JP7490505B2 - 線状体の張力及び剛性の算定方法 - Google Patents

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特許法第３０条第２項適用 １．開催日：令和２年２月３日 ２．集会名：京都大学工学部地球工学科（土木工学・国際コース）特別研究発表会 ３．開催場所：京都大学桂キャンパスＣクラスターＣ１棟 大会議室（Ｃ１－３１４） ４．公開者：山田哲

特許法第３０条第２項適用 １．ウエブサイトの掲載日： 令和２年４月１０日 ２．ウエブサイトのアドレス：・２０２０年度土木学会関西支部年次学術講演会の講演概要集のホームページ ｈｔｔｐｓ：／／ｗｗｗ．ａｃ－ｒｅｓｅａｒｃｈ．ｊｐ／ｊｓｃｅ／ｊｓ－ｋａｎｓａｉ／２０２０／ｐｒｅｃｅｄｅ／ｌｏｇｉｎ．ｐｈｐ・土木学会図書館のデジタルアーカイブのホームページ（令和２年５月３１日から公開） ｈｔｔｐｓ：／／ｊｓｃｅ．ｏｒ．ｊｐ／ｌｉｂｒａｒｙ／ｏｐｅｎ／ｐｒｏｃ／ｍａｇｌｉｓｔ２／０００６４／２０２０／ｍｇ０１．ｈｔｍ ｈｔｔｐ：／／ｌｉｂｒａｒｙ．ｊｓｃｅ．ｏｒ．ｊｐ／ｊｓｃｅ／ｏｐｅｎ／０００６４／２０２０／６２－０１－００３０．ｐｄｆ ３．公開者： 山田哲 古川愛子 小林亮介

特許法第３０条第２項適用 １．ウエブサイトの掲載日： 令和２年４月１７日２．ウエブサイトのアドレス：・第２３回（２０２０年度）応用力学シンポジウムの予稿集ＰＤＦのホームページ ｈｔｔｐｓ：／／ｃｏｎｆｉｔ．ａｔｌａｓ．ｊｐ／ｇｕｉｄｅ／ｅｖｅｎｔ／ｊｓｃｅａｍ２０２０／ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ／ｌｉｓｔ３．公開者： 山田哲 古川愛子 小林亮介

特許法第３０条第２項適用 １．ウエブサイトの掲載日： 令和２年８月５日２．ウエブサイトのアドレス：・令和２年度土木学会全国大会第７５回年次学術講演会の講演概要ＰＤＦのホームページ ｈｔｔｐｓ：／／ｃｏｎｆｉｔ．ａｔｌａｓ．ｊｐ／ｇｕｉｄｅ／ｅｖｅｎｔ／ｊｓｃｅ２０２０／ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ／ｌｉｓｔ３．公開者： 山田哲 古川愛子 小林亮介

特許法第３０条第２項適用 １．開催日： 令和１年１２月１４日 ２．集会名：金沢大学・京都大学・神戸大学・岐阜大学・福井高専冬季合同ゼミ ３．開催場所：福井工業高等専門学校 大講義室 ４．発行者名：京都大学工学研究科都市社会工学専攻地震ライフライン工学講座 ５．刊行物名：金沢大学・京都大学・神戸大学・岐阜大学・福井高専冬季合同ゼミ予稿集 京都大学 ６．発行年月日： 令和１年１２月１４日 ７．公開者：山田哲

本発明は、互いに交差するように把持装置によって把持された２つの線状体それぞれの張力及び剛性を算定するための方法に関する。

橋梁のケーブル、張弦梁や電線といった線状体に作用している張力を算定するための様々な方法が案出されている（特許文献１及び２を参照）。これらの方法では、一次元梁でモデル化されたケーブルの固有振動数が算定され、固有振動数の算定値は、実際のケーブルに衝撃を与えることによって得られた振動データに現れる固有振動数の実測値と比較される。そして、実測値に近い固有振動数の算定値が一次元梁の振動方程式に代入されることにより、ケーブルの張力が算定される。

特開平９－１０１２８９号公報 特開平１１－２７１１５５号公報

単一の線状体を一本の一次元梁でモデル化した上述の算定手法は、単一の線状体の張力を算定するのに好適に利用可能である。しかしながら、２つの線状体が互いに交差して配置されているとともにこれらの線状体の交差部が把持装置によって把持された構造において、２つの線状体それぞれに上述の算定手法が適用されても、適切に張力を算定することはできない。すなわち、交差部が把持装置によって把持されている場合、２つの線状体は一体となって振動するけれども、上述の算定方法では、このような一体的な振動が反映されず、適切な算定結果が得られない。すなわち、従来の張力算定方法では、交差部においてこれらの線状体が互いに拘束されていることによる影響により、精度の高い張力の算定値を得ることができない。

本発明は、互いに交差するように張設されているとともに交差部において把持装置によって把持された２つの線状体それぞれの張力及び剛性を算定する方法を提供することを目的とする。

本発明の一の局面に係る算定方法は、互いに交差するように張設されているとともに交差部において把持装置によって把持された２つの線状体それぞれの張力及び剛性の算定に利用可能である。算定方法は、前記把持装置によって把持されることにより一体となって振動する前記２つの線状体の振動に基づいて前記２つの線状体について複数の固有振動数の実測値を得ることと、前記２つの線状体の交差部が前記把持装置により把持されていることを表す境界条件を用いて得られた前記一体となって振動する２つの線状体の複数の固有振動数、張力及び剛性の間の関係を表す算定式と、前記複数の固有振動数の前記実測値と、を用いて、前記２つの線状体それぞれの前記張力及び前記剛性を算定することと、を備えている。

上記の構成によれば、張力及び剛性の算定過程において、２つの線状体の交差部が把持装置により把持されていることを表す境界条件が用いられているので、この交差構造における振動の態様が考慮された算定式が得られる。この算定式は、一体となって振動する２つの線状体の複数の固有振動数、張力及び剛性の関係を表すように設定される。この算定式に固有振動数の実測値を適用することにより、交差部が把持装置により把持されていることによる影響が反映された張力及び剛性の算定値が算定される。

上記の構成に関して、前記算定式には、振動モードの次数の変数が含まれていなくてもよい。

上記の構成によれば、算定式には、振動モードの次数の変数が含まれていないので、固有振動数の実測値が何次のモードの固有振動数であるかが分からなくとも、張力及び剛性を推定することができる。

上記の構成に関して、前記境界条件は、前記交差部において前記２つの線状体に作用する力の合力がゼロになることを示す条件を含んでいてもよい。

上記の構成によれば、２つの線状体が交差部で把持装置により把持されている構造に衝撃を与えたときにおいて、交差部において２つの線状体に作用する力の合力はゼロである。このような境界条件が用いられるので、交差部において把持装置によって把持された２つの線状体の張力を算定することが可能になる。

上記の構成に関して、前記境界条件は、前記交差部における前記２つの線状体の変位が等しいことを示す条件を含んでいてもよい。

上記の構成によれば、２つの線状体が交差部において把持装置により把持されている構造に衝撃を与えたときにおいて、交差部における２つの線状体の変位は等しくなる。このような境界条件が用いられるので、交差部において把持装置によって把持された２つの線状体の張力を算定することが可能になる。

上記の構成に関して、前記境界条件は、前記一体となって振動する２つの線状体の前記複数の固有振動数、前記張力及び前記剛性を用いて前記算定式によって表される値が所定の値に等しくなることを示してもよい。前記２つの線状体それぞれの前記張力及び前記剛性を算定する工程において、前記複数の固有振動数の実測値とともに前記２つの線状体それぞれの張力及び剛性の複数の候補値を前記算定式に代入したときの複数の値が取得されてもよい。その後、前記複数の値の中で前記所定の値に最も近い値が得られたときの候補値が前記２つの線状体それぞれの前記張力及び前記剛性として決定されてもよい。

上記の構成によれば、候補値を算定式に代入して得られる値が、所定の値に近ければ近いほど、代入された候補値が境界条件を成立させる張力及び剛性に近いことを意味する。所定の値に最も近い値が得られたときの張力及び剛性の候補値が、２つの線状体それぞれの張力及び剛性として決定されるので、交差部において把持装置によって把持された２つの線状体の張力及び剛性は、精度よく算定される。

上記の構成に関して、前記候補値を前記２つの線状体それぞれの前記張力及び前記剛性として決定する工程において、前記所定の値と前記最も近い値との間の差が閾値と比較されてもよい。前記差が前記閾値よりも小さいことを条件として、前記候補値が前記２つの線状体それぞれの前記張力として決定されてもよい。

上記の構成によれば、所定の値から過度に大きく離れた値が得られる候補値が張力及び剛性として決定されることが防止される。すなわち、閾値に応じた精度の下で、２つの線状体の張力及び剛性が算定される。

上記の構成に関して、前記算定式において用いられる前記剛性は、前記２つの線状体それぞれの曲げ剛性であってもよい。

上記の構成によれば、交差した２つの線状体が同一平面に含まれる場合に、この平面に対して直角の方向（すなわち、面外方向）の振動は、２つの線状体の軸剛性に影響されない。したがって、２つの線状体の振動方向が面外方向であることが既知であれば、複数の固有振動数と２つの線状体それぞれの張力と２つの線状体それぞれの曲げ剛性との間の関係を表す算定式を用いて、張力及び剛性を算定することができる。

上記の構成に関して、前記算定式において用いられる前記剛性は、前記２つの線状体それぞれの曲げ剛性及び軸剛性であってもよい。

上記の構成によれば、交差した２つの線状体が同一平面に含まれる場合に、この平面に含まれる方向（すなわち、面内方向）の振動は、２つの線状体の曲げ剛性および軸剛性に影響される。したがって、２つの線状体の振動方向が面内方向を含むことが既知であれば、複数の固有振動数と２つの線状体それぞれの張力と２つの線状体それぞれの曲げ剛性及び軸剛性との間の関係を表す算定式を用いて、張力及び剛性を算定することができる。

上述の技術は、互いに交差するように把持装置によって把持された２つの線状体それぞれの張力及び剛性を算定することを可能にする。

２つのケーブルが交差した構造を有している構造体の概略図である。 ケーブルを一次元梁としてモデル化した振動モデルの概略図である。 ケーブルの交差部の周囲において面外方向（軸直角方向）に作用する力の概略図である。 ケーブルの微小要素に作用する力の概略図である。 張力及び剛性の算定方法の概略的なフローチャートである。 ＭｕｌｔｉＳｔａｒｔ法に基づく最適解の探索方法を表すグラフである。

図１は、２つのケーブル１２１，１２２（線状体）が交差した構造を有している構造体１００の概略的な平面図である。ケーブル１２１，１２２は、張力を与えられた状態で固定されている。ケーブル１２１，１２２それぞれの両端部は、単純支持されている。

ケーブル１２１，１２２の交差部には、把持装置１３０が取り付けられている。把持装置１３０は、ケーブル１２１，１２２の交差部においてこれらのケーブル１２１，１２２を把持するように構成されている。したがって、交差部において、両ケーブル１２１，１２２の振動の変位及び振動方向は等しくなる。また、これらのケーブル１２１，１２２は交差部において把持装置１３０によって拘束されているので、ケーブル１２１，１２２は一体となって振動する。

ケーブル１２１，１２２には、合計４つの加速度センサ１４１～１４４（たとえば、３軸加速度センサ）が取り付けられている。加速度センサ１４１～１４４は、ケーブル１２１，１２２の固有振動数のデータを取得するために設けられている。

加速度センサ１４１，１４２は、ケーブル１２１に取り付けられている。詳細には、加速度センサ１４１は、把持装置１３０とケーブル１２１の一方の端部１２５との間のスパン１７１においてケーブル１２１に取り付けられている。加速度センサ１４２は、把持装置１３０とケーブル１２１の他方の端部１２６との間のスパン１７２においてケーブル１２１に取り付けられている。

残りの加速度センサ１４３，１４４は、ケーブル１２２に取り付けられている。詳細には、加速度センサ１４３は、把持装置１３０とケーブル１２２の一方の端部１２７との間のスパン１７１においてケーブル１２２に取り付けられている。加速度センサ１４４は、把持装置１３０とケーブル１２２の他方の端部１２８との間のスパン１７２においてケーブル１２２に取り付けられている。

加速度センサ１４１～１４４は、ケーブル１２１，１２２に生じた振動の加速度を検出するように構成されている。詳細には、加速度センサ１４１～１４４は、一体となって振動するケーブル１２１，１２２の加振方向の加速度を検出するように構成されている。すなわち、ケーブル１２１，１２２を含む面に沿う面内方向（図１の紙面に沿う方向）にケーブル１２１，１２２を加振し、面内方向の振動を計測した場合には、加速度センサ１４１～１４４は、加振方向のケーブルの固有振動数を計測することができる。面内方向の加速度から得られる固有振動数は、以下の説明において、「面内方向の固有振動数」と称される。面内方向における各ケーブル１２１，１２２の固有振動数には、当該ケーブル１２１，１２２の軸方向の振動に関する固有振動数と、ケーブル１２１，１２２を含む面内において軸方向に対して直角の方向の振動に関する固有振動数とが含まれる。ケーブル１２１，１２２が、これらのケーブル１２１，１２２を含む面に直角の方向（図１の紙面に直角の方向：面外方向）に加振された場合には、加速度センサ１４１～１４４は、面外方向のケーブル１２１，１２２の加速度を検出する。面外方向の加速度から算定される固有振動数は、以下の説明において、「面外方向の固有振動数」と称される。

加速度センサ１４１～１４４は、データ収集装置１６０（たとえば、パーソナルコンピュータ）に電気的に接続され、加速度センサ１４１～１４４によって取得された加速度のデータは、時刻歴応答値としてデータ収集装置１６０に蓄積される。データ収集装置１６０は、加速度のデータに対して所定の解析処理を行うように構成され、この解析処理を通じて一体的に振動するケーブル１２１，１２２の固有振動数（面内方向の固有振動数及び面外方向の固有振動数）の実測値のデータが得られる。ケーブル１２１，１２２を面内方向に加振し、面内方向の振動を計測すれば、面内方向の固有振動数が得られる。ケーブル１２１，１２２を面外方向に加振し面外方向の振動を計測した場合には、面外方向の固有振動数が得られる。両ケーブル１２１，１２２を含む面に対して斜め（たとえば、図１の紙面に対して斜め４５°の角度）の方向においてケーブル１２１，１２２が加振された場合には、面内方向及び面外方向の固有振動数が得られる。

得られた固有振動数のデータに基づき、ケーブル１２１，１２２それぞれの張力が算定される。ケーブル１２１，１２２が面内方向に加振される場合には、面内方向の振動に基づくケーブル１２１，１２２の張力及び剛性の算定式が用いられる。ケーブル１２１，１２２が面外方向に加振される場合には、面外方向の振動に基づくケーブル１２１，１２２の張力及び剛性の算定式が用いられる。両ケーブル１２１，１２２を含む面に対して斜めの方向においてケーブル１２１，１２２が加振された場合には、面内方向及び面外方向の両方の振動に基づく張力及び剛性の算定式が用いられる。これらの算定式の説明の前に、算定式を設定するための基礎式が説明される。

＜面外方向の振動に基づく算定用の基礎式＞
面外方向の振動は、ケーブル１２１，１２２の軸剛性には影響されないけれども、ケーブル１２１，１２２の曲げ剛性に影響される。したがって、面外方向の振動に基づく算定用の基礎式は、ケーブル１２１，１２２の曲げ剛性を考慮して設定される。この基礎式は、両端が単純支持された一次元梁として、ケーブル１２１，１２２それぞれをモデル化することにより設定可能である。一次元梁のモデルの概略図が、図２に示されている。

図２において、変数ｋは、１又は２の値をとる。変数ｋが１の値をとるとき、図２のモデルは、図１のケーブル１２１を意味する。変数ｋが２の値をとるとき、図２のモデルは、図１のケーブル１２２を意味する。

図２において、ケーブルｋ上に交差部１３１が示されている。交差部１３１は、ケーブル１２１，１２２の交差部（すなわち、図１の把持装置１３０の把持位置）を意味している。

以下の説明において、ケーブルｋの一端部から交差部１３１までのスパン１７１の長さをＬ_ｋ１とする。交差部１３１からケーブルｋの他端部までのスパン１７２の長さをＬ_ｋ２とする。ケーブルｋの全長（Ｌ_ｋ１＋Ｌ_ｋ２）をＬ_ｋとする。

図２において、ケーブルｋの軸方向をｘ_ｋ軸とし、ｘ_ｋ軸に直角な面外方向（軸直角方向）のケーブルｋの変位量をｗ_ｋとする。時刻ｔにおけるケーブルｋの振動方程式は、以下のように与えられる。なお、把持装置１３０の質量は、考慮に入れないものとする。

スパン１７１について、上記の振動方程式を変数分離法で解いた場合、スパン１７１におけるケーブルｋの変位量ｗ_ｋ１及びスパン１７２におけるケーブルｋの変位量ｗ_ｋ２は、以下の関係式で表される。

この関係式（数２）を用いると、スパン１７１，１７２に対するモード関数は、以下のように表される。

これらのモード関数の常微分方程式の一般解は、以下のように表される。

ケーブルｋの両端部（ｘ_ｋ＝０，ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ）において、変位及び曲げモーメントは生じないので、以下の境界条件が成立する。

ケーブルｋの交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）においては、スパン１７１，１７２の変位、傾き及び曲げモーメントは等しくなるので、以下の境界条件が成立する。

ここで、交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）における把持装置１３０によるケーブル１２１（ｋ＝１），１２２（ｋ＝２）に対する拘束の影響を考慮する。まず、交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）においては、把持装置１３０がケーブル１２１（ｋ＝１），１２２（ｋ＝２）を把持しており、これらのケーブル１２１，１２２の変位は等しくなる。また、交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）においては、ケーブル１２１（ｋ＝１），１２２（ｋ＝２）に作用する力の和（すなわち、交差部１３１における合力）がゼロである。

まず、交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）におけるケーブル１２１，１２２の変位の等価性を表す境界条件（すなわち、把持装置１３０がケーブル１２１，１２２を把持していることを表す境界条件）は、以下のように表される。

次に、交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）におけるケーブル１２１（ｋ＝１），１２２（ｋ＝２）間の力の和がゼロであることが、図３を参照して説明される。図３は、交差部１３１においてケーブル１２１（ｋ＝１），１２２（ｋ＝２）に作用する力を表す概略図である。

ケーブルｋに直交する面外方向（軸直角方向）において交差部１３１に対して作用する力Ｐ_ｗｋは、交差部１３１の両端において作用するせん断力を用いて以下のように表される。

せん断力は、曲げモーメントの一階微分として表されるので、スパン１７１，１７２に作用するせん断力は、以下のように表される。

交差部１３１においてケーブル１２１（ｋ＝１）に作用する力とケーブル１２２（ｋ＝２）に作用する力の総和がゼロであるという境界条件（すなわち、把持装置１３０がケーブル１２１，１２２を把持しているという境界条件）は、上述の関係式（数８及び数９）を用いて以下のように表される。

次に、スパン１７１，１７２に対する一般解（数４）の各項の係数Ｃ_ｋ１～Ｄ_ｋ４間の関係が以下に説明される。

ｘ_ｋ＝０のときの変位及び曲げモーメントの境界条件（数５）を、スパン１７１，１７２に対する一般解（数４）に適用すると、以下の関係式が得られる。

これらの関係式（数１１）を成立させる条件は以下の通りである。

ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋのときの変位及び曲げモーメントの境界条件（数５）を、スパン１７１，１７２に対する一般解（数４）に適用すると、以下の関係式が得られる。

上述の関係式（数１３）から、係数Ｄ_ｋ１，Ｄ_ｋ２及び係数Ｄ_ｋ３，Ｄ_ｋ４間において、以下の関係式が得られる。

交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）において変位及び曲げモーメントが等しくなるという境界条件（数６）とスパン１７１，１７２に対するモード関数の常微分方程式の一般解（数４）とから、以下の関係式が得られる。

上述の関係式（数１５）から、係数Ｄ_ｋ１，Ｃ_ｋ２及び係数Ｄ_ｋ３，Ｃ_ｋ４間において、以下の関係式が得られる。

上述の関係式（数１４，数１６）から、係数Ｄ_ｋ２，Ｃ_ｋ２及び係数Ｄ_ｋ４，Ｃ_ｋ４間において、以下の関係式が得られる。

ケーブルｋの交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）において、スパン１７１，１７２の傾きが等しいという境界条件（数６）とスパン１７１，１７２に対するモード関数の常微分方程式の一般解（数４）とに基づいて、以下の関係式が得られる。

上記の関係式（数１７，数１８）から、係数Ｃ_ｋ４，Ｃ_ｋ２について以下の関係式が得られる。

上述の関係式（数１９）、（数１２）に示される条件（Ｃ_ｋ１＝Ｃ_ｋ３＝０）並びにケーブル１２１（ｋ＝１），１２２（ｋ＝２）の変位が等しいという境界条件（数７）に基づいて、以下の関係式が得られる。

ここで、上述の関係式（数２０）を簡略表記するために、関数ｇ_２ｋが以下のように定義される。関数ｇ_２ｋは、上述の関係式におけるｓｉｎｈ関数の無限大への発散をなくすために指数関数で表されている。

上記の関数ｇ_２ｋを用いて、上述の関係式（数２０）の係数Ｃ_２２は、以下のように表される。

次に、交差部１３１においてケーブル１２１（ｋ＝１），１２２（ｋ＝２）に作用する力の和がゼロであるという境界条件（数１０）を成立させるための条件が、以下の如く求められる。（数１０）の境界条件は、モード関数の常微分方程式の一般解（数４）を適用して以下のように書き換えられる。

上述の境界条件（数２３）の式を簡略表記するために、関数ｇ_１ｋ，ｇ_３ｋが以下のように定義される。

上述の境界条件（数２３）の式の第１項及び第２項は、関数ｇ_１ｋ，ｇ_３ｋを用いて以下のように書き換え可能である。

上述の境界条件（数２３）の式の第３項及び第４項は、関数ｇ_１ｋ～ｇ_３ｋを用いて以下のように書き換え可能である。

関数ｇ_１ｋ～ｇ_３ｋを用いた書き換えにより、交差部１３１における力の和がゼロであることを示す境界条件（数２３）は、以下のように表される。

上述の境界条件の式（数２７）が、自明解以外の解を持つためには、括弧内の値がゼロになる必要がある。括弧内の式に、ｇ_２２／ｇ_３１を掛けて基準化した式が以下に示される。当該基準化された式が、面外方向の固有振動数に基づく張力及び剛性の算定用の基礎式Ｇ１として利用される。なお、基礎式Ｇ１を利用した算定式及びこの算定式を利用した張力及び剛性の算定方法は、別途詳述される。

基礎式Ｇ１は、以下の境界条件を成立させる張力及び剛性が代入されることを条件としてゼロの値をとる。言い換えると、以下の境界条件は、基礎式Ｇ１がゼロに等しくなることを表している。

・ケーブルｋの両端部（ｘ_ｋ＝０，ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ）における変位及び曲げモーメントはゼロである。
・交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）においてケーブルｋのスパン１７１及びスパン１７２の変位、傾き及び曲げモーメントは等しい。
・交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）におけるケーブル１２１，１２２の変位は等しい。
・交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）においてケーブル１２１，１２２に対して面外方向に作用する力の和がゼロである。

＜面内方向の振動に基づく算定用の基礎式＞
面内方向の振動には、軸剛性Ｅ_ｋＡ_ｋに影響される振動（すなわち、ケーブルｋの軸方向の振動）及び曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋに影響される振動（すなわち、ケーブルｋの軸方向に直角の方向の振動）が含まれる。したがって、面内方向の振動に基づく張力及び剛性の算定用の基礎式は、ケーブルｋの軸剛性Ｅ_ｋＡ_ｋ及び曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋを考慮して設定される。

ケーブルｋの軸方向の振動によってケーブルｋの微小要素に生ずる力は、図４に概略的に表されている。なお、微小要素の軸方向の変位は、記号「ｕ」で表される。面内において軸に直交する方向への微小要素の変位は，記号「ｖ」を用いて表される。

ケーブルｋが軸方向に振動しているときに時刻ｔにおいてケーブルｋの微小要素の座標ｘ_ｋに作用する軸方向の応力σ_ｋ（ｘ_ｋ，ｔ）は、以下のように表される。

このとき、ケーブルｋの微小要素の座標ｘ_ｋ＋ｄｘ_ｋにおける応力は、以下のように表される。

以上の関係式（数２９，数３０）から、ケーブルｋが軸方向に振動しているときのケーブルｋの微小長さｄｘ_ｋにおける運動方程式（軸方向の振動方程式）は、以下のように表される。

変位量ｕ_ｋ（ｘ_ｋ，ｔ）は、変数分離法により以下のように表される。

上述の式（数３２）に基づいて、振動方程式（数３１）を解くと、モード関数に関する以下の常微分方程式が得られる。

ここで、Ｕ_ｋ（ｘ_ｋ）は、以下のように書き換え可能である。

この関係式（数３４）と上述の常微分方程式（数３３）とから、以下の関係式が得られる。

上述の如く定義された「η_ｋ」を用いて、Ｕ_ｋ（ｘ）の一般解は、以下の如く表される。なお、Ｕ_ｋ１（ｘ_ｋ）は、ケーブルｋのスパン１７１に対する一般解であり、Ｕ_ｋ２（ｘ_ｋ）は、ケーブルｋのスパン１７２に対する一般解である。

これらの一般解に対して、以下の境界条件が適用され得る。

上述の一般解（数３６）に、これらの境界条件（数３７）を当てはめると、以下の関係式が得られる。

変位ｖの一般解は、上述の面外方向の振動についての一般解（数４）と同様であり、以下の一般解を適用可能である。なお、Ｖ_ｋ１（ｘ_ｋ）は、ケーブルｋのスパン１７１に対する一般解であり、Ｖ_ｋ２（ｘ_ｋ）は、ケーブルｋのスパン１７２に対する一般解である。

これらの一般解についての境界条件も、上述の面外方向の振動についての境界条件（数５及び数６）と同様の境界条件が適用可能である。

交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）におけるケーブル１２１，１２２の変位は等しくなるので、ケーブル１２１，１２２の交差角を「θ」（図１を参照）で表すと、以下の境界条件が成立する。

交差部１３１においてケーブル１２１に作用する力のベクトルとケーブル１２２に作用する力のベクトルは、向きが反対で大きさが同じである。ケーブル１２１の軸方向および軸直角方向と、ケーブル１２２の軸方向および軸直角方向とは、向きが異なるため、力の座標変換が必要である。交差部１３１においてケーブル１２２に作用する力を、ケーブル１２１の軸方向と軸直角方向の力に座標変換し、ケーブル１２１の軸方向と軸直角方向に作用する力と向きが反対で大きさが等しいという条件式を立式する。これらから、以下の境界条件式が成立する。

上述の変位の境界条件の式（数４１）は、（数３８）に示された関係式及び変位Ｕ_ｋ１，Ｕ_ｋ２，Ｖ_ｋ１，Ｖ_ｋ２の一般解（数３６，数３７）を用いて、以下のように書き換えられる。なお、以下の関係式において、（数３７）のｓｉｎｈ関数の無限大への発散をなくすために指数関数が用いられている。

上述の関係式（数４３）を簡略表記するために、関数ｇ_５ｋが以下のように定義される。

関数ｇ_５ｋ，ｇ_２ｋ（数２１）を用いて、上述の変位の境界条件の式（数４３）は、以下の如く書き換えられる。

次に、スパン１７１について、交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）においてケーブルｋの軸方向に作用する力を考えると、上述の応力の式（数２９）及びスパン１７１についての一般解（数３６）に基づいて、以下の関係式が得られる。

スパン１７２について、交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）でのケーブルｋの軸方向における力を考えると、（数３８）の関係式、上述の応力の式（数２９）及びスパン１７２についての一般解（数３６）に基づいて、以下の関係式が得られる。

交差部１３１において軸方向に作用する力Ｐ_Ｕｋは、（数３８）、（数４６）及び（数４７）の関係式を用いて以下のように表される。

交差部１３１において変位ｖの方向に作用する力Ｐ_Ｖｋ（数４９）は、上述の面外方向の力（数２５）と同様に求められる。

ここで、力の和がゼロであるという境界条件（数４２）を簡略表記するために、関数ｇ_４ｋ，ｇ_６ｋが以下のように定義される。

力の和がゼロであるという境界条件（数４２）に、力Ｐ_Ｕｋ，Ｐ_Ｖｋの式（数４６，数４７）が適用されると、関数ｇ_１ｋ～ｇ_６ｋを用いて、以下の関係式が得られる。

この関係式（数５１）に変位の境界条件の式（数４５）が適用されると、以下の関係式が得られる。

上述の関係式（数５２）において自明解以外の解を得るための条件が以下に示される。この条件は、面内方向の固有振動数に基づく張力及び剛性の算定用の基礎式Ｇ２として利用される。なお、基礎式Ｇ２を利用した算定式及びこの算定式を利用した張力及び剛性の算定方法は、別途詳述される。

面内方向の振動に基づく基礎式Ｇ２は、以下の境界条件を成立させる張力及び剛性が代入されることを条件としてゼロの値をとる。言い換えると、以下の境界条件は、基礎式Ｇ２がゼロに等しくなることを表している。
・ケーブルｋの両端部（ｘ_ｋ＝０，ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ）における変位及び曲げモーメントはゼロである。
・交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）においてケーブルｋのスパン１７１及びスパン１７２の変位、傾き及び曲げモーメントは等しい。
・交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）におけるケーブル１２１，１２２の変位は等しい。
・交差部１３１（ｘ_ｋ＝Ｌ_ｋ１）においてケーブル１２１，１２２に対して作用する力は、大きさが同じである一方で向きが反対である。

＜基礎式を利用した算定式の導出＞
上述の様々な数式のうち、張力及び剛性を算定するために利用される数式が以下にまとめられている。なお、以下の関係式において、記号「ｉ」は、データ収集装置１６０の解析を通じて得られる固有振動数の複数の実測値ｆ_ｉに対応して付される自然数であり、振動モードの次数とは無関係である。たとえば、５つの実測値ｆ_ｉが得られるならば、ｉは、１～５のいずれかの値をとる。

面内方向の振動に基づく張力及び剛性の算定用の基礎式Ｇ２_ｉは、関数ｇ_１ｋ～ｇ_６ｋを含んでいる。関数ｇ_4ｋ～ｇ_６ｋは、軸剛性Ｅ_ｋＡ_ｋを含んでいる。関数ｇ_１ｋ～ｇ_３ｋは、曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋを含んでいる。これは、面内方向の衝撃力がケーブル１２１，１２２に加えられた場合、ケーブル１２１，１２２は、軸方向の振動及び軸方向に対して直角方向に振動が生ずるためである。たとえば、ケーブル１２１，１２２を含む面内においてケーブル１２１の軸に対して直角の方向に衝撃力がケーブル１２１に加えられた場合、この衝撃力の少なくとも一部は、把持装置１３０を通じてケーブル１２２の軸方向に伝播する。また、ケーブル１２２が、残りの衝撃力によって、ケーブル１２１，１２２を含む面内においてケーブル１２２の軸に対して直角の方向に振動すれば、当該振動は、把持装置１３０を通じてケーブル１２１の軸方向に伝播する。したがって、ケーブル１２１，１２２は、ケーブル１２１，１２２を含む面内において軸方向及び軸方向に対して直角の方向に振動し得る。面内方向の振動に基づく張力及び剛性の算定用の基礎式Ｇ２_ｉは、上述の如く、それぞれの軸方向および軸直角方向の振動を扱うため，軸剛性Ｅ_ｋＡ_ｋ及び曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋが基礎式Ｇ２_ｉに含まれる。

一方、ケーブル１２１，１２２の一方に面外方向に衝撃を加えても、ケーブル１２１，１２２の軸方向の振動は生じない。したがって、面外方向の振動に基づく張力及び剛性の算定用の基礎式Ｇ１_ｉは、軸方向の振動に関連する軸剛性Ｅ_ｋＡ_ｋを含んでいない。言い換えると、基礎式Ｇ１_ｉは、固有振動数ｆ_ｉと、ケーブル１２１，１２２の張力Ｔ_ｋと、ケーブル１２１，１２２の曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋとの間の関係を表している。一方、基礎式Ｇ２_ｉは、固有振動数ｆ_ｉと、ケーブル１２１，１２２の張力Ｔ_ｋと、ケーブル１２１，１２２の曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋと、ケーブル１２１，１２２の軸剛性Ｅ_ｋＡ_ｋとの間の関係を表している。

基礎式Ｇ１_ｉ，Ｇ２_ｉの上述の特性を考慮して、ケーブル１２１，１２２が面外方向にのみ振動する場合には、ケーブル１２１，１２２の張力及び剛性の算定には基礎式Ｇ１_ｉのみを利用した以下の算定式が設定される。

この算定式は、基礎式Ｇ１_ｉの平方和が所定の値（すなわち、ゼロ）になることを表している。上述の如く、境界条件は、基礎式Ｇ１_ｉがゼロの値をとることを表しているので、境界条件は、基礎式Ｇ１_ｉの平方和である第１の算定式がゼロの値をとることをも意味する。ケーブル１２１，１２２の張力及び剛性の算定工程においては、この算定式に対応する目的関数が設定され、この算定式の値と目的関数の値との比較を通じて、張力及び剛性が算定される。張力及び剛性の算定方法は、別途詳述される。

ケーブル１２１，１２２が面内方向にのみ振動する場合には、ケーブル１２１，１２２の張力及び剛性の算定には基礎式Ｇ２_ｉのみを利用した以下の算定式（以下、第２の算定式）が設定される。

この算定式は、基礎式Ｇ２_ｉの平方和が所定の値（すなわち、ゼロ）になることを表している。上述の如く、境界条件は、基礎式Ｇ２_ｉがゼロの値をとることを表しているので、境界条件は、基礎式Ｇ２_ｉの平方和である第２の算定式がゼロの値をとることをも意味する。ケーブル１２１，１２２の張力及び剛性の算定工程においては、この算定式に対応する目的関数が設定され、この算定式の値と目的関数の値との比較を通じて、張力及び剛性が算定される。張力及び剛性の算定方法は、別途詳述される。

ケーブル１２１，１２２が面内方向及び面外方向に振動する場合には、基礎式Ｇ１_ｉ，Ｇ２_ｉの両方を含む算定式（第３の算定式及び第４の算定式）が設定される。

第３の算定式は、データ収集装置１６０の解析を通じて得られる固有振動数の複数の実測値が、面内方向の固有振動数であるか面外方向の固有振動数であるかが分かる場合に利用可能である。上述の如く、境界条件は、基礎式Ｇ１_ｉ，Ｇ２_ｉの両方がゼロの値をとることを表しているので、境界条件は、基礎式Ｇ１_ｉ，Ｇ２_ｉそれぞれの平方和の和である第３の算定式がゼロの値をとることをも意味する。

第４の算定式は、データ収集装置１６０の解析を通じて得られる固有振動数の複数の実測値が、面内方向の固有振動数であるか面外方向の固有振動数であるかが不明である場合に利用可能である。上述の如く、境界条件は、基礎式Ｇ１_ｉ，Ｇ２_ｉの両方がゼロの値をとることを表しているので、境界条件は、基礎式Ｇ１_ｉ，Ｇ２_ｉそれぞれの平方和の積である第４の算定式がゼロの値をとることをも意味する。

＜第１の算定式を用いた張力及び剛性の算定方法＞
ケーブル１２１，１２２に対して、面外方向（図１の紙面に対して直角の方向）に振動を与えれば、面外の固有振動数ｆ_ｉを計測できる。この場合、第１の算定式（数５６）を用いた張力の算定が可能である。第１の算定式を用いた張力及び剛性の算定方法が、図５を参照して以下に説明される。図５は、張力及び剛性の算定方法の概略的なフローチャートである。

基礎式Ｇ１_ｉには、関数ｇ_１ｋｉ～ｇ_３ｋｉが含まれている（数５４を参照）。これらの関数は、以下の項目を含んでいる。これらの項目の構造データが、ステップＳ１１０において入力される。なお、ステップＳ１１０において取得される構造データは、実測値であってもよいし、公称値であってもよい。
・ケーブル１２１，１２２の全長（Ｌ_ｋ）
・ケーブル１２１，１２２の一端部から交差部１３１（すなわち、把持装置１３０による把持位置）までの長さ（Ｌ_ｋ１）
・交差部１３１からケーブル１２１，１２２の他端部までの長さ（Ｌ_ｋ２）
・ケーブル１２１，１２２の密度（ρ_ｋ）
・ケーブル１２１，１２２の断面積（Ａ_ｋ）

上述の構造データの入力の後、ケーブル１２１，１２２のいずれか一方が面外方向に加振される（ステップＳ１２０）。たとえば、ケーブル１２１，１２２のいずれか一方がハンマで面外方向に叩かれてもよい。ケーブル１２１，１２２は、交差部１３１において把持装置１３０によって把持されているので、一体となって振動する。ケーブル１２１，１２２が一体となって振動している間、加速度センサ１４１～１４４が振動加速度を測定する。測定された振動加速度のデータは、データ収集装置１６０に集められ、時刻歴応答値として記録される（ステップＳ１３０）。

時刻歴応答値に基づいて、一体となって振動するケーブル１２１，１２２の固有振動数の実測値ｆ_ｉが取得される。詳細には、時刻歴応答値のデータに対してフーリエ変換が行われ、フーリエ変換後のデータに基づいて固有振動数の実測値ｆ_ｉが取得される（ステップＳ１４０）。この実測値ｆ_ｉは、ケーブル１２１，１２２が面外方向に加振されているので、面外方向の振動に対する固有振動数である。以下、５つの固有振動数の実測値（ｆ_１～ｆ_５）が取得された場合が説明される。

構造データ及び固有振動数の実測値が（数５４）のα_ｋｉ及びβ_ｋｉの式に代入されると、（数５４）のα_ｋｉ及びβ_ｋｉは、ケーブル１２１，１２２に作用している張力Ｔ_ｋ及びケーブル１２１，１２２の曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋの関数として取り扱い可能になる。関数ｇ_１ｋｉ～ｇ_３ｋｉは、α_ｋｉ及びβ_ｋｉの関数であるから、これらの関数ｇ_１ｋｉ～ｇ_３ｋｉ（ひいては、第１の算定式）も張力Ｔ_ｋ及び曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋの関数として取り扱い可能になる。

ここで、第１の算定式（数５６）に対する比較対象となる目的関数Ｊ_１が以下のように設定されている（数５９）。張力Ｔ_ｋ及び曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋの最適解は、張力Ｔ_ｋ及び曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋを未知数として、これらの未知数に複数の候補値を代入することにより算出される（ステップＳ１５０）。

目的関数Ｊ_１の値が第１の算定式の値（すなわち、ゼロ）に近くなるように、張力Ｔ_ｋ及び曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋの最適解が算出されれば、境界条件を成立させる張力及び曲げ剛性に近い張力Ｔ_ｋ及び曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋが算定される。張力Ｔ_ｋ及び曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋの最適解の算出方法が、図６を参照して説明される。図６は、目的関数Ｊ_１の概念的なグラフである。本実施形態において、張力Ｔ_ｋ及び曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋの最適解は、ＭｕｌｔｉＳｔａｒｔ法に基づき算出される。

図６の横軸は、張力Ｔ_ｋ又は曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋを表している。図６のグラフは、二次元座標として描かれているけれども、目的関数Ｊ_１を用いた演算は、５次元座標（目的関数Ｊ_１の値、張力Ｔ_１，Ｔ_２及び曲げ剛性Ｅ_１Ｉ_１，Ｅ_２Ｉ_２の５つの軸）上で行われる。

張力Ｔ_ｋ及び曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋについて、Ｎ通りの初期値が設定される。図６には、１～６通り目の初期値が表されている。設定された初期値が、目的関数Ｊ_１（すなわち、基礎式Ｇ１_１ ^２～Ｇ１_５ ^２）に代入される。目的関数Ｊ_１に代入される張力Ｔ_ｋの値は、ケーブル１２１，１２２に作用していると推定される張力の候補値である。目的関数Ｊ_１に代入される曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋの値は、ケーブル１２１，１２２の曲げ剛性の候補値である。これらの候補値（すなわち、代入値）は、以下の説明において、「張力候補値」及び「曲げ剛性候補値」と称される。

初期値が入力され、目的関数Ｊ_１の値が得られると、張力候補値及び曲げ剛性候補値のうち少なくとも１つが変更され、これらの新たな組み合わせに基づいて、目的関数Ｊ_１の値が算出される。新たな組み合わせから得られた目的関数Ｊ_１の値が、前回の組み合わせから得られた目的関数Ｊ_１の値を下回っているか否かが判定される。目的関数Ｊ_１の値の減少の程度に基づいて、「張力候補値」及び「曲げ剛性候補値」の組み合わせを新たに設定することを繰り返し、目的関数Ｊ_１の極小値が探索される。

目的関数Ｊ_１の４つの極小値（以下の説明において、「第１極小値」、「第２極小値」、「第３極小値」及び「第４極小値」と称される）が、図６に示されている。図６のグラフに関して、１通り目の初期値及び２通り目の初期値から探索が開始されると、第１極小値を得ることができる。３通り目の初期値から探索が開始されると、第２極小値を得ることができる。４通り目の初期値及び５通り目の初期値から探索が開始されると、第３極小値を得ることができる。６通り目の初期値から探索が開始されると、第４極小値を得ることができる。

上述の探索処理によって得られた複数の極小値の中から最も小さなものが見出される。最も小さな極小値が得られたときの張力候補値及び曲げ剛性候補値が、目的関数Ｊ_１の最適解として抽出される。図６のグラフに関して、第３極小値が最も小さいので、第３極小値の算出に用いられた張力候補値及び曲げ剛性候補値の組が目的関数Ｊ_１の最適解として取り扱われる。

第３極小値は、算定式の値（すなわち、ゼロ）に比較的近いが、張力候補値及び曲げ剛性候補値が必要な精度を有しているとは限らない。張力候補値及び曲げ剛性候補値が必要な精度を有しているか否かを検証するために、最適解が得られたときの目的関数Ｊ_１の値が、所定の閾値と比較される（ステップＳ１６０）。

すなわち、算定式の値（すなわち、ゼロ）と最適解の下での目的関数Ｊ_１の値との間の差が大きければ大きいほど、最適解は、境界条件を成立させる張力及び曲げ剛性から外れている。このことを考慮して、高い精度が要求されていれば、閾値は小さな値に設定される。高い精度が要求されていなければ、閾値は大きな値に設定されてもよい。あるいは、ステップＳ１６０は省略されてもよい。

閾値よりも目的関数Ｊ_１の値が大きければ（ステップＳ１６０：Ｎｏ）、ステップＳ１４０において取得された固有振動数の実測値が適切でないことが考えられる。たとえば、データ中のノイズが振動強度のピークとして現れた振動数が固有振動数として取得されていることが考えられる。この場合、フーリエ変換後のデータが見直され、固有振動数の実測値が再度取得される（ステップＳ１４０）。

目的関数Ｊ_１の値が閾値を下回っていれば（ステップＳ１６０：Ｙｅｓ）、得られた最適解を最終最適解として決定する（ステップＳ１７０）。その後、最終最適解として決定された張力候補値及び曲げ剛性候補値が出力される（ステップＳ１８０）。加えて、最終最適解に対応する目的関数Ｊ_１の値も出力される。出力された張力候補値及び曲げ剛性候補値は、ケーブル１２１，１２２の張力Ｔ_ｋ及びケーブル１２１，１２２の曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋの算定値である。目的関数Ｊ_１の出力値は、張力Ｔ_ｋ及び曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋの算定値の精度の評価に利用可能である。

＜第２の算定式を用いた張力及び剛性の算定方法＞
ケーブル１２１，１２２に対して面内方向に衝撃が与えられれば、ケーブル１２１，１２２は面内方向に振動が生ずる。この場合、第２の算定式（数５７）を用いた張力の算定が可能である。基礎式Ｇ２_ｉは、面外方向の振動に基づく張力及び剛性の算定用の基礎式Ｇ１_ｉ（数５５）に含まれる関数ｇ_１ｋｉ～ｇ_３ｋｉに加えて、関数ｇ_４ｋｉ～ｇ_６ｋｉを含んでいる。関数ｇ_４ｋｉ～ｇ_６ｋｉは、η_ｋｉを含み、η_ｋｉは、曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋの関数ではなく、ケーブル１２１，１２２のヤング率Ｅ_ｋＡ_ｋの関数である。断面積Ａ_ｋは、既知として取り扱われ、ケーブルの単位長さあたりの質量ρ_ｋＡ_ｋを計算するのに利用されるが、軸剛性Ｅ_ｋＡ_ｋは、未知数として取り扱われる。

その後、ケーブル１２１，１２２の加振（ステップＳ１２０）、時刻歴応答値の取得（ステップＳ１３０）及び固有振動数の実測値の取得（ステップＳ１４０）が順次実行される。取得された固有振動数の実測値は、ケーブル１２１，１２２が面内方向に加振されているので、面内方向の固有振動数である。固有振動数の実測値のデータの取得の後、最適解の算出が行われる（ステップＳ１５０）。

最適解の算出は、面外方向の振動に基づく張力の算定と同様に行われるが、ステップＳ１１０において、ケーブル１２１，１２２の交差角（θ）のデータが追加的に取得される点、曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋに代えて軸剛性Ｅ_ｋＡ_ｋが未知数として取り扱われる点及び目的関数Ｊ_２が用いられる点が相違する。目的関数Ｊ_２は、第２の算定式に対する比較対象となるように設定されている。

最適解が算出されると、最適解が得られたときの目的関数Ｊ_２の値と閾値との比較（ステップＳ１６０）、最終最適解の決定（ステップＳ１７０）及び最終最適解の出力（ステップＳ１８０）が順次行われる。最終最適解の出力（ステップＳ１８０）において、ケーブル１２１，１２２の張力Ｔ_ｋ、曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋ及び軸剛性Ｅ_ｋＡ_ｋが出力される。

＜面外方向及び面内方向の両方の振動に基づく張力の算定＞
実際の構造物（たとえば、橋梁）のケーブルでは、ケーブルが面外方向及び面内方向に振動するように加振されることがある。たとえば、ケーブル１２１，１２２が張設された面に対して、４５°の角度で衝撃を与えれば、周波数解析後のデータには、面外方向の振動に由来する固有振動数及び面内方向の振動に由来する固有振動数が現れる。これらの固有振動数を区別して取得可能であれば、第３の算定式（数５８）及び第３の算定式との比較対象となる以下の目的関数Ｊ_３が張力及び剛性を算定するために利用可能である。

上述の目的関数Ｊ_３において、面外方向の固有振動数の実測値は、基礎式Ｇ１_ｉの平方和に代入される。面内方向の固有振動数の実測値は、基礎式Ｇ２_ｉの平方和に代入される。その後、ケーブル１２１，１２２の張力Ｔ_ｋ、曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋ及び軸剛性Ｅ_ｋＡ_ｋは、ＭｕｌｔｉＳｔａｒｔ法（図６を参照）を用いて、目的関数Ｊ_３の最小値を探索することにより算定され得る。

周波数解析後のデータにおいて、固有振動数の実測値が面外方向の振動に由来するものであるのか面内方向の振動に由来するものであるのかが判別不能であれば、第４の算定式（数５８）及び第４の算定式との比較対象となる以下の目的関数Ｊ_４が張力及び剛性を算定するために利用可能である。

上述の目的関数Ｊ_４において、固有振動数の実測値は、基礎式Ｇ１_ｉ，Ｇ２_ｉそれぞれに代入される。その後、ケーブル１２１，１２２の張力Ｔ_ｋ、曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋ及び軸剛性Ｅ_ｋＡ_ｋの最適値が算出される。最適値の算出に関して、基礎式Ｇ１_ｉ，Ｇ２_ｉの少なくとも一方の値がゼロに近づけば近づくほど、目的関数Ｊ_４の値もゼロに近づくので、図６のＭｕｌｔｉＳｔａｒｔ法を用いて、目的関数Ｊ_４の最小値を探索することにより算定され得る。

上述の実施形態では、基礎式（数５５）は、ケーブル１２１，１２２が交差部１３１において把持装置１３０により把持されていることを表す境界条件に基づいて得られている。すなわち、交差部１３１におけるケーブル１２１，１２２の変位が等しく、交差部１３１においてケーブル１２１，１２２に作用する力の和がゼロであるという境界条件の下で、関数ｇ_１ｋｉ～ｇ_６ｋｉが設定されている。したがって、２つのケーブルが交差部において把持された構造物（たとえば、ニールセンローゼ橋）に対して、上述の張力及び剛性の算定技術は好適に利用可能である。

関数ｇ_１ｋｉ～ｇ_６ｋｉは、振動モードの次数を含んでいない（数５４）。したがって、固有振動数の実測値ｆ_ｉが何次の振動モードのものであるのかが分からなくとも、張力及び剛性を算出可能である。

ＭｕｌｔｉＳｔａｒｔ法に基づき算出された最適解は、必要とされる精度を考慮して設定された閾値と比較されるので、必要な精度の下で、張力Ｔ_ｋ、曲げ剛性Ｅ_ｋＩ_ｋ及び軸剛性Ｅ_ｋＡ_ｋが算定され得る。

上述の算定式は、ゼロの値をとる。代替的に、算定式は、ゼロ以外の所定の値をとる等式が用いられてもよい。この場合、ゼロ以外の算定式の値と最終最適解の下での目的関数の値との間の差が所定の閾値と比較されることにより、最終最適解が必要な精度を有しているか否かが判定されてもよい。

上述の実施形態に関して、最適解を得るために、基礎式（数５５）の平方値が算定式及び目的関数として用いられている。代替的に、基礎式の絶対値が算定式及び目的関数として用いられてもよい。

上述の算定式は、把持装置１３０の質量を考慮せずに得られた基礎式に基づいて導出されている。代替的に、算定式は、把持装置１３０の質量を考慮して得られた基礎式に基づいて導出されてもよい。

上述の実施形態に関して、最適解を得るために、ＭｕｌｔｉＳｔａｒｔ法が用いられている。代替的に、最適解を得るための他の数学的技術が利用されてもよい。

上述の実施形態に関して、張力及び剛性の両方の算定値が出力されている。代替的に、張力の算定値のみが必要であれば、張力の算定値のみが出力されてもよい。剛性の算定値のみが必要であれば、剛性の算定値のみが出力されてもよい。

上述の実施形態に関して、ケーブル１２１，１２２の両方に加速度センサ１４１～１４４が取り付けられている。代替的に、加速度センサから得られる加速度データから一体となって振動するケーブル１２１，１２２の固有振動数の実測値が得られれば、ケーブル１２１，１２２のいずれか一方に単一の加速度センサが取り付けられてもよい。なお、上述の実施形態のように、ケーブル１２１，１２２それぞれのスパン１７１，１７２に加速度センサ１４１～１４４が取り付けられれば、ケーブル１２１，１２２の固有振動数の実測値を精度よく取得し得る。たとえば、加速度センサ１４１～１４４のデータを比較し、振動強度のピークがノイズであるか否かを見極めることが可能になる場合がある。

加速度センサ１４１～１４４に代えて、一体となって振動するケーブル１２１，１２２の固有振動数の実測値を取得可能なデータ（たとえば、ケーブル１２１，１２２の変位データ）を出力することができる他の装置が用いられてもよい。

上述の実施形態に関して、線状体として、ケーブル１２１，１２２が用いられている。代替的に、線状体として、鋼棒や他の線状部材が用いられてもよい。

上述の実施形態に関連して説明された技術は、一次元梁としてモデル化可能な様々な線状体に作用している張力及び剛性の調査に好適に利用される。

１２１，１２２・・・・・・・・・・・・・・・・ケーブル（線状体）
１３０・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・把持装置
１３１・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・交差部

Claims (8)

1. 互いに交差するように張設されているとともに交差部において把持装置によって把持された２つの線状体それぞれの張力及び剛性を算定する方法であって、
   前記把持装置によって把持されることにより一体となって振動する前記２つの線状体の振動に基づいて前記２つの線状体について複数の固有振動数の実測値を得ることと、
   前記２つの線状体の交差部が前記把持装置により把持されていることを表す境界条件を用いて得られた前記一体となって振動する２つの線状体の複数の固有振動数、張力及び剛性の間の関係を表す算定式と、前記複数の固有振動数の前記実測値と、を用いて、前記２つの線状体それぞれの前記張力及び前記剛性を算定することと、を備えている、張力の算定方法。
2. 前記算定式には、振動モードの次数の変数が含まれていない、請求項１に記載の張力及び剛性の算定方法。
3. 前記境界条件は、前記交差部において前記２つの線状体に作用する力の合力がゼロになることを示す条件を含んでいる、請求項１又は２に記載の張力及び剛性の算定方法。
4. 前記境界条件は、前記交差部における前記２つの線状体の変位が等しいことを示す条件を含んでいる、請求項１乃至３のいずれか１項に記載の張力及び剛性の算定方法。
5. 前記境界条件は、前記一体となって振動する２つの線状体の前記複数の固有振動数、前記張力及び前記剛性を用いて前記算定式によって表される値が所定の値に等しくなることを示し、
   前記２つの線状体それぞれの前記張力及び前記剛性を算定する工程において、
   前記複数の固有振動数の実測値とともに前記２つの線状体それぞれの張力及び剛性の複数の候補値を前記算定式に代入したときの複数の値を取得し、
   前記複数の値の中で前記所定の値に最も近い値が得られたときの候補値を前記２つの線状体それぞれの前記張力及び前記剛性として決定する、請求項１乃至４のいずれか１項に記載の張力及び剛性の算定方法。
6. 前記候補値を前記２つの線状体それぞれの前記張力及び前記剛性として決定する工程において、前記所定の値と前記最も近い値との間の差を閾値と比較し、
   前記差が前記閾値よりも小さいことを条件として、前記候補値を前記２つの線状体それぞれの前記張力として決定する、請求項５に記載の張力及び剛性の算定方法。
7. 前記算定式において用いられる前記剛性は、前記２つの線状体それぞれの曲げ剛性である、請求項１乃至６のいずれか１項に記載の張力及び剛性の算定方法。
8. 前記算定式において用いられる前記剛性は、前記２つの線状体それぞれの曲げ剛性及び軸剛性である、請求項１乃至６のいずれか１項に記載の張力及び剛性の算定方法。
   

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