JP2008299488A - Position control device - Google Patents
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Abstract
【課題】非線形ばね特性をモデル化し、最適なパラメータを事前に把握することを可能とし、そのため簡単な調整作業によって高精度な位置制御を行うことが可能な位置制御装置を提供する。
【解決手段】転がりガイド５によってガイドされるステージ４の位置制御を行う位置制御装置である。ステージ４の速度に基づき転がりガイドの非線形ばね特性から求めた摩擦力によって、制御系におけるステージの推力を補正する。指令位置と実際位置との位置偏差に基づいてステージの位置制御を行うフィードバック制御系を有し、この制御系に転がりガイド５の摩擦力をフィードフォワードゲインとして組み込む。転がりガイド５の非線形ばね特性はブラシモデルを用いて構成する。
【選択図】図２Provided is a position control device capable of modeling nonlinear spring characteristics and grasping an optimum parameter in advance, and thus performing highly accurate position control by a simple adjustment operation.
The position control device performs position control of a stage 4 guided by a rolling guide 5. The thrust of the stage in the control system is corrected by the frictional force obtained from the nonlinear spring characteristics of the rolling guide based on the speed of the stage 4. A feedback control system that controls the position of the stage based on the positional deviation between the command position and the actual position is provided, and the frictional force of the rolling guide 5 is incorporated as a feedforward gain in this control system. The nonlinear spring characteristic of the rolling guide 5 is configured using a brush model.
[Selection] Figure 2
Description
この発明は、位置決め誤差を減少させることが可能な位置制御装置に関するものである。 The present invention relates to a position control device capable of reducing positioning errors.
移動装置において、位置決め誤差を少なくするための提案は数多くなされている（例えば、特許文献１、２参照）。また、マシニングセンタなどのようにＸ−Ｙ２軸を有する精密位置決め装置において、円弧運動を行ったときの軌跡誤差に関する検討も数多くなされている。しかしながら、これらはいずれもサーボモータ、送りねじ、直動ガイドを組み合わせた装置全体に関しての検討であり、直動転がりガイドそのものに関する検討は行われていないのが実情である。また、この点は、上記特許文献１、２に示される従来技術においても全く同様である。今後、直動転がりガイドとリニアモータとを組み合わせた精密位置決め装置の増加が予想されることから、位置決め時における直動転がりガイドの転がり摩擦による挙動を把握し、制御によって摩擦の補償を行うことにより位置決め誤差を減少させることが必要である。
上記した通り、直動転がりガイドには転動体と転走面との間や転動体同士による接触により摩擦が生ずる。また、転動体と転走面の接触部には予圧などの外力が加わることにより弾性変形などが生ずる。これらにより位置決め時において、直動転がりガイドは印加力を与えた時に生ずる変位とそのときの力の関係を表す非線形ばね特性と呼ばれる特性を示す。この特性はヒステリシスループのような非線形な挙動を示すため、高速位置決め応答や高精度応答に悪影響を及ぼしてしまうことが問題となっており、特に速度方向の反転時や低速度駆動時には位置決め制御でのオーバーシュートや軌跡追従制御での速度リップルの原因となるなどの問題を引き起こすとされている。マイクロメートルオーダの位置決め精度が要求される精密位置決めを達成するためには、この非線形性を示すばね特性を克服する必要がある。転動体や転走面に精密加工を施したり構造を変化させたりしても、ばね特性を無くすことは難しい。そこで、この特性によって位置決めに及ぼす影響を制御的に克服する手法が取られてきている。しかし、その制御法においても単純ＰＩＤのような古典制御を用いた場合、そのＰ（比例）、Ｉ（積分）、Ｄ（微分）の各パラメータを決定することは難しく、試行錯誤による調整となるため多くの手数と時間とが必要となる。 As described above, friction is generated in the linear motion rolling guide by contact between the rolling elements and the rolling surface or contact between the rolling elements. In addition, elastic deformation or the like occurs when an external force such as preload is applied to the contact portion between the rolling element and the rolling surface. As a result, during positioning, the linear motion rolling guide exhibits a characteristic called a non-linear spring characteristic that represents the relationship between the displacement generated when an applied force is applied and the force at that time. Since this characteristic exhibits nonlinear behavior like a hysteresis loop, it has the problem of adversely affecting high-speed positioning response and high-accuracy response. Cause overshooting and speed ripples in trajectory tracking control. In order to achieve precision positioning that requires positioning accuracy on the order of micrometers, it is necessary to overcome the spring characteristics exhibiting this nonlinearity. Even if the rolling elements and rolling surfaces are precision machined or the structure is changed, it is difficult to eliminate the spring characteristics. Therefore, a technique has been taken to controlly overcome the influence of this characteristic on positioning. However, in the control method, when classical control such as simple PID is used, it is difficult to determine parameters of P (proportional), I (integral), and D (differential), and adjustment is made by trial and error. Therefore, a lot of work and time are required.
この発明は、上記従来の問題点を解決するためになされたものであって、その目的は、非線形ばね特性をモデル化し、最適なパラメータを事前に把握することを可能とし、そのため簡単な調整作業によって高精度な位置制御を行うことが可能な位置制御装置を提供することにある。 The present invention has been made to solve the above-described conventional problems, and its purpose is to model the nonlinear spring characteristics and to grasp the optimum parameters in advance, and therefore, simple adjustment work. It is an object of the present invention to provide a position control device that can perform highly accurate position control.
そこでこの発明の位置制御装置は、転がりガイド５によってガイドされるステージ４の位置制御を行う位置制御装置において、ステージ４の速度に基づき転がりガイド５の非線形ばね特性から求めた摩擦力によって、制御系におけるステージ４の推力を補正することを特徴としている。 Therefore, the position control device according to the present invention is a position control device that controls the position of the stage 4 guided by the rolling guide 5, and controls the control system using the frictional force obtained from the nonlinear spring characteristics of the rolling guide 5 based on the speed of the stage 4. The thrust of stage 4 is corrected.
また、指令位置と実際位置との位置偏差に基づいてステージ４の位置制御を行うフィードバック制御系を有し、この制御系に上記転がりガイド４の摩擦力をフィードフォワードゲインとして組み込んでいる。 In addition, a feedback control system that controls the position of the stage 4 based on the positional deviation between the command position and the actual position is provided, and the frictional force of the rolling guide 4 is incorporated as a feedforward gain in this control system.
さらに、上記転がりガイドの非線形ばね特性は、ブラシモデルを用いて構成されており、ブラシモデルにおいては、ばね定数（Ｋ）を、すべてのブラシが生ずる弾性変位の平均値（ｚ）の関数（K(z)）としている。また、位置指令の微分値を速度として用いたり、速度フィードバック用のセンサの出力を速度として用いたりする。 Furthermore, the nonlinear spring characteristic of the rolling guide is configured by using a brush model. In the brush model, the spring constant (K) is expressed as a function (K) of the average value (z) of the elastic displacement generated by all the brushes. (z)). Further, the differential value of the position command is used as the speed, or the output of the sensor for speed feedback is used as the speed.
なお、本願明細書、特許請求の範囲においては、「摩擦力」「推力」「速度」などの物理量を用いているが、これらは絶対量としての「摩擦力」「推力」「速度」そのものである場合もあるし、また、これら「摩擦力」「推力」「速度」をそのパラメータで代用する場合もある。これらいずれの場合も、当然に本願発明に包含されるものであると理解されたい。 In the present specification and claims, physical quantities such as “friction force”, “thrust” and “speed” are used, but these are “friction force”, “thrust” and “speed” as absolute quantities. In some cases, these “frictional force”, “thrust force”, and “speed” may be substituted by the parameters. In any case, it should be understood that the present invention is included in the present invention.
この発明の位置制御装置によれば、非線形ばね特性をモデル化し、最適なパラメータを事前に把握することが可能である。そのため簡単な調整作業によって高精度な位置制御を行うことが可能となる。また、非線形な摩擦モデルに速度を入力することにより、制御対象の摩擦力を算出することができ、最適な摩擦補償を行うことができる。 According to the position control device of the present invention, it is possible to model nonlinear spring characteristics and grasp the optimum parameters in advance. Therefore, highly accurate position control can be performed by a simple adjustment operation. Further, by inputting the speed to the nonlinear friction model, the friction force to be controlled can be calculated, and optimum friction compensation can be performed.
次に、この発明の位置制御装置の具体的な実施の形態について、図面を参照しつつ詳細に説明する。図１には、装置の外形図を示している。この装置は、リニアモータによって駆動されるステージを有するもので、ステージはリニアガイド（直動転がりガイド）によってガイドされる。詳しく説明すると、図１において、１はベースであって、このベース１の中央部に帯状の固定子（永久磁石）２が架設されており、また、ベース１の両側には、リニアガイド用レール３が配置されている。ステージ４は、リニアガイド５を備え、リニアガイド５が上記ベース１のレール３上を転動するようになっている。また、ステージ４は、その裏面中央部に電機子６を備えているが、この電機子６は、上記固定子２を取り囲む態様で配置されており、この固定子２と電気子６とでリニアモータ１０を構成している。なお、７は、ステージ４の位置を検出するためのリニアエンコーダである。この装置では、電機子６に電力を供給することによって、ステージ４を１軸方向に往復駆動することが可能である。 Next, specific embodiments of the position control device of the present invention will be described in detail with reference to the drawings. FIG. 1 shows an external view of the apparatus. This apparatus has a stage driven by a linear motor, and the stage is guided by a linear guide (linear motion rolling guide). More specifically, in FIG. 1, reference numeral 1 denotes a base, and a band-shaped stator (permanent magnet) 2 is installed at the center of the base 1, and linear guide rails are provided on both sides of the base 1. 3 is arranged. The stage 4 includes a linear guide 5, and the linear guide 5 rolls on the rail 3 of the base 1. The stage 4 includes an armature 6 at the center of the back surface thereof. The armature 6 is disposed in a manner surrounding the stator 2, and the stator 2 and the electric element 6 are linear. A motor 10 is configured. Reference numeral 7 denotes a linear encoder for detecting the position of the stage 4. In this apparatus, it is possible to reciprocate the stage 4 in one axial direction by supplying electric power to the armature 6.
図２には、この実施形態において用いる制御ブロック図を示している。図のように、減算器１１に入力された位置指令が、フィードバック制御器１２、加算器１３、増幅器１４を経由して、増幅器（アンプ）１４からリニアモータ１０に電流を供給して、リニアガイド５を介してステージ４を移動させる。ステージ４（リニアガイド５）の変位はリニアエンコーダ７によって計測され、この計測値が上記減算器１１へと入力される。そして、指令位置と実際位置との位置偏差がフィードバック制御器１２に入力され、電圧（操作量）として出力される。また、増幅器１４によって電流制御が行われ、リニアモータ１０に電流が供給されることによって推力となる。さらに、フィードフォワード部において、位置指令を微分回路１５へ入力することで速度を求め、この速度を非線形摩擦モデル１６に入力する。非線形摩擦モデルが速度情報を基に摩擦力を算出する。そして算出された摩擦力を補償力として、加算器１３において操作量として加算される。この補償力とは、（補償力に相当する電圧）÷（増幅器１４のゲイン×モータの推力定数）に相当するもので、リニアガイド５の摩擦力となる。上記減算器１１、フィードバック制御器１２、加算器１３、微分回路１５、及び非線形摩擦モデル２６は、パソコン（ＰＣ）によって構成されている。なお、上記速度のパラメータとしては、位置指令を微分することによって得ることができるが、測定変位を微分したり、あるいは速度フィードバック用のセンサ出力を速度のパラメータとしたりして利用してもよい。 FIG. 2 shows a control block diagram used in this embodiment. As shown in the figure, the position command input to the subtracter 11 supplies current from the amplifier (amplifier) 14 to the linear motor 10 via the feedback controller 12, the adder 13, and the amplifier 14. The stage 4 is moved via 5. The displacement of the stage 4 (linear guide 5) is measured by the linear encoder 7, and this measured value is input to the subtractor 11. Then, the position deviation between the command position and the actual position is input to the feedback controller 12 and is output as a voltage (operation amount). Further, current control is performed by the amplifier 14, and thrust is generated by supplying current to the linear motor 10. Further, in the feedforward unit, a speed is obtained by inputting a position command to the differentiation circuit 15, and this speed is inputted to the nonlinear friction model 16. The nonlinear friction model calculates the friction force based on the speed information. Then, the calculated frictional force is added as an operation amount in the adder 13 as a compensation force. This compensation force corresponds to (voltage corresponding to compensation force) / (gain of amplifier 14 × thrust constant of motor) and is the frictional force of linear guide 5. The subtractor 11, the feedback controller 12, the adder 13, the differentiation circuit 15, and the nonlinear friction model 26 are constituted by a personal computer (PC). The speed parameter can be obtained by differentiating the position command, but may be used by differentiating the measured displacement or using the speed feedback sensor output as a speed parameter.
（第１実施形態）
次に、上記非線形摩擦モデルについて説明する。非線形ばね特性のモデルとしては、図３に示すように、ブラシ２０とブラシ２１とをかみ合わせたような摩擦モデルがある。ブラシモデルの特長は、微力な変位が生ずる非線形ばね領域と大きな変位が生ずる転がり領域の２つの領域での摩擦力Ffについて、数多くの関数による使い分けをすることなく次式のみにて表すことができることである。
Ff＝Ｋ・ｚ＋C1・(dz/dt)＋C2・ｖ ・・・・（１）
左辺ブラシモデルによって算出された摩擦力Ffであり、右辺第一項のブラシのばね定数Ｋと図３中のすべてのブラシが生ずる弾性変位の平均値ｚを乗して求まるばね力、右辺第二項の減衰係数C1とブラシの弾性変位の速度dz/dtを乗したことによって求まるブラシの減衰力、右辺第三項の粘性係数C2と上軌道と下軌道との相対速度ｖを乗したことによって求まる上下軌道間の粘性力のそれぞれの和として示される。また、右辺第二項におけるブラシの弾性変位の速度dz/dtは以下の次式によって算出される。
dz/dt＝ｖ−|ｖ|・（Ｋｚ／F(v)） ・・・・（２）
なお、ここで、F(v)は、図４のようにして定まるものである。なお、同図において、Fcはクーロン摩擦力、Fsは最大静止摩擦力、ｖsは摩擦力がクーロン摩擦力Fcとなるときの速度である。
(First embodiment)
Next, the nonlinear friction model will be described. As a model of the nonlinear spring characteristic, there is a friction model in which the brush 20 and the brush 21 are engaged as shown in FIG. The feature of the brush model is that the frictional force Ff in the two regions of the non-linear spring region where the slight displacement is generated and the rolling region where the large displacement is generated can be expressed only by the following equation without using various functions. It is.
Ff = K * z + C1 * (dz / dt) + C2 * v (1)
The frictional force Ff calculated by the left-side brush model, which is obtained by multiplying the spring constant K of the right-side first term by the average value z of the elastic displacement generated by all the brushes in FIG. It is obtained by multiplying the damping force of the brush obtained by multiplying the damping coefficient C1 of the term and the velocity dz / dt of the elastic displacement of the brush, and the viscosity coefficient C2 of the third term on the right side and the relative velocity v of the upper and lower orbits. It is shown as the sum of the viscous forces between the upper and lower trajectories. Further, the speed dz / dt of the elastic displacement of the brush in the second term on the right side is calculated by the following equation.
dz / dt = v- | v | (Kz / F (v)) (2)
Here, F (v) is determined as shown in FIG. In the figure, Fc is the Coulomb friction force, Fs is the maximum static friction force, and vs is the speed when the friction force becomes the Coulomb friction force Fc.
ブラシモデルには、上記した通り、ばね定数Ｋ、減衰係数C1、粘性係数C2、クーロン摩擦力Fc、最大静止摩擦力Fs、Fcとなるときの速度ｖsで表される６つの定数が用いられている。以下に各定数の決定法について説明する。
１）ばね定数：Ｋ
ばね定数Ｋを求めるには、非線形ばね特性の傾きから決定する。ここでは非線形ばね特性の両端の頂点を結ぶ線の傾きをばね定数Ｋと定義した。
２）減衰係数：C1
減衰係数C1を求めるには、オープンループ制御を用いた非線形ばね領域内におけるステップ応答試験によって得られた出力変位の減衰自由振動波形の包らく線により求める。
３）粘性係数：C2
粘性係数C2は、一般的に速度と摩擦力の関係に示される比例定数と同じである。
４）クーロン摩擦力：Fc
一般的にクーロン摩擦力とは図４で示されるような摩擦力のことを指す。
５）最大静止摩擦力：Fs
最大静止摩擦力は、転動体が転がり出すときの摩擦力を指す。そのときの速度はほぼ０であることから図４における速度０近傍での摩擦力と定義する。
６）Fcの速度：ｖｓ
ｖｓは図４におけるクーロン摩擦力Fcとしたときの速度とする。
In the brush model, as described above, the spring constant K, the damping coefficient C1, the viscosity coefficient C2, the Coulomb friction force Fc, the maximum static friction force Fs, and the six constants represented by the speed vs when the maximum frictional force Fc is used. Yes. A method for determining each constant will be described below.
1) Spring constant: K
The spring constant K is determined from the slope of the nonlinear spring characteristic. Here, the slope of the line connecting the vertices at both ends of the nonlinear spring characteristic is defined as the spring constant K.
2) Damping coefficient: C1
The damping coefficient C1 is obtained from the envelope of the damping free vibration waveform of the output displacement obtained by the step response test in the nonlinear spring region using the open loop control.
3) Viscosity coefficient: C2
The viscosity coefficient C2 is generally the same as the proportionality constant shown in the relationship between speed and frictional force.
4) Coulomb friction force: Fc
In general, the Coulomb friction force refers to a friction force as shown in FIG.
5) Maximum static friction force: Fs
The maximum static frictional force indicates the frictional force when the rolling element rolls out. Since the speed at that time is almost zero, it is defined as the frictional force in the vicinity of the speed zero in FIG.
6) Fc speed: vs
The speed vs is the speed when the Coulomb friction force Fc in FIG.
ブラシモデルによる直動転がりガイドの摩擦力Ffの推定は、具体的には次の手順によって計算が行われる。図３において
１）上軌道に印加力Ｆが与えられると変位ｘが生じ、速度ｖも決まる
２）図４により、Fs、Fc、vsが定数であるのでF(v)が決定する
３）（２）式に速度ｖとF(v)とを代入し、ばね定数Kが定数なので弾性変位の速度dz/dtが決まる
４）（１）式において、ばね定数Ｋ、減衰係数C1、粘性係数C2がそれぞれ定数であり、弾性変位の速度dz/dtは、上記過程３）にて既知となっており、弾性変位ｚはそれを積分することによって求められることができ、上下軌道の相対速度ｖは上記過程１）にて既知となっているので、ブラシモデルによる摩擦力Ffが算出される。ここで、ｚはｖからFfを計算する過程での媒介変数の役割りを果たす。
The estimation of the frictional force Ff of the linear motion rolling guide by the brush model is specifically calculated by the following procedure. In FIG. 3, 1) When an applied force F is applied to the upper trajectory, a displacement x is generated and the velocity v is also determined. 2) Since Fs, Fc and vs are constants according to FIG. 4, F (v) is determined 3) (2 ) Substituting the velocity v and F (v) into the equation, and since the spring constant K is a constant, the elastic displacement velocity dz / dt is determined. 4) In equation (1), the spring constant K, damping coefficient C1, and viscosity coefficient C2 are The elastic displacement speed dz / dt is known in the above process 3), and the elastic displacement z can be obtained by integrating it. The relative velocity v of the vertical trajectory is Since it is known in step 1), the frictional force Ff by the brush model is calculated. Here, z serves as a parameter in the process of calculating Ff from v.
上記図１に示した位置制御装置を使用し、図２に示す制御ブロックにより、円弧運動時の軌跡誤差について検討した。このとき、非線形摩擦モデルは上記（１）（２）式に基づくモデルを採用した。また、比較のため、Ｐ制御（比例制御）、ＰＩ制御（比例積分制御）について軌跡誤差の検討も併せて行った。各種ゲイン、定数については適宜決定した。上記位置制御装置は、１軸のみしか有さないので、円弧運動時の軌跡誤差の測定が行えない。そこで、１軸の位置決め装置に対して正弦波形を与えたときの測定データをＹ軸とみなし、Ｘ軸は摩擦の存在しない理想的な運動を行うような波形をＰＣにて作成し、これらをＸＹ平面上にプロットした。目標位置と実際位置ｘとの誤差を１０倍に拡大したものを示している。真円は目標位置である。制御サンプリング周期は１ｍｓ（ミリ秒）とし、Ｙ軸とみなす１軸の位置決め装置に与える正弦波の周期は１０ｓ（秒）とした。また、円弧運動の目標半径Ｒは４．５ｍｍである。 Using the position control device shown in FIG. 1, the trajectory error during the circular motion was examined using the control block shown in FIG. At this time, a model based on the above equations (1) and (2) was adopted as the nonlinear friction model. For comparison, the locus error was also examined for P control (proportional control) and PI control (proportional integral control). Various gains and constants were determined as appropriate. Since the position control device has only one axis, it cannot measure the trajectory error during the arc motion. Therefore, the measurement data when a sinusoidal waveform is given to a single-axis positioning device is regarded as the Y-axis, and the X-axis creates a waveform that performs an ideal motion without friction on the PC. Plotted on the XY plane. The error between the target position and the actual position x is enlarged 10 times. The perfect circle is the target position. The control sampling period was 1 ms (milliseconds), and the period of the sine wave given to the single-axis positioning device regarded as the Y axis was 10 s (seconds). Further, the target radius R of the arc motion is 4.5 mm.
図５にはＰ制御、図６にはＰＩ制御、図７には非線形摩擦モデルを用いたフィードフォワード制御の測定結果をそれぞれ示している。各図から明らかな通り、非線形摩擦モデルを用いたフィードフォワード制御においては、誤差の少ない位置制御を行えることが明らかである。 FIG. 5 shows the results of P control, FIG. 6 shows the results of PI control, and FIG. 7 shows the results of feed forward control using a nonlinear friction model. As is clear from each figure, it is clear that position control with less error can be performed in feedforward control using a nonlinear friction model.
（第２実施形態）
ところで、上記ブラシモデルを用いた非線形ばね特性のシミュレーション結果と実験による測定結果を比較すると、微小な変位領域でのばね定数Ｋと大きな変位を生ずる転がり領域におけるばね定数Ｋとを変化させる必要のあることが明らかとなった。そこで検討したところ、ａ１、ａ２、ａ３を定数とし、図８に示すように、ばね定数Ｋをブラシ変位ｚの関数K(z)とするような式を用いることによって、一段と正確な非線形摩擦モデルを構成し得ることを明らかにした。ばね関数K(z)をブラシ変位ｚの関数とした理由は、変位ｘの関数としてシミュレーションを行うと転がり領域から非線形ばね領域へと変化したときの特性を正確に算出できなかったためである。これは、一度転がり領域の大きな変位ｘが生じてしまうと送り方向が反転しても変位ｘの符号が変化しないためである。同図のように、微小な変位を生ずる非線形ばね領域ではばね関数K(z)は大きくなり、転がり領域のような大きな変位を生ずる領域ではばね関数K(z)は小さくなる。
(Second Embodiment)
By the way, when comparing the simulation result of the nonlinear spring characteristic using the brush model and the measurement result by experiment, it is necessary to change the spring constant K in a minute displacement region and the spring constant K in a rolling region causing a large displacement. It became clear. As a result, a more accurate nonlinear friction model is obtained by using a formula in which a1, a2, and a3 are constants and a spring constant K is a function K (z) of the brush displacement z as shown in FIG. It was clarified that can be configured. The reason why the spring function K (z) is used as a function of the brush displacement z is that when the simulation is performed as a function of the displacement x, the characteristics when changing from the rolling region to the nonlinear spring region cannot be accurately calculated. This is because once the large displacement x in the rolling region occurs, the sign of the displacement x does not change even if the feed direction is reversed. As shown in the figure, the spring function K (z) increases in a non-linear spring region that generates a minute displacement, and the spring function K (z) decreases in a region that generates a large displacement such as a rolling region.
上記改良形ブラシモデルを用いて非線形ばね特性のシミュレーションを行った結果と実験による測定結果を比較して、図９及び図１０に示す。各図から明らかなように、ばね定数Ｋをブラシ変位ｚの関数としたばね関数K(z)を用いてブラシモデルを改良することにより、すべての変位領域において非線形ばね特性が一致する。 FIG. 9 and FIG. 10 show a comparison of the results of simulation of nonlinear spring characteristics using the improved brush model and the experimental measurement results. As is clear from each figure, the non-linear spring characteristics coincide in all the displacement regions by improving the brush model using the spring function K (z) in which the spring constant K is a function of the brush displacement z.
そこで、上記（１）（２）式において、ばね定数Ｋをばね関数K(z)に置き換えて、改良形の非線形摩擦モデルを構成し、このモデルを用いて、上記図５〜図７と同様な方式にて位置決め誤差について検討した。その結果を図１１に示している。同図のように、改良形の非線形摩擦モデルを用いれば、目標円に近い軌跡を描くことができる。 Therefore, in the above equations (1) and (2), the spring constant K is replaced with the spring function K (z) to construct an improved nonlinear friction model, and this model is used as in FIGS. The positioning error was examined by various methods. The result is shown in FIG. As shown in the figure, a locus close to the target circle can be drawn by using an improved nonlinear friction model.
図１２には、Ｐ制御、ＰＩ制御、第１実施形態の非線形摩擦モデル、第２実施形態の改良形の非線形摩擦モデルを用いた場合に生じる最大誤差を、異なる目標半径Ｒ（０．７５ｍｍ、１．５ｍｍ、３．０ｍｍ、４．５ｍｍ）毎に対比して示している。最大誤差は、主として、象限切換え時（移動方向の反転時）に生じる突起誤差である。また、図１３には、Ｐ制御、ＰＩ制御、第１実施形態の非線形摩擦モデル、第２実施形態の改良形の非線形摩擦モデルを用いた場合に生じる自乗平均誤差を、異なる目標半径Ｒ（０．７５ｍｍ、１．５ｍｍ、３．０ｍｍ、４．５ｍｍ）毎に対比して示している。両図から明らかな通り、第２実施形態の改良形の非線形摩擦モデルを用いた場合には、最大誤差、自乗平均誤差ともに顕著に小さくなり、軌跡誤差が飛躍的に改善される。殊に、第２実施形態の改良形の非線形摩擦モデルを用いた場合においては、自乗平均誤差は６μｍ程度以下にもなり、極めて優れた位置決め精度が得られる。 In FIG. 12, the maximum error that occurs when using the P control, the PI control, the nonlinear friction model of the first embodiment, and the improved nonlinear friction model of the second embodiment is represented by different target radii R (0.75 mm, (1.5 mm, 3.0 mm, 4.5 mm). The maximum error is mainly a protrusion error that occurs at the time of quadrant switching (when the moving direction is reversed). FIG. 13 also shows the mean square error generated when using P control, PI control, the nonlinear friction model of the first embodiment, and the improved nonlinear friction model of the second embodiment, with different target radii R (0 .75 mm, 1.5 mm, 3.0 mm, and 4.5 mm). As is clear from both figures, when the improved nonlinear friction model of the second embodiment is used, both the maximum error and the mean square error are significantly reduced, and the trajectory error is drastically improved. In particular, when the improved nonlinear friction model of the second embodiment is used, the mean square error is about 6 μm or less, and extremely excellent positioning accuracy can be obtained.
４・・ステージ、５・・リニアガイド、１０・・リニアモータ 4. ・ Stage, 5. ・ Linear guide, 10. ・ Linear motor
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