JPH08503551A

JPH08503551A - 画像再生

Info

Publication number: JPH08503551A
Application number: JP6512884A
Authority: JP
Inventors: バーバー，デービッド・チャールズ; ブラウン，ブライアン・ヒルトン
Original assignee: ブリティッシュ・テクノロジー・グループ・リミテッド
Priority date: 1992-11-20
Filing date: 1993-11-19
Publication date: 1996-04-16
Also published as: US5641965A; DE69310539T2; EP0670067A1; GB2272772A; EP0670067B1; DE69310539D1; GB9323817D0; WO1994012947A1

Abstract

(57)【要約】Ｂ（ＦＢ）^-1ｇ＝ｃ、但し、ｃは再生される画像データベクトルであり、ｇは、適当な形式に配列されて、画像データベクトルｃが再生される測定データベクトルであり、Ｆはｃからｇへの前進演算を表す行列であり、Ｂは対応する直接バックプロジェクション演算を表す行列であるバックプロジェクション画像再生方法またはアルゴリズムにおいて、同値で、計算上はより扱い易い行列積ＷＱ^-1Ｗ^★が行列（ＦＢ）^-1を置換し、Ｗ^★はＷの複素共役であり、Ｑ^-1は演算Ｑ＝Ｗ^★（ＦＢ）Ｗにより行列ＦＢから得られる行列Ｑの逆であり、Ｗはフーリエ変換（ＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍ）に関連し且つ明細書中で定義される行列である。

Description

【発明の詳細な説明】画像再生本発明は、画像、特に被検体の一断面の周囲を測定して該断面における特性分布を表す断層画像に関する。本発明は、特に、単光子射出コンピュータ連動断層撮影（ＳＰＥＣＴ（ｓｉｎｇｌｅｐｈｏｔｏｎｅｍｉｓｓｉｏｎｃｏｍｐｕｔｅｄｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ））及び陽電子射出断層撮影（ＰＥＴ（ｐｏｓｉｔｒｏｎｅｍｉｓｓｉｏｎｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ））と言った断層撮影技術並びに電気インピーダンス断層撮影または応用電位断層撮影として様々に公知であり、且つ、被検体のある部位の周囲に充てられた電気信号が該被検体の別の部位において電圧または電流を生じ、該電圧または電流の値を測定処理して斯かる被検体の一部分における導電率または抵抗率分布を表す画像を形成する本書において以後ＥＩＴと称される断層撮影技術に関するものであるが、それに限定されるものではない。斯かる技術は、例えば、サイエンスインスツルメント（Ｊ．Ｐｈｙｓ．Ｅ：Ｓｃｉ．Ｉｎｓｔｒｕｍ．）第１７巻（１９８４年）の７２３頁から７３３頁に亙り公表されているＤ．Ｃ．バーバー（Ｄ．Ｃ．Ｂａｒｂｅｒ）及びＢ．Ｈ．ブラウン（Ｂ．Ｈ．Ｂｒｏｗｎ）による「応用電位断層撮影」と題する論文及び該出版物及び以後に発刊された出版物中において言及された論文に記載されている。ＥＩＴは、必要とする機器類の面において比較的廉価な断層撮影技術であり、本質的には非浸襲性であり、データの収集及び処理が迅速にでき、且つ、連続監視に使用できる等のことから人体の臨床調査の面において約束された未来を有していると言える。ＥＩＴ技術を臨床目的に使用する典型的な例では、例えば、１６本の電極が胸廓等の人体部分の回りに該部分と接触するように環状に隔置され、例えば、周波数５０キロヘルツ（ｋＨｚ）で数ミリアンペアの交流電流駆動信号が前記電極の中の２本間に印加される一方で、それにより残りの電極対の間に生じる電流または電圧が測定されて、その測定値が記憶されて処理される。駆動信号は、電極の異なる対に連続して印加され、各段階でその他の残った電極対における信号が測定され且つ測定値が記憶されて、得られて且つ再生画像の最大解像度を得るのに処理される独立したデータの量の最大化がなされる。使用される電極数により得られる独立データの量の上限が決定され、利用可能なデータ量、即ち、達成可能な画像解像度を増大するためには、使用電極数を増大することが必要となる。しかしながら、別の問題が生じてくる。即ち、測定データから画像を再生することは、本質的には行列代数の問題であり、処理するデータ量が増大するにつれて、現在使用されている再生アルゴリズムの応用が不均衡に困難になる。この問題は、ＥＩＴに関係して現出するものではなく、測定データからのバックプロジェクション（ｂａｃｋ−ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ）を用いて再生画像を得るＳＰＥＣＴやＰＥＴ等のその他の断層撮影技術に関係しても現出するものである。従って、関連の基本測定データから再生断層撮影画像を得るための改良された再生方法またはアルゴリズム及び斯かるアルゴリズムの重要な部分を系統的に表す改良された方法を提供することが本発明の目的である。本発明によれば、Ｂ（ＦＢ）^-1ｇ＝ｃ、但し、ｃは再生される画像データベクトルであり、ｇは、適当な形式に配列されて、画像データベクトルｃが再生される測定データベクトルであり、Ｆはｃからｇへの前進演算を表す行列であり、Ｂは対応する直接バックプロジェクション演算を表す行列、であるバックプロジェクション画像再生方法またはアルゴリズムにおいて、同値で、計算上はより扱い易い行列積ＷＱ^-1Ｗ^★が行列（ＦＢ）^-1を置換し、Ｗ^★はＷの複素共役であり、Ｑ^-1は演算Ｑ＝Ｗ^★（ＦＢ）Ｗにより行列ＦＢから得られる行列Ｑの逆であり、Ｗはフーリエ変換（ＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍ）に関連し且つ下記の如く定義される行列であり、Ｗの要素Ｗ_nの各々はＮ×Ｎの下記の如き対角行列であり、Ｗⁿ＝ｅｘｐ（−２ｊπｎ／Ｎ）であり、Ｎは整数の重積分べきであって、測定データベクトルｇを形成するのに収集かつ集合されるデータプロファイル数と等しいことを特徴とするバックプロジェクション画像再生方法またはアルゴリズムが提供される。若干異なる観点から見れば、本発明によれば、Ｂ（ＦＢ）^-1ｇ＝ｃ、但し、ｃは再生される画像データベクトルであり、ｇは、適当な形式に配列されて、画像データベクトルｃが再生される測定データベクトルであり、Ｆはｃからｇへの前進演算を表す行列であり、Ｂは対応する直接バックプロジェクション演算を表す行列であるバックプロジェクション画像再生方法またはアルゴリズムを実行するのに使用される行列（ＦＢ）^-1を定式化する方法において、同値で、計算上はより扱い易い行列積ＷＱ^-1Ｗ^★が定式化されて行列（ＦＢ）^-1を置換し、Ｗ^★はＷの複素共役であり、Ｑ^-1は演算Ｑ＝Ｗ^★（ＦＢ）Ｗにより行列ＦＢから得られる行列Ｑの逆であり、Ｗはフーリエ変換（ＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍ）に関連し且つ下記の如く定義される行列であり、Ｗの要素Ｗ_nの各々はＮ×Ｎの下記の如き対角行列であり、Ｗⁿ＝ｅｘｐ（−２ｊπｎ／Ｎ）であり、Ｎは整数の重積分べきであって、測定データベクトルｇを形成するのに収集かつ集合されるデータプロファイル数と等しいことを特徴とするバックプロジェクション画像再生方法またはアルゴリズムが提供される。本発明による改良された再生方法またはアルゴリズムは、上記の電気インピーダンスまたは応用電位断層撮影技術への応用に限定されるものではなく、全てのコンピュータ連動断層撮影技術に応用可能な一般的な方法であり、例えば、ラジオアイソトープ断層撮影に応用することが可能である。しかしながら、本書においては、主にＥＩＴへの応用について開示及び説明を行う。公知のＥＩＴへの応用においては、上記した如く、１６本の電極が被検体の回りに環状に配置され、駆動電流が１６本の互いに隣接する電極対の各々に交互に印加され、各段階において、前記１６対の各々で生じ且つ受けた信号が測定されて．、記録される。前記環状になった連続した電極対に１、２、．．．１６とラベルを張るとすれば、駆動信号が対ｋに印加される間に対ｍで受信される信号を表すデータ要素には（ｋ，ｍ）のラベルを張ることができる。各駆動毎に、例えば、電極対１における駆動では、信号を１６の電極対で受信することが可能となる。従って、全ての受信データを下記の如く１６×１６の配列で書くことができる。即ち、１，１、１，２、１，３、．．．．１，１６２，１、２，２、．．．．．．．．．２，１６・・１６，１．．．．．．．．．．．．．．１６，１６．この形式では、同一の電極対での駆動及び受信を表すデータ値は配列の主軸対角線上にあることが分かる。しかしながら、後段において明白となる理由により、本発明の目的上この配列を、ｉ番目の行（ｉ−１）に配置された全ての要素を左へ循環させて、元々配列の対角線上にあった要素（ｉ，ｉ）が該行の左側端の要素になり、且つ、該要素の左にあった要素が前記行の右側へ循環されるように修正することが好ましい。この再配置された配列を「左そろえ」された配列と呼ぶことができる。左そろえされた配列の行は、次いで、次々に並べられてデータベクトルｇ、即ち、（１，１、１，２．．．１，１６２，２、２，３．．．２，１６２，１．．．．１６，１６１６，１．．．１６，１５）を提供することが可能である。ｇの要素は、（ｋ，ｍ）＝（ｍ，ｋ）であり、且つ、（ｋ，ｋ）がデータ配列の同一行のデータの残りから得ることができることから、全て互いに独立しているというわけではない。実際、１６本の電極を備えた装置では、可能な測定値数は２５６であるが、独立したものは１２０個のみである。データベクトルｇの要素により表される測定データの値は、検査中の人体部分の抵抗率分布の関数であり、検査の目的は、抵抗率分布を表す画像を画定する画像データであるベクトルｃを測定データのベクトルｇから得ることである。ベクトルｇの測定データは、（画像ベクトルＣにより表される）人体部分に下記の関係により関係させられる、ｇ＝Ｆｃ、但し、Ｆはｃからｇまでの「前進（ｆｏｒｗａｒｄ）」演算を表す行列である。測定データであるベクトルｇから画像ベクトルｃの要素を再生する好適な方法は、バックプロジェクションとして公知の方法であり、バックプロジェクション演算が行列Ｂにより表されるとしたなら、次の如く表すことが可能である、Ｂ（ＦＢ）^-1ｇ＝ｃ．上記演算において、（ＦＢ）^-1はデータベクトルｇを、バックプロジェクションを行った時に画像データベクトルｃを生むデータベクトルｇ′に変換する行列である。この演算を実施するには、行列（ＦＢ）^-1を計算する必要がある。行列ＦＢの計算は割に簡単ではあるが、該行列の次元が大きい可能性があることから、該行列を逆にすることは困難な問題である。上記した如く、１６本の電極を備えた装置では、可能測定値数を２５６とすることが可能であり、中１２０個が独立しており、これは、行列ＦＢが１２０×１２０のサイズであることを意味しているが、電極数が３２本に増加した場合には、行列ＦＢのサイズは４９６×４９６に増大し、可能性としては存在する６４本の電極が交互に配置された装置では、行列ＦＢのサイズは１０２４×１０２４となる。後者２例のいずれにおいても、行列ＦＢは、直接逆にするのは困難なサイズにされている。しかしながら、本発明では、以下に説明するように、斯かる困難な問題の回答が提供される。Ｂ（ＦＢ）^-1ｇ＝ｃで表されるバックプロジェクション方法は、第一の段階として（ＦＢ）^-1ｇ＝ｇ′の演算が必要となり、実際、これが行列（ＦＢ）^-1が必要となる理由である。上記演算において、ｇ’は必要な画像データベクトルｃを直接Ｂｇ′＝ｃにより表されるバックプロジェクションにより得ることが可能な修正データベクトルである。演算（ＦＢ）^-1ｇ＝ｇ′は、概念上は、逆演算（ＦＢ）ｇ′＝ｇを暗示しており、斯かる概念的演算の性質を考えることは有益なことである。１６本の電極の例を参照してこれを説明することが可能であり、斯かる例では、（２５６個のデータ測定値が全て独立しているわけではないことを無視して）データベクトルｇは１６×１６の左そろえ配列の行を一緒に並べて得られる一連となった２５６個のデータ要素であり、ＦＢは２５６×２５６のサイズの行列である。（ＦＢ）ｇ ′＝ｇの概念演算では、ｇの第１要素、即ち、（１，１）は、ｇ′をＦＢの第１行で乗することにより得られる。同様に、ｇの第１７要素、即ち、（２，２）は、ｇ′をＦＢの第１７要素で乗することにより得られる。しかしながら、電極が１位置分右に回転されると、再生の事実を変えることなく（２，２）が（１，１）になり、従って、ＦＢの行１７がＦＢの行１と同一とならなければならないが、それには右に１６位置分回転または循環させられなければならない。同様の推論をｇのその他の要素に当てはめると、ＦＢの行１７乃至３２までは、行１乃至１６までを取って右に１６位置分回転または循環させて得られ、行３３乃至４８まては、行１乃至１６までを右に３２位置分循環させて得られ、順次同様になされることか分かる。明らかに、ＦＢはその逆（ＦＢ）^-1を発見する際に有利となるように引っ繰り返すことが可能な高度に規則正しい構造、事実を有している。即ち、ＦＢは２５６×２５６のサイズであり、以下の形式を有している、但し、Ａ_iはサイズ１６×１６の小行列であり、Ｎ＝１６である。良く公知の如く、正方行列Ａ（例えばＦＢ）は、原則的に、最初に３つの行列に分解することで逆にすることが可能であり、従って、Ａ＝Ｕ^tＲＶ、但し、Ｕ及びＶは逆（それそれの逆はそれそれの転置である）にするのが容易な正規行列であり、Ｒは主対角線上にのみ非零要素を有している対角行列であり、この行列も容易に逆にすることができる。Ａを上記の如く分解できれば、その逆Ａ^-1は下記の如く容易に得ることが可能であり、それはＡ^-1＝Ｖ^tＲ^-1Ｕしかしながら、Ｕ、Ｖ及びＲは計算しなければならず、実際には、これは通常非現実的な長い計算となり、許容限度を超えた数値計算丸め誤差を免れなくなる。この公知の「単値分解（ｓｉｎｇｌｅｖａｌｕｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ）」方法は、従って、行列ＦＢを逆にする問題への実際的な回答を提供しない。しかしながら、本発明によれば、行列ＦＢの反転をフーリエ変換に関係する行列Ｗを利用することにより事実上達成することが可能であり、該行列は以下の如く構成することが可能である。即ち、最初に、Ｗ＝ｅｘｐ（−２ｊπ／Ｎ）とする、但し、ｅｘｐは指数関数であり、ｊ＝（−１）^1/2であり、Ｎはデータベクトルｇを得るときに駆動信号が印加される電極の互いに隣接した対の数である。（フーリエ変換に対する行列Ｗの関係により、Ｎが整数の重積分べきである必要があることに留意する必要があり、従って、上記の例ではＮ＝１６＝２⁴である。）次に、Ｗⁿ＝ｅｘｐ（−２ｊπ／Ｎ）であることは指数関数の性質である。ｎが零から（Ｎ−１）までの各整数の値であり且つ斯かる２つの整数の各々の積の値であり、各斯かる値に対して、で定義されるＮ×Ｎ対角行列Ｗ_nが形成されるとしたなら、上記の行列Ｗ_nは、必要な行列Ｗの要素として配置することが可能であり、該行列は以下の如くとなる、ＦＢが、Ｑ＝Ｗ^★（ＦＢ）Ｗ、但し、Ｗ^★はＷの複素共役である演算を前提とするとしたなら、Ｑは以下の形式を有することになる、但し、Ｑ_i（ｉ＝１，．．．１６）は１６×１６の行列である。上記いずれの構成行列のいずれの行又は列が他の行列の行又は列と重ならないため、Ｑの逆は、以下により求められる、行列Ｑ_iの各々が１６×１６に過ぎないから、容易に逆にでき、従って、Ｑの逆を容易に求めることが可能となる。実際、Ｑは２５６×２５６であるが、その階数が１２０×１２０に過ぎないため、状況は、上記に述べたよりはかなり複雑なものである。しかしながら、この複雑な状況に対処するための良く確立された方法があるから、問題となることはない。ＦＢからの行列Ｑ及びその逆であるＱ^-1の微分することで、ＦＢのサイズが大きい場合でも、比較的容易にＦＢを反転することができる。ＦＢを、ＦＢ＝ＷＯＷ^★とすれば、その逆は、（ＦＢ）^-1＝ＷＱ^-1Ｗ^★となる。従って、データベクトルｇのバックプロジェクションが画像ベクトルｃを生むために本発明は、ｃ＝Ｂｇ′＝Ｂ（ＦＢ）^-1ｇ＝ＢＷＱ^-1Ｗ^★ｇ、即ち、ｃ＝ＢＷＱ^-1Ｗ^★ｇの方法またはアルゴリズムを提供する。上記の方法で（ＦＢ）^-1を分解する利点は、１６本の電極を備えた例においても説明することができる。（ＦＢ）^-1が上記方法で分解されない場合には、ｇからｇ′を計算するには、（電極が１６本の場合には）２５６×２５６の演算（即ち、６５０００以上の演算）が必要となる。（ＦＢ）^-1が最初に上記方法で分解される場合には、ｇ′の計算は、先ず、Ｗ^★ｇを計算して（この計算は、高速フーリエ変換（ＦａｓｔＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍ（ＦＦＴ）を使用することができることから迅速である）、次いで、Ｑ^-1で乗する（これは、最大で１６×１６×１６の演算に相当し、従って、（ＦＢ）^-1で直接乗するより１６倍速く、次いで、Ｗで乗する（これも、ＦＦＴを使用できることから迅速である）。概して、電極が１６本の場合には、速度が約３倍速くなることが期待でき、３２本の場合には速度増加は５倍になることが期待され、斯かる場合でデータベクトルｇのデータ数が相応して増大し、数が増大すれば速度は更に増大する。これらの処理速度の増大は、勿論、上記のＦＢの分解をしなかった場合で、ＦＢのサイズが大きい場合にはその逆（ＦＢ）^-1を得るのが非常に困難かまたは不可能になると言う事実に加えて、利点となる。例えば、１０２４×１０２４行列の直接反転は、手軽にできる仕事ではないが、本発明を利用すれば、これを、各々のサイズが３２×３２である行列３２個を反転するまでに軽減され、より簡単になる。以上、本発明を電気インピーダンスまたは応用電位断層撮影に関係した応用を説明しながら例示したが、Ｘ線コンピュータ連動断層撮影、磁気共鳴結像及びラジオアイソトープ断層撮影（単光子射出コンピュータ連動断層撮影またはＳＰＥＣＴ、及び陽電子射出断層撮影、ＰＥＴ）を含む様々な断層撮影技術のいずれかにおいて、画像を再生するバックプロジェクション方法に利用することが可能なことを理解しておく必要がある。これらの断層撮影技術の全てには、それそれの（ＦＢ）^-1関数を定式化することが含まれており、それらの断層撮影技術の全てにおいて、この定式化及び該定式化がその一部である画像再生を本発明の方法により有効に達成することが可能となる。特にＳＰＥＣＴ及びＰＥＴに言及すると、考慮するしなければならない一つの要素は、残留した未吸収のガンマ放射線がガンマカメラにより検出される前に検査中の当該人体部分の組織中に生じるガンマ線減衰である。ＳＰＥＣＴでは、収集データの間接歪みを補正する理論的方法が存在するが、該方法は非常に不安定であり、従って、実際には使用されない。ＳＰＥＣＴにおける減衰を補正する代替の方法は反復方法であるが、これには収束の問題があり、時間のかかるものである。回答らしきものを与える一，二の特別な方法がある。該方法による補正は不完全なものであり、また、該方法により作り出される画像は、従って、依然として不正確なものであるが、速く且つ実際にＳＰＥＣＴに使用される方法である。反復技術のみがガンマ線減衰が検査中の人体全体を通じて均一でないと言う事実を完全に説明することができるものであるが、ＣＴ画像がこのために必要であり、従ってそれはめったになされない。本発明の方法は、上記の特別な方法より上手にＳＰＥＣＴにおけるガンマ線減衰を補正するが、速度はそれほど遅くもなく、上記の反復技術より速度は速い。従って、ＳＰＥＣＴ及びＥＩＴに関連した改良として広く認識されるようになることが期待されている。ＰＥＴに関しては、減衰の補正は理論上完全に達成可能であるが、実際にはＳＰＥＣＴに類似した方法を使用する方がコスト的にはより効果的なものとなってしまう操作上の問題がある。上記の特別な方法を使用すればこの傾向は増大するが、ＳＰＥＣＴにおいてと同様にＰＥＴにおいても、本発明が重要な改良を提供することを期待しても良い。本発明を前記の技術のいずれかに応用する際には、行列（ＦＢ）及びその要素Ｆ及びＢを状況の物理的現象を適切に具現化する方法で定式化する必要がある。例えば、Ｘ線の直線減衰係数がその方法の本質的な性質であり、且つ、Ｘ線拡散は重要でなく且つ無視できて、距離従属点拡張関数（ＰＳＦ）を考慮しなくて良いＸ線コンピュータ連動断層撮影に関しては、前進変換行列Ｆを拡散またはＰＳＦのための誤差補正項を含まない比較的単純な公式Ｆｏとすることができる。実際的には、Ｆｏの転置であるＦ_o ^tをＢの公式としてしようすることが可能であり、従って、行列（ＦＢ）は（Ｆ_oＦ_o ^t）として比較的単純に公式化される。本発明を放射された放射線に関して適切な考慮がなされなければならないＳＰＥＣＴに応用する際には、Ｆ行列中に必要な補正を組み込んで減衰認識前進変換行列Ｆ_a を得ることでこれを効果的になすことが可能である。この場合も、Ｆ_aは上記に言及したＦ_oより若干複雑であるが、Ｆ_aの転置であるＦ_a ^tをＢの公式として使用し、且つ、従って、行列（ＦＢ）の公式として（Ｆ_aＦ_a ^t）を使用するのが適切である。本発明をＳＰＥＣＴ及びＰＥＴに応用する際には、前進変換行列Ｆで減衰のみならずＰＳＦをも効果的に考慮することが可能である。この場合、これら全ての要素及び状況のジオメトリを適切に考慮する適切なより複雑な行列Ｆ_gを行列Ｆとして公式化することが可能である。原則的には、（ＦＢ）を計算する際に、Ｆ_gの転置であるＦ_g ^tを行列Ｂとして使用することも適切であるかも知れない。しかしながら、Ｆ_aに比較してＦ_gの複雑さが増大することを鑑みると、Ｆ_g ^t の計算はＦ_a ^tの計算より相当遅くなるであろうし、この場合、行列（ＦＢ）として（Ｆ_gＦ_a ^t）を使用するのが好適（且つ実際には許容できるものであると判明した）である。ＥＩＴに応用された例として本発明を説明した前記の開示におけるｗ及び行列Ｗの定義において、Ｎはデータベクトルｇを得る際に駆動信号が印加される電極の相互に隣接した対の数に等しいものとして定義された。より一般的且つ特に本発明をＳＰＥＣＴまたはＰＥＴに応用する場合に関しては、Ｎをデータベクトルｇを形成するのに収集集合されるデータプロファイル数に等しいものとして定義することが可能である。Ｎはしばしば２の重べき、例えば１６、３２または６４であるが、その他の整数のべきであっても良い。例えば、しばしば６４個のプロファイルがＳＰＥＣＴを実行する際に収集されるが、８１（＝３⁴）には理論的な利点があり、実際にもそうのように照明することが可能である。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (81)指定国ＥＰ(ＡＴ，ＢＥ，ＣＨ，ＤＥ，ＤＫ，ＥＳ，ＦＲ，ＧＢ，ＧＲ，ＩＥ，ＩＴ，ＬＵ，ＭＣ，ＮＬ，ＰＴ，ＳＥ)，ＪＰ，ＵＳ

Claims

【特許請求の範囲】１．Ｂ（ＦＢ）^-1ｇ＝ｃ、但し、ｃは再生される画像データベクトルであり、ｇは、適当な形式に配列されて、画像データベクトルｃが再生される測定データベクトルであり、Ｆはｃからｇへの前進演算を表す行列であり、Ｂは対応する直接バックプロジェクション演算を表す行列、であるバックプロジェクション画像再生方法またはアルゴリズムにおいて、同値で、計算上はより扱い易い行列積ＷＱ^-1 Ｗ^★が行列（ＦＢ）^-1を置換し、Ｗ^★はＷの複素共役であり、Ｑ^-1は演算Ｑ＝Ｗ^★（ＦＢ）Ｗにより行列ＦＢから得られる行列Ｑの逆数であり、Ｗはフーリエ変換（ＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍ）に関連し且つ下記の如く定義される行列であり、Ｗの要素Ｗ_nの各々はＮ×Ｎの下記の如き対角行列であり、Ｗⁿ＝ｅｘｐ（−２ｊπｎ／Ｎ）であり、Ｎは整数の重積分べきであって、測定データベクトルｇを形成するのに収集かつ集合されるデータプロファイル数と等しいことを特徴とするバックプロジェクション画像再生方法またはアルゴリズム。２．Ｂ（ＦＢ）^-1ｇ＝ｃ、但し、ｃは再生される画像データベクトルであり、ｇは、適当な形式に配列されて、画像データベクトルｃが再生される測定データベクトルであり、Ｆはｃからｇへの前進演算を表す行列であり、Ｂは対応する直接バックプロジェクション演算を表す行列、であるバックプロジェクション画像再生方法またはアルゴリズムを実行するのに使用される行列（ＦＢ）^-1を定式化する方法において、同値で、計算上はより扱い易い行列積ＷＱ^-1Ｗが定式化されて行列（ＦＢ）^-1を置換し、Ｗ^★はＷの複素共役であり、Ｑ^-1は演算Ｑ＝Ｗ^★（ＦＢ）Ｗにより行列ＦＢから得られる行列Ｑの逆数であり、Ｗはフーリエ変換（ＦｏｕｒｉｅｒＴｒａｎｓｆｏｒｍ）に関連し且つ下記の如く定義される行列であり、Ｗの要素Ｗ_nの各々はＮ×Ｎの下記の如き対角行列であり、Ｗⁿ＝ｅｘｐ（−２ｊπｎ／Ｎ）であり、Ｎは整数の重積分べきであって、測定データベクトルｇを形成するのに収集かつ集合されるデータプロファイル数と等しいことを特徴とするバックプロジェクション画像再生方法またはアルゴリズム。３．行列Ｑが導き出される行列（ＦＢ）が（ＦＦ^t）として定式化され、但し、Ｆ^tはＦの転置であることを特徴とする請求項１または請求項２に記載の方法またはアルゴリズム。４．行列Ｆが減衰、拡散または点拡張関数の誤差補正を組み込んでいない行列Ｆ_o として定式化され、且つ、行列（ＦＢ）が（Ｆ_oＦ_o ^t）として定式化されることを特徴とする請求項３に記載の方法。５．行列Ｆが減衰の誤差補正を組み込んだ行列Ｆ_aとして定式化され、且つ、行列（ＦＢ）が（Ｆ_aＦ_a ^t）として定式化される請求項３に記載の方法。６．行列Ｑが導き出される行列（ＦＢ）が（Ｆ_gＦ_a ^t）として定式化され、Ｆｇは減衰、拡散及び点拡張関数の誤差補正を組み込んだＦの公式であり、Ｆ_a ^tが減衰の誤差補正を組み込んでいるが点拡張関数の誤差補正は組み込んでいないＦの公式Ｆ_aの転置であることを特徴とする請求項１または請求項２に記載の方法。７．Ｂ（ＦＢ）^-1ｇ＝ｃであるバックプロジェクション画像再生方法またはアルゴリズムにおいて、略本書にて説明した如き同値で、計算上より扱いやすい行列で行列（ＦＢ）^-1を置換することを特徴とするバックプロジェクション画像再生方法またはアルゴリズム。８．Ｂ（ＦＢ）^-1ｇ＝ｃであるバックプロジェクション画像再生方法またはアルゴリズムを実行する際に行列（ＦＢ）^-1を置換する同値で計算上より扱いやすい行列を定式化することを特徴とする略本書に記載された如き方法。