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Gerät zum Zeichnen von Kurven Die Erfindung betrifft ein Gerät zum
Zeichnen von Kurven, die Funktionen anderer Funktionen darstellen. Das Gerät eignet
sich hauptsächlich zum Zeichnen von Funktionen in einem bestimmten Intervalle und
für sämtliche Werte t1, die folgenden Formeln entsprechen:
in welchen glt den Differentialquotienten zu (+ t) der Funktion g (t) bezeichnet.
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Formeln dieser Art finden sich bei der Auflösung bestimmter Integralgleichungen
von V o 1 t e r r a und ähnliche Formeln bei der Berechnung der Koeffizienten gewisser
Reihenentwicklungen.
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Das Gerät gestattet auch die Auflösung von Differentialgleichungen
der Form
mittels einer geringeren Anzahl von Operationen als bei Verwendung eines Integraphen.
Seine Anwendung gestattet, die Linie der Biegungsmomente und die elastische Linie
eines belasteten Balkons zu ziehen. Man kann auch für eine beliebige Fläche das
Moment in bezug auf eine beliebige Achse, die Lage des Schwerpunkts und das Trägheitsmoment
berechnen. Endlich eignet sich das Gerät zur Auflösung von Differentialgleichungen
mit konstanten ungleichförmigen Koeffizienten, indem man sie auf eine Integralgleichung
von V o 1 t e r r a zVrückbringt.
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Bei dem Gerät handelt es sich wesentlich um die Verbindung eines Flächenmessers
oder Planimeters mit einem kinematischen System, dessen Bewegungen Kurven folgen,
welche geometrisch die Funktionen f (t) und g (t) darstellen, und welches
die Spitze des Planimeters so führt, «daß sie eine Kurve beschreibt, deren Fläche
einen dem Werte des gesuchten Integrals direkt proportionalen Wert besitzt.
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Das Gerät nach der Erfindung kennzeichnet sich hauptsächlich durch
folgende Einrichtung: Von zwei zweckmäßig rechtwinklig zueinander angeordneten,
parallel verschiebbaren Schenkeln trägt ein Schenkel einen feststellbaren Schieber
mit einem Fahrstift, der andere Schenkel einen Läufer, der mit einer Rolle sowie
einer Führungsschiene fest verbunden ist, auf der ein Gleitteil sitzt, der entweder
in einer die Hypotenuse eines rechtwinkligen- Dreiecks bildenden Schlitzschiene,
gleitet oder mit einem Faden verbunden ist.
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Ein weiteres Merkmal der Erfindung besteht darin, daß der Fahrstift
eines Planimeters in den hülsenförmig ausgebildeten Gleitteil eingreift.
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Beschreibt nun der obenerwähnte Fahrstift des Geräts die eine der
Kurven und die vom
anderen Schenkel getragene Rolle die zweite Kurve,
so beschreibt der auf der Führungsschiene sitzende Gleitteil und somit der Fahrstift
des Planimeters die gesuchte Kurve.
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Bei einer besonders günstigen AusfÜhrungsform wird die Zwangsläufigkeit
der Bewegung zwischen Geraden bzw. Schenkel und Kurven durch Indices gesichert,
die auf Schlitten aufsitzen, welche ihrerseits auf den genannten Geraden bzw. Schenkeln
liegen und sich selbsttätig oder zwangsläufig über die Kurven der Funktionen
f (t) und g (t) bewegen.
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Weitere Merkmale der Erfindung ergeben sich aus nachstehender Beschreibung
und den beispielshalber beiliegenden Zeichnungen.
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Abb. i ist eine Draufsicht auf das Gerät, die Abb.2 und 3 sind senkrechte
Schnitte in vergrößertem Maßstabe nach 2-2 und 3-3 der Abb. i, Abb. 4 das Schema
seiner Arbeitsweise. Die Abb.5 bis io und 12' zeigen schematisch verschiedene Ausführungsformen
des Geräts.
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Abb. i i stellt die Auflösung der einen Kurve in eine Sägezahnlinie
dar. Entsprechend der Ausführung der Abb. i besteht das auf den Zeichentisch i aufzusetzende
Gerät aus einem flachen Lineal 2 mit Schieber 3 und Index 4, ferner aus einem Dreieck
S. Die längere Seite 5a des' rechtwinkligen Dreiecks 5, dessen Verlängerung mit
dem Lineal :2 in den beweglichen Kopf 6 des Gelenkarms 7-7a des Zeichenapparats
greift, trägt eine gestreckte Gleitschiene 8 oder einen Rollweg für den Schlitten
9. An dem Schlitten 9 sitzt ein Index io und ein Arm i i, dessen Länge ungefähr
der der Kleinseite des Dreiecks entspricht. Ein gerader Schlitz 12 im Arme ii steht
senkrecht zur Gleitschiene B. Während der Verstellung des Schlittens 9 gleitet der
Arm i i mit seiner Unterfläche auf dem dritten Schenkel 5b des Dreiecks.
In diesem dritten Schenkel oder der Hypotenuse ist in seiner Achsrichtung ein gerader
Schlitz 13 angebracht, welcher mit der Achse der Gleitschiene 8 einen Winkel p bildet.
In dem Kreuzungspunkte der Schlitze 12 und 13 befindet sich eine Hülse 14, in welche
die am Ende des Armes 15 sitzende Spitze des Planimeters eingreift.
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Bewegt sich der Schlitten g, so gleitet die Hülse 14, vom Arm i i
mitgenommen, in dem Schlitz 13 und nimmt die Spitze des Plani= meters mit. Der Winkel
(p ist annähernd 3o°, um ein Festklemmen der Hülse zu verhindern.
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Eine Spindel 16 und eine Druckschraube 17 dienen zum Feststellen des
Schlittens 9 auf der Gleitschiene 8, wenn dies für manche Zwecke erforderlich ist.
Wenn es sich darum handelt, Flächen zu messen, welche in der einen Richtung sehr
ausgedehnt und in der senkrechten Richtung schmal sind, ist das Schieberplanimeter
vorzuziehen, mit Ausnahme einer der nachstehenden Ausführungsformen.
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Das Kugelplanimeter besitzt einen Schlitten 18, der auf Rollen i9
und iga läuft, die, bei Bewegung des Schlittens, aus ihrer Ebene infolge des Gewichts
des Planimeters nicht austreten können. Die Rolle i9 trägt einen Zahnkranz 2o, der
mittels eines nicht dargestellten Zahnrads den- kugeligen Tei12i in Umdrehung versetzt.
Diese Kugelkalotte nimmt durch Reibung den Zylinder 22 mit, der auf dem Schlitten
18 drehbar ist und ständig in der Verlängerung des Armes 15 liegt. Der Zylinder
22, dessen Drehgeschwindigkeit von seiner Neigung abhängt (wenn der Berührungspunkt
der Kugelkalotte 2i mehr oder minder von der Drehachse der Kugelkalotte entfernt
ist), treibt den Zähler des Planimeters.
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Bei Verwendung des Apparats sind nachstehende Operationen auszuführen:
Man zieht auf dem Zeichenbrett (Abb.4) zwei rechtwinklige Achsensysteme
t o f, t1 o1 g, in welchen o t und o1 t1 einander parallel, aber entgegengerichtet
sind, während o f und o1 g ebenfalls entgegengerichtet sind, aber auf derselben
Linie liegen.
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Man zeichnet dann die Kurve Cl, welche die Werte f (t) des
Systems t o. f darstellt, *für die Werte von t zwischen o und einem
gegebenen Werte t1, indem man die Abszissen t auf o t und die Werte
f auf o f aufträgt. Dasselbe geschieht für g (t) des Systems t1 o1
g bis zur Abszisse t1.
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Man regelt hierauf das Gerät, so daß die Gleitschiene 8 parallel
zu f O 'g steht; man stellt den Index 4 des flachen Lineals 2 in einen
Abstand t1 zur Parallelen von f o g, die durch das Ende des Index io hindurchgeht,
und stellt ihn in dieser Lage mittels der Schraube 23 (Abb. i) fest. Wenn demnach
der Index 4 die Abszisse t in t o f berührt, so hat der Index io als Abszisse
(tl-t) in t1 o1 g.
Dreieck und Lineal verstellen sich also geradlinig entsprechend
der Grundeigenschaft eines Zeichenapparats. Bei dieser geradlinigen Bewegung bleiben
die parallelen Gleitschienen unter sich stets parallel.
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Man stellt dann durch Verschieben der Gesamtvorrichtung den Index
4 auf den Punkt A-
der Kurve Cl mit der Abszisse O und den Index io. auf dem
Punkt A1 von C2 mit der Abszisse t1, indemn man den Schlitten g auf der Gleitschiene
8 verschiebt, und liest die Graduierung des Planimeters ab, nachdem man seine Spitze
in die Hülse 14 eingesetzt hat. Verstellt man hierauf das System und gleichzeitig
entsprechend den Schlitten 9r auf der
Gleitschiene 8, so
daß der Index 4 dem Abschnitt AM' B der Kurve Cl bis zum Punkte B mit der
Abszisse t' langsam folgt, hierauf den Abschnitt B M-'A der Kurve passiert,
und zwingt man den Index io der Kurve C2 zu folgen, so geht er zunächst von links
nach rechts, dann von rechts nach links entsprechend der Bewegungsrichtung des Index
Wenn der Index 4 in einem Punkte 11T der Kurve Cl steht und man durch diesen Punkt
Ml eine Parallele D zur Gleitschiene 13 zieht, so beschreibt der Schnittpunkt N'
der Geraden D mit der Parallelen Dl zur Achse Ot, der in demselben Augenblicke
durch den Punkt P1 der Kurve C2 hindurchgeht, eine Kurve C3, welche gleich ist der
Kurve, welche die Hülse 14 beschreibt und deren Raumfläche durch das Planimeter
registriert wird, dessen Spitze durch die Hülse 14 mitgenommen wird.
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Dem PunkteM2 der zurücklaufenden Kurve des Index 4 entspricht ein
Punkt N2 der Kurve C3. Die Fläche A, die durch die Kurve C3 begrenzt und durch das
Planimeter registriert wird, ist demnach
Man wählt eine Abschlußlinie, um den Wert des zweiten Integrals erkennen zu lassen,
so daß die Anzeige des Planimeters den gesuchten Wert des ersten Integrals liefert.
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Man kann beispielsweise zum Punkte A auf dem Wege B BI
0 A zurückkehren, und in diesem Falle ist das Integral gleich Null.
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Man erhält dann:
d. h. den Wert der ersten gesuchten Formel. Diese kann beispielsweise eine Temperatur,
ein Biegungsmoment, einen Wärmefluß o. dgl. ausdrücken.
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Zum Berechnen der zweiten Formel:
genügt es, f (t). g (o) zuzufügen,. Dies kannnumerisch geschehen oder
mittels des .Apparats selbst. In manchen Fällen kann man auch in folgender Weise
verfahren: Man ersetzt den RückwegBBl0A des Index 4 durch den Weg BBgA; wobei BB2
parallel zu o t ist. Man beschreibt mittels des Planimeters eine zweite Fläche;
wenn A' der Wert derselben ist, erhält man:
Es genügt selbstverständlich, den Abstand t' durch den Index 4. zu ersetzen, um
die vorgeschlagenen Formeln für so viel Werte von t' zu berechnen, wie erwünscht
ist.
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Bei einer großen Reihe von Anwendungen ist die Kurve C2, welche g
(t) darstellt, eine sehr regelmäßige, z. B. bei der Untersuchung von Heizungen,
von Biegungen von Balken, der Trägheitsmomente usw. In diesen Fällen kann man zur
besseren Führung des Index io auf der Kurve C2, und um den Rechner zu entbehren,
die Kurve C2 materialisieren und den Index io verändern, so daß, dieser die Kurve
selbsttätig durchläuft. Man verkörpert z. B. C2 durch eine biegsame, mit Querbändern
25 versehene Lamelle 24 (Abb. i). Der Index io besteht dann (Abb. 5) aus einem waagerechten
Arm 26, welcher einerseits in seiner Mitte einen senkrechten Drehzapfen 27 trägt,
der sich in einem zylindrischen Lager des Schlittens g dreht, und .anderseits zwei
ebenfalls senkrechte Achsen 28 und 28,1 in gleichem Abstande zu beiden Seiten
des Drehzapfens. Diese Achsen tragen zylindrische Rollen 2g und 2912, deren äußere
Umflächen unter sich in einem Abstande stehen, der gleich der Dicke e der biegsamen
Lamelle 24 ist. Der Arm 26, legt sich über die biegsame Lamelle 24 mit beiderseitig
angeordneten Rollen. Die Projektion der Achse des. Drehzapfens auf den Zeichentisch
fällt in die Mitte der Dicke der Lamelle 24 der Kurve C2. Die Führung auf der- Kurve
C2 ist hierdurch gesichert.
Um zu verhindern, daß der Schlitten
9 auf der Gleitschiene 8 sich eckt, kann man den Schlitten in Richtung der Gleitschiene
verlängern und ihm in seiner Mitte Führung geben.
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In diesem Falle wird das Lager für den Drehzapfen 27 des Index ungefähr
an der geometrischen Mitte in der Ebene des Schlittens angebracht, d. h. in der
Achse der Gleitschiene. Diese trägt auf ihrer Gesamtlänge einen Schlitz, um den
Arm und seine Rollen durchgehen zu lassen, und der Gesamtapparat steht einige Millimeter
über dem Zeichentisch, um Raum für die biegsame Führungslamelle zu schaffen. Bei
einer Ausführungsform dieser letzten Einrichtung wird auf dem gesamten Rechteck,
auf das die Kurve C2 aufgetragen wird, der Zeichentisch um einige Millimeter vertieft,
um ein Lager 3o für die biegsame Lamelle 24 zu bilden (Abb. i bis 3).
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Abb.6 zeigt eine Ausführungsform, bei welcher das Dreieck 5 (Abb.
i) durch eine gestreckte Schiene 5a ersetzt ist zur Führung des Schlittens 9. Die
Schiene 5" trägt einen mit Schlitz oder Gleitführung versehenen Arm i i.
Die Hülse 14 für die Spitze des Planimeters gleitet längs des Armes i i. Sie muß
bei den Verstellungen des Schlittens 9 auf 5a sich auf einer Geraden bewegen, die
einen konstanten Winkel 99 mit dem Schenkel 5(1 bildet. Zu diesem Zwecke
ist an dem die Hülse 14 -tragenden Schlitten ein Metalldraht -unveränderlicher Länge
31 befestigt, der an seinen Enden 32 und 33 festliegt und über Rollen 34 und 35
des Schlittens g und über eine Rolle 36 läuft, welche am Arm i i befestigt ist.
Die Größe der Rollen wird so gewählt, daß der Draht 31 von- 32-34 und von
35-33 parallel zum Arme 5a verläuft und von 36-3q. und 35 parallel zu ii. Durch
passende Wahl des Befestigungspunktes. des Schlittens 14 oder der Länge des Drahtes
31 erhält man einen Neigungswinkel p von 45 °. Die Regelung erfolgt z. B. durch
Verstellung des Befestigungspunktes des Schlittens i i oder durch Verstellung der
Drehachse von zwei der drei Rollen 34, 36 und 35 in Richtung des Drahtes. Auf den
Schienen 511 und ii angebrachte Merkzeichen gestatten das sofortige Einstellen bei
gegebener Lage des Schlittens. Die Regelung für sämtliche anderen Stellungen kann
selbsttätig geschehen. Zur Vervollständigung des Apparats muß ein zum Arm i i senkrechter
Arm für den Index 4 der Kurve Cl benutzt werden. Wie aus Abb. 6 sich ergibt, kann
der Arm 2 unabhängig gemacht werden, wie dies auch an dem in Abb. i dargestellten
Apparat der Fall ist, oder am Arm 5a selbst angebracht sein, wie Abb. 7 zeigt. In
den drei Ausführungsformen, die soeben beschrieben wurden, muß der Apparat durch
einen Zeichenapparat geführt werden: Bei den nachstehenden Ausführungsformen fällt
letzterer weg.
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Entsprechend Abb. 8 wird die Hauptgleitschiene 5a an einem Ende eines
Schlittens 37 befestigt, der in einer schweren, verhältnismäßig seichten Rinne 38
läuft. Der Schlitten 39 des oberen Armes 2 und der Schlitten, der die Hülse 14 trägt,
sind an einem endlosen Draht 31 befestigt, welcher über die Rollen 40, 34 36, 35
und 41 läuft. Die Rollen 4o und 41 sind an der Hauptschiene 511 befestigt.
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Abb.9 zeigt eine Ausführungsform der Einrichtung nach Abb. B. Der
obere Arm 2 und der untere ii tragen Schlitten 39-39a 9-9a an jedem ihrer Enden.
Die Schlitten bewegen sich auf Schienen 5a und 44, die an beiden Enden durch Traversen
45 und 46 verbunden sind. Man kann auch das Plavimeter auf dem das Gerät tragenden
Tisch einrichten..
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Die Abb. io zeigt beispielsweise eine derartige Ausführungsform. Ein
Rolltisch 47 ist mit dem Apparat verbunden und trägt das Planimeter 18. Die
Verwendungsweise ist dieselbe wie bei den vorherigen Ausführungsformen, mit dem
Vorteile jedoch, daß eine größere Genauigkeit erzielt wird. Es werden nur die Verstellungen
des Schlittens 18 in bezug auf das Gerät registriert. Außerdem erfolgt die Führung
des Gesamtapparats von der Mitte statt von einem der Enden aus. Der Gesamtbau ist
besser ausgeglichen.
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Es ist in den voraufgehenden Auseinandersetzungen angegeben worden,
daß die Kurve C2 - der Funktion g (t), wovon aber lediglich der Differentialquotient
g1 in Frage kommt, vollständig in einem Rechteck verläuft, welches durch die Achsen
t1 o1 g gebildet ist. Dies kann gewisse Schwierigkeiten infolge der beschränkten
Abmessung des Apparats veranlassen, weil die Funktion g (t) einen sehr großen Wert
annimmt, während ihr Differentialquotient g1 sehr gering bleibt. Diesem Übelstand
kann leicht abgeholfen werden, indem man die einheitliche Kurve g (t) durch eine
Sägezahnlinie (Abb. i i) ersetzt. Jedesmal, wenn der Punkt der Kurve g (t) die äußerste,
durch die Abmessung des Apparats zulässige Grenze erreicht, verstellt man die Verlängerung°der
Kurve in der Richtung der anderen Grenze um eine Länge, die genau gleich ist der
durch den Apparat für die Änderungen von g (t) zulässigen Weite.
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Die Art der Benutzung des Apparats kann dieselbe bleiben. Man folgt
mit dem Läufer io den verschiedenen Sägezähnen derKurve C2 und- den diese verbindenden
Ordinatenabschnitten. Man kann auf diese Weise die
Rechnungen durch
einfache mechanische Verstellung des Apparats ausführen. - Zu diesem Zwecke wird,
wenn man beispielsweise am Ende des Zahnes 48 beim Hingang angelangt ist, der Läufer
4, der dann bei 49 steht, auf die Achse zurückgestellt und längs der Ordinate
HK bewegt, um ihn auf den Anfangspunkt 5o des folgenden Zahnes zurückzustellen;
alsdann stellt man, der Ordinate folgend, den Läufer 4 und die Kurve Cl ein. Beim
Rückgang geht man einfach von einem Zahn auf den nächsten über unter Folgung der
Ordinate. Das Planimeter zeigt dann unmittelbar die Größe der Fläche A an.
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Man kann dies auch in anderer Weise mechanisch erreichen, z. B. durch
Hochheben der Rolle des Planimeters während gewisser Bewegungen im Augenblicke des
Übertritts von einem Zahn auf den anderen.
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Bei allen genannten Anordnungen kann man den die Hülse 14 tragenden
Schlitten auf den Arm 2 des Läufers 4 der Kurve Cl aufsetzen, wobei der Läufer io
der Kurve C2 feststeht.
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Man kann auch den Apparat in der Weise kombinieren, daß die Bewegung
des Hülsenträgers 14 abwechselnd von der Verstellung der Arme C2 und Cl abhängt;
die Summe beider Ablesungen liefert f f gds. Durch diese Methode vermeidet
man die Notwendigkeit der Berechnung des Integrals f g d s, falls man
- f f g d s durch die oben angeführte Methode ausrechnen will.
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Der Apparat kann auch zur harmonischen Analyse benutzt werden. In
diesem Falle muß die Kurve C2 eine Sinuslinie bilden. Man kann auch, wie oben ausgeführt
wurde, sie durch eine metallische biegsame Lamelle 24 verkörpern. Andererseits kann
man aber den Apparat so einrichten, daß der Läufer io selbsttätig die Sinuslinie
beschreibt. Zu diesem Zwecke befestigt man an dem Apparat ein Zahnrad 50 (Abb. 12),
welches in eine Zahnstange 5 i der Führungsrinne 38 greift. An dem Zahnrad sitzt
ein Arm 52 konstanter Länge, welcher mit dem Schlitten 14 verbunden ist, der auf
dem Arm i i sich verstellt. Bei Verschiebung des Gesamtsystems längs eines Rahmens
beschreibt der Arm 52 eine Sinuslinie.