KR100789140B1

KR100789140B1 - 여러 입력 여러 출력 시스템에 알맞은 새로운 가장 비슷함복호 방식

Info

Publication number: KR100789140B1
Application number: KR1020060092026A
Authority: KR
Inventors: 송익호; 강현구; 안태훈
Original assignee: 한국과학기술원
Priority date: 2006-09-22
Filing date: 2006-09-22
Publication date: 2007-12-28
Anticipated expiration: 2026-09-22
Also published as: GB2442075A; GB0708508D0; GB2442075B

Abstract

여러 입력 여러 출력 시스템에서 공 복호기는 깊이를 먼저 탐색하는 가장 비슷함 복호 방식이다. 이 발명은 너비를 먼저 탐색하는 방법을 바탕으로, 여러 입력 여러 출력 시스템에 알맞은 새로운 가장 비슷함 복호기에 관한 것이다. 제안한 복호기는 가장 비슷함 검파기와 비트 오류율이 같으며 공 복호기보다 계산량이 적다.

여러 입력 여러 출력, 가장 비슷함 복호, 공 복호기, 너비 먼저 탐색, 계산량

Description

여러 입력 여러 출력 시스템에 알맞은 새로운 가장 비슷함 복호 방식 {A Novel Maximum Likelihood Decoding Scheme for Multi-Input Multi-Output Systems}

도 1은 제안한 방식의 복호 과정을 나타낸다. (C=3, N=2Nt=4)

도 2는 제안한 방식과 결정-공 복호기의 곱셈 횟수 분포를 나타낸다.

(N _t =N _r =4, 16진 직교진폭변조)

도 3은 제안한 방식과 결정-공 복호기의 이론적인 곱셈 횟수 모의실험에서 얻은 곱셈 횟수를 나타낸다. (N _t =N _r =4, 16진 직교진폭변조)

도 4는 제안한 방식과 공 복호기의 평균 곱셈 횟수를 나타낸다. (N _t =N _r =4)

도 5는 제안한 방식, 모가살 복호기, 공 복호기의 성능을 나타낸다.

무선 통신 채널에서 여러 길 감쇄가 일어날 때 보내는 쪽과 받는 쪽에 안테나를 여러 개 쓰면 여러 길 감쇄의 영향을 줄일 뿐 아니라 주파수 효율도 높일 수 있다. 이러한 여러 입력 여러 출력 (multi-inpuf multi-outpuf) 시스템의 보기로 는, 꾸미기 쉽고 얼개가 비교적 간단한 브이-블래스트 (vertical-Bell Laboratories layered space-time: V-BLAST) 시스템을 들 수 있다. 브이-블래스트 시스템에서는 보내려는 데이터를 몇 개로 나누고, 이를 나눈 수만큼의 송신 안테나에서 보낸다. 이와 같이 송신 안테나를 여러 개 쓰면 보낸 신호끼리 간섭을 일으키기 때문에 효율적인 검파기를 설계하는 것이 무엇보다 중요하다.

이제까지 여러 연구에서 여러 입력 여러 출력 시스템에 알맞은 효율적인 검파기들을 제안하였다. 이론적으로, 가장 비슷함 기준을 따라 신호를 검파하면 비트 오류율 (bit error rate) 성능이 가장 뛰어나다. 이때, 모든 가능성을 다 살펴보는 (full-search: 줄여서, 모가살) 복호기를 써서 신호를 가장 비슷함 검파하면 안테나나 별자리 신호수가 많은 시스템에서는 계산량이 너무 많다. 보기를 들어, 송신·수신 안테나를 4개씩 쓰고 16진 직교진폭변조하여 (quadrature amplitude modulation: QAM) 신호를 보낼 때, 모가살 복호기로 신호를 검파하려면 4⁸·(8×9)=4718592번 곱해야 한다. 이에 따라, 모가살 복호기보다 간단한 여러 검파기들이 제안되었다.

영 만들기 결정 되먹임 등화 (zero forcing decision feedback equalization: 줄여서, 영결되) 검파기는 모가살 복호기보다 계산량이 적지만 비트 오류율 성능이 많이 떨어진다. 영결되 검파기보다 비트 오류율 성능이 좋은 검파기들이 많이 제안 되었지만, 이들은 여전히 비트 오륜을 관점에서 최적이 아니다.

한편, 공 복호기(sphere decoder)는 가장 비슷함 검파를 초 공간에 숨어있는 격자점들을 찾는 문제로 바꾸어 풀이를 찾는 방식이다. 공 복호기는 비트 오류율이 최적이고 모가살 복호기보다 평균 계산량이 적다. 다만, 공 복호기에서는 신호대잡음비를 추정해 처음 문턱값을 얻는데, 처음 얻은 문턱값이 가장 비슷함 풀이의 유클리드 거리보다 아주 크면 계산량이 크게 늘어나고, 처음 얻은 문턱값이 가장 비슷함 풀이의 유클리드 거리보다 작아 복호를 실패하면, 더 큰 문턱값으로 처음부터 다시 복호를 시작하거나 지움을 선언한다. 공 복호기가 지움을 선언하면 공 복호기의 비트 오류율은 최적이 아니다.

이 발명에서는, 이러한 종래기술의 문제점을 감안하여, 너비를 먼저 탐색하는 방법으로 초 공간에 숨어있는 격자점들을 찾아 가장 비슷함 풀이를 얻는 신호 복호기를 제안한다. 아울러, 제안한 복호기와 공 복호기의 비트 오류율 성능과 평균 곱셈 횟수를 몬테카를로 모의실험으로 얻고 견주어 본다.

이제, 본 발명의 구성과 이러한 구성에 따른 동작을 자세히 설명하기로 한다.

송신기에서는 데이터를 N _t 개로 나누고 데이터마다 부호를 입힌 다음 직교진폭변조한 신호를 무선 채널로 보내며, 수신 안테나 N _r 개에서는 이들 신호의 조합을 받는다. 이때,송신기마다 같은 수의 별자리를 써서 직교진폭변조한다고 둔다.

보낸 복소 신호 벡터

는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

[수학식 1]

여기서, 윗 첨자 T는 벡터 전치를 나타내고 벡터

의 j째 원소

는 j째 송신기에서 직교진폭변조한 신호를 나타낸다. 그러면, 받은 신호 벡터

를 아래와 같이 쓸 수 있다.

[수학식 2]

여기서,

는 평균이 0이고, 분산이

이며, 서로 독립이고, 분포가 같은 복소 정규 잡음 N _r 개가 이루는 벡터이고, 벡터

의 j해 원소

는 j째 수신 안테나에서 받은 신호이며,

[수학식 3]

은 크기가 N _r ×N _t 인 채널 전달 행렬이다. 행렬

의 원소

는 i째 송신 안테나와 j째수신 안테나 사이의 복소 채널 전달 계수를 나타낸다. 이 발명에서 수신기는

의 모든 원소를 알고 있다고 둔다.

받은 신호 벡터 수학식 2는 복소수 꼴인데, 이를 실수 꼴로 쓰면 아래와 같다.

[수학식 4]

여기서,

[수학식 5]

[수학식 6]

[수학식 7]

그리고

[수학식 8]

이다. 이때, R{·}과

{·}은 각각 실수와 허수 부분을 나타내고, M=2N _r , N=2N _t , H는 M×N 행렬이다. 한편, N차원 벡터

는 신호 집합 Ω ^N 의 원소인데, 보기를 들어, 4진 직교진폭변조하여 신호를 보낸다면 Ω={-1,1}이고 16진 직교진폭변조하여 신호를 보낸다면 Ω={-3,-1,1,3}이다.

시스템 모형 수학식 4에서,

가 주어졌을 때

의 확률밀도함수

는 아래와 같다.

[수학식 9]

여기서, h _j,i 는 채널 행렬 H의 j째 행 i째 열의 원소이다. 한편, 가장 비슷함 기준을 써서 신호를 검파하면, 수학식 9에서

[수학식 10]

을 가장 작게하는 벡터

를 찾아야 한다. 여기서, ∥·∥²은 유클리드 거리이다. 따라서, 시스템 모형 수학식 4에서 최적 풀이는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

[수학식 11]

이 발명에서는 N _t =N _r 이라 (곧, M=N이라) 두지만, 이 발명에서 얻은 결과들을 바탕으로 M≥N인 때의 결과도 쉽게 얻을 수 있다.

검파기의 비트 오류율 성능을 가장 좋게 하려면 가장 비슷함 풀이

를 찾아야 하며, 이를 수학식 9 - 11에서도 보았다. 이제, 수학식 11을 바탕으로 가장 비슷함 풀이

을 찾으려 할 때 모든 신호 벡터

에서 수학식 10을 바로 계산하면 효율이 떨어진다. 이에, 효율적으로 가장 비슷함 풀이

을 찾도록 수학식 10의 모양을 바꾸면 아래와 같다.

[수학식 12]

여기서, 직교 행렬 Q와 윗삼각행렬 R은 H를 QR 분해하여 얻으며 QR=H와 Q ^T Q=I를 만족시킨다. 이때,

[수학식 13]

이며, 여기서

[수학식 14]

이다. 수학식 13에서, M차원 정규 잡음 벡터

의 원소들은 서로 독립이고 분포가 같다.

이제, 수학식 12와 수학식 13을 쓰면 수학식 11을 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.

[수학식 15]

한편, 가장 비슷함 거리

는 아래와 같이 뜻매김한다.

[수학식 16]

여기서, r _j,i 는 R의 j째 행 i째 열의 원소이다.

이제, 성능이 가장 좋으면서 공 복호기보다 계산량이 적은 새로운 방식을 설명하자. 이해하기 쉽도록, 나무 얼개를 써서 신호 벡터를 나타내고 이를 바탕으로 제안한 방식을 설명하고자 한다.

먼저, 뿌리에서 시작하고 N 층으로 이루어진 C진 나무 얼개를 생각하자. 여기서, C는 집합 Ω의 원소의 개수이다. 이 나무 얼개에서 l째 층의 k째 마디가 나타내는 벡터를

라 하자. 여기서, 1≤l≤N이고 1≤k≤C ^N-l ⁺¹이다. 그러면, 신호 벡터

은 이 나무 얼개 맨 아래층의 k째 마디에 해당하는 벡터

로 나타낼 수 있다. 이제, (N-l+1)차원 벡터

의 마디 거리

을 아래와 같이 뜻매김하자.

[수학식 17]

그러면, l째 층의 k째 마디에 해당하는 벡터

의 마디 거리는

이고, 이는 수학식 16의 오른쪽 항들을 가장 오른쪽에서 N-l+1개 더한 꼴이다.

수학식 14를 살펴보면, y _N 을 이루는 신호 성분은 신호들

가운데 s _N 뿐이다. 곧, 다른 신호들의 간섭이 없는 y _N 을 써서 s _N 을 먼저 복호하는 것이 가장 바람직하다. 이제, N째 층의 모든 마디 거리를 계산한 다음 d _N 보다 마디 거리가 큰 마 디를 모두 버린다. 여기서, d _N 은

을 만족시키는 수이다. 버린 마디들과 그 마디들에서 뻗은 마디들은 더 이상 생각하지 않는다.

다음에, N째 층에서 살아남은 (버려지지 않은) 마디들에서 뻗은 (N-1)째 층의 모든 마디의 마디 거리를 계산하고, d _N-1 보다 마디 거리가 큰 마디를 모두 버린다. 여기서, d _N-1 은

을 만족시키는 수이다. 이런 과정을 되풀이하여 맨 아래층에서 (첫째 층) 마디 거리가 가장 작은 마디를 찾으면 복호 과정이 끝난다. 맨 아래층에서 마디 거리가 가장 작은 마디가 나타내는 벡터가 바로 가장 비슷함 풀이

이다.

여기서, {d _l }² _l = _N 가 작을수록 마디를 더 많이 버릴 수 있으며, 이는 계산량 이득이 더 큼을 말한다. 한편, 제안한 방식에서는 {d _l }² _l = _N 를 얻을 때 QR 분해를 쓰는 잘 알려진 검파방법들 가운데 계산량이 가장 적은 결정 되먹임 등화 방법을 쓴다. 결정 되먹임 등화 풀이와 결정 되먹임 등화 거리를 각각

와

이라 두고, (l+1)째 층에서 살아남은 마디들에서 뻗은 l째 층의 마디들 가운데 마디 거리가 k째로 작은 마디에 해당하는 벡터를

라 두자. 그러면, {d _l }² _l=N 는 아래와 같이 얻는다.

[수학식 18]

여기서,

이고 g ^(l) ∈Ω ^N 은

와

를 나란히 놓아 만든 것으로 아래와 같다.

[수학식 19]

여기서,

와 d ₂는 가장 비슷함 거리

보다 언제나 크거나 같으므로, {d _l }² _l ₌ _N 는 아래를 만족시킨다는 것을 눈여겨 볼만하다.

[수학식 20]

제안한 방식에서는 복호 실패가 일어나지 않으며, 버린 마디에는 결코 가장 비슷함 풀이가 들어있지 않음을 수학식 20에서 알 수 있다.

한편, 수학식 18에서

를 계산하는 데 드는 계산량도 꽤 많다. 이에 따라, 검사 벡터

를 써서

의 계산량을 줄인다. 처음에는 검사 벡터

를

으로 두고,

일 때에는

를

로 바꾼다. 구체적으로는, 수학식 18의

을 계산하기에 앞서서 [t_l ,t_l ,…,t_N ] ^T 와

을 견주어 보고 [t_l ,t_l ₊₁,…,t_N ] ^T 와

이 같으면

이므로

을 계산하지 않는다: 이는

을 계산하는 데 드는 연산을 줄일 수 있음을 뜻한다. 한편, [t_l ,t_l ₊₁,…,t_N ] ^T 와

이 다르면

을 계산한 다음 수학식 18을 써서 d_l 을 얻는다. 표 1은 제안한 방식의 알고리즘을 정리한 것이다.

표 1에 보인 알고리즘에서, 둘째 단계의 2-2와 2-3을 좀 더 자세히 설명하면 다음과 같다. 앞에서 말한 대로 살아남은 마디들만 생각하여, l째 층에서 살아남은 마디 수를 E _l 라 하고, E _N ₊₁=1이라 두자.

한편, 집합

은 집합

과 같다. 보기를 들어, M=N=4, Ω={-1,1}, E ₃=2,

, 그리고

일 때, 집합

,

= {[-1,1,-1] ^T , [-1,1,1] ^T , [1,1,-1] ^T , [1,1,1] ^T }는 순서만 조금 다를 뿐 집합

= {[-1,1,-1] ^T , [1,1,-1] ^T , [-1,1,1] ^T , [1,1,1] ^T }와 같다. 그러면, j=1,2,…,C이고 p=1,2,…,E _l ₊₁일 때

[수학식 21]

을 계산하면 l째 층의 마디 거리

을 얻을 수 있다. 여기서,

,

, 그리고

[수학식 22]

이다. 수학식 21에서,

는 이미 (l+1)째 층에서 얻었으므로 l째 층에서 마디 거리를 얻으려면

와

만 계산하면 된다.

한편, 계산량을 더욱 줄이고자

를 다음과 같이 계산한다. 먼저, 수학식 22를 다시 쓰면 아래와 같다.

[수학식 23]

여기서,

이고

이다. 이제, p=1일 때부터

를 얻는데, 수학식 23의 둘째 항을 계산하기에 앞서서

와

을 견주어 본다:

이면

이므로

을 계산하지 않는다. 곧,

와

가 다를 때에만

을 계산하므로 계산량을 줄일 수 있다. 수학식 21은 공 복호기에서도 쓰지만 수학식 23을 써서 계산량을 줄이는 방법은 제안한 방식에서만 쓸 수 있음을 새겨두자: 공 복호기에서는 깊이를 먼저 탐색하기 때문에 수학식 23을 써서 계산량을 줄이기에는 매우 복잡하고 까다롭다. 도 1은 C=3이고 N=4일 때, 제안한 방식을 쓴 과정을 보여준다.

제안한 방식에서는 마디마다 마디 거리를 많아야 한번 계산하고, 마디 거리를 계산할 때에도 이웃 벡터 (보기를 들면, 수학식 23에서 벡터

과 짝을 이루는 벡터

를 써서 계산량을 줄인다. 한편, 공 복호기에서는 깊이를 먼저 탐색하므로 한 마디를 여러 번 탐색할 때도 있고, 따라서, 살아남은 마디마다 마디 거리를 적어도 한번 계산한다. 공 복호기에서도 마디마다 마디 거리를 한번만 계산할 수 있으나, 그렇게 하려면 계산했던 모든 마디 거리를 복호가 끝날 때까지 저장 해 두어야 한다.

[표 1]

제안한 방식의 알고리즘

곱셈 횟수는 복호기의 계산량을 전주는 데 많이 쓰인다. 이에, 제안한 방식과 다른 복호기들이 가장 비슷함 풀이를 찾는 데 (복호하는 데) 드는 곱셈 횟수를 견주어 본다.

표 1에 보인 알고리즘의 첫째 단계에서 H를 QR 분해하는 데 MN ²-N ³/3번 쯤,

를 계산하는 데 M ²번,

을 얻는 데 N(N+3)/2번 곱셈하고,

을 얻는 데 N번 나눗셈 한다. 곱셈과 나눗셈의 계산량이 같다고 두면, 첫째 단계에서는 아래만큼 곱셈한다.

[수학식 24]

이제, 둘째 단계에서

과 d _l을 계산하는 데 드는 곱셈 횟수를 각각 U _l과 D _l로 두면, U _N=0이고 D ₁=0이며, l째 층에서 계산을 하는 데 드는 곱셈 횟수를 아래와 같이 쓸 수 있다.

[수학식 25]

따라서, 둘째 단계에서는 아래만큼 곱셈한다.

[수학식 26]

수학식 26에서,

,

, 그리고

은 신호대잡음비 (signal to noise ratio: SNR), 신호 별자리 크기, 그리고 송신/수신 안테나 수의 영향을 받으며 아래를 만족시킨다.

[수학식 27]

[수학식 28]

그리고

[수학식 29]

수학식 26 - 29를 바탕으로 둘째 단계에서 가장 많이 계산할 때와 가장 적게 계산할 때 드는 곱셈 횟수를 얻으면 각각 아래와 같다.

[수학식 30]

[수학식 31]

곧, 제안한 방식은 가장 비슷함 풀이를 찾을 때, 많으면 수학식 24와 30을 더한 만큼, 적으면 수학식 24와 31을 더한 만큼 곱셈한다.

이제, 몬테카를로 방법으로 10⁶번 모의실험하여 얻은 평균 곱셈 횟수를 바탕으로 제안한 방식과 공 복호기의 계산량을 견주어 보자. 또한, 제안한 방식, 모가살복호기, 그리고 공 복호기의 비트 오류율 성능도 견주어 보자. 모의실험에서, 신호대잡음비는 (전송 신호 전력)/

으로 두었으며, 모든 결과는 10⁶번 거듭 실험하여 얻었다. 한편, 공 복호기에서, 처음 얻은 문턱값이 가장 비슷함 거리보다 작아 복호할 수 없을 때에는 문턱값을 두 배로 하여 다시 복호를 시작하였다.

도 2는 제안한 방식과 공 복호기가 복호 과정을 10⁶번 되풀이하는 동안 얻은 곱셈 횟수들을 오름차순으로 세운 것이다. 이 그림에서 점 (x,y)는 x째로 적은 곱셈 횟수가 y임을 나타내며, 결정-공 복호기는 공 복호기의 처음 문턱값을 결정 되먹임 등화 방법을 써서 얻었음을 나타낸다. 이 그림에서 제안한 방식은 결정-공 복호기보다 더 적게 계산할 것임을 알 수 있다.

도 3은 제안한 방식과 결정-공 복호기의 가장 나쁠 때 곱셈 횟수와 가장 좋을 때 곱셈 횟수를 보여 준다. 결정-공 복호기에서 이론적으로 가장 나쁠 때의 곱 셈 횟수를 얻기는 매우 어렵지만, 가장 좋을 때의 곱셈 횟수는 이론적으로 MN ²-N ³/3+M ²+N(3N+35)/2쯤 이다. 이론과 모의실험에서 얻은 가장 좋을 때의 곱셈 횟수와 가장 나쁠 때의 곱셈 횟수 모두 제안한 방식이 결정-공 복호기보다 적다.

도 4는 제안한 방식, 결정-공 복호기, 그리고 추정-공 복호기의 평균 곱셈 횟수를 보여 준다. 여기서, 추정-공 복호기는 신호대잡음비를 추정하여 처음 문턱값을 얻은 공 복호기를 뜻한다. 이때, 수신기가 신호대잡음비를 제대로 추정하였다고 두었고, 가장 비슷함 거리가 문턱값보다 작을 확률이 99.9％가 되도록 처음 문턱값을 잡았다. 이 그림에서 제안한 방식은 공 복호기보다 평균적으로 적게 계산함을 알 수 있다. 게다가, 추정-공 복호기에서 신호대잡음비를 추정하는 데 드는 곱셈 횟수는 생각하지 않았음에도, 제안한 방식의 평균 곱셈 횟수가 추정-공 복호기의 평균 곱셈 횟수의 16％-86％밖에 되지 않음을 새겨두자.

한편, 신호대잡음비가 낮아질수록 제안한 방식과 공 복호기의 평균 곱셈 횟수 차가 점점 더 커진다. 도 5는 제안한 방식, 모가살 복호기, 그리고 공 복호기의 비트 오류율 성능을 보여 준다. 복호기 모두 가장 비슷함 기준을 따라 해를 찾으므로, 비트 오류율 성능이 같음을 알 수 있다.

이상의 본 발명에서 제안한 방식은 너비를 먼저 탐색하여 얻는 정보를 바탕으로 복호하는 데 드는 계산량을 줄였을 뿐만 아니라 신호대잡음비도 추정하지 않는다.

모의실험 결과, 제안한 방식이 공 복호기보다 더 적게 계산하고 비트 오류율 성능도 최적이었다. 아울러, 신호대잡음비가 낮아질수록 제안한 방식의 계산량 이득이 더 높아졌으며, 비트 오류율 성능에서 조금 손해를 보기로 하면, 알고리즘을 조금 고쳐 계산량을 더 줄일 수도 있다.

Claims

여러 입력 여러 출력 시스템용 가장 비슷함 복호방법에 있어서,

입력 (
, H, Ω)을 통해,

1-1) 행렬 H를 QR 분해한 뒤
를 계산하는 단계와;.

1-2) 결정 되먹임 등화 방법을 써서
를 얻고
을 계산하는 단계를 수행하여,

출력 (
,
,
, R)를 도출하는 제1단계와,

입력 (
,
,
, R, Q)을 통해,

2-1) l=N,
, 그리고
으로 두는 단계와;

2-2) N째 층에서 모든 마디들의 마디 거리를 계산하고
을 얻은 다음 단계 2-4)로 가는 단계와;

2-3) (l+1)째 층에서 살아남은 마디들에서 뻗은 l째 층의 모든 마디들의 마디 거리를 계산하고
을 얻어,

l≠1이면 단계 2-4)로 가고, l=1이면 단계 2-7)로 가는 단계와;

2-4)
이면, d_l =d_l ₊₁로 두고 단계 2-6)으로 가고,

이면, 단계 2-5)로 가는 단계와;

2-5)
을 계산하여,

이면, d_l =d_l ₊₁로 두고 단계 2-6)으로 가고,

이면,
그리고

로 두고 단계 2-6)으로 가는 단계와;

2-6) 마디 거리가 d_l 보다 큰 마디들을 모두 버리고, l을 하나 줄인 다음 단계 2-3)으로 가는 단계와;

2-7) 복호를 끝내는 단계를 수행하여,

가장 비슷함 풀이 출력 (
)를 도출하는 제2단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 여러 입력 여러 출력 시스템용 가장 비슷함 복호방법.

여기서, 직교 행렬 Q와 윗삼각행렬 R은 H를 QR 분해하여 얻으며 QR=H와 Q ^T Q=I를 만족시키고, Ω 는 신호집합이며,
는 가장 비슷함 거리이며,
는 가장 비슷함 풀이임.
삭제
여러 입력 여러 출력 시스템용 복호 방법에 있어서, 하기의 수학식 18과 수학식 19를 이용하여 문턱값 d_l 을 얻는 것을 특징으로 하는 여러 입력 여러 출력 시스템용 복호 방법.

여기서, d_l 은 문턱값이고,
는 가장 비슷함 풀이이며, R은 윗삼각행렬임.
여러 입력 여러 출력 시스템용 복호 방법에 있어서, 하기의 수학식 18과 수학식 19를 이용하여 문턱값 d_l 을 얻으며,
이면, d_l =d_l ₊₁로 두고
을 계산하지 않고,
이면,
을 계산하는 것을 특징으로 하는 여러 입력 여러 출력 시스템용 복호 방법.

여기서, d_l 은 문턱값이고,
는 검사 벡터이며, R은 윗삼각행렬임.
여러 입력 여러 출력 시스템용 복호 방법에 있어서, 하기의 수학식 21과 수학식 22을 이용하여 마디 거리를 얻는 것을 특징으로 하는 여러 입력 여러 출력 시스템용 복호 방법.

여기서,
를 만족하고, r_j,i 는 R의 j째 행 i째 열의 원소이며, R은 윗삼각행렬임.
여러 입력 여러 출력 시스템용 복호 방법에 있어서, 하기의 수학식 21과 수학식 23을 이용하여 마디 거리를 얻는 것을 특징으로 하는 여러 입력 여러 출력 시스템용 복호 방법.

여기서,
를 만족하고, r_j,i 는 R의 j째 행 i째 열의 원소이며, R은 윗삼각행렬임.
제1항의 복호 방법을 사용하는 여러 입력 여러 출력 시스템용 복호기.
삭제
제3항의 문턱값 d _l 을 얻는 방법을 사용하는 여러 입력 여러 출력 시스템용 복호기.
제4항의 문턱값 d _l 을 얻는 방법을 사용하는 여러 입력 여러 출력 시스템용 복호기.
제5항의 마디 거리 얻는 방법을 사용하는 여러 입력 여러 출력 시스템용 복호기.
제6항의 마디 거리 얻는 방법을 사용하는 여러 입력 여러 출력 시스템용 복호기.