Figure imgf000039_0003
Diese Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen der gesuchten Größe Δ ^^, der Messgröße ^^mess und dem Ausgang des spannungsgeführten Modells ^^mod. Für die praktische Anwendung müssen die Integrale in Gl. (36) berechnet werden. Im praktischen Batteriebetrieb wird die Messgröße ^^mess zu bestimmten diskreten Zeitpunkten ^^ ^^ bestimmt. Damit ergibt sich Gl. (32) zu
Figure imgf000039_0004
mit ^^ als Anzahl der Messpunkte im Zeitraum ^^ und Δ ^^ als Zeitschrittweite. Diese Gleichung ist das zentrale Ergebnis dieser Analyse. Sie erlaubt die Ermittlung von Δ ^^ aus diskreten Zeitreihen von ^^mess und ^^mod. Die zu bestimmende Kapazität der realen Batterie ergibt sich in einem abschließenden Schritt nach Gl. (32) zu
Figure imgf000039_0005
Um die Genauigkeit des Verfahrens zu erhöhen und/oder das Modell für weitere Messdaten zu verwenden, kann im Anschluss eine Anpassung („Update“) der Modellparameter erfolgen. Für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in Fig.3a) erfolgt dies in Analogie zu Gl. (38) nach
Figure imgf000040_0001
Die Bestimmung der Kapazität erfolgt in der Praxis in folgenden Schritten. Zuerst wird ein spannungsgeführtes Batteriemodell mit bekannten Parameterwerten für den oder die mit dem Innenwiderstand ^^mod zusammenhängenden Parameter (z.B. ^^ ^^ für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in Fig.3a) und für die Leerlaufspannungskurve ^^m 0 od (DOD) bereitgestellt. Ein beliebiger Startwert wird für die Kapazität ^^mod angenommen. Die Batterie wird über einen Zeitraum ^^ mit Messung von Stromstärke ^^mess und Spannung ^^mess betrieben. Anschließend wird die simulierte Stromstärke ^^mod über den Zeitraum ^^ mittels des spannungsgeführten Modells berechnet. Darauf folgt die Berechnung von Δ ^^ nach Gl. (37). Anschließend wird der Näherungswert für die reale Kapazität nach Gl. (38) berechnet. Optional wird die Durchführung des Verfahrens wiederholt, wobei der Parameter für die Kapazität im Batteriemodell auf den ermittelten Wert gesetzt wird („Modell-Update“). Damit erfolgt eine iterative Annäherung an den echten Wert der Kapazität. Im Folgenden wird das beschriebene Verfahren anhand der bereits erwähnten experimentellen Daten demonstriert, und zwar anhand aller drei Datensätze (Vollzyklen, Teilzyklen, Fahrzyklen). Es wird das einfache Äquivalenzschaltkreismodell von Fig.3a) verwendet. Der serielle Widerstand wird auf den Referenzwert von ^^ ^^ = 4,579 mΩ gesetzt, die Leerlaufspannungskurve auf den in Fig.4 gezeigten Referenzverlauf. Es werden beliebige Startwerte für die Kapazität gewählt, hier beispielhaft unterschiedliche Werte für die drei untersuchten Datensätze. Ergebnisse für Vollzyklen sind in Fig.12 gezeigt. Als Startwert für die im Modell angenommene Kapazität wird ^^ = 30 Ah verwendet. Als Zeitraum ^^ wird ein Lade- /Entladezyklus gewählt (ca.2,1 h), der Algorithmus wird jeweils nach vier Zeiträumen ^^1 bis ^^4 angewendet, als Beispiel für eine kontinuierliche Verwendung der experimentellen Zeitreihen. Fig.12a) zeigt die experimentell gemessene Spannung. Diese Daten dienen als Eingangsgröße für das spannungsgeführte Modell. Fig.12b) zeigt die gemessene Stromstärke ^^mess und die mit dem Modell simulierte Stromstärke ^^mod. Im Zeitraum ^^1 (zwischen 0 und 2 h) weicht diese signifikant von dem experimentellen Messwert ab. Dies ist ein Zeichen dafür, dass die im Modell angenommene Kapazität von ^^ = 30 Ah falsch ist. Fig.12d) zeigt die mit dem Verfahren ermittelten Werte für die Kapazität, ausgehend von der angenommenen Anfangskapazität, hier als Funktion der durchgeführten Updates. Nach einem Zeitraum ^^1 von rund 2 Stunden wurde die Kapazität erstmalig ermittelt, der Wert liegt bereits sehr dicht am Referenzwert. Im zweiten Zeitraum ^^2 ist die in Fig.12b) gezeigte Abweichung zwischen simulierter und experimenteller Stromstärke weiter reduziert, gleichzeitig geht der Quotient Δ ^^ in Fig.12c) gegen eins. Am Ende des Datensatzes, nach gut achtstündiger Messung mit vier Vollzyklen und vier Updates, ist der Referenzwert erreicht. Fig.13 zeigt Ergebnisse in gleicher Vorgehensweise, jedoch anhand von experimentellen Teilzyklen, hier wurde die Batterie zwischen 25 % und 75 % Ladezustand zykliert. Es werden gleiche Zeiträume ^^1 bis ^^4 von jeweils rund 2 Stunden gewählt, entsprechend 2 Teilzyklen. Als Startwert für die im Modell angenommene Kapazität wird ^^ = 2 Ah verwendet. Auch hier ist am Ende der insgesamt gut achtstündigen Messreihe der Referenzwert für die Kapazität erreicht. Fig.14 zeigt Ergebnisse für experimentelle Fahrzyklen. Als Zeitraum ^^ wird hier der gesamte gezeigte Datensatz von gut acht Stunden verwendet. Als Startwert für die im Modell angenommene Kapazität wird ^^ = 10 Ah verwendet. Auf diese Daten wird mehrfach der Algorithmus angewendet und der Modellparameter jeweils aktualisiert. Nach vier solcher Updates wird der Referenzwert erreicht. Anhand jedes einzelnen der gezeigten Datensätze konnte damit das neue Verfahren zur Bestimmung der Kapazität einer aufladbaren Batterie erfolgreich demonstriert und seine hohe Flexibilität bezüglich Eingangsdaten und Startwerten gezeigt werden. Gleichzeitige Bestimmung von Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve lassen sich gleichzeitig bestimmen, dafür kombinieren wir die Ansätze aus der Bestimmung des Innenwiderstandes und der Leerlaufspannungskurve. Der Spannungsunterschied aufgrund des Innenwiderstands Δ ^^R nach Gl. (8) (Fig.6) und der Spannungsunterschied aufgrund der Leerlaufspannungskurve Δ ^^0 nach Gl. (21) (Fig.10) kombinieren sich zu einem Gesamtunterschied Δ ^^tot (der Index „tot“ für total) nach Δ ^^tot = Δ ^^0 − Δ ^^ ∙ ^^mess . (40) Analog zu Gl. (15) und (27) lässt sich dafür folgender Ausdruck herleiten:
Figure imgf000042_0001
Die Diskretisierung ergibt ^^ ^^
Figure imgf000042_0002
. (42) Diese Gleichung erlaubt die Berechnung von Δ ^^tot aus diskreten Zeitreihen von ^^mess und ^^mod. Für jeden Zeitschritt wird ein Wert von Δ ^^tot erhalten. Mit Gl. (40) können daraus in einem nachfolgenden Schritt Δ ^^0 und Δ ^^ berechnet werden. Dafür wird Δ ^^tot abschnittsweise über einer Matrix von DOD und ^^mess gemittelt. Für jeden DOD- Abschnitt wird nach Gl. (40) ein linearer Fit von Δ ^^tot gegen ^^mess durchgeführt. Aus dem y-Achsenabschnitt ergibt sich Δ ^^0(DOD), aus der Steigung Δ ^^(DOD). Der letztgenannte Wert kann bei Bedarf über alle DOD gemittelt werden. Anschließend werden die zu bestimmenden Batterieeigenschaften ^^cal und ^^c 0 al analog zu Gl. (19) und (30) bestimmt. Abschließend kann ein Update der Modellparameter analog zu Gl. (20) und (31) durchgeführt werden. Die gleichzeitige Bestimmung von Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve erfolgt in der Praxis in folgenden Schritten. Zuerst wird ein spannungsgeführtes Batteriemodell mit einem bekannten Parameterwert für die Kapazität ^^mod bereitgestellt. Ein beliebiger Startwert wird für den oder die mit dem Innenwiderstand ^^mod zusammenhängenden Parameter (z.B. ^^ ^^ für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in Fig.3a) und für den Verlauf der
Figure imgf000043_0001
angenommen (sinnvoll ist hier die Annahme eines linearen Verlaufs zwischen Lade- und Entladeschlussspannung). Die Batterie wird über einen Zeitraum ^^ mit Messung von Stromstärke ^^mess und Spannung ^^mess betrieben. Anschließend wird die simulierte Stromstärke ^^mod über den Zeitraum ^^ mittels des spannungsgeführten Modells berechnet. Darauf folgt die Berechnung von Δ ^^tot nach Gl. (42). Die Werte Δ ^^tot werden abschnittsweise in einer Matrix von DOD- und ^^mess- Abschnitten zum Mittelwertത Δതത ^ത^t ത o തത t(DOD, ^^exp) über den Zeitraum ^^ gemittelt. Anschließend werden Δ ^^0(DOD) und Δ ^^(DOD) nach Gl. (40) durch lineare Regression vonത Δതത ^ത^t ത o തത t(DOD, ^^mess) gegen ^^mess für jeden DOD-Abschnitt berechnet. Darauffolgend wird Δ ^^(DOD) über alle DOD zuത Δതത ^ത^ gemittelt. Anschließend wird der Näherungswert für den realen Innenwiderstand ^^cal nach Gl. (19) und der Näherungswert für die reale Leerlaufspannungskurve ^^c 0 al (DOD) nach Gl. (30) berechnet. Optional wird die Durchführung des Verfahrens wiederholt, wobei der oder die mit dem Innenwiderstand ^^mod zusammenhängenden Parameter und die Leerlaufspannungskurve ^^m 0 od im Batteriemodell auf die ermittelten Werte gesetzt werden („Modell-Update“). Damit erfolgt eine iterative Annäherung an die echten Werte von Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve. Die Mittelung von Δ ^^tot kann auch abschnittsweise für verschiedene gemessene Temperaturen durchgeführt werden. Der Wert Δ ^^(DOD) muss nicht notwendigerweise über alle DOD gemittelt werden. Damit können ladezustands-, stromstärke- und/oder temperaturabhängige Werte für den Innenwiderstand ^^(DOD, ^^, ^^) und die Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD, ^^) bestimmt werden. Im Folgenden wird das beschriebene Verfahren anhand der bereits erwähnten experimentellen Daten demonstriert, und zwar anhand der Vollzyklen (Fig.5). Es wird das einfache Äquivalenzschaltkreismodell von Fig.3a) verwendet. Das Batteriemodell erhält einen beliebigen Startwert für den seriellen Widerstand, hier ^^s = 9 mΩ. Die Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD) wird ebenfalls auf einen beliebigen Startwert gesetzt, und zwar einen linearen Verlauf zwischen den beiden Schlussspannungen. Die Kapazität wird auf den Referenzwert von ^^ = 19,96 Ah gesetzt. Als Zeitraum ^^ wird ein Lade-/Entladezyklus gewählt (ca.2,1 h). Die Ergebnisse sind in Fig.15 dargestellt. Fig.15a) zeigt die gemessene Spannung ^^mess als Eingangsgröße für das spannungsgeführte Modell. Fig.15b) zeigt sowohl die gemessene Stromstärke ^^mess als auch die simulierte Stromstärke ^^mod aus dem spannungsgeführten Modell. Im Zeitraum ^^1 (zwischen 0 und 2 h) ist eine deutliche Abweichung ^^mod − ^^mess der beiden Kurven ersichtlich. Fig.15c) zeigt den nach Gl. (2) ermittelten Unterschied zwischen simulierter und experimenteller Spannung Δ ^^tot unter Verwendung der in Fig.15b) gezeigten Daten. Der Wert Δ ^^tot variiert zeitlich während des Zeitraums ^^1 (zwischen 0 und 2 h). Über die erste Zyklusdauer ^^1 werden diese Werte abschnittsweise in einer Matrix für jeden DOD-Prozentpunkt und jede Stromstärke ^^mess (auf ganze Ampere) gemittelt. Für jeden individuellen DOD-Abschnitt wird eine lineare Regression des Verlaufs Δ ^^tot gegen ^^mess durchgeführt und daraus nach Gl. (40) die Werte Δ ^^0(DOD) und Δ ^^(DOD) berechnet. Der letztgenannte Wert wird über den gesamten DOD-Bereich gemittelt zuത Δതത ^ത^. Schließlich werden die Modellparameter auf die neuen Werte gesetzt nach Gl. (20) und (31). Das Verfahren wird für die Zeiträume ^^2 bis ^^4 wiederholt. Die auf diese Weise ermittelten Innenwiderstände sind in Fig.15d) dargestellt, ausgehend vom angenommenen Startwert. Das Verfahren stabilisiert sich nach drei Zyklen nahe dem Referenzwert. Die ermittelten Leerlaufspannungskurven sind in Fig.15e) dargestellt. Das Verfahren stabilisiert sich auch hier nach drei Zyklen nahe der Referenzkurve. Gleichzeitig wird die Vorhersagequalität des spannungsgeführten Modells besser (vgl. Fig.15b) für Zeiträume > 2 h) und damit Δ ^^tot kleiner (vgl. Fig.15c) für Zeiträume > 2 h). Mit diesen Ergebnissen konnte das neue Verfahren zur gleichzeitigen Bestimmung von Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve einer aufladbaren Batterie erfolgreich demonstriert werden. Gleichzeitige Bestimmung von Innenwiderstand und Kapazität Die oben dargestellten Verfahren zur Bestimmung von Kapazität und Innenwiderstand können kombiniert werden. Dies erlaubt die gleichzeitige Bestimmung dieser beiden Parameter. Dafür ist keine neue Theorieentwicklung nötig, lediglich eine Kombination der praktischen Umsetzungen. Die gleichzeitige Bestimmung von Kapazität und Innenwiderstand erfolgt in der Praxis in folgenden Schritten. Zuerst wird ein spannungsgeführtes Batteriemodell mit bekannten Parameterwerten für die
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bereitgestellt. Beliebige Startwerte werden für die Kapazität ^^mod und den oder die mit dem Innenwiderstand ^^mod zusammenhängenden Parameter angenommen (z.B. ^^ ^^ für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in Fig.3a). Die Batterie wird über einen Zeitraum ^^ mit Messung von Stromstärke ^^mess und Spannung ^^mess betrieben. Anschließend wird die simulierte Stromstärke ^^mod über den Zeitraum ^^ mit dem spannungsgeführten Modell berechnet. Darauf folgt die Berechnung von Δ ^^ nach Gl. (17). Die Werte für Δ ^^ werden über den Zeitraum ^^ zum Mittelwertത Δതത ^ത^ gemittelt. Anschließend wird Δ ^^ nach Gl. (37) berechnet. Anschließend wird der Näherungswert für den realen Innenwiderstand ^^cal nach Gl. (19) und der Näherungswert für die reale Kapazität nach Gl. (38) berechnet. Optional wird die Durchführung des Verfahrens wiederholt, wobei die Kapazität ^^mod und der oder die mit dem Innenwiderstand ^^mod zusammenhängenden Parameter im Batteriemodell auf die ermittelten Werte gesetzt werden („Modell-Update“). Damit erfolgt eine iterative Annäherung an die echten Werte von Kapazität und Innenwiderstand. Die Mittelung von Δ ^^ kann auch abschnittsweise für verschiedene Bereiche der Entladetiefe DOD, verschiedene gemessene Temperaturen oder verschiedene Stromstärken ^^mess durchgeführt werden. Damit kann ein ladezustands-, stromstärke- und/oder temperaturabhängiger Innenwiderstand ^^(DOD, ^^, ^^) bestimmt werden. Im Folgenden wird das beschriebene Verfahren anhand der bereits erwähnten experimentellen Daten demonstriert, und zwar anhand der Vollzyklen (Fig.5) und der Teilzyklen. Es wird das einfache Äquivalenzschaltkreismodell von Fig 3a) verwendet. Das Batteriemodell erhält die gemessene Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD) wie in Fig. 4 gezeigt. Die Kapazität wird auf einen beliebigen Startwert gesetzt, hier exemplarisch ^^ = 30 Ah für die Vollzyklen und ^^ = 2 Ah für die Teilzyklen. Der Parameter für den seriellen Widerstand wird ebenfalls auf einen beliebigen Startwert gesetzt, hier exemplarisch auf ^^ ^^ = 1 mΩ. Fig.16 zeigt Ergebnisse für die Vollzyklen. Als Zeitraum ^^ wird ein Lade-/Entladezyklus gewählt (ca.2,1 h). Aus Fig.16c) und Fig.16d) ist ersichtlich, dass Kapazität und Innenwiderstand nach bereits drei Modell-Updates (also nach drei Vollzyklen) gegen den Referenzwert konvergieren. Fig.17 zeigt analoge Ergebnisse für die Teilzyklen. Als Zeitraum ^^ wird hier ein Teil-Lade-/Entladezyklus gewählt (ca.1 h). Aus Fig.17c) und Fig.17d) ist ersichtlich, dass Kapazität und Innenwiderstand nach rund zehn Modell-Updates (also nach zehn Teilzyklen) gegen den Referenzwert konvergieren. Diese Ergebnisse demonstrieren den erfolgreichen Einsatz des neuen Verfahrens für die gleichzeitige Bestimmung von Innenwiderstand und Kapazität. Gleichzeitige Bestimmung von Leerlaufspannungskurve und Kapazität Die zuvor dargestellten Verfahren zur Bestimmung von Kapazität und Leerlaufspannungskurve können kombiniert werden. Dies erlaubt die gleichzeitige Bestimmung dieser beiden Parameter. Dafür ist keine neue Theorieentwicklung nötig, lediglich eine Kombination der praktischen Umsetzungen. Die gleichzeitige Bestimmung von Kapazität und Leerlaufspannungskurve erfolgt in der Praxis in folgenden Schritten. Zuerst wird ein spannungsgeführtes Batteriemodell mit bekannten Parameterwerten für den oder die mit dem Innenwiderstand ^^mod zusammenhängenden Parameter (z.B. ^^ ^^ für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in Fig.3a) bereitgestellt. Beliebige Startwerte werden für die Kapazität ^^mod und für den Verlauf der
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angenommen (sinnvoll ist die Annahme eines linearen Verlaufs zwischen Lade- und Entladeschlussspannung). Die Batterie wird über einen Zeitraum ^^ mit Messung von Stromstärke ^^mess und Spannung ^^mess betrieben. Anschließend wird die simulierte Stromstärke ^^mod über den Zeitraum ^^ mit dem spannungsgeführten Modell berechnet. Darauf folgt die Berechnung von Δ ^^0 nach Gl. (29). Die Werte für Δ ^^0 werden abschnittsweise für DOD-Bereiche zum Mittelwertത Δത ^ത^ത0ത(DOD) über den Zeitraum ^^ gemittelt. Anschließend wird Δ ^^ nach Gl. (37) berechnet. Anschließend werden die Näherungswerte für die reale Leerlaufspannungskurve ^^c 0 al (DOD) nach Gl. (30) und für die reale Kapazität ^^cal nach Gl. (38) berechnet. Optional wird die Durchführung des Verfahrens wiederholt, wobei die Kapazität ^^mod und die Leerlaufspannungskurve ^^m 0 od im Batteriemodell auf die ermittelten Werte gesetzt werden („Modell-Update“). Damit erfolgt eine iterative Annäherung an die echten Werte von Kapazität und Leerlaufspannungskurve. Im Folgenden wird das beschriebene Verfahren anhand der bereits erwähnten experimentellen Daten demonstriert, und zwar anhand eines Vollzyklus. Es wird das einfache Äquivalenzschaltkreismodell aus Fig.3a) verwendet. Die Kapazität wird auf einen beliebigen Startwert gesetzt, hier exemplarisch ^^ = 10 Ah. Die Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD) wird ebenfalls auf einen beliebigen Startwert gesetzt, und zwar einen linearen Verlauf zwischen den beiden Schlussspannungen. Der Parameter für den seriellen Widerstand wird auf den Referenzwert von ^^ ^^ = 4,579 mΩ gesetzt. Als Zeitraum ^^ wird ein Lade-/Entladezyklus gewählt (ca.2,1 h). Das Verfahren wird insgesamt neun Mal auf diesen Zeitraum angewendet und jeweils ein Modell-Update durchgeführt. Ergebnisse sind in Fig.18 dargestellt. Aus Fig.18c) ist ersichtlich, dass die Kapazität nach bereits drei Modell-Updates gegen den Referenzwert konvergiert. Fig.18d) zeigt, dass die Bestimmung der Leerlaufspannungskurve weitere Updates erfordert; hier ist nach neun Updates der Referenzwert erreicht. Diese Ergebnisse demonstrieren den erfolgreichen Einsatz des neuen Verfahrens für die gleichzeitige Bestimmung von Leerlaufspannungskurve und Kapazität einer aufladbaren Batterie. Gleichzeitige Bestimmung von Kapazität, Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve Die oben dargestellten Verfahren zur Bestimmung von Kapazität, Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve können kombiniert werden. Dies erlaubt die gleichzeitige, vollständige Charakterisierung aller relevanten Parameter einer unbekannten Batterie. Dafür ist keine neue Theorieentwicklung nötig, lediglich eine Kombination der praktischen Umsetzungen. Die gleichzeitige Bestimmung von Kapazität, Innenwiderstand und Leerlaufspannungs- kurve erfolgt in der Praxis in folgenden Schritten. Zuerst wird ein spannungsgeführtes Batteriemodell bereitgestellt. Es werden beliebige Startwerte für die Kapazität ^^mod, den oder die mit dem Innenwiderstand ^^mod zusammenhängenden Parameter (z.B. ^^ ^^ für das einfache Äquivalenzschaltkreismodell in Fig.3a) und für den Verlauf der
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angenommen (sinnvoll ist die Annahme eines linearen Verlaufs zwischen Lade- und Entladeschlussspannung). Die Batterie wird über einen Zeitraum ^^ mit Messung von Stromstärke ^^mess und Spannung ^^mess betrieben. Anschließend wird die simulierte Stromstärke ^^mod über den Zeitraum ^^ mit dem spannungsgeführten Modell berechnet. Darauf folgt die Berechnung von Δ ^^tot nach Gl. (42). Die Werte für Δ ^^tot werden in einer Matrix von DOD- und ^^mess-Abschnitten zum Mittelwertത Δതത ^ത^t ത o തത t(DOD, ^^mess) über den Zeitraum ^^ gemittelt. Δ ^^0(DOD) und Δ ^^(DOD) werden nach Gl. (40) durch lineare Regression vonത Δതത ^ത^t ത o തത t(DOD, ^^mess) gegen ^^mess für jeden DOD-Abschnitt berechnet. Die Werte Δ ^^(DOD) werden über alle DOD zuത Δതത ^ത^ gemittelt. Δ ^^ wird nach Gl. (37) berechnet. Anschließend werden die Näherungswerte für den realen Innenwiderstand nach Gl. (19), für die reale Leerlaufspannungskurve nach Gl. (30) und für die reale Kapazität nach Gl. (38) berechnet. Optional wird die Durchführung des Verfahrens wiederholt, wobei die Kapazität ^^mod und der oder die mit dem Innenwiderstand ^^mod zusammenhängenden Parameter und die Leerlaufspannungskurve ^^m 0 od im Batteriemodell auf die ermittelten Werte gesetzt werden („Modell-Update“). Damit erfolgt eine iterative Annäherung an die echten Werte von Kapazität, Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve. Im Folgenden wird das beschriebene Verfahren anhand der experimentellen Daten demonstriert, und zwar anhand eines Vollzyklus. Es wird das einfache Äquivalenzschaltkreismodell von Fig.3a) verwendet. Das Batteriemodell erhält beliebige Startwerte für die Kapazität von ^^ = 10 Ah und für den mit dem Innenwiderstand zusammenhängenden Parameter von ^^s = 9 mΩ. Die Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD) wird ebenfalls auf einen beliebigen Startwert gesetzt, und zwar einen linearen Verlauf zwischen den beiden Schlussspannungen. Als Zeitraum ^^ wird ein Lade-/Entladezyklus gewählt (ca.2,1 h). Das Verfahren wird insgesamt 19 Mal auf diesen Zeitraum angewendet und jeweils ein Modell-Update durchgeführt. Ergebnisse sind in Fig.19 dargestellt. Fig.19a) und Fig.19b) zeigen Spannung und Strom der Batterie über den Zeitraum ^^. Die ermittelten Werte von Kapazität, Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve als Funktion der fortlaufenden Modell-Updates sind in Fig.19c), Fig.19d) und Fig.19e) gezeigt, jeweils ausgehend von den Startwerten. Die gestrichelten Linien sind die unabhängig bestimmten Referenzwerte. Nach 19 Modell-Updates konvergieren alle drei Parameter (Kapazität, Innenwiderstand und Leerlaufspannungskurve) gegen die Referenzwerte. Mit diesen Ergebnissen konnte das neue Verfahren zur gleichzeitigen Bestimmung von Innenwiderstand, Leerlaufspannungskurve und Kapazität einer aufladbaren Batterie erfolgreich demonstriert werden. Das Verfahren erlaubt somit die vollständige Charakterisierung aller relevanten Parameter einer unbekannten Batterie.
Liste wesentlicher Bezeichnungen von Variablen und Parametern C Kapazität der Batterie ^^mod Anfangswert im Batteriemodell für die Kapazität Ccal berechneter Wert für die Kapazität ΔC Abweichung zwischen Anfangswert der Kapazität und berechnetem Wert der Kapazität ^^mess( ^^) gemessener Batteriestrom ^^mess,n erfasster Wert der Stromstärke der Batterie zum Zeitpunkt ^^ ^^mod( ^^) Modell-Batteriestrom ^^mod,n simulierte Stromstärke des Batteriemodells zum Zeitpunkt ^^ ^^mess( ^^) gemessene Batteriespannung ^^mess,n erfasster Wert der Spannung der Batterie zum Zeitpunkt ^^ ^^0 Leerlaufspannungskurve ^^0 mess gemessene Leerlaufspannungskurve ^^0mod Anfangswert im Batteriemodell für die Leerlaufspannungskurve ^^0 cal berechneter Wert für die Leerlaufspannungskurve Δ ^^0 Abweichung zwischen Anfangswert der Leerlaufspannungskurve und berechnetem Wert der Leerlaufspannungskurve Δ ^^0n zeitdiskrete Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve Δ ^^tot Gesamtspannungsunterschied Δ ^^tot,n diskrete Werte des Gesamtunterschieds ത Δത ^ത^ത0ത Mittelwert der Differenz der Leerlaufspannungskurve ^^0(DOD, ^^) Leerlaufspannungskurve als Funktion der Entladetiefe und/oder der Temperatur ^^ Steigung der Leerlaufspannungskurve ^^ Innenwiderstand ^^mod Anfangswert im Batteriemodell für den Innenwiderstand ^^cal berechneter Wert für den Innenwiderstand Δ ^^ Abweichung zwischen Anfangswert des Innenwiderstands und berechnetem Wert des Innenwiderstands Δ ^^n zeitdiskrete Werte der Differenz des Innenwiderstands ത Δതത ^ത^ Mittelwert der Differenz des Innenwiderstands ^^(DOD, ^^, ^^) Innenwiderstand als Funktion von Entladetiefe und/oder Stromstärke und/oder Temperatur SOC Ladezustand (state of charge) DOD Entladetiefe (depth of discharge) t Zeit Δt Abtastintervall T (Mess-) Zeitraum ^^ Temperatur BMS Batteriemanagementsystem Bezugszeichenliste 100 Gesamt-Algorithmus 102 erster Bestandteil des Gesamt-Algorithmus 104 zweiter Bestandteil des Gesamt-Algorithmus 106 Batterie 110 Einheit zur Spannungsmessung 112 Einheit zur Strommessung 114 Last 116 Anzeigeeinheit 118 Recheneinheit 120 Auswerte- und Steuereinheit

Claims

Patentansprüche 1. Ein Verfahren zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie (106), wobei das Verfahren folgende Schritte umfasst: (a) Erstellen eines dynamischen, spannungsgeführten, mathematischen Batteriemodells, wobei für den Innenwiderstand ^^ und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0 und/oder die Kapazität C vorgegebene Anfangswerte ^^0 mod, ^^mod, ^^mod verwendet werden; (b) Erfassen von zeitdiskreten Messwerten für den Batteriestrom ^^mess( ^^) und die Batteriespannung ^^mess( ^^) der aufladbaren Batterie über einen vorgegebenen Zeitraum ^^; (c) Verwenden der Messwerte für die Batteriespannung ^^mess( ^^) als Eingangsgröße für das dynamische, spannungsgeführte, mathematische Batteriemodell und Berechnen von Werten für eine simulierte Stromstärke ^^mod( ^^) als Ausgangsgröße des Batteriemodells; und (d) Bestimmung von berechneten Werten für den Innenwiderstand ^^cal und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0cal und/oder die Kapazität Ccal jeweils unter Verwendung der Werte für die simulierte Stromstärke ^^mod( ^^) und der erfassten Messwerte für die Stromstärke ^^mess( ^^) mit jeweils einer vorgegebenen Rechenvorschrift.
2. Verfahren nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass (a) das Verfahren mindestens zwei Iterationsschritte umfasst; (b) wobei jeder Iterationsschritt die Durchführung der Schritte (a) bis (d) des Verfahrens nach Anspruch 1 umfasst; und (c) wobei in jedem, außer dem ersten, Iterationsschritt an der Stelle der in Schritt (a) vorgegebenen Anfangswerte ^^mod, ^^0mod und Cmod für den Innenwiderstand ^^und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0 und/oder die Kapazität C die in Schritt (d) des vorherigen Iterationsschritts bestimmten berechneten Werte für den Innenwiderstand ^^cal und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0 cal und/oder die Kapazität ^^cal verwendet werden.
3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass (a) das Verfahren mindestens zwei Iterationsschritte umfasst; (b) wobei jeder Iterationsschritt die Durchführung der Schritte (a), (c) und (d) des Verfahrens nach Anspruch 1 umfasst; und (c) wobei in jedem, außer dem ersten, Iterationsschritt an der Stelle der in Schritt (a) vorgegebenen Anfangswerte ^^mod, ^^0 mod und Cmod für den Innenwiderstand ^^und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0 und/oder die Kapazität C die in Schritt (d) des vorherigen Iterationsschritts bestimmten berechneten Werte für den Innenwiderstand ^^cal und/oder die Leerlaufspannungskurve ^^0cal und/oder die Kapazität ^^cal verwendet werden.
4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, wobei (a) unter Verwendung einer Abweichung zwischen den Werten für die simulierte Stromstärke ^^mod( ^^) und den Messwerten für den Batteriestrom ^^mess( ^^) jeweils Abweichungen Δ ^^, Δ ^^0, ΔC zwischen den jeweils vorgegebenen Anfangswerten ^^mod, ^^0mod, Cmod und den jeweils berechneten Werten ^^cal, ^^0cal, Ccal berechnet werden; und (b) aus den so bestimmten Abweichungen Δ ^^, Δ ^^0, ΔC und den vorgegebenen Anfangswerten ^^mod, ^^0 mod, Cmod für Innenwiderstand ^^ und/oder Leerlaufspannungskurve ^^0 und/oder Kapazität C die berechneten Werte für Innenwiderstand ^^cal und/oder Leerlaufspannungskurve ^^0cal und/oder Kapazität Ccal berechnet werden.
5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass für die Bestimmung des Innenwiderstands ^^ die folgende Rechenvorschrift verwendet wird:
Figure imgf000054_0001
, wobei Δ ^^ die Differenz zwischen dem Innenwiderstand des Batteriemodells ^^mod und dem berechneten Wert für den Innenwiderstand ^^cal, ^^ die Steigung der Leerlaufspannungskurve, ^^mod die Stromstärke des Batteriemodells und ^^mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet.
6. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass für die Bestimmung der Leerlaufspannungskurve ^^0 die folgende Rechenvorschrift verwendet wird:
Figure imgf000054_0002
, wobei Δ ^^0 die Differenz zwischen der Leerlaufspannungskurve des Batteriemodells ^^m 0 od und dem berechneten Wert für die Leerlaufspannungskurve ^^c 0 al , ^^ die Steigung der Leerlaufspannungskurve, ^^mod die Stromstärke des Batteriemodells und ^^mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet.
7. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass für die Bestimmung der Kapazität C die folgende Rechenvorschrift verwendet wird: ^^ ^^ , wobei Δ ^^ den Quotienten aus der Kapazität des Batteriemodells ^^mod und dem berechneten Wert für die Kapazität der Batterie ^^cal, ^^mod die Stromstärke des Batteriemodells und ^^mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet.
8. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, dass für die gleichzeitige Bestimmung des Innenwiderstands ^^ und der Leerlaufspannungskurve ^^0 die folgende Rechenvorschrift verwendet wird:
Figure imgf000055_0001
mit Δ ^^tot = Δ ^^0 − Δ ^^ ∙ ^^mess , wobei Δ ^^tot den Gesamtspannungsunterschied, Δ ^^0 die Differenz zwischen der Leerlaufspannungskurve des Batteriemodells ^^m 0 od und dem berechneten Wert für die Leerlaufspannungskurve ^^c 0 al , Δ ^^ die Differenz zwischen dem Innenwiderstand des Batteriemodells ^^mod und dem berechneten Wert für den Innenwiderstand ^^cal, ^^ die Steigung der Leerlaufspannungskurve, ^^mod die Stromstärke des Batteriemodells und ^^mess die erfasste Stromstärke der Batterie bezeichnet.
9. Verfahren nach Anspruch 5 bis 8, dadurch gekennzeichnet, dass für die Berechnung der zeitdiskreten Werte der Differenz des Innenwiderstands Δ ^^n und/oder der zeitdiskreten Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve Δ ^^ ^^ 0 und/oder für die zeitdiskreten Werte des Gesamtspannungsunterschieds ^^ ^^tot, ^^ und/oder für den Wert des Quotienten ΔC aus der Kapazität des Batteriemodells ^^mod und dem berechneten Wert für die Kapazität der Batterie ^^cal ein numerisches Lösungsverfahren verwendet wird.
10. Verfahren nach den Ansprüchen 4 bis 9, dadurch gekennzeichnet, dass mindestens zwei zeitdiskrete Werte der Differenz des Innenwiderstands Δ ^^ ^^ zu einem Mittelwert der Differenz des Innenwiderstandsത Δതത ^ത^ und/oder mindestens zwei zeitdiskrete Werte der Differenz der Leerlaufspannungskurve Δ ^^ ^^ 0 zu einem Mittelwert der Differenz der Leerlaufspannungskurveത Δത ^ത^ത0ത über einen Messzeitraum ^^ gemittelt werden.
11. Verfahren nach den Ansprüchen 1 bis 10, dadurch gekennzeichnet, dass der Innenwiderstand als Funktion von Entladetiefe und/oder Stromstärke und/oder Temperatur ^^(DOD, ^^, ^^) ermittelt wird, wobei mehrere Mittelwerte der Differenz des Innenwiderstandsത Δതത ^ത^ für die Ermittlung verwendet werden, und wobei die Mittelwerte der Differenz des Innenwiderstandsത Δതത ^ത^ bestimmt werden, indem Werte der Differenz des Innenwiderstands Δ ^^ ^^ über den Messzeitraum ^^ abschnittsweise über verschiedene Bereiche der Entladetiefe DOD und/oder Stromstärke ^^ und/oder Temperatur ^^ gemittelt werden.
12. Verfahren nach den Ansprüchen 1 bis 9, dadurch gekennzeichnet, dass die Leerlaufspannungskurve als Funktion der Entladetiefe und/oder der Temperatur, ^^0(DOD, ^^) ermittelt wird, wobei mehrere Mittelwerte der Leerlaufspannungskurveത Δത ^ത^ത0ത für die Ermittlung verwendet werden, und wobei die Mittelwerte der Leerlaufspannungskurveത Δത ^ത^ത0ത bestimmt werden, indem Werte der Leerlaufspannungskurve Δ ^^ ^^ 0 über den Messzeitraum ^^ abschnittsweise über verschiedene Bereiche der Entladetiefe (DOD) und/oder der Temperatur ^^ gemittelt werden.
13. Vorrichtung zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie (106) mit einer Auswerte- und Steuereinheit (120), die eine Erfassungsvorrichtung zum Erfassen von Messwerten für den Batteriestrom ^^mess( ^^) und die Batteriespannung ^^mess( ^^) und/oder die Temperatur ^^mess( ^^) (110, 112) der aufladbaren Batterie, vorzugsweise in äquidistanten zeitlichen Abständen Δt oder zu vorgegebenen Zeitpunkten, umfasst und einer Recheneinheit (118), welcher die erfassten Messwerte zuführbar sind, dadurch gekennzeichnet, dass die Auswerte- und Steuervorrichtung (120) zur Durchführung des Verfahrens nach einem der Ansprüche 1 bis 12 ausgebildet ist.
14. Computerprogramm zur Bestimmung des Innenwiderstands und/oder der Leerlaufspannungskurve und/oder der Kapazität einer aufladbaren Batterie (106), dadurch gekennzeichnet, dass das Computerprogramm derart ausgestaltet ist, dass bei einem Ablauf des Computerprogramms in einer Datenverarbeitungseinheit, insbesondere der Auswerte- und Steuervorrichtung gemäß Anspruch 13, das Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 12 durchgeführt wird.
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