JP2022015503A - 情報処理システム、情報処理方法及びプログラム - Google Patents

Abstract

【課題】効率的な探索を実現する。【解決手段】探索部１３は、複数の状態変数を含むエネルギー関数で表される問題に関し、問題の解の探索における一回の状態遷移当たりに変化させる状態変数の数を示す近傍深度が設定され、設定された近傍深度に基づいて問題の解の探索を実行する。処理部１２は、第１の近傍深度での探索の初期解に対するエネルギー関数の第１の値と、第１の近傍深度での探索により得られた第１の解に対するエネルギー関数の第２の値とを取得する。処理部１２は、第１の値と第２の値とに基づいて、第１の近傍深度による解精度の向上の度合いを示す第１の指標を計算する。処理部１２は、第２の近傍深度での探索の結果を基に計算した、第２の近傍深度による解精度の向上の度合いを示す第２の指標と第１の指標とに基づいて、探索部１３に設定する近傍深度を出力する。【選択図】図１

Description

本発明は情報処理システム、情報処理方法及びプログラムに関する。

ノイマン型コンピュータが不得意とする多変数の組合せ最適化問題を、磁性体のスピンの振る舞いを表すモデルであるイジングモデルに置き換えて計算する情報処理装置がある。イジングモデルに置き換えられた問題を実用的な時間で解く手法には、例えばシミュレーテッドアニーリング（ＳＡ：Simulated Annealing）法やレプリカ交換法などのマルコフ連鎖モンテカルロ（ＭＣＭＣ：Markov Chain Monte Carlo）法がある。組合せ最適化問題は、複数の状態変数を含むエネルギー関数により定式化される。エネルギー関数は、目的関数や評価関数などと呼ばれることもある。情報処理装置は、ＭＣＭＣ法を用いて状態変数の値を変化させることによる状態遷移を繰り返し試行することで、エネルギー関数の値が最小となるイジングモデルの基底状態を探索する。基底状態は組合せ最適化問題の最適解に対応する。

例えば、複数のプロセッサ・エレメントが、最適化の最中に各プロセッサ・エレメントが持つ組合せ情報を交換する協調的な最適化を行う組合せ最適化装置の提案がある。
また、“着目状態”の遷移として、距離２、距離３などの遷移をも可能にした状態空間の探索方式の提案もある。ここで、提案の探索方式において、距離ｎとは、１つの状態からもう１つの状態に到達するために最低ｎ回の状態遷移が必要という意味である。

更に、レプリカ交換法を実行する最適化装置の提案がある。提案の最適化装置は、一定の反復回数ごとに各焼鈍部におけるエネルギーを観測し、エネルギーと温度に応じた交換確率に基づいて２つの焼鈍部に供給する逆温度を交換する。

特開平６－３０９４０８号公報 特開２００４－７０６６２号公報 特開２０１９－１６０２９３号公報

上記のように、ある状態から次の状態への遷移、すなわち、一状態遷移当たりに変化させる状態変数の数を１より大きくすることが考えられる。例えば、探索において一状態遷移当たりに変化させる状態変数の数を可変にし、当該数を段階的に大きくすることで、得られる解の精度は向上し得るが、探索に要する時間が増大する。問題や探索の状況などに応じて、一状態遷移当たりに変化させる状態変数の数を適切に決定することは容易ではない。

１つの側面では、本発明は、効率的な探索を実現する情報処理システム、情報処理方法及びプログラムを提供することを目的とする。

１つの態様では、情報処理システムが提供される。情報処理システムは、探索部と処理部とを有する。探索部は、複数の状態変数を含むエネルギー関数で表される問題に関し、問題の解の探索における一回の状態遷移当たりに変化させる状態変数の数を示す近傍深度が設定され、設定された近傍深度に基づいて問題の解の探索を実行する。処理部は、第１の近傍深度での探索の初期解に対するエネルギー関数の第１の値と、第１の近傍深度での探索により得られた第１の解に対するエネルギー関数の第２の値とを取得し、第１の値と第２の値とに基づいて、第１の近傍深度による解精度の向上の度合いを示す第１の指標を計算し、第２の近傍深度での探索の初期解に対するエネルギー関数の第３の値と、第２の近傍深度での探索により得られた第２の解に対するエネルギー関数の第４の値とを取得し、第３の値と第４の値とに基づいて、第２の近傍深度による解精度の向上の度合いを示す第２の指標を計算し、第１の指標と第２の指標とに基づいて、探索部に設定する近傍深度を出力する。

また、１つの態様では、情報処理方法が提供される。
また、１つの態様では、プログラムが提供される。

１つの側面では、効率的な探索を実現できる。

第１の実施の形態の情報処理システムを説明する図である。 第２の実施の形態の情報処理システムを示す図である。 制御装置のハードウェア例を示す図である。 ノードのハードウェア例を示す図である。 情報処理システムの機能例を示す図である。 解を複数個の要素の順列で表す例を示す図である。 ２－ｏｐｔ近傍の例を示す図である。 解精度向上率データの例を示す図である。 解精度向上評価値の計算例を示す図である。 近傍深度テーブルの例を示す図である。 制御部の処理例を示すフローチャートである。 探索部の処理例を示すフローチャートである。 ノードの他のハードウェア例を示す図である。

以下、本実施の形態について図面を参照して説明する。
［第１の実施の形態］
第１の実施の形態を説明する。

図１は、第１の実施の形態の情報処理システムを説明する図である。
情報処理システム１は、組合せ最適化問題の解を探索し、解を出力する。情報処理システム１は、記憶部１１、処理部１２及び探索部１３を有する。

記憶部１１は、ＲＡＭ（Random Access Memory）などの揮発性記憶装置でもよいし、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）やフラッシュメモリなどの不揮発性記憶装置でもよい。
処理部１２は、ＣＰＵ（Central Processing Unit）、ＤＳＰ（Digital Signal Processor）、ＡＳＩＣ（Application Specific Integrated Circuit）、ＦＰＧＡ（Field Programmable Gate Array）などを含み得る。処理部１２はプログラムを実行するプロセッサでもよい。「プロセッサ」は複数のプロセッサの集合（マルチプロセッサ）を含み得る。

探索部１３は、ＣＰＵ、ＤＳＰ、ＡＳＩＣ、ＧＰＵ（Graphics Processing Unit）、ＦＰＧＡなどの集積回路により実現される。また、図示を省略しているが探索部１３は、ＲＡＭ（Random Access Memory）やレジスタなどの記憶部を含み得る。例えば、ＦＰＧＡなどの集積回路を用いて実現される探索回路が、探索部１３として機能してもよい。後述されるように、情報処理システム１は、探索部１３を含む複数の探索部を有してもよい。

探索部１３は、組合せ最適化問題を定式化したイジング型のエネルギー関数に基づいて、エネルギー関数に含まれる複数の状態変数の値の組により表されるイジングモデルの状態を変化させることで、エネルギー関数の値を最小にする解の探索を行う。エネルギー関数の値は、イジングモデルの状態に対応するエネルギー値である。イジングモデルの状態をステート（State）と言うことがある。状態変数は「０」または「１」の値を取るバイナリ変数である。エネルギー関数の値を最小にする解は、イジングモデルの基底状態に相当する。また、探索部１３により求められる解は、複数の状態変数の組により表される。イジングモデルの基底状態は組合せ最適化問題の最適解に対応する。解の探索には、例えば、ＳＡ法やレプリカ交換法などのＭＣＭＣ法が用いられる。

イジング型のエネルギー関数Ｅ（ｘ）は、例えば、式（１）で表される。

状態ベクトルｘは、複数の状態変数を要素とし、イジングモデルの状態を表す。目的関数の値を最大化する問題の場合には、目的関数の符号を逆にすればよい。
式（１）の右辺第１項は、全状態変数から選択可能な２つの状態変数の全組合せについて、漏れと重複なく、２つの状態変数の値と重み係数との積を積算したものである。ｘ_ｉは、ｉ番目の状態変数である。ｘ_ｊは、ｊ番目の状態変数である。Ｗ_ｉｊは、ｉ番目の状態変数とｊ番目の状態変数との間の重み、または、結合の強さを示す重み係数である。

式（１）の右辺第２項は、全状態変数の各々のバイアス係数と状態変数の値との積の総和を求めたものである。ｂ_ｉは、ｉ番目の状態変数に対するバイアス係数を示している。
例えば、イジングモデルにおけるスピンの「－１」は、状態変数の値「０」に対応する。イジングモデルにおけるスピンの「＋１」は、状態変数の値「１」に対応する。このため、状態変数を０または１の値をとるビットと呼ぶこともできる。

ここで、式（１）における状態変数ｘ_ｉの値が変化して１－ｘ_ｉとなると、状態変数ｘ_ｉの増加分は、δｘ_ｉ＝（１－ｘ_ｉ）－ｘ_ｉ＝１－２ｘ_ｉと表せる。したがって、エネルギー関数Ｅ（ｘ）に対して、状態変数ｘ_ｉの変化に伴うエネルギー値の変化量ΔＥ_ｉは、式（２）で表される。

ここで、エネルギー値を最小化する基底状態の探索に、例えば最急降下法を用いることが考えられる。しかし、最急降下法では、一旦、局所解に陥ると脱出できなくなる。
そこで、探索部１３では、基底状態の探索において、エネルギー値の変化量がΔＥ_ｉとなる状態遷移（状態変数ｘ_ｉの値の変化）を許容するか否かを決定するためにメトロポリス法やギブス法が用いられる。すなわち、探索部１３は、ある状態から当該状態よりもエネルギー値の低い他の状態への遷移を探索する近傍探索において、エネルギー値が下がる状態だけでなく、エネルギー値が上がる状態への遷移を確率的に許容する。

探索部１３は、複数の状態変数の何れかの状態変数の値を変化させたときのエネルギー値の変化量と、ノイズ値との比較結果に基づいて、当該状態変数の値の変化を許容するか否かを判定する。探索部１３は、許容すると判定した場合、該当の状態変数の値を変えることで、状態遷移を発生させる。ノイズ値は、温度値や乱数に基づいて求められる。温度値が大きい程、ノイズ値の振幅が大きくなる。ノイズ値の振幅が大きい程、エネルギー値の増加量が大きい状態遷移が許容されやすくなる。

探索部１３は、一状態遷移当たりに変化させる状態変数の数を１以上の整数とすることができる。また探索部１３における一状態遷移当たりに変化させる状態変数の数は可変に制御可能である。ここで、一状態遷移当たりに変化させる状態変数の数を近傍深度と言うことがある。また、ある状態と他の状態との間の距離は、ハミング距離と呼ばれる。ハミング距離は、ある状態と他の状態とで互いに異なる値である状態変数の数、すなわち異なるビットの数である。なお、「一状態遷移」は、「一回の状態遷移」と同じ意味である。

探索部１３における探索は、ある初期解から状態遷移を繰り返し試行し、所定の終了条件が満たされるまで行われる。初期解は、探索の始点となる状態である。所定の終了条件は、例えば、あるエネルギー値の解に達した後、それ以降の所定回数の状態遷移の試行によっても、エネルギー値が改善される他の解が得られないことや、探索の開始から一定時間が経過したことなどである。情報処理システム１は、問題や探索の状況に応じて、近傍深度を調整する機能を提供する。

記憶部１１は、処理部１２の処理に利用されるデータを記憶する。例えば、記憶部１１は、テーブル１１ａを記憶する。テーブル１１ａは、近傍深度及び解精度向上指標の項目を含む。近傍深度の項目には、近傍深度が登録される。解精度向上指標の項目には、解精度向上指標が登録される。解精度向上指標とは、該当の近傍深度を用いて得られた解の精度の向上の度合いを表す指標である。解の精度、すなわち、解精度とは、得られた解がエネルギー値を最小にする解、すなわち、最適解であることの確からしさを表す。例えば、解精度が高い程、最適解である可能性が高く、解精度が低い程、最適解である可能性が低い。また、解精度向上指標が大きい程、該当の近傍深度での探索により最適解に近づける可能性が高く、解精度向上指標が小さい程、該当の近傍深度での探索により最適解に近づける可能性が低い。解精度向上指標は、後述されるように、探索の初期解のエネルギー値と、探索で得られた解のエネルギー値との差に基づいて評価される。

処理部１２は、ある近傍深度での探索の初期解に対するエネルギー関数の第１の値と、当該近傍深度での探索により得られた解に対するエネルギー関数の第２の値とを取得する。また、処理部１２は、各回の探索に要する時間が異なる場合、当該時間を更に取得する。ある解を得るまでの探索に要した時間を探索時間と言うことがある。処理部１２は、第１の値及び第２の値を探索部１３から取得してもよいし、当該初期解及び探索により得られた解を取得して式（１）により第１の値及び第２の値を計算してもよい。また、処理部１２は、探索時間を探索部１３から取得してもよいし、処理部１２により探索時間を計測することで取得してもよい。

処理部１２は、第１の値及び第２の値に基づいて、該当の近傍深度による解精度の向上の度合いを示す指標を計算する。前述の解精度向上指標は、当該解精度の向上の度合いを示す指標に相当する。例えば、処理部１２は、第１の値から第２の値を引いた値を、探索時間で割った値を解精度向上指標として算出する。この場合、第１の値をＥ１、第２の値をＥ２、探索時間をＴとすれば、解精度向上指標Ｖ＝（Ｅ１－Ｅ２）／Ｔと表される。探索時間Ｔが短く、かつ、初期解からのエネルギー値の改善幅（Ｅ１－Ｅ２）が大きいほど、解精度向上指標Ｖは大きくなる。各回の探索時間が一定の場合、処理部１２は、Ｔ＝１としてもよい。

処理部１２は同一の近傍深度による探索をｎ（ｎは２以上の整数）回行うことで、該当の近傍深度に対するｎ個の解精度向上指標Ｖ１，Ｖ２，…，Ｖｎを求め、その平均（Ｖ１＋Ｖ２＋…＋Ｖｎ）／ｎを、当該近傍深度に対する解精度向上指標Ｖとしてもよい。これにより、解精度向上指標Ｖの評価精度が向上される。このとき、ｎ回の探索の各々における初期解を同一としてもよい。これにより、該当の初期解及び近傍深度に対する解精度向上指標Ｖを評価できる。

処理部１２は、複数回の探索で探索部に設定された複数の近傍深度に対して計算した複数の指標に基づいて、探索部１３に設定する近傍深度を出力する。例えば、処理部１２は、近傍深度ｄ１に対して、上記の評価手法により、解精度向上指標「１」を計算し、テーブル１１ａに登録する。また、処理部１２は、近傍深度ｄ２に対して、上記の評価手法により、解精度向上指標「２」を計算し、テーブル１１ａに登録する。例えば、近傍深度ｄ１に対する解精度向上指標を行った探索と、近傍深度ｄ２に対する解精度向上指標を行った探索とで、初期解を同一としてもよい。これにより、異なる近傍深度で、共通の基準により、近傍深度ごとの解精度向上指標を評価できる。

なお、テーブル１１ａでは使用する近傍深度の数をｄ１，ｄ２の２つとする例を示しているが、使用する近傍深度の数を３つ以上としてもよい。
例えば、テーブル１１ａによれば、近傍深度ｄ１の解精度向上指標が「１」であり、近傍深度ｄ２の解精度向上指標が「２」である。この場合、処理部１２は、近傍深度ｄ２を近傍深度ｄ１よりも優先的に選択し、探索部１３に設定する近傍深度として出力する。例えば、優先的に選択する方法としては、近傍深度ｄ２が選択される確率を、近傍深度ｄ１よりも高くすることが考えられる。より具体的には、処理部１２は、近傍深度ｄ１，ｄ２の解精度向上指標に基づいて、近傍深度ｄ２を選択する確率を２／３とし、近傍深度ｄ１を選択する確率を１／３とする。このような方法の一例として、処理部１２は、０≦ａ＜１の一様乱数ａを発生させ、ａ＜２／３の場合に近傍深度ｄ２を選択し、ａ≧２／３の場合に近傍深度ｄ１を選択する方法が考えられる。例えば、情報処理システム１が複数の探索部を有する場合、処理部１２は、当該方法によって、近傍深度ｄ１，ｄ２の何れかを複数の探索部の各々に設定してもよい。このようにすると、テーブル１１ａの例において、近傍深度ｄ１が設定される探索部の数の割合が１／３程度となり、近傍深度ｄ２が設定される探索部の数の割合が２／３程度となることが期待される。

例えば、処理部１２は、選択した近傍深度を探索部１３に出力し、当該近傍深度を用いて、探索部１３による次の探索を実行させる。処理部１２は、次の探索の初期解を、例えば、前回の探索で得られた解のうちの最良の解に基づいて生成し、探索部１３に設定してもよい。ここで、前回の探索で得られた解のうちの最良の解とは、前回の探索で得られた解のうちエネルギー値が最も小さい解である。例えば、処理部１２は、当該最良の解の一部の状態変数を変化させることで、次の初期解を生成してもよい。

処理部１２は、上記の処理を繰り返し実行し、その間に探索部１３から得られた解を記憶部１１に記録する。処理部１２は、一定期間の間に記憶部１１に記録された解のうちの最良の解を、最終的な解として、ユーザに提示する。例えば、処理部１２は、最終的な解、あるいは、当該解を組合せ最適化問題に対する解の形式に変換した情報を、情報処理システム１に接続された表示装置に表示させたり、ネットワークを介してユーザが利用する情報処理装置に送信したりする。

情報処理システム１によれば、複数の状態変数を含むエネルギー関数で表される問題に関し、問題の解の探索における一回の状態遷移当たりに変化させる状態変数の数を示す近傍深度が探索部１３に設定される。探索部１３により、設定された近傍深度に基づいて問題の解の探索が実行される。処理部１２により、第１の近傍深度での探索の初期解に対するエネルギー関数の第１の値と、第１の近傍深度での探索により得られた第１の解に対するエネルギー関数の第２の値とが取得される。処理部１２により、第１の値と第２の値とに基づいて、第１の近傍深度による解精度の向上の度合いを示す第１の指標が計算される。処理部１２により、第２の近傍深度での探索の初期解に対するエネルギー関数の第３の値と、第２の近傍深度での探索により得られた第２の解に対するエネルギー関数の第４の値とが取得される。処理部１２により、第３の値と第４の値とに基づいて、第２の近傍深度による解精度の向上の度合いを示す第２の指標が計算される。処理部１２により、第１の指標と第２の指標とに基づいて、探索部１３に設定する近傍深度が出力される。

これにより、効率的な探索を実現できる。
ここで、探索における一状態遷移当たりに変化させる状態変数の数、すなわち、近傍深度を可変にし、当該近傍深度を段階的に大きくすることで、得られる解の精度は向上し得るが、探索に要する時間が増大する。問題や探索の状況などに応じて、近傍深度を適切に決定することは容易ではない。

これに対し、処理部１２は、異なる近傍深度での探索の結果として得られた解を基に、近傍深度ごとの解精度向上指標を計算する。そして、処理部１２は、近傍深度ごとの解精度向上指標に基づいて、該当の問題や現在の探索の状況などに応じた、近傍深度ごとの解精度向上に対する寄与を判定し、解精度向上に対する寄与が大きいと推定される近傍深度を優先的に選択する。例えば、処理部１２は、選択した近傍深度を用いて探索部１３に探索を実行させることで、探索部１３により効率的に探索を実行させることができる。その結果、探索部１３がより良い解に到達する可能性を高め、探索部１３の求解性能が向上される。例えば、所定時間内に、最適解、または、エネルギー値が予め定められる目標値よりも小さい解に到達できる可能性を高めることができる。

［第２の実施の形態］
次に、第２の実施の形態を説明する。
図２は、第２の実施の形態の情報処理システムを示す図である。

情報処理システム２は、制御装置１００及びノード２００，３００，４００，５００，６００，７００を有する。制御装置１００及びノード２００～７００は、ネットワーク３０に接続される。ネットワーク３０は、ＬＡＮ（Local Area Network）でもよいし、ＷＡＮ（Wide Area Network）やインターネットなどでもよい。

制御装置１００は、ノード２００～７００を制御する装置である。制御装置１００は、例えば、コンピュータなどの情報処理装置でもよい。制御装置１００は、ユーザによる組合せ最適化問題の情報の入力を受け付け、組合せ最適化問題の情報をイジング形式の問題に変換する。イジング形式の問題とは、式（１）のエネルギー関数の値を最小化する問題である。制御装置１００は、イジング形式の問題のデータを、ノード２００～７００に送信し、当該問題の解を探索させる。制御装置１００は、ノード２００～７００の各々に対する近傍深度の設定も行う。

ノード２００～７００は、イジング形式の問題に対する解を探索する。ノード２００～７００は、例えば、コンピュータなどの情報処理装置でもよい。ノード２００～７００は、制御装置１００から受信した共通の問題に対する解を探索する。

例えば、ノード２００～７００は、イジング形式の問題の解を探索するアクセラレータを有する。アクセラレータは、ＳＡ法やレプリカ交換法などのＭＣＭＣ法を用いて、式（１）で表されるイジング型のエネルギー関数Ｅ（ｘ）を最小化する複数の状態変数の値を解として求めるハードウェアである。ただし、ノード２００が提供する解探索機能は、ソフトウェアにより実装されてもよい。

図３は、制御装置のハードウェア例を示す図である。
制御装置１００は、ＣＰＵ１０１、ＲＡＭ１０２、ＨＤＤ１０３、画像信号処理部１０４、入力信号処理部１０５、媒体リーダ１０６及びＮＩＣ（Network Interface Card）１０７及びバス１０８を有する。なお、ＣＰＵ１０１は、第１の実施の形態の処理部１２の一例である。ＲＡＭ１０２またはＨＤＤ１０３は、第１の実施の形態の記憶部１１の一例である。

ＣＰＵ１０１は、プログラムの命令を実行するプロセッサである。ＣＰＵ１０１は、ＨＤＤ１０３に記憶されたプログラムやデータの少なくとも一部をＲＡＭ１０２にロードし、プログラムを実行する。なお、ＣＰＵ１０１は複数のプロセッサコアを含んでもよい。また、制御装置１００は複数のプロセッサを有してもよい。以下で説明する処理は複数のプロセッサまたはプロセッサコアを用いて並列に実行されてもよい。また、複数のプロセッサの集合を「マルチプロセッサ」または単に「プロセッサ」と言うことがある。

ＲＡＭ１０２は、ＣＰＵ１０１が実行するプログラムやＣＰＵ１０１が演算に用いるデータを一時的に記憶する揮発性の半導体メモリである。なお、制御装置１００は、ＲＡＭ１０２以外の種類のメモリを備えてもよく、複数個のメモリを備えてもよい。

ＨＤＤ１０３は、ＯＳ（Operating System）やミドルウェアやアプリケーションソフトウェアなどのソフトウェアのプログラム、及び、データを記憶する不揮発性の記憶装置である。なお、制御装置１００は、フラッシュメモリやＳＳＤ（Solid State Drive）などの他の種類の記憶装置を備えてもよく、複数の不揮発性の記憶装置を備えてもよい。

画像信号処理部１０４は、ＣＰＵ１０１からの命令に従って、制御装置１００に接続されたディスプレイ３１に画像を出力する。ディスプレイ３１としては、ＣＲＴ（Cathode Ray Tube）ディスプレイ、液晶ディスプレイ（ＬＣＤ：Liquid Crystal Display）、プラズマディスプレイ、有機ＥＬ（ＯＥＬ：Organic Electro-Luminescence）ディスプレイなど、任意の種類のディスプレイを用いることができる。

入力信号処理部１０５は、制御装置１００に接続された入力デバイス３２から入力信号を取得し、ＣＰＵ１０１に出力する。入力デバイス３２としては、マウス・タッチパネル・タッチパッド・トラックボールなどのポインティングデバイス、キーボード、リモートコントローラ、ボタンスイッチなどを用いることができる。また、制御装置１００に、複数の種類の入力デバイスが接続されていてもよい。

媒体リーダ１０６は、記録媒体３３に記録されたプログラムやデータを読み取る読み取り装置である。記録媒体３３として、例えば、磁気ディスク、光ディスク、光磁気ディスク（ＭＯ：Magneto-Optical disk）、半導体メモリなどを使用できる。磁気ディスクには、フレキシブルディスク（ＦＤ：Flexible Disk）やＨＤＤが含まれる。光ディスクには、ＣＤ（Compact Disc）やＤＶＤ（Digital Versatile Disc）が含まれる。

媒体リーダ１０６は、例えば、記録媒体３３から読み取ったプログラムやデータを、ＲＡＭ１０２やＨＤＤ１０３などの他の記録媒体にコピーする。読み取られたプログラムは、例えば、ＣＰＵ１０１によって実行される。なお、記録媒体３３は可搬型記録媒体であってもよく、プログラムやデータの配布に用いられることがある。また、記録媒体３３やＨＤＤ１０３を、コンピュータ読み取り可能な記録媒体と言うことがある。

ＮＩＣ１０７は、ネットワーク３０に接続され、ネットワーク３０を介してノード２００～７００や他のコンピュータと通信を行うインタフェースである。ＮＩＣ１０７は、例えば、スイッチやルータなどの通信装置とケーブルで接続される。

バス１０８は、制御装置１００の内部バスである。ＣＰＵ１０１、ＲＡＭ１０２、ＨＤＤ１０３、画像信号処理部１０４、入力信号処理部１０５、媒体リーダ１０６及びＮＩＣ１０７は、バス１０８に接続される。バス１０８には、例えば、ＰＣＩｅ（Peripheral Component Interconnect express）が用いられる。

図４は、ノードのハードウェア例を示す図である。
ノード２００は、ＣＰＵ２０１、ＲＡＭ２０２、ＨＤＤ２０３、媒体リーダ２０４、アクセラレータカード２０５、ＮＩＣ２０６及びバス２０７を有する。アクセラレータカード２０５は、第１の実施の形態の探索部１３の一例である。ただし、ノード２００を第１の実施の形態の探索部１３の一例と考えてもよい。

ＣＰＵ２０１は、プログラムの命令を実行するプロセッサである。ＣＰＵ２０１は、ＨＤＤ２０３に記憶されたプログラムやデータの少なくとも一部をＲＡＭ２０２にロードし、プログラムを実行する。なお、ＣＰＵ２０１は複数のプロセッサコアを含んでもよい。また、ノード２００は複数のプロセッサを有してもよい。以下で説明する処理は複数のプロセッサまたはプロセッサコアを用いて並列に実行されてもよい。

ＲＡＭ２０２は、ＣＰＵ２０１が実行するプログラムやＣＰＵ２０１が演算に用いるデータを一時的に記憶する揮発性の半導体メモリである。なお、ノード２００は、ＲＡＭ以外の種類のメモリを備えてもよく、複数個のメモリを備えてもよい。

ＨＤＤ２０３は、ＯＳやミドルウェアやアプリケーションソフトウェアなどのソフトウェアのプログラム、及び、データを記憶する不揮発性の記憶装置である。なお、ノード２００は、フラッシュメモリやＳＳＤなどの他の種類の記憶装置を備えてもよく、複数の不揮発性の記憶装置を備えてもよい。

媒体リーダ２０４は、記録媒体３４に記録されたプログラムやデータを読み取る読み取り装置である。記録媒体３４として、例えば、記録媒体３３と同様のものを用いることができる。

媒体リーダ２０４は、例えば、記録媒体３４から読み取ったプログラムやデータを、ＲＡＭ２０２やＨＤＤ２０３などの他の記録媒体にコピーする。読み取られたプログラムは、例えば、ＣＰＵ２０１によって実行される。なお、記録媒体３４は可搬型記録媒体であってもよく、プログラムやデータの配布に用いられることがある。また、記録媒体３４やＨＤＤ２０３を、コンピュータ読み取り可能な記録媒体と言うことがある。

アクセラレータカード２０５は、イジング形式で表された組合せ最適化問題の解を探索するハードウェアアクセラレータである。アクセラレータカード２０５は、ＧＰＵ２１１及びＲＡＭ２１２を有する。ＧＰＵ２１１は、アクセラレータカード２０５における解探索機能を実現する。アクセラレータカード２０５は複数のＧＰＵを有してもよい。また、当該解探索機能は、ＦＰＧＡやＡＳＩＣなどの他の集積回路により実現されてもよい。ＲＡＭ２１２は、式（１）の｛Ｗ_ｉｊ｝、｛ｂ_ｉ｝及びＧＰＵ２１１により探索された解を保持する。後述されるように、ノード２００は、複数のアクセラレータカードを有してもよい。

アクセラレータカード２０５のように、イジング形式の問題を解くハードウェアアクセラレータは、イジングマシン、ボルツマンマシンあるいは最適化装置などと呼ばれることがある。

ＮＩＣ２０６は、ネットワーク３０に接続され、ネットワーク３０を介して制御装置１００や他のコンピュータと通信を行うインタフェースである。ＮＩＣ２０６は、例えば、スイッチやルータなどの通信装置とケーブルで接続される。

バス２０７は、ノード２００の内部バスである。ＣＰＵ２０１、ＲＡＭ２０２、ＨＤＤ２０３、媒体リーダ２０４、アクセラレータカード２０５及びＮＩＣ２０６は、バス２０７に接続される。バス２０７には、例えば、ＰＣＩｅが用いられる。

図５は、情報処理システムの機能例を示す図である。
制御装置１００は、記憶部１２０、制御部１３０、送信部１４０、受信部１５０及び解出力部１６０を有する。記憶部１２０には、ＲＡＭ１０２やＨＤＤ１０３の記憶領域が用いられる。制御部１３０、送信部１４０、受信部１５０及び解出力部１６０は、ＣＰＵ１０１がＲＡＭ１０２に記憶されたプログラムを実行することで実現される。

ノード２００，３００，４００，５００，６００，７００は、それぞれ探索部２２０，３２０，４２０，５２０，６２０，７２０を有する。探索部２２０～７２０は、それぞれノード２００～７００が有するアクセラレータカードにより実現される。ただし、探索部２２０，３２０，４２０，５２０，６２０，７２０の少なくとも１つは、該当のノードのＣＰＵが、該当のノードのＲＡＭに記憶されたプログラムを実行することで実現されてもよい。

記憶部１２０は、制御部１３０の処理に用いられるデータを記憶する。記憶部１２０が保持するデータは、解精度向上率データ及び近傍深度テーブルを含む。
解精度向上率データは、近傍深度に対して計算された解精度向上率を保持する。解精度向上率は、ある初期解を始点として該当の近傍深度での探索で得られた解の、初期解に対するエネルギー値の改善の度合いを示す。解精度向上率が大きい程、初期解に対するエネルギー値の改善の度合いが大きい。

近傍深度テーブルは、解精度向上率データに基づく、近傍深度ごとの解精度向上評価値を保持する。解精度向上評価値は、解精度向上率を正規化し、更に正規化した結果を、整数化したものである。

なお、解精度向上率を、第１の実施の形態の「解精度の向上の度合いを示す指標」の一例と考えることができる。あるいは、解精度向上評価値を、第１の実施の形態の「解精度の向上の度合いを示す指標」の一例と考えてもよい。

制御部１３０は、探索の初期解や近傍深度を、送信部１４０を介して探索部２２０～７２０に送信する。最初の段階では、制御部１３０は、探索部２２０～７２０の各々に対して、予め決定した初期近傍深度を設定する。例えば、制御部１３０は、探索部２２０～７２０の各々の初期近傍深度をランダムに決定してもよい。あるいは、制御部１３０は、問題に応じて、例えば最初は浅い近傍（例えば、１つの状態変数の変化）で十分良い解が得られることが経験的に分かっている場合には、最初の段階では所定の重み付き確率で、比較的浅い近傍を選び易くしてもよい。

制御部１３０は、探索部２２０～７２０の各々から、設定された近傍深度での探索に用いた初期解と、当該探索で得られた最良解と、最良解を得るまでに要した探索時間とを取得する。最良解とは、当該探索で得られた解のうち、エネルギー値が最小の解である。制御部１３０は、探索部２２０～７２０に設定した近傍深度に対して、解精度向上率を計算し、記憶部１２０に格納する。該当の探索部から取得した初期解のエネルギー値をＥ１、最良解のエネルギー値をＥ２、探索時間をＴとすると、解精度向上率ｖは、ｖ＝（Ｅ１－Ｅ２）／Ｔと表される。

また、制御部１３０は、探索部２２０～７２０の各々の近傍深度に対して計算した解精度向上率ｖに基づいて、近傍深度ごとの解精度向上指標を計算し、近傍深度テーブルに登録する。制御部１３０は、近傍深度テーブルに基づいて、探索部２２０～７２０の各々に設定する近傍深度を決定し、決定した近傍深度を、送信部１４０を介して探索部２２０～７２０の各々に送信する。また、制御部１３０は、次の探索の初期解を生成し、当該初期解を、送信部１４０を介して探索部２２０～７２０に送信し、該当の近傍深度での探索を探索部２２０～７２０に実行させる。

制御部１３０は、上記の処理を所定回数または所定期間、繰り返し実行し、当該所定回数または所定期間が終了すると、探索部２２０～７２０から取得した解のうちの最良の解、すなわち、エネルギー値が最小の解を、最終的な解として解出力部１６０に出力する。

送信部１４０は、制御部１３０から取得した、探索部２２０～７２０に設定する近傍深度や初期解の情報を、探索部２２０～７２０に送信する。なお、送信部１４０による探索部２２０～７２０への情報の送信は、それぞれノード２００～７００への情報の送信であるとも言える。

受信部１５０は、探索部２２０～７２０の各々による探索が完了すると、当該探索の初期解と、当該探索で得られた最小解と、当該探索の探索時間とを該当の探索部から受信し、制御部１３０に供給する。なお、受信部１５０による探索部２２０～７２０からの情報の受信は、それぞれノード２００～７００からの情報の受信であるとも言える。

解出力部１６０は、探索部２２０～７２０の探索により最終的に得られた解を制御部１３０から取得し、当該解を出力する。解出力部１６０は、例えば、最終的な解を組合せ最適化問題に対する解の形式に変換した内容をディスプレイ３１に表示させたり、当該内容を示す情報を、ネットワーク３０を介して、クライアントコンピュータなどに送信したりする。

探索部２２０～７２０は、制御装置１００から初期解及び近傍深度を受信し、受信した初期解及び近傍深度を用いて、解の探索を行う。探索部２２０～７２０の各々は、該当の近傍深度での探索を完了すると、初期解、当該探索で得られた最良解及び探索時間を制御装置１００に送信する。

次に、探索部２２０～７２０での探索における「近傍」について説明する。
図６は、解を複数個の要素の順列で表す例を示す図である。
ここでは、例えば、巡回セールスマン問題のように解がＮ個の要素の順列で表される場合を考える。この場合、当該順列と、Ｎ＊Ｎ個のビット、すなわち、状態変数の行列で列の総和が１かつ行の総和が１になるものとを、１対１に対応させて考えることができる。Ｎ＝５の場合を例示する。

順列４１は、５個の数字「１」～「５」で表される要素により行列４２を表したものである。例えば、順列４１の左から数えてｉ番目の要素の数字ｊに対して、行列４２のｉ行ｊ列目の要素は１であり、行列４２のそれ以外の要素は０である。

順列４１のような順列を用いて近傍を説明することができる。近傍には複数の種類がある。
第１の例は、挿入近傍である。挿入近傍では、１つの要素を他の位置に挿入する。

例えば、順列（１，２，３，４，５）の５を２と３の間に挿入することで、順列（１，２，５，３，４）を得る。
第２の例は、交換近傍である。交換近傍では、２つの要素を交換する。

例えば、順列（１，２，３，４，５）の２と４を交換することで、順列（１，４，３，２，５）を得る。
第３の例は、λ－交換近傍である。λ－交換近傍では、λ（＜Ｎ）の要素を置換する。なお、上記の交換近傍は２－交換近傍に一致する。

例えば、順列（１，２，３，４，５）の２，３，５を５，２，３に置換することで、順列（１，５，２，４，３）を得る。
第４の例は、λ－挿入近傍である。λ－挿入近傍では、連続するλ（＜Ｎ）の要素を他の位置に挿入する。

例えば、順列（１，２，３，４，５）の１，２，３を４と５の間に挿入することで、順列（４，１，２，３，５）を得る。
第５の例は、λ－ｏｐｔ近傍である。

ここで、順列の隣り合う要素の対（順序を無視する）を枝と呼ぶ。異なっている枝数がλを超えないものからなる近傍をλ－ｏｐｔ近傍と呼ぶ。次に、λ＝２の場合の２－ｏｐｔ近傍の例を示す。

図７は、２－ｏｐｔ近傍の例を示す図である。
例えば、グラフ５１は、順列（１，２，３，４，５，６，７，８）の隣り合う要素が枝で結ばれる様子を表す。グラフ５２は、順列（１，２，６，５，４，３，７，８）の隣り合う要素が枝で結ばれる様子を表す。

例えば、順列（１，２，６，５，４，３，７，８）における、順列（１，２，３，４，５，６，７，８）と異なる枝は（２，６）を結ぶ枝及び（３，７）を結ぶ枝のみである。よって、順列（１，２，６，５，４，３，７，８）は、順列（１，２，３，４，５，６，７，８）の２－ｏｐｔ近傍内にある。

探索部２２０～７２０は、上記の第１～第５の例の方法などを用いて、探索に用いる近傍深度を動的に変更することができる。例えば、状態変数、すなわち、ビットを１つ反転した状態、もしくは一部のビットを他のビットと交換して得られる状態を１回の状態遷移での近傍とする。これにより、最適性について有望な領域への探索を続行できる。探索にかかる時間を考慮しなければ、解の精度が良くなるにつれて、近傍を深くするのが良いとされる。

例えば、上記の第１～第５の例の近傍の少なくとも２つを組み合わせて、１つの近傍とすることも考えられる。組み合わせる数が増えるほど、近傍は深くなる、すなわち、近傍深度の値が大きくなる。

図８は、解精度向上率データの例を示す図である。
解精度向上率データ１２１は、記憶部１２０に格納される。解精度向上率データ１２１は、探索部２２０～７２０の各々の近傍深度に対して計算された解精度向上率の計算結果のデータである。

図８の解精度向上率データ１２１の例では、６つの探索部２２０～７２０のうち、近傍深度「１」が設定された探索部の数が２であり、近傍深度「２」が設定された探索部の数が３であり、近傍深度「３」が設定された探索部の数が１である。

例えば、解精度向上率データ１２１は、各近傍深度に対して、次の解精度向上率のデータを保持する。
１つ目は、近傍深度「１」に対して、解精度向上率「１２００」である。

２つ目は、近傍深度「１」に対して、解精度向上率「８００」である。
３つ目は、近傍深度「２」に対して、解精度向上率「５００」である。
４つ目は、近傍深度「２」に対して、解精度向上率「１００」である。

５つ目は、近傍深度「２」に対して、解精度向上率「１８００」である。
６つ目は、近傍深度「３」に対して、解精度向上率「３０００」である。
制御部１３０は、解精度向上率データ１２１に基づいて、解精度向上評価値を計算する。

図９は、解精度向上評価値の計算例を示す図である。
制御部１３０は、近傍深度ごとの解精度向上率の平均である平均向上率を求める。図８の解精度向上率データ１２１では、近傍深度「１」の平均向上率は、（１２００＋８００）／２＝１０００である。近傍深度「２」の平均向上率は、（５００＋１００＋１８００）／３＝８００である。近傍深度「３」の平均向上率は、３０００である。

制御部１３０は、近傍深度ごとの平均向上率を正規化する。例えば、制御部１３０は、各近傍深度の平均向上率を、そのうちの最小値である近傍深度「２」の平均向上率「８００」で割ることで、当該最小値を基準に正規化する。すると、近傍深度「１」の平均向上率「１０００」に対する正規化値は１．２５である。近傍深度「２」の平均向上率「８００」に対する正規化値は１である。近傍深度「３」の平均向上率「３０００」に対する正規化値は３．７５である。

制御部１３０は、近傍深度ごとの正規化値を更に小数点以下を丸めて整数化することで、解精度向上評価値を求める。例えば、近傍深度「１」の解精度向上評価値は１である。近傍深度「２」の解精度向上評価値は１である。近傍深度「３」の解精度向上評価値は４である。

上記の計算で求められる平均向上率、正規化値及び解精度向上評価値は、記憶部１２０に保持される。
制御部１３０は、解精度向上評価値の計算結果を近傍深度テーブルに登録する。

図１０は、近傍深度テーブルの例を示す図である。
近傍深度テーブル１２２は、記憶部１２０に格納される。近傍深度テーブル１２２は、近傍深度及び解精度向上評価値の項目を含む。近傍深度の項目には、近傍深度が登録される。解精度向上評価値の項目には、解精度向上評価値が登録される。

例えば、近傍深度テーブル１２２には近傍深度「１」に対して解精度向上評価値「Ｗ［１］＝１」が登録されている。ここで、変数Ｗ［ｄ］（ｄは１以上の整数）は、近傍深度「ｄ」の解精度向上評価値を表す。

また、近傍深度テーブル１２２には、近傍深度「２」に対する解精度向上評価値「Ｗ［２］＝１」、及び、近傍深度「３」に対する解精度向上評価値「Ｗ［３］＝４」も登録されている。

次に、情報処理システム２の処理手順を説明する。まず、制御装置１００は、イジング形式の問題のデータや、探索に用いられる各種の情報（例えば、各ノードの探索部がＳＡ法やレプリカ交換法の実行に用いられる温度パラメータなど）を探索部２２０～７２０に送信する。そして、制御装置１００は、次の手順を実行する。

図１１は、制御部の処理例を示すフローチャートである。
（Ｓ１０）制御部１３０は、近傍深度の範囲を決定する。近傍深度の範囲は、探索に使用する近傍深度の最小値及び最大値により定められる。例えば、近傍深度の範囲は、同種の問題に対して過去の探索実績から得られた知識データや、当該近傍深度の範囲のユーザによる指定に基づいて決定される。制御部１３０は、探索依頼回数を０に初期化する。

（Ｓ１１）制御部１３０は、探索依頼回数に１を加算する。
（Ｓ１２）制御部１３０は、探索依頼回数が上限以下であるか否かを判定する。探索依頼回数が上限以下の場合、制御部１３０は、ステップＳ１３に処理を進める。探索依頼回数が上限よりも大きい場合、制御部１３０は、ステップＳ２０に処理を進める。なお、探索依頼回数の上限は、ユーザにより予め設定される。

（Ｓ１３）制御部１３０は、初期解を生成する。初回、すなわち、探索依頼回数が１のときの初期解は、予め与えられてもよいし、制御部１３０が任意の方法で生成してもよい。また、探索依頼回数が２以上の時の初期解は、例えば、制御部１３０が前回の探索部２２０～７２０の探索により得られた解に基づいて生成する。例えば、制御部１３０は、前回得られた解のうちの最良解に基づいて、初期解を生成してもよい。制御部１３０は、当該最良解の一部の状態変数を所定のルールに基づいて変更することで、初期解を生成してもよい。制御部１３０は、探索部２２０～７２０の各々に対する初期解を同じにしてもよいし、異なるものにしてもよい。

（Ｓ１４）制御部１３０は、各探索部の近傍深度を選択する。前述のように、探索依頼回数が１のとき、制御部１３０は、探索部２２０～７２０の各々の初期近傍深度をランダムに決定してもよいし、所定の重み付き確率で、特定の近傍を選び易くしてもよい。探索依頼回数が２以上のとき、制御部１３０は、近傍深度テーブル１２２に基づいて、探索部２２０～７２０の各々の近傍深度を選択する。例えば、制御部１３０は、選択される近傍深度の数が、近傍深度テーブル１２２に保持される各解精度向上評価値の比に近づくように、探索部２２０～７２０の各々の近傍深度を、乱数に基づいて確率的に選択する。図１０の近傍深度テーブル１２２の例では、ある探索部に対して近傍深度「１」が選択される確率、あるいは割合は１／６である。また、ある探索部に対して近傍深度「２」が選択される確率は１／６である。更に、ある探索部に対して近傍深度「３」が選択される確率は、４／６＝２／３である。

（Ｓ１５）制御部１３０は、送信部１４０を介して、探索部２２０～７２０の各々に設定する近傍深度と初期解とを各探索部に送信する。
（Ｓ１６）制御部１３０は、受信部１５０を介して、探索部２２０～７２０の各々での求解結果と探索時間とを探索部２２０～７２０から受信する。求解結果は、初期解と、今回の探索で得られた最良解と、探索時間とを含む。

（Ｓ１７）制御部１３０は、受信解、すなわち、探索部２２０～７２０から受信した解に、これまでに得られた解の中での最良解であって、記憶部１２０に保持される最良解よりも良いものがあれば、当該記憶部１２０に保持される最良解を更新する。

（Ｓ１８）制御部１３０は、解精度向上評価値ｗ［ｋ］＝０（ｋ＝１，…，ｎ）に設定する。
（Ｓ１９）制御部１３０は、近傍深度ｋの探索部に関して、（初期解Ｅ値－最良解Ｅ値）／探索時間を累積し、累積した値を近傍深度ｋの探索部の数で割った平均をｗ［ｋ］に設定する。なお、「初期解Ｅ値」とは、該当の探索の初期解のエネルギー値である。また、「最良解Ｅ値」とは、該当の探索で得られた最良解のエネルギー値である。制御部１３０は、前述のようにｗ［ｋ］を正規化してもよいし、ｗ［ｋ］が整数でない場合に小数点以下を切り捨てる、または切り上げるなどによりｗ［ｋ］を整数化してもよい。そして、制御部１３０は、ステップＳ１１に処理を進める。

（Ｓ２０）制御部１３０は、記憶部１２０に保持される最良解を解出力部１６０に供給する。解出力部１６０は、制御部１３０から取得した最良解を出力する。例えば、解出力部１６０は、最終的な解を組合せ最適化問題に対する解の形式に変換した内容をディスプレイ３１に表示させたり、当該内容を示す情報を、ネットワーク３０を介して、クライアントコンピュータなどに送信したりしてもよい。そして、制御部１３０の処理が終了する。

次に、探索部２２０～７２０の処理手順を説明する。以下では、探索部２２０を主に例示するが、探索部３２０～７２０も、探索部２２０と同様の手順を実行する。
図１２は、探索部の処理例を示すフローチャートである。

（Ｓ３０）探索部２２０は、近傍深度と初期解とを制御装置１００から受信する。
（Ｓ３１）探索部２２０は、受信した初期解から、指定された近傍深度で、設定された終了条件が満たされるまで探索を行う。ステップＳ３１において、探索開始から終了条件が満たされるまでの探索に要した時間が探索時間となる。

（Ｓ３２）探索部２２０は、ステップＳ３１の探索により到達した解、すなわち、当該探索における最良解と探索時間とを、制御装置１００に応答する。そして、探索部２２０の処理が終了する。

ここで、ステップＳ３１の探索時間の特性は、探索部２２０～７２０の各々に実装されるアルゴリズムに依存する。当該アルゴリズムには次のような例が考えられる。
第１の例は、該当の探索部が、一定回数の状態遷移を行った後に、探索を終了する場合である。第１の例では、近傍が深いほど探索に時間がかかるが解の精度も向上する。近傍の深さと探索時間との相関はほぼ一定となる。

第２の例は、該当の探索部が、一定時間の探索を行って終了する場合である。第２の例では、探索時間は一定であるため、解の精度は「何れの近傍深度が最適であるか」に依存する。探索部２２０～７２０による探索時間が常に一定値の場合、制御部１３０は、探索部２２０～７２０から探索時間を取得しなくてもよい。その場合、制御部１３０は、解精度向上率を求める式において、Ｔを当該一定値としてもよいし、Ｔ＝１としてもよい。

第３の例は、該当の探索部が、解の改善が一定時間、または、一定回数なかった場合に終了する場合である。第３の例では、近傍が深いほど探索に時間がかかるが解の精度も向上し得る。ただし、第１の例ほど固定的な相関はない。

上記の第１～第３の例の何れの場合も、例えば探索時間と解のエネルギー値の改善量の比を取ることで、良好な探索性能を得られる近傍深度を推定することができる。
なお、１つのノードに１つの探索部を設ける例を示したが、１つのノードに複数の探索部を設けることもできる。次にノード２００の他のハードウェア例を説明する。

図１３は、ノードの他のハードウェア例を示す図である。
ノード２００は、図４で例示したハードウェアに加えて、アクセラレータカード２０５ａを有してもよい。アクセラレータカード２０５ａは、バス２０７に接続される。

アクセラレータカード２０５ａは、イジング形式で表された組合せ最適化問題の解を探索するハードウェアアクセラレータである。アクセラレータカード２０５ａは、ＧＰＵ２１１ａ及びＲＡＭ２１２ａを有する。ＧＰＵ２１１ａは、アクセラレータカード２０５ａにおける解探索機能を実現する。アクセラレータカード２０５ａは複数のＧＰＵを有してもよい。また、当該解探索機能は、ＦＰＧＡやＡＳＩＣなどの他の集積回路により実現されてもよい。ＲＡＭ２１２ａは、式（１）の｛Ｗ_ｉｊ｝、｛ｂ_ｉ｝及びＧＰＵ２１１ａにより探索された解を保持する。

アクセラレータカード２０５ａは、ノード２００における探索部として機能する。このように、ノード２００に複数のアクセラレータカードを搭載することで、ノード２００において探索部２２０を含む、複数の探索部を実現してもよい。ノード２００における複数の探索部の少なくとも１つは、ノード２００における複数の探索部のうちの他の探索部とは異なる近傍深度を用いて探索を行ってもよい。また、ノード２００における複数の探索部の少なくとも１つは、ＣＰＵ２０１がＲＡＭ２０２に記憶されるプログラムを実行することで実現されてもよい。

ノード３００～７００も、ノード２００と同様のハードウェアにより、複数の探索部を実現してもよい。
また、制御装置１００の機能をノード２００が有してもよい。例えば、ＣＰＵ２０１がＲＡＭ２０２に記憶されたプログラムを実行することで、制御部１３０、送信部１４０、受信部１５０及び解出力部１６０の機能を発揮してもよい。例えば、ノード２００に複数の探索部を設けることで、第１の実施の形態の情報処理システム１や第２の実施の形態の情報処理システム２の機能を、ノード２００だけで実現することもできる。すなわち、アクセラレータカード２０５，２０５ａを搭載したノード２００などの単一の情報処理装置が第１の実施の形態の情報処理システム１の一例となり得る。その場合、ＣＰＵ２０１を第１の実施の形態の処理部１２の一例と考えることができる。また、ＲＡＭ２０２またはＨＤＤ２０３を第１の実施の形態の記憶部１１の一例と考えることができる。

このように、情報処理システム２では、ノード２００～７００におけるアクセラレータで並列に最適解を探索する。情報処理システム２では、ノード２００～７００の各々における解精度の向上率を基に近傍の深さ、すなわち、近傍深度を調整して強調動作させることにより、求解性能を向上させることができる。

ところで、近傍深度１のみでの状態遷移を繰り返し試行することで解の探索を行うことが考えられるが、大域的な最適解に到達するのが難しいことがある。
一例として、式（３）で表される問題を考える。

式（３）で表される問題は、ｙ（ｘ）を最小にする状態ｘを求める問題である。状態ｘは３つの状態変数（ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３）で表される。初期解ｘ＝（ｘ_１，ｘ_２，ｘ_３）＝（０，０，０）とすると、近傍深度１の状態遷移（すなわち、１ビットフリップ）では、次の状態の候補及びｙ（ｘ）の値は式（４）で表される３つとなる。

式（４）の３つの候補のうち、ｘ＝（１，０，０）がｙ（ｘ）の値が最も小さく、最良である。このため、例えば、初期解から状態ｘ＝（１，０，０）に遷移する。次の１ビットフリップで、状態ｘ＝（０，０，０）に戻ることを除くと、次の状態の候補及びｙ（ｘ）の値は式（５）の２つとなる。

式（５）と、ｙ（１，０，０）＝－１００とを比較すると、ｙ（１，０，０）が最も小さい。よって、状態ｘ＝（１，０，０）が局所最適解となる。しかし、この問題の場合、初期解に対して、状態変数ｘ_２，ｘ_３を同時にフリップしたｘ＝（０，１，１）が大域最適解である。ｙ（０，１，１）は、式（６）で表される。

一方、式（４）で示されるように、ｘ＝（０，１，０）やｘ＝（０，０，１）はｘ＝（１，０，０）よりもｙ（ｘ）が大きくなるので、初期解からｘ＝（０，１，０）やｘ＝（０，０，１）に遷移しづらい。このため、１ビットフリップのみの状態遷移による探索では、ｘ＝（０，１，０）やｘ＝（０，０，１）の先にある大域最適解ｘ＝（０，１，１）に到達することが難しい。

そこで、探索における一状態遷移当たりに変化させる状態変数の数、すなわち、近傍深度を可変にし、当該近傍深度を段階的に大きくすることが考えられる。ただし、この場合、得られる解の精度は向上し得るが、探索に要する時間が増大する。具体的には次の通りである。

一例として、ナップザック問題を考える。ナップザック問題は、内容物の重さあるいは体積などの容量に対する容量上限Ｃをもつナップザックに入れる品物の組合せのうち、価値の合計が最大になる組合せを求める問題である。品物はＮ（Ｎは２以上の整数）個存在する。ｉ（ｉは１以上の整数）番目の品物ｉの容量をｗ_ｉ、価値をｖ_ｉとする。任意のｉに対してｗ_ｉ＜Ｃである。

ナップザック問題のエネルギー関数は、ナップザック内の品物の総価値を表し、ｗ_ｉ，ｖ_ｉ，Ｃを用いて、状態変数ｘ_ｉの二次形式で定式化される。状態変数ｘ_ｉは、例えば、品物ｉをナップザックに入れることを「１」、品物ｉをナップザックに入れないことを「０」と表す。

ナップザック問題における探索戦略として次のような方法が考えられる。
第１段階では、価値／容量の大きい効果的な品物から１つずつナップザックに詰めていく。この場合、状態遷移の試行回数は高々Ｎである。第１段階での近傍深度は「１」である。すなわち、状態遷移によりハミング距離「１」の状態の変化を発生させる。ナップザックの中身の総容量が容量上限Ｃに近づき、未選択の品物を追加できなくなると、第２段階に移る。

第２段階では、ナップザックに詰め込んだ品物を１つ取り除き、別の品物をナップザックに追加する。仮にＫ個の品物をナップザックに詰め込んでいる場合、状態遷移の試行回数は、Ｋ＊（Ｎ－Ｋ）回程度である。第２段階での近傍深度は「２」である。すなわち、状態遷移によりハミング距離「２」の状態の変化を発生させる。第２段階で価値が改善されなくなると、第３段階に移る。

第３段階では、ナップザックに詰め込んだ品物を２つ取り除き、別の品物をナップザックに追加する。仮にＫ個の品物をナップザックに詰め込んでいる場合、状態遷移の試行回数は、Ｋ（Ｋ－１）＊（Ｎ－Ｋ）（Ｎ－Ｋ－１）回程度である。第３段階での近傍深度は「４」である。すなわち、状態遷移によりハミング距離「４」の状態の変化を発生させる。第３段階で価値が改善されなくなると、更に次の段階に移る。

このように、近傍深度を可変にし、当該近傍深度を段階的に大きくすると、得られる解の精度は向上し得るが、探索されるパターンが増えて探索に要する時間が増大する。一方、問題や探索の状況などに応じて、近傍深度を適切に決定することは容易ではない。

これに対し、制御部１３０は、異なる近傍深度での探索の結果として得られた解を基に、近傍深度ごとの解精度向上指標を計算する。そして、制御部１３０は、近傍深度ごとの解精度向上指標に基づいて、該当の問題や現在の探索の状況などに応じて、近傍深度ごとに解精度に対する寄与を判定し、解精度向上に対する寄与が大きいと推定される近傍深度を優先的に選択する。制御部１３０は、選択した近傍深度を用いて探索部２２０～７２０に探索を実行させることで、効率的に探索を実行させることができる。その結果、探索部２２０～７２０がより良い解に到達する可能性を高め、探索部２２０～７２０の全体の求解性能が向上される。例えば、所定時間内に、最適解、または、エネルギー値が予め定められた目標値よりも小さい解に到達できる可能性を高めることができる。

以上で説明した情報処理システム２は、例えば次の処理を実行する。
探索部２２０～７２０の各々は、複数の状態変数を含むエネルギー関数で表される問題の解の探索を行う。探索部２２０～７２０の各々には、探索において一状態遷移当たりに変化させる状態変数の数を示す近傍深度が設定される。

制御部１３０は、第１の近傍深度での探索の初期解に対するエネルギー関数の第１の値と、第１の近傍深度での探索により得られた第１の解に対するエネルギー関数の第２の値とを取得する。制御部１３０は、第１の値と第２の値とに基づいて、第１の近傍深度による解精度の向上の度合いを示す第１の指標を計算する。

制御部１３０は、第２の近傍深度での探索の初期解に対するエネルギー関数の第３の値と、第２の近傍深度での探索により得られた第２の解に対するエネルギー関数の第４の値とを取得する。制御部１３０は、第３の値と第４の値とに基づいて、第２の近傍深度による解精度の向上の度合いを示す第２の指標を計算する。

制御部１３０は、第１の指標と第２の指標とに基づいて、探索部２２０～７２０に設定する近傍深度を出力する。
こうして出力された近傍深度を探索部２２０～７２０による探索に用いることで、探索を効率的に実行できる。例えば、問題に応じて、適切な近傍深度を設定可能になる。あるいは、探索部２２０～７２０による今回の探索期間で得られた最良解を用いて探索部２２０～７２０による次の探索期間の初期解を生成する場合などに、探索の状況に応じて、適切な近傍深度を動的に調整可能になる。

ここで、上記の第１の指標と第２の指標とに基づいて、探索部２２０～７２０に設定する近傍深度を出力する処理では、第２の実施の形態で例示したように、３つ以上の近傍深度に対して求められた、第１の指標と第２の指標とを含む３つ以上の指標が利用され得る。

制御部１３０は、第１の値と第２の値との差に基づいて第１の指標を計算する。これにより、第１の近傍深度に対して、解精度の向上の度合いを示す第１の指標を、初期解と第１の解とのエネルギー差に対して適切に評価できる。例えば、当該エネルギー差が大きい、すなわち、エネルギー値の改善幅が大きいほど、解精度の向上の度合いは高いと評価できる。

制御部１３０は、第１の近傍深度での探索に要した時間、すなわち探索時間を更に取得し、第１の値と第２の値と探索時間とに基づいて第１の指標を計算してもよい。これにより、探索部２２０～７２０における探索時間が異なる場合に、探索時間を考慮して、第１の指標を適切に評価できる。

例えば、制御部１３０は、第１の値と第２の値との差を探索時間で割った第５の値に基づいて第１の指標を計算する。これにより、第１の近傍深度に対して、解精度の向上の度合いを示す第１の指標を、初期解と第１の解とのエネルギー差及び探索時間に対して適切に評価できる。すなわち、当該エネルギー差が大きいほど、また、探索時間が短いほど、解精度の向上の度合いは高くなる。なお、制御部１３０は、第５の値そのものを第１の指標としてもよい。

制御部１３０は、第１の近傍深度での複数回の探索により得られた、第１の解を含む複数の解の各々に対して計算した解精度の向上の度合いを示す指標の平均に基づいて、第１の指標を計算する。これにより、第１の近傍深度に対する解精度の向上の度合いを示す第１の指標の評価の精度を向上できる。制御部１３０は当該平均を第１の指標としてもよいし、例示したように、複数の近傍深度に対して当該平均を正規化した正規化値や、正規化値を更に整数化した値を第１の指標としてもよい。

また、制御部１３０は、第１の近傍深度で共通の初期解から行われた複数回の探索の結果から、第１の指標を計算してもよい。これにより、第１の指標の評価の精度を向上できる。ただし、当該複数回の探索の各々の初期解の少なくとも２つが異なってもよい。

なお、制御部１３０は、第２の指標についても、第１の指標と同様の方法により計算することができる。
制御部１３０は、第１の指標と第２の指標とに基づいて、解精度の向上の度合いが大きい近傍深度を優先的に選択し、選択した近傍深度を出力する。これにより、解精度の向上に対する寄与が大きいと判断される近傍深度を適切に出力できる。例えば、探索部２２０～７２０に対して、解精度の向上に対する寄与が大きいと判断される近傍深度が設定される割合を大きくすることができる。

探索部２２０～７２０の少なくとも２つの探索部は、第１の近傍深度での探索と第２の近傍深度での探索とを並列に実行する。２以上の探索部により探索を並列に実行することで、探索を一層効率的に行える。

制御部１３０は、第１の近傍深度と第２の近傍深度とを含む複数の近傍深度の各々に対して計算した解精度の向上の度合いを示す指標の比に基づいて、複数の探索部の各々に設定する近傍深度を選択する。これにより、解精度の向上に対する寄与が大きいと判断される近傍深度を適切に出力できる。例えば、探索部２２０～７２０に対して、解精度の向上に対する寄与が大きいと判断される近傍深度が設定される割合を大きくすることができる。

制御部１３０は、共通の初期解に対して第１の指標と第２の指標とを計算する。これにより、近傍深度及び初期解の組に対して解精度の向上の度合いを示す指標を計算でき、当該指標の評価の精度を向上できる。このため、例えば、探索部２２０～７２０に対して、問題や探索の状況などに応じて、より適切な近傍深度を設定可能になる。その結果、探索を一層効率的に行えるようになる。ただし、第１の指標と第２の指標とは異なる初期解に対して計算されてもよい。

制御部１３０は、探索部２２０～７２０に対する近傍深度の設定及び探索部２２０～７２０による探索が、所定回数または所定期間繰り返して行われると、探索部２２０～７２０から得られた解のうち、エネルギー関数の値が最小である解を出力する。これにより、組合せ最適化問題に対する解を適切に取得できる。

なお、第１の実施の形態の情報処理は、処理部１２にプログラムを実行させることで実現できる。また、第２の実施の形態の情報処理は、ＣＰＵ１０１あるいはＣＰＵ２０１にプログラムを実行させることで実現できる。プログラムは、コンピュータ読み取り可能な記録媒体３３，３４に記録できる。

例えば、プログラムを記録した記録媒体３３，３４を配布することで、プログラムを流通させることができる。また、プログラムを他のコンピュータに格納しておき、ネットワーク経由でプログラムを配布してもよい。コンピュータは、例えば、記録媒体３３，３４に記録されたプログラムまたは他のコンピュータから受信したプログラムを、ＲＡＭ１０２やＨＤＤ１０３などの記憶装置に格納し（インストールし）、当該記憶装置からプログラムを読み込んで実行してもよい。

１ 情報処理システム
１１ 記憶部
１１ａ テーブル
１２ 処理部
１３ 探索部

Claims (13)

1. 複数の状態変数を含むエネルギー関数で表される問題に関し、前記問題の解の探索における一回の状態遷移当たりに変化させる前記状態変数の数を示す近傍深度が設定され、設定された前記近傍深度に基づいて前記問題の解の探索を実行する探索部と、
   第１の近傍深度での探索の初期解に対する前記エネルギー関数の第１の値と、前記第１の近傍深度での探索により得られた第１の解に対する前記エネルギー関数の第２の値とを取得し、前記第１の値と前記第２の値とに基づいて、前記第１の近傍深度による解精度の向上の度合いを示す第１の指標を計算し、第２の近傍深度での探索の初期解に対する前記エネルギー関数の第３の値と、前記第２の近傍深度での探索により得られた第２の解に対する前記エネルギー関数の第４の値とを取得し、前記第３の値と前記第４の値とに基づいて、前記第２の近傍深度による解精度の向上の度合いを示す第２の指標を計算し、前記第１の指標と前記第２の指標とに基づいて、前記探索部に設定する前記近傍深度を出力する処理部と、
   を有する情報処理システム。
2. 前記処理部は、前記第１の値と前記第２の値との差に基づいて前記第１の指標を計算する、請求項１記載の情報処理システム。
3. 前記処理部は、前記第１の近傍深度での探索に要した時間を更に取得し、前記第１の値と前記第２の値と前記時間とに基づいて前記第１の指標を計算する、請求項１記載の情報処理システム。
4. 前記処理部は、前記第１の値と前記第２の値との差を前記時間で割った第５の値に基づいて前記第１の指標を計算する、請求項３記載の情報処理システム。
5. 前記処理部は、前記第１の近傍深度での複数回の探索により得られた、前記第１の解を含む複数の解の各々に対して計算した前記解精度の向上の度合いを示す指標の平均に基づいて、前記第１の指標を計算する、請求項１記載の情報処理システム。
6. 前記第１の近傍深度での前記複数回の探索は、共通の前記初期解を用いて行われる、請求項５記載の情報処理システム。
7. 前記処理部は、前記第１の指標と前記第２の指標とに基づいて、前記解精度の向上の度合いが大きい前記近傍深度を優先的に選択し、選択した前記近傍深度を出力する、請求項１記載の情報処理システム。
8. 前記探索部を含む複数の探索部を有し、
   前記複数の探索部の少なくとも２つの探索部は、前記第１の近傍深度での探索と前記第２の近傍深度での探索とを並列に実行する、
   請求項１記載の情報処理システム。
9. 前記処理部は、前記第１の近傍深度と前記第２の近傍深度とを含む複数の近傍深度の各々に対して計算した前記解精度の向上の度合いを示す指標の比に基づいて、前記複数の探索部の各々に設定する前記近傍深度を選択する、請求項８記載の情報処理システム。
10. 前記処理部は、共通の前記初期解に対して前記第１の指標と前記第２の指標とを計算する、請求項１記載の情報処理システム。
11. 前記処理部は、前記探索部に対する前記近傍深度の設定及び前記探索部による探索が、所定回数または所定期間繰り返して行われると、前記探索部から得られた解のうち、前記エネルギー関数の値が最小である解を出力する、請求項１記載の情報処理システム。
12. 複数の状態変数を含むエネルギー関数で表される問題に関し、前記問題の解の探索における一回の状態遷移当たりに変化させる前記状態変数の数を示す近傍深度が設定され、設定された前記近傍深度に基づいて前記問題の解の探索を実行する探索部が、前記解の探索を行い、
    処理部が、
    第１の近傍深度での探索の初期解に対する前記エネルギー関数の第１の値と、前記第１の近傍深度での探索により得られた第１の解に対する前記エネルギー関数の第２の値とを取得し、前記第１の値と前記第２の値とに基づいて、前記第１の近傍深度による解精度の向上の度合いを示す第１の指標を計算し、
    第２の近傍深度での探索の初期解に対する前記エネルギー関数の第３の値と、前記第２の近傍深度での探索により得られた第２の解に対する前記エネルギー関数の第４の値とを取得し、前記第３の値と前記第４の値とに基づいて、前記第２の近傍深度による解精度の向上の度合いを示す第２の指標を計算し、
    前記第１の指標と前記第２の指標とに基づいて、前記探索部に設定する前記近傍深度を出力する、
    情報処理方法。
13. コンピュータに、
    複数の状態変数を含むエネルギー関数で表される問題に関し、前記問題の解の探索における一回の状態遷移当たりに変化させる前記状態変数の数を示す近傍深度が設定され、設定された前記近傍深度に基づいて前記問題の解の探索を実行する探索部に、前記解の探索を実行させ、
    第１の近傍深度での探索の初期解に対する前記エネルギー関数の第１の値と、前記第１の近傍深度での探索により得られた第１の解に対する前記エネルギー関数の第２の値とを取得し、前記第１の値と前記第２の値とに基づいて、前記第１の近傍深度による解精度の向上の度合いを示す第１の指標を計算し、
    第２の近傍深度での探索の初期解に対する前記エネルギー関数の第３の値と、前記第２の近傍深度での探索により得られた第２の解に対する前記エネルギー関数の第４の値とを取得し、前記第３の値と前記第４の値とに基づいて、前記第２の近傍深度による解精度の向上の度合いを示す第２の指標を計算し、
    前記第１の指標と前記第２の指標とに基づいて、前記探索部に設定する前記近傍深度を出力する、
    処理を実行させるプログラム。

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