JP2004186258A - Parameter extraction method and parameter extraction program - Google Patents
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Abstract
【課題】測定値とモデル出力がともに多次元のベクトルで表される多目的最適化問題を直接解くために、ローカル・ミニマに囚われることなく、効率よく複数のモデルパラメタを一意に定めること。
【解決手段】素子の散乱パラメタを測定し、これを再現する等価回路パラメタを求める場合、まず散乱パラメタの測定値とモデル出力との誤差(幾何)ベクトルEnを求める。ついで、等価回路パラメタPmによる誤差ベクトルEnの微分Δmnを求める。そして、Enの転置ベクトルE’とΔmnの相関ΔPm=E’Δmnを求め、これを用いて等価回路パラメタを更新することを繰り返す。
【選択図】 図1An object of the present invention is to uniquely determine a plurality of model parameters efficiently without being bound by local minima in order to directly solve a multi-objective optimization problem in which both measured values and model outputs are represented by multidimensional vectors.
When a scattering parameter of an element is measured and an equivalent circuit parameter for reproducing the same is obtained, first, an error (geometric) vector En between a measured value of the scattering parameter and a model output is obtained. Then, determine the differential delta mn of error vectors En by the equivalent circuit parameters Pm. Then, the correlation ΔPm = E'Δ mn transposed vector E 'and delta mn of En, repeatedly updating the equivalent circuit parameters by using this.
[Selection diagram] Fig. 1
Description
【0001】
【発明の属する技術分野】
本発明は、システムの多数の測定データを再現するモデルの複数のパラメタを抽出するパラメタ抽出方法およびパラメタ抽出プログラムに関し、特に半導体素子開発の分野においてシミュレーションモデルを構築するために必要なパラメタを抽出するパラメタ抽出方法およびパラメタ抽出プログラムに関する。
【0002】
近時、電子計算機の能力が向上し、それによって、より複雑なシステムをモデル化し、そのシステムの挙動を予測することが可能になっている。ある系をモデル化して多くの測定値を再現することにより、その系をよりよく制御することや、その系をより深く定量的に理解してその挙動を推定することや、モデルを評価してより適切なモデルを作成することや、その系を改良したり新しい系を創造することなどが可能となる。実際の系に合致するモデルを作成するためには、その系を特徴づける多数のモデルパラメタを決定したり、推定することが重要である。
【0003】
特に半導体素子開発の分野においては、素子動作の高速化に伴い、素子の散乱パラメタを測定し、これを再現する等価回路パラメタを決定することが求められている。また、半導体素子の微細化に伴い、三次元効果、量子効果およびキャリア走行速度のオーバシュート等をシミュレーションモデルを使って再現する必要が生じているが、大信号回路モデルの構築とそのパラメタの抽出は、今のところ、極めて困難である。
【0004】
【従来の技術】
従来より、ある系の測定値にモデル出力が一致するようにパラメタを求める際には、測定値に対するモデル出力の誤差の自乗和を最小化するLMS(least mean square)法が用いられている。また、LMS法を改良して収束性を高めるようにしたNewton法やMarquardt Levenberg法が用いられることもある。
【0005】
LMS法を改良したML(maximum liklihood)法は、もっともらしいモデル出力が得られるようにパラメタを求める方法である。ML法では、もっともらしさを決めるための評価関数をあらかじめ定め、その値を最小化する処理がおこなわれる。
【0006】
ところで、現実課題の多くは多目的最適化問題であり、同時に複数の目標を最小化または最大化することが求められる。従来、多目的最適化問題を解く場合には、それぞれの目標に対応したモデル出力の各誤差の自乗和を評価関数とすることにより、多目的最適化問題を単一目的の最適化問題に置き換えて、上述した方法を用いている(たとえば、非特許文献1参照。)。
【0007】
一方、線形適応信号処理において、ディジタル・フィルタ係数を更新するのに、Widrow−HoffのLMSアルゴリズムが用いられる。これは、モデルパラメタの数が複数あり、モデル出力が一つの場合に相当する。モデルパラメタ(フィルタ係数)の更新値ΔPmは、m個のモデルパラメタをP1〜Pmとし、誤差ベクトルをEとし、利得をcとすると、つぎの(1)式で表される。
【0008】
【数1】
【0009】
また、パラメタ数が多くなると、その抽出が困難となる。そのため、従来は、半導体素子の小信号パラメタを求める場合に、外部パラメタについては、素子のオフ状態での測定値を用いてあらかじめ決定しておき、LMS法を基にした繰り返し手法により内部パラメタのみを抽出するという処理がおこなわれている(たとえば、非特許文献2参照。)。
【0010】
【非特許文献1】
柏村孝義、外1名、「実験計画法による非線形問題の最適化」、朝倉書店、1998年10月25日、p.30−31
【非特許文献2】
アグネス・マイラス(Agnes Miras)、外1名、「ベリー ハイ・フリークウァンシィ スモール−シグナル イクウィバラント サーキット フォア ショート ゲート・レングス InP HEMT(Very High−Frequency Small−Signal Equivalent Circuit for Short Gate−Length InP HEMT’s)」、アイ・トリプル・イー トランザクション マイクロウェーブ アンド セオリー テクノロジー(IEEE Trans. Microwave and Theory Tech)、(米国)、1997年7月、第45巻、第7号、p.1018−1026
【0011】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、上述した従来の方法では、いずれも、誤差の自乗和を評価関数とし、モデル出力以外にも、この関数を収束させるための条件を設けているため、モデルパラメタを一意に定めることは困難である。また、ローカル・ミニマ(極小値)に収束してしまうこともある。また、ある程度の精度で測定値を再現することができるパラメタ・セットが求まっても、そのパラメタ・セット内の個々のパラメタの値が保証されるわけではないという問題点がある。
【0012】
上述したLMS法では、測定値に正規分布(ガウシアン分布)でないノイズが含まれる場合、たとえばノイズに何らかの傾向がある場合や、大きなノイズが混在する場合に、十分に満足する結果は得られない。また、モデルが測定値の一部にのみ有効である場合も同様である。
【0013】
上述したML法では、測定値に正規分布でないノイズが含まれる場合でも有効であるが、測定値に含まれる特定のノイズ分布を仮定し、そのノイズ分布に基づいて評価関数を定式化する必要がある。そのため、プログラムの作成が困難であるだけでなく、完成したプログラムの信頼性と汎用性が十分でないという問題点がある。
【0014】
また、半導体素子の外部パラメタをあらかじめ決めておき、LMS法により内部パラメタのみを抽出する方法では、外部パラメタが素子のバイアス条件により変化するため、内部パラメタを適正に抽出することは困難であるという問題点がある。
【0015】
また、実デバイスの特性を回路モデルとデバイスモデルでより正確に再現しようとすると、これらのモデルが複雑化するとともに、パラメタの物理的意味が不明確となってしまう。このため、回路特性から、素子特性の改良指針として回路モデルパラメタの改良が提示されても、デバイスの構造をどのように変更すればよいのか推定することが困難である。
【0016】
本発明は、上記問題点に鑑みてなされたものであって、ローカル・ミニマに囚われることなく、効率よく複数のモデルパラメタを一意に定めることができるパラメタ抽出方法を提供することを目的とする。また、本発明の他の目的は、半導体素子開発の分野において、より実用的な小信号等価回路パラメタの抽出および大信号パラメタの抽出を可能とするパラメタ抽出方法およびパラメタ抽出プログラムを提供することにある。
【0017】
【課題を解決するための手段】
上記目的を達成するため、本発明は、収束させるための制限等を設けずに、モデルのみを用いてパラメタの抽出をおこなうものであり、Widrow−HoffのLMSアルゴリズムを、測定値とモデル出力がともに多次元のベクトルで表される多目的に拡張して、多目的最適化問題を直接解くことを特徴とする。その際、前記(1)式右辺の値を、誤差是正への各パラメタの寄与の度合として用いる。
【0018】
そして、多目的問題に最急降下法を用いて誤差の自乗和を小さくしていく際に、ステップゲインをεとして、k番目のパラメタPkをつぎの(2)式および(3)式のように更新する。ただし、mはパラメタの数、nは測定値の数である。また、1≦l≦n、1≦k≦mであり、Pk (1)は、更新されたk番目のパラメタである。
【0019】
【数2】
【数3】
【0020】
上記(3)式の第二項目は、k番目のパラメタの誤差補正への寄与を意味している。高次の微分を使えば、さらに早い収束が期待できる。誤差の計算および誤差の微分の計算が短時間で済む場合には、上記(3)式の計算をそのまま繰り返せばよい。
【0021】
具体的には、たとえば半導体素子開発の分野において、素子の散乱パラメタを測定し、これを再現する等価回路パラメタを求める場合、まず散乱パラメタの誤差(幾何)ベクトルEnを求める。ついで、等価回路パラメタPmによる誤差ベクトルEnの微分Δmnを求める。そして、EnとΔmnの相関ΔPm=E’Δmnを求め、これを用いて等価回路パラメタを更新することを繰り返す。ここで、E’はEの転置ベクトルである。
【0022】
この発明によれば、各測定点ごとの誤差と、各測定点ごとの誤差に関する各パラメタの寄与を各パラメタごとの更新値にまとめることにより、モデルに忠実にパラメタの更新をおこなうことが可能となる。
【0023】
【発明の実施の形態】
以下に、本発明の実施の形態について図面を参照しつつ詳細に説明する。ここでは、図2に示す構成の等価回路モデルを用いて、562GHzのInP pseudomorphic HEMT(高電子移動トランジスタ)の散乱パラメタの測定値からモデルパラメタを抽出する場合を例にして、説明するが、本発明はこれに限定されるものではない。
【0024】
まず、等価回路モデルの構成について説明する。等価回路モデルは、6個のキャパシタ1,2,3,4,5,6と3個のインダクタ7,8,9と6個の抵抗10,11,12,13,14,15と電流源16を備えている。ゲート端子(G)は、第1のキャパシタ(容量値:Cg)1を介して接地されている。また、ゲート端子(G)は、第1のインダクタ(インダクタンス:Lg)7を介して、第1の抵抗(抵抗値:Rg)10の一端に接続されている。
【0025】
第1の抵抗10の他端は、第2の抵抗(抵抗値:Rgc)12に第2のキャパシタ(容量値:Cgc)4が並列に接続された並列接続体の一端に接続されている。この並列接続体の他端は、第3の抵抗(抵抗値:Rcs)13の一端に接続されている。第3の抵抗13の他端は、ソースを構成する第4の抵抗(抵抗値:Rs)15の一端に接続されている。第4の抵抗15の他端は、第2のインダクタ(インダクタンス:Ls)9を介して接地されている。
【0026】
ドレイン端子(D)は、第3のキャパシタ(容量値:Cd)2を介して接地されている。また、ドレイン端子(D)は、第3のインダクタ(インダクタンス:Ld)8を介して、第5の抵抗(抵抗値:Rd)11の一端に接続されている。第5の抵抗11の他端は、第6の抵抗(抵抗値:Rds)14に第4のキャパシタ(容量値:Cds)6および電流源(gm、tau)16が並列に接続された並列接続体の一端に接続されている。この並列接続体の他端は、第4の抵抗15の前記一端に接続されている。
【0027】
第1の抵抗10の前記他端と、第5の抵抗11の前記他端との間には、第5のキャパシタ(容量値:Cdg0)3が接続されている。また、第5の抵抗11の前記他端と、第2の抵抗12および第2のキャパシタ4よりなる並列接続体の前記他端との間には、第6のキャパシタ(容量値:Cdc)5が接続されている。
【0028】
上述した構成の等価回路モデルでは、ゲート端子(G)、第1のインダクタ7、第1のキャパシタ1の順に接続される。また、ドレイン端子(D)、第3のインダクタ8、第3のキャパシタ2の順に接続される。第1のキャパシタ1は、ゲートのパッド容量であり、第3のキャパシタ2は、ドレインのパッド容量である。第1のインダクタ7および第3のインダクタ8は、ボンディングワイヤのインダクタンスに相当するが、ここではウェハ上での測定値を用い、プローブヘッドで校正してあるので、ボンディングワイヤはなく、短い配線のインダクタンスである。
【0029】
また、モデルパラメタの抽出にあたっては、第3のインダクタ8のインダクタンスLd、第5の抵抗11の抵抗値Rd、第4の抵抗15の抵抗値Rsおよび第2のインダクタ9のインダクタンスLsは小さい値であるので、第4のキャパシタ6と第3のキャパシタ2の独立性(直交性)は低い。したがって、第3のキャパシタ2の容量値Cdだけは固定することが望ましい。そこで、この容量値Cdを、モニタパターンから別途測定した既知の値に固定する。
【0030】
残りの16個のパラメタ、すなわちCg、Lg、Rg、Rgc、Cgc、Rcs、Rs、Ls、Ld、Rd、Rds、Cds、Cdg0、Cdc、gmおよびtauは、以下に説明するパラメタ抽出方法において200〜10000回程度の繰り返しにより、求められる。なお、これらの事柄は、パラメタ抽出をおこなう過程で、モデルの適切化をおこなうことにより明らかになった。
【0031】
つぎに、パラメタ抽出方法の手順について説明する。図1は、本発明にかかるパラメタ抽出方法の手順を示すフローチャートである。パラメタ抽出処理が開始されると、まず、図3に示す散乱パラメタS11,S12,S21,S22の測定値(S_obj)を読み込む(ステップS1)。ついで、上述した16個の回路パラメタ(CP)の初期値を設定する(ステップS2)。そして、ステップS1で設定した回路パラメタ(CP)の初期値を用いてモデル計算をおこない、散乱パラメタS11,S12,S21,S22のモデル出力(S)を得る。
【0032】
ここで、散乱パラメタS11,S12,S21,S22の測定およびモデル計算は、ともに同じ周波数のセットでおこなう。たとえば、周波数を、250MHzから50.25GHzまで、250MHz刻みで201点とする。そして、4つの散乱パラメタS11,S12,S21,S22のそれぞれ201点ずつの測定値を連結して測定値S_objとする。モデル出力についても同様に、4つの散乱パラメタS11,S12,S21,S22のそれぞれ201点ずつのモデル出力を連結してモデル出力Sとする。
【0033】
ついで、モデル出力Sから測定値S_objを減算して、誤差ベクトルE1を求める(ステップS3)。ついで、誤差ベクトルE1を16個の回路パラメタ(CP)のそれぞれで微分し、つぎの式(4)に示す勾配行列Δmnを求める(ステップS4)。このとき、各回路パラメタ(CP)による微分を定式化しにくい場合には、各回路パラメタ(CP)を一つずつ変化させてモデル計算をおこない、モデル出力Sの変化を読み取ることにより、勾配行列Δmnを求める。
【0034】
【数4】
【0035】
ついで、回路パラメタ(CP)の更新量(CPU)の初期値を設定する(ステップS5)。そして、ステップS3で求めた誤差ベクトルE1に、ステップS4で求めた勾配行列ΔmnとステップS5で設定した回路パラメタの更新量(CPU)との相関、ここでは積を加算して、新たなな誤差ベクトルE2を求める(ステップS6)。
【0036】
ついで、(5)式に示すように、ステップS6で求めた誤差ベクトルE2の転置ベクトルE2’とステップS4で求めた勾配行列Δmnとの相関ΔPmを求める。ここでは、ΔPmは、たとえばE2’およびΔmnの各実部同士の相関と、各虚部同士の相関との和である。なお、(5)式において、(E1 E2 ・・・ En)がE2’であり、E1、E2、・・・、EnはE2’の要素である。
【0037】
【数5】
【0038】
得られたΔPmにステップゲインεを乗じたものを、ステップS5で設定した回路パラメタの更新量(CPU)から減算し、これをあらたな回路パラメタの更新量(CPU)とする(ステップS7)。そして、ステップS6ヘ戻り、あらたな回路パラメタの更新量(CPU)を用いて、再び誤差ベクトルE2を求め、ステップS7で、ステップゲインεを調整しながら、再びあらたな回路パラメタの更新量(CPU)を求める。
【0039】
ステップS6およびステップS7の繰り返しを、あらかじめ設定された充分な回数k回、たとえば200〜10000回程度おこなう。その際、Δmnの変化量は小さく無視できる程度であるので、Δmnは一定であるとして近似している。この繰り返し演算に要する時間は、各パラメタごとのモデル計算に要する時間と同じ程度である。このように、低次の微係数Δmnを求める内部ループの中で、回路パラメタの更新量(CPU)を繰り返しにより求めることにより、時間のかかるモデル計算の回数が減り、高速化が図れる。なお、内部ループを多重にしてもよい。
【0040】
ついで、ステップS6およびステップS7の規定回数(k回)の繰り返し(ステップS8)により得られた回路パラメタの更新量(CPU)の転置ベクトルに1を加算し、これとステップS1で設定した回路パラメタ(CP)の初期値との要素ごとの積を求める。そして、その積の絶対値をあらたな回路パラメタ(CP)とする(ステップS9)。ついで、ステップS9で求めた回路パラメタ(CP)の変化量が微小であるか否かを判定する(ステップS10)。
【0041】
回路パラメタ(CP)の変化量が微小にならない場合(ステップS10:No)には、ステップS3へ戻り、ステップS9で更新された回路パラメタ(CP)を用いて、ステップS3〜ステップS9をおこなう。この繰り返しを、回路パラメタ(CP)の変化量が微小になるまでおこなう。ステップS3〜ステップS9の繰り返し処理において、ステップ5では、一サイクル前のステップS7で得られた回路パラメタの更新量(CPU)を設定する。そして、回路パラメタ(CP)の変化量が微小になった時点で収束したと判断して(ステップS10:Yes)、パラメタ抽出処理を終了する。収束の判断基準としては、ステップS7で回路パラメタの更新量を算出する際に用いる虚部の相関と実部の相関の総和もしくはそれらの自乗和、誤差の自乗和、誤差の絶対値の和、またはそれらの組み合わせなどを用いることができる。
【0042】
図3は、562GHzのInP pseudomorphic HEMTの散乱パラメタの測定値(一点鎖線で示す)と、図2に示す等価回路モデルに対して、上述したパラメタ抽出処理により得られた回路パラメタを用いた場合の散乱パラメタのモデル出力(実線で示す)とを示すスミスチャートである。図3より、モデル出力が測定値にほぼ一致していることがわかる。なお、図3において、散乱パラメタS21については、10分の1の値を示している。
【0043】
図4は、本発明にかかるパラメタ抽出方法を適用して得られた散乱パラメタのモデル出力の評価値と、前記Cgcおよび前記Rcsとの関係を示す図である。図4では、残りの14個のパラメタ(Cg、Lg、Rg、Rgc、Rs、Ls、Ld、Rd、Rcs、Cds、Cdg0、Cdc、gm、tau)については、抽出値を用いている。また、図4では、特に限定しないが、評価値として、散乱パラメタのモデル出力の測定値に対する誤差の絶対値の総和を用いている。
【0044】
図4と同様に、16個のパラメタ中の任意のパラメタに関して、抽出値付近で誤差が最小になることを示すことができる。したがって、多目的最適化の結果、16個のパラメタの抽出値付近で誤差が最小になることがわかる。同様に、誤差の自乗の総和も、16個のパラメタの抽出値付近で最小になる。
【0045】
上述したパラメタ抽出方法をコンピュータに実行させるためのプログラムは、コンピュータ読み取り可能な記録媒体に記録され、コンピュータにより実現される。また、パラメタ抽出プログラムは、コンピュータ読み取り可能な記録媒体を介して、インターネットなどのネットワークを介して配布することができる。図5は、上述したパラメタ抽出方法の実施に供されるコンピュータの一例の構成を示すブロック図である。
【0046】
コンピュータは、たとえばCPU101、ROM102、RAM103、HDD(ハードディスクドライブ)104、FDD(フレキシブルディスクドライブ)106、ディスプレイ108、キーボード109、マウス等(種々のポインティング・デバイスを含む)110、プリンタ111およびCD−ROMドライブ112がバス100を介して相互に接続された構成となっている。上述したパラメタ抽出方法をコンピュータに実行させるためのプログラムは、FD107やCD−ROM113に記録される。また、FD107やCD−ROM113に記録されたプログラムはHD105に格納されて実行される。
【0047】
上述した実施の形態によれば、各測定点ごとの誤差と、各測定点ごとの誤差に関する各パラメタの寄与を各パラメタごとの更新値にまとめることにより、モデルに忠実にパラメタの更新をおこなうことができるので、パラメタを一意に定めることが可能となる。したがって、ローカル・ミニマへの収束や、想定外のノイズの影響を回避することができる。
【0048】
また、実施の形態によれば、パラメタが一意に定まることにより、モデルの適切性を確認しながらより適切なモデルに作り変えることが可能となる。また、従来不可能であったより複雑な逆問題の利用が可能となる。また、半導体素子開発の分野においては、デバイス特性とデバイス構造との関係が明確になるので、デバイス特性を改善するための指針を得ることが可能となる。
【0049】
以上において本発明は、上述した実施の形態に限らず、種々変更可能である。たとえば、前記ステップS7で、誤差ベクトルE2の転置ベクトルE2’と勾配行列Δmnとの相関ΔPmを、絶対値と位相を用いて求めるようにしてもよい。その際、位相に2πのジャンプなどの不連続が生じる場合には、その処理が必要となる。
【0050】
また、本発明は、半導体素子開発分野に限らず、モデルパラメタの値を推定することにより未知のシステムの構造を明らかにすることを目的とする逆問題に広く利用することができる。たとえば、地質探査、トモグラフィ、MRI(核磁気共鳴)やスクイド素子による脳内電流の検出などの分野において利用することができる。
【0051】
【発明の効果】
本発明によれば、各測定点ごとの誤差と、各測定点ごとの誤差に関する各パラメタの寄与を各パラメタごとの更新値にまとめることにより、モデルに忠実にパラメタの更新をおこなうことが可能となる。したがって、パラメタを一意に定めることが可能となる。
【図面の簡単な説明】
【図1】本発明にかかるパラメタ抽出方法の手順を示すフローチャートである。
【図2】本発明にかかるパラメタ抽出方法の実施に用いたInP HEMTの等価回路モデルを示す等価回路図である。
【図3】本発明にかかるパラメタ抽出方法を図2に示す等価回路モデルに適用した結果を示す図である。
【図4】本発明にかかるパラメタ抽出方法を図2に示す等価回路モデルに適用した結果を示す図である。
【図5】本発明にかかるパラメタ抽出方法の実行に供せられるコンピュータのハードウェア構成を示すブロック図である。
【符号の説明】
S11,S12,S21,S22 散乱パラメタ[0001]
TECHNICAL FIELD OF THE INVENTION
The present invention relates to a parameter extraction method and a parameter extraction program for extracting a plurality of parameters of a model that reproduces a large number of measurement data of a system, and in particular, extracts parameters necessary for constructing a simulation model in the field of semiconductor device development. The present invention relates to a parameter extraction method and a parameter extraction program.
[0002]
In recent years, the capabilities of electronic computers have improved, which has enabled the modeling of more complex systems and the prediction of the behavior of the systems. By modeling a system and reproducing many measurements, you can better control the system, understand its system more deeply and quantitatively, estimate its behavior, and evaluate the model. It is possible to create a more appropriate model, improve the system or create a new system. In order to create a model that matches the actual system, it is important to determine and estimate a number of model parameters that characterize the system.
[0003]
In particular, in the field of semiconductor device development, with the speeding up of device operation, it is required to measure scattering parameters of the device and determine equivalent circuit parameters for reproducing the same. In addition, with the miniaturization of semiconductor devices, it is necessary to reproduce three-dimensional effects, quantum effects, overshoot of carrier traveling speed, etc. using simulation models. However, construction of large signal circuit models and extraction of their parameters Is extremely difficult at the moment.
[0004]
[Prior art]
Conventionally, when obtaining a parameter so that a model output matches a measured value of a certain system, an LMS (least mean square) method of minimizing a sum of squares of an error of the model output with respect to the measured value has been used. Further, the Newton method or the Marquardt Levenberg method in which the convergence is improved by improving the LMS method may be used.
[0005]
The ML (maximum likelihood) method, which is an improvement of the LMS method, is a method of obtaining parameters so that a plausible model output is obtained. In the ML method, an evaluation function for determining plausibility is determined in advance, and processing for minimizing the value is performed.
[0006]
By the way, many of the real problems are multi-objective optimization problems, and it is required to minimize or maximize a plurality of targets at the same time. Conventionally, when solving a multi-objective optimization problem, the multi-objective optimization problem is replaced with a single-objective optimization problem by using the sum of squares of each error of the model output corresponding to each target as an evaluation function. The method described above is used (for example, see Non-Patent Document 1).
[0007]
On the other hand, in linear adaptive signal processing, a Widow-Hoff LMS algorithm is used to update digital filter coefficients. This corresponds to a case where there are a plurality of model parameters and one model output. The update value ΔPm of the model parameter (filter coefficient) is represented by the following equation (1), where m model parameters are P 1 to P m , an error vector is E, and a gain is c.
[0008]
(Equation 1)
[0009]
Also, if the number of parameters increases, it becomes difficult to extract them. Therefore, conventionally, when a small signal parameter of a semiconductor device is obtained, an external parameter is determined in advance by using a measured value in an off state of the device, and only an internal parameter is determined by a repetition method based on the LMS method. Is extracted (for example, see Non-Patent Document 2).
[0010]
[Non-patent document 1]
Takayoshi Kashimura, et al., "Optimization of Nonlinear Problems by Design of Experiments", Asakura Shoten, October 25, 1998, p. 30-31
[Non-patent document 2]
Agnes Miras, one other, "Berry High-Frequency Small-Signal Equivalent Electronic Equipment International ) ", IEEE Trans. Microwave and Theory Tech, (USA), July 1997, Vol. 45, No. 7, p. 1018-1026
[0011]
[Problems to be solved by the invention]
However, in the above-described conventional methods, the sum of the squares of the errors is used as the evaluation function, and conditions other than the model output are set to converge this function. Therefore, it is difficult to uniquely determine the model parameters. It is. In addition, it may converge to a local minimum (minimum value). Further, even if a parameter set capable of reproducing a measured value with a certain degree of accuracy is obtained, there is a problem that the values of individual parameters in the parameter set are not guaranteed.
[0012]
In the above-described LMS method, a sufficiently satisfactory result cannot be obtained when the measured value includes noise that is not a normal distribution (Gaussian distribution), for example, when there is some tendency in the noise or when large noise is mixed. The same applies to a case where the model is valid only for a part of the measured values.
[0013]
The above-described ML method is effective even when the measured value includes noise that is not a normal distribution. However, it is necessary to assume a specific noise distribution included in the measured value and formulate an evaluation function based on the noise distribution. is there. Therefore, not only is it difficult to create a program, but also the reliability and versatility of the completed program are not sufficient.
[0014]
Further, in a method in which external parameters of a semiconductor element are determined in advance and only internal parameters are extracted by the LMS method, it is difficult to properly extract internal parameters because the external parameters change according to the bias condition of the element. There is a problem.
[0015]
Further, if it is attempted to more accurately reproduce the characteristics of an actual device using a circuit model and a device model, these models become complicated and the physical meaning of the parameters becomes unclear. For this reason, it is difficult to estimate how to change the structure of the device from the circuit characteristics even if improvement of the circuit model parameters is presented as a guideline for improving the element characteristics.
[0016]
The present invention has been made in view of the above problems, and has as its object to provide a parameter extracting method capable of efficiently and uniquely defining a plurality of model parameters without being bound by local minima. Another object of the present invention is to provide a parameter extraction method and a parameter extraction program that enable more practical extraction of small signal equivalent circuit parameters and large signal parameters in the field of semiconductor device development. is there.
[0017]
[Means for Solving the Problems]
In order to achieve the above object, the present invention performs parameter extraction using only a model without providing a restriction or the like for convergence. The LMS algorithm of Widow-Hoff is used to measure a measured value and a model output. It is characterized in that both are extended to multi-objects represented by multi-dimensional vectors to directly solve multi-objective optimization problems. At this time, the value on the right side of the equation (1) is used as the degree of contribution of each parameter to error correction.
[0018]
Then, when the sum of squares of the error is reduced using the steepest descent method for the multi-objective problem, the k-th parameter P k is set as in the following equations (2) and (3), with the step gain being ε. Update. Here, m is the number of parameters, and n is the number of measured values. Also, 1 ≦ l ≦ n, 1 ≦ k ≦ m, and P k (1) is the updated k-th parameter.
[0019]
(Equation 2)
[Equation 3]
[0020]
The second item in the above equation (3) means the contribution of the k-th parameter to error correction. Faster convergence can be expected with higher order derivatives. If the calculation of the error and the calculation of the derivative of the error can be completed in a short time, the calculation of the above equation (3) may be repeated as it is.
[0021]
Specifically, for example, in the field of semiconductor device development, when measuring the scattering parameter of the device and obtaining an equivalent circuit parameter for reproducing the same, first, an error (geometric) vector En of the scattering parameter is obtained. Then, determine the differential delta mn of error vectors En by the equivalent circuit parameters Pm. Then, the correlation ΔPm = E'Δ mn of En and delta mn, repeatedly updating the equivalent circuit parameters by using this. Here, E ′ is the transposed vector of E.
[0022]
According to the present invention, it is possible to update parameters faithfully to the model by collecting the error of each measurement point and the contribution of each parameter relating to the error of each measurement point into an updated value for each parameter. Become.
[0023]
BEST MODE FOR CARRYING OUT THE INVENTION
Hereinafter, embodiments of the present invention will be described in detail with reference to the drawings. Here, a case where a model parameter is extracted from a measured value of a scattering parameter of a 562 GHz InP pseudomorphic HEMT (high electron transfer transistor) using an equivalent circuit model having a configuration shown in FIG. 2 will be described as an example. The invention is not limited to this.
[0024]
First, the configuration of the equivalent circuit model will be described. The equivalent circuit model includes six
[0025]
The other end of the
[0026]
The drain terminal (D) is grounded via a third capacitor (capacitance value: Cd) 2. The drain terminal (D) is connected to one end of a fifth resistor (resistance value: Rd) 11 via a third inductor (inductance: Ld) 8. The other end of the
[0027]
A fifth capacitor (capacitance: Cdg0) 3 is connected between the other end of the
[0028]
In the equivalent circuit model having the above-described configuration, the gate terminal (G), the
[0029]
In extracting the model parameters, the inductance Ld of the
[0030]
The remaining 16 parameters, ie, Cg, Lg, Rg, Rgc, Cgc, Rcs, Rs, Ls, Ld, Rd, Rds, Cds, Cdg0, Cdc, gm, and tau, are 200 in the parameter extraction method described below. It is obtained by repeating about 1 to 10,000 times. In addition, these matters became clear by performing the model optimization in the process of parameter extraction.
[0031]
Next, the procedure of the parameter extraction method will be described. FIG. 1 is a flowchart showing a procedure of a parameter extracting method according to the present invention. When the parameter extraction process is started, first, the measured values (S_obj) of the scattering parameters S11, S12, S21, and S22 shown in FIG. 3 are read (step S1). Next, the initial values of the above-mentioned 16 circuit parameters (CP) are set (step S2). Then, model calculations are performed using the initial values of the circuit parameters (CP) set in step S1, and model outputs (S) of the scattering parameters S11, S12, S21, and S22 are obtained.
[0032]
Here, the measurement of the scattering parameters S11, S12, S21, and S22 and the model calculation are both performed using the same set of frequencies. For example, the frequency is set to 201 points from 250 MHz to 50.25 GHz in steps of 250 MHz. Then, the measured values at 201 points of each of the four scattering parameters S11, S12, S21, and S22 are connected to obtain a measured value S_obj. Similarly, the model output of the four scattering parameters S11, S12, S21, and S22 is connected to the model output of 201 points for the model output.
[0033]
Next, the measured value S_obj is subtracted from the model output S to obtain an error vector E1 (step S3). Next, the error vector E1 is differentiated by each of the 16 circuit parameters (CP) to obtain a gradient matrix Δ mn shown in the following equation (4) (step S4). At this time, when it is difficult to formulate the differentiation by each circuit parameter (CP), the model calculation is performed by changing each circuit parameter (CP) one by one, and the change of the model output S is read to obtain the gradient matrix Δ Find mn .
[0034]
(Equation 4)
[0035]
Next, an initial value of the update amount (CPU) of the circuit parameter (CP) is set (step S5). Then, the correlation between the gradient matrix Δ mn obtained in step S4 and the update amount (CPU) of the circuit parameter set in step S5, here, the product, is added to the error vector E1 obtained in step S3, and a new product is added. An error vector E2 is obtained (step S6).
[0036]
Next, as shown in Expression (5), a correlation ΔPm between the transposed vector E2 ′ of the error vector E2 determined in step S6 and the gradient matrix Δmn determined in step S4 is determined. Here, ΔPm is, for example, the sum of the correlation between the real parts of E2 ′ and Δmn and the correlation between the imaginary parts. Note that in equation (5) is an element (E 1 E 2 ··· E n ) ' is, E 1, E 2, ··· , E n is E2' is E2.
[0037]
(Equation 5)
[0038]
The value obtained by multiplying the obtained ΔPm by the step gain ε is subtracted from the circuit parameter update amount (CPU) set in step S5, and this is set as a new circuit parameter update amount (CPU) (step S7). Then, returning to step S6, the error vector E2 is obtained again using the new circuit parameter update amount (CPU), and in step S7, the new circuit parameter update amount (CPU ).
[0039]
Steps S6 and S7 are repeated a sufficient number of times k set in advance, for example, about 200 to 10000 times. At this time, since the variation of Δmn is small and negligible, it is approximated that Δmn is constant. The time required for this repetitive operation is about the same as the time required for the model calculation for each parameter. As described above, in the inner loop for calculating the low-order differential coefficient Δ mn , by repeatedly obtaining the update amount (CPU) of the circuit parameter, the number of time-consuming model calculations can be reduced and the speed can be increased. Note that the inner loop may be multiplexed.
[0040]
Next, 1 is added to the transposition vector of the update amount (CPU) of the circuit parameter obtained by repeating the specified number of times (k times) of step S6 and step S7 (step S8), and this is added to the circuit parameter set in step S1. The product of each element with the initial value of (CP) is obtained. Then, the absolute value of the product is set as a new circuit parameter (CP) (step S9). Next, it is determined whether or not the change amount of the circuit parameter (CP) obtained in step S9 is small (step S10).
[0041]
If the change amount of the circuit parameter (CP) does not become minute (Step S10: No), the process returns to Step S3, and Steps S3 to S9 are performed using the circuit parameter (CP) updated in Step S9. This repetition is performed until the amount of change in the circuit parameter (CP) becomes small. In the repetitive processing of steps S3 to S9, in
[0042]
FIG. 3 shows the measured values of the scattering parameters of the 562 GHz InP pseudomorphic HEMT (indicated by the dashed line) and the equivalent circuit model shown in FIG. 2 using the circuit parameters obtained by the above parameter extraction processing. 6 is a Smith chart showing a model output (shown by a solid line) of a scattering parameter. FIG. 3 shows that the model output almost coincides with the measured value. In FIG. 3, the scattering parameter S21 shows a value of 1/10.
[0043]
FIG. 4 is a diagram showing the relationship between the evaluation value of the model output of the scattering parameter obtained by applying the parameter extraction method according to the present invention, and the Cgc and the Rcs. In FIG. 4, extracted values are used for the remaining 14 parameters (Cg, Lg, Rg, Rgc, Rs, Ls, Ld, Rd, Rcs, Cds, Cdg0, Cdc, gm, and tau). Further, in FIG. 4, although not particularly limited, a sum of absolute values of errors with respect to a measured value of the model output of the scattering parameter is used as the evaluation value.
[0044]
Similar to FIG. 4, it can be shown that the error is minimized near the extracted value for any of the 16 parameters. Therefore, as a result of the multi-objective optimization, it can be seen that the error is minimized near the extracted values of the 16 parameters. Similarly, the sum of squares of the error also becomes minimum near the extracted values of the 16 parameters.
[0045]
A program for causing a computer to execute the above-described parameter extraction method is recorded on a computer-readable recording medium, and is realized by the computer. The parameter extraction program can be distributed via a computer-readable recording medium via a network such as the Internet. FIG. 5 is a block diagram showing a configuration of an example of a computer provided for performing the above-described parameter extraction method.
[0046]
The computer includes, for example,
[0047]
According to the above-described embodiment, by updating the error of each measurement point and the contribution of each parameter relating to the error of each measurement point into an updated value for each parameter, the parameter can be updated faithfully in the model. Can be defined, so that parameters can be uniquely determined. Therefore, it is possible to avoid convergence to the local minimum and the influence of unexpected noise.
[0048]
Further, according to the embodiment, since the parameters are uniquely determined, it is possible to make a model more appropriate while checking the appropriateness of the model. In addition, it is possible to use a more complicated inverse problem that has been impossible in the past. In the field of semiconductor element development, the relationship between device characteristics and device structure becomes clear, so that a guideline for improving device characteristics can be obtained.
[0049]
In the above, the present invention is not limited to the above-described embodiment, but can be variously modified. For example, in the step S7, the correlation ΔPm the transposed vector E2 'gradient matrix delta mn of the error vector E2, it may be obtained by using the absolute value and phase. At that time, if a discontinuity such as a jump of 2π occurs in the phase, such processing is necessary.
[0050]
Further, the present invention is not limited to the semiconductor device development field, and can be widely used for an inverse problem aiming at elucidating the structure of an unknown system by estimating the value of a model parameter. For example, it can be used in fields such as geological exploration, tomography, MRI (nuclear magnetic resonance), and detection of brain current using a squid element.
[0051]
【The invention's effect】
According to the present invention, it is possible to update parameters faithfully to the model by collecting the error of each measurement point and the contribution of each parameter related to the error of each measurement point into an updated value for each parameter. Become. Therefore, parameters can be uniquely determined.
[Brief description of the drawings]
FIG. 1 is a flowchart showing a procedure of a parameter extracting method according to the present invention.
FIG. 2 is an equivalent circuit diagram showing an equivalent circuit model of an InP HEMT used for implementing the parameter extraction method according to the present invention.
FIG. 3 is a diagram showing a result of applying a parameter extraction method according to the present invention to the equivalent circuit model shown in FIG. 2;
FIG. 4 is a diagram showing a result of applying a parameter extraction method according to the present invention to the equivalent circuit model shown in FIG. 2;
FIG. 5 is a block diagram showing a hardware configuration of a computer used for executing a parameter extraction method according to the present invention.
[Explanation of symbols]
S11, S12, S21, S22 Scattering parameters
Claims (10)
各モデルパラメタの微小変化量に対する前記誤差の変化量よりなる微分係数行列を求める工程と、
前記微分係数行列と前記誤差のベクトルとの相関に基づいてモデルパラメタの更新量を求める工程と、
を含むことを特徴とするパラメタ抽出方法。A parameter extraction method for obtaining the model parameters for reproducing a plurality of target values using a model having a plurality of model parameters using an error between a model output and a target value for each target value,
A step of obtaining a differential coefficient matrix composed of the variation of the error with respect to the small variation of each model parameter;
Obtaining an update amount of a model parameter based on the correlation between the differential coefficient matrix and the error vector;
A parameter extraction method comprising:
更新された前記誤差のベクトルと前記微分係数行列との相関に基づいて前記モデルパラメタの更新量をさらに更新する工程と、
を繰り返しおこなう処理を有することを特徴とする請求項1または2に記載のパラメタ抽出方法。Updating the error vector based on the correlation between the differential coefficient matrix and the update amount of the model parameter;
Further updating the update amount of the model parameter based on the correlation between the updated error vector and the differential coefficient matrix,
3. The parameter extracting method according to claim 1, further comprising a step of repeatedly performing the following.
各モデルパラメタの微小変化量に対する前記誤差の変化量よりなる微分係数行列を求める第1の工程と、
前記微分係数行列とモデルパラメタの更新量との相関に基づいて前記誤差のベクトルを更新し、その更新された前記誤差のベクトルと前記微分係数行列との相関に基づいて前記モデルパラメタの更新量をさらに更新する処理を繰り返しおこなう第2の工程と、
更新された前記モデルパラメタの更新量に基づいて前記モデルパラメタを更新する第3の工程と、
更新された前記モデルパラメタを用いて、前記第1の工程、前記第2の工程および前記第3の工程を繰り返しおこなう工程と、
を含むことを特徴とするパラメタ抽出方法。A parameter extraction method for obtaining the model parameters for reproducing a plurality of target values using a model having a plurality of model parameters using an error between a model output and a target value for each target value,
A first step of obtaining a differential coefficient matrix composed of a variation of the error with respect to a small variation of each model parameter;
The error vector is updated based on the correlation between the derivative matrix and the update amount of the model parameter, and the update amount of the model parameter is updated based on the correlation between the updated error vector and the derivative matrix. A second step of repeating the updating process;
A third step of updating the model parameter based on the updated amount of the updated model parameter;
Repeating the first step, the second step, and the third step using the updated model parameters;
A parameter extraction method comprising:
各モデルパラメタの微小変化量に対する前記誤差の変化量よりなる微分係数行列を求めさせる工程と、
前記微分係数行列と前記誤差のベクトルとの相関に基づいてモデルパラメタの更新量を求めさせる工程と、
をコンピュータに実行させることを特徴とするパラメタ抽出プログラム。A parameter extraction program for obtaining the model parameters for reproducing a plurality of target values using a model having a plurality of model parameters using an error between a model output and a target value for each target value,
A step of obtaining a differential coefficient matrix composed of the variation of the error with respect to the small variation of each model parameter,
A step of obtaining an update amount of a model parameter based on a correlation between the differential coefficient matrix and the error vector,
A parameter extracting program for causing a computer to execute the parameter extracting process.
各モデルパラメタの微小変化量に対する前記誤差の変化量よりなる微分係数行列を求めさせる第1の工程と、
前記微分係数行列とモデルパラメタの更新量との相関に基づいて前記誤差のベクトルを更新し、その更新された前記誤差のベクトルと前記微分係数行列との相関に基づいて前記モデルパラメタの更新量をさらに更新する処理を繰り返しおこなわせる第2の工程と、
更新された前記モデルパラメタの更新量に基づいて前記モデルパラメタを更新させる第3の工程と、
更新された前記モデルパラメタを用いて、前記第1の工程、前記第2の工程および前記第3の工程を繰り返しおこなわせる工程と、
をコンピュータに実行させることを特徴とするパラメタ抽出プログラム。A parameter extraction program for obtaining the model parameters for reproducing a plurality of target values using a model having a plurality of model parameters using an error between a model output and a target value for each target value,
A first step of obtaining a differential coefficient matrix composed of the variation of the error with respect to the small variation of each model parameter;
The error vector is updated based on the correlation between the derivative matrix and the update amount of the model parameter, and the update amount of the model parameter is updated based on the correlation between the updated error vector and the derivative matrix. A second step of repeatedly performing the updating process;
A third step of updating the model parameter based on the updated amount of the updated model parameter;
A step of repeatedly performing the first step, the second step, and the third step using the updated model parameters;
A parameter extracting program for causing a computer to execute the parameter extracting process.
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