CN115464639B - 一种具有输入死区约束的平面二连杆机械臂控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种具有输入死区约束的平面二连杆机械臂控制方法，包括以下步骤：S1：建立平面二连杆机械臂的动力学方程；S2：定义误差系统，设计第一虚拟控制律α_i,1；S3：设计相对阈值事件触发机制；S4：设计第二虚拟律α_i,2、自适应律和S5：基于Matlab实验平台，进行仿真实验。本发明提供的技术方案可以实现平面二连杆机械臂的跟踪误差在固定时间内收敛，且收敛时间与系统初始状态无关，并可以通过选择适合的参数使系统快速收敛；同时，在保证精度的前提下，节约系统的通信资源。

Description

一种具有输入死区约束的平面二连杆机械臂控制方法

技术领域

本发明属于平面二连杆控制理论领域，具体涉及一种具有输入死区约束的平面二连杆机械臂控制方法。

背景技术

自1956年机器人产业诞生以来，经过60多年的发展，机器人已经普遍应用于家庭服务、工业制造、海空探测、军事作战等领域。机械臂作为一种模仿人类手臂功能的机器人，由于其灵活性较高能够完成许多复杂的任务而广泛被应用，这也促使了机械臂成为机器人领域的研究热点之一。

现有的平面二连杆控制方法至少存在以下问题：

(1)现有的控制方法多数不能实现系统的有限时间稳定。

(2)输入死区是实际系统的常见约束，现有的控制方法多数未考虑实际应用过程中可能存在的输入死区的影响，所以这些方案在实际应用中可能达不到预期的精度。

(3)现有的技术方案多数未考虑系统的通信资源是有限的，需要占用大量的通信资源来维持系统的稳定。

发明内容

鉴于现有问题，本发明的目的在于提供一种具有输入死区约束的平面二连杆机械臂控制方法，可实现系统的快速有限时间稳定，且收敛时间与系统初始状态无关；考虑到输入死区的问题，设计了相应的补偿机制，可以实现输入死区的自适应补偿，从而提高系统的控制精度；并设计了一种事件触发机制，可以在保证控制精度的前提下，节省系统的通信资源，以解决上述问题。

本发明提供如下的技术方案：

一种具有输入死区约束的平面二连杆机械臂控制方法，包括以下步骤：

S1：建立平面二连杆机械臂的动力学方程；

S2：定义误差系统，设计第一虚拟控制律α_i,1；

S3：设计相对阈值事件触发机制；

S4：设计第二虚拟律α_i,2、自适应律和

S5：基于Matlab实验平台，进行仿真实验；

优选地，步骤S1通过拉格朗日方法对平面二连杆机械臂建立动力学方程：其中，q＝[q₁,q₂]^T是关节角，是角速度，是角加速度，M(q)为惯性矩阵，为离心力和哥氏矢量，G(q)为重力矢量，D(u)＝[D₁(u₁),D₂(u₂)]^T为输入死区，u＝[u₁,u₂]^T是输入转矩；其中，

m_i和l_i(i＝1,2)分别代表连杆质量和连杆长度，g为重力加速度；c_i和s_i(i＝1,2)分别代表cos(q_i)和sin(q_i)，c₁₂代表cos(q₁+q₂)。

优选地，步骤S1对动力学方程进行坐标变换得到：

其中，x_i,1＝q_i，则输入死区的数学表达式为：

D_i(u_i)＝h_iu_i+g_i

其中，h_i,1＞0是负半轴中直线的未知斜率，h_i,2＞0是正半轴中直线的未知斜率，g_i,1＜0和g_i,2＞0是未知转折点，u_i是输入转矩，D_i(u_i)为输入死区的模型输出。

优选地，步骤S2中的误差系统用以下公式表示：

其中，e_i,1是跟踪误差，e_i,2是虚拟误差，x_i,d是系统的期望输出，α_i,1是虚拟控制律，i＝1,2；则第一虚拟控制律α_i,1为：

其中，a_i,1和b_i,1为正设计参数，

优选地，步骤S3通过以下公式计算事件触发控制信号ω_i(t)：

其中，控制律u_i通过以下公式计算：

其中，δ_i＞0、0＜ρ_i＜1、o_i＞0、R为实数，inf{·}为下确界，k为整数，t_i,k为第k个触发时刻，t_i,k+1为第k+1个触发时刻，m(t)为测量误差，且m_i(t)＝ω_i(t)-u_i(t)；其中，中间控制率通过以下公式计算：

Q_i＝[α_i,2,1]^T

其中， 和分别为和的估计值，α_i,2为第二虚拟控制律。

优选地，步骤S4中的第二控制率α_i,2通过以下公式计算：

自适应率和通过以下公式计算：

其中，a_i,2、b_i,2、λ_i、ν_i、η_i、κ_i和ζ_i为正设计参数，Φ_i(X_i)＝[Φ_i,1(X_i),Φ_i,2(X_i),...Φ_i,n(X_i)]^T是神经网络基函数向量，Φ_i,j(X_i)是基函数，j＝1,2,...,n，n是神经元的个数；

优选地，步骤S5在基于Matlab实验平台的仿真实验中，选取机械臂参数：m₁＝4kg，m₂＝2kg，l₁＝l₂＝0.5m；系统的初始状态为状态1：x₁₁(0)＝0.2，x₁₂(0)＝0，x₂₁(0)＝0.2，x₂₂(0)＝0；控制器参数为：a₁₁＝b₁₁＝9，a₁₂＝b₁₂＝10，a₂₁＝b₂₁＝6，a₂₂＝b₂₂＝10，κ₁＝κ₂＝0.5，μ₁＝μ₂＝1，λ₁＝λ₂＝ν₁＝ν₂＝1，ρ₁＝ρ₂＝0.1，o₁＝o₂＝0.1，η₁＝η₂＝ζ₁＝ζ₂＝0.1；

采样周期为0.01s；神经网络高斯函数选取为：其中，j＝1,2,...,16，由高斯函数的中心C_j组成的矩阵C＝[C₁,C₂,...,C₁₆]如下：

本发明的有益技术效果在于：

1.本发明提供的具有输入死区约束的平面二连杆机械臂控制方法，可实现具有输入死区约束的平面二连杆机械臂的跟踪误差在固定时间内收敛，且收敛时间与系统初始状态无关，并可以通过选择适合的参数使系统快速收敛；

2.本发明提供了输入死区的补偿机制，可以具有输入死区约束的平面二连杆机械臂在输入死区的影响下，仍然具有比较高的控制精度；

3.本发明提供了一种相对阈值事件触发机制，可以在保证控制精度的前提下，节约具有输入死区约束的平面二连杆机械臂的通信资源。

附图说明

图1是本发明提供的具有输入死区约束的平面二连杆机械臂控制方法的流程示意图；

图2是本发明提供的一优选实施例中平面二连杆机械臂的结构示意图；

图3是本发明提供的一优选实施例中平面二连杆第一关节的输出曲线图像；

图4是本发明提供的一优选实施例中平面二连杆第二关节的输出曲线图像；

图5是本发明提供的一优选实施例中平面二连杆第一关节的误差曲线图像；

图6是本发明提供的一优选实施例中平面二连杆第二关节的误差曲线图像；

图7是本发明提供的一优选实施例中平面二连杆第一关节的控制信号图像；

图8是本发明提供的一优选实施例中平面二连杆第二关节的控制信号图像；

图9是本发明提供的一优选实施例中平面二连杆第一关节的事件时间间隔；

图10是本发明提供的一优选实施例中平面二连杆第二关节的事件时间间隔。

具体实施方式

下面对本发明的实施例作详细说明，下述的实施例在以本发明技术方案为前提下进行实施，给出了详细的实施方式和具体的操作过程，但本发明的保护范围不限于下述的实施例。基于本申请中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本申请保护的范围。

在本文中提及“实施例”意味着，结合实施例描述的特定特征、结构或特性可以包含在本申请的至少一个实施例中。在说明书中的各个位置出现该短语并不一定均是指相同的实施例，也不是与其它实施例互斥的独立的或备选的实施例。本领域技术人员显式地和隐式地理解的是，在不冲突的情况下，本文所描述的实施例可以与其它实施例相结合。

实施例

参见图1、2，本实施例提供的具有输入死区约束的平面二连杆机械臂控制方法，其包括以下步骤：

S1：建立平面二连杆机械臂的动力学方程；

S2：定义误差系统，设计第一虚拟控制律α_i,1；

S3：设计相对阈值事件触发机制；

S4：设计第二虚拟律α_i,2、自适应律和

S5：基于Matlab实验平台，进行仿真实验。

具体的，步骤S1通过拉格朗日方法对平面二连杆机械臂建立动力学方程：其中，q＝[q₁,q₂]^T是关节角，是角速度，是角加速度，M(q)为惯性矩阵，为离心力和哥氏矢量，G(q)为重力矢量，D(u)＝[D₁(u₁),D₂(u₂)]^T为输入死区，u＝[u₁,u₂]^T是输入转矩；其中，

m_i和l_i(i＝1,2)分别代表连杆质量和连杆长度，g为重力加速度；c_i和s_i(i＝1,2)分别代表cos(q_i)和sin(q_i)，c₁₂代表cos(q₁+q₂)。

步骤S1对动力学方程进行坐标变换得到：

其中，x_i,1＝q_i，则输入死区的数学表达式为：

D_i(u_i)＝h_iu_i+g_i

其中，h_i,1＞0是负半轴中直线的未知斜率，h_i,2＞0是正半轴中直线的未知斜率，g_i,1＜0和g_i,2＞0是未知转折点，u_i是输入转矩，D_i(u_i)为输入死区的模型输出。

步骤S2中的误差系统用以下公式表示：

其中，e_i,1是跟踪误差，e_i,2是虚拟误差，x_i,d是系统的期望输出，α_i,1是虚拟控制律，i＝1,2；则第一虚拟控制律α_i,1为：

其中，a_i,1和b_i,1为正设计参数，

步骤S3通过以下公式计算事件触发控制信号ω_i(t)：

其中，控制律u_i通过以下公式计算：

其中，δ_i＞0、0＜ρ_i＜1、o_i＞0、R为实数，inf{·}为下确界，k为整数，t_i,k为第k个触发时刻，t_i,k+1为第k+1个触发时刻，m(t)为测量误差，且m_i(t)＝ω_i(t)-u_i(t)；其中，中间控制率通过以下公式计算：

Q_i＝[α_i,2,1]^T

其中， 和分别为和的估计值，α_i,2为第二虚拟控制律。

步骤S4中的第二控制率α_i,2通过以下公式计算：

自适应率和通过以下公式计算：

其中，a_i,2、b_i,2、λ_i、ν_i、η_i、κ_i和ζ_i为正设计参数，Φ_i(X_i)＝[Φ_i,1(X_i),Φ_i,2(X_i),...Φ_i,n(X_i)]^T是神经网络基函数向量，Φ_i,j(X_i)是基函数，j＝1,2,...,n，n是神经元的个数；

步骤S5在基于Matlab实验平台的仿真实验中，选取机械臂参数：m₁＝4kg，m₂＝2kg，l₁＝l₂＝0.5m；系统的初始状态为状态1：x₁₁(0)＝0.2，x₁₂(0)＝0，x₂₁(0)＝0.2，x₂₂(0)＝0；控制器参数为：a₁₁＝b₁₁＝9，a₁₂＝b₁₂＝10，a₂₁＝b₂₁＝6，a₂₂＝b₂₂＝10，κ₁＝κ₂＝0.5，μ₁＝μ₂＝1，λ₁＝λ₂＝ν₁＝ν₂＝1，ρ₁＝ρ₂＝0.1，o₁＝o₂＝0.1，η₁＝η₂＝ζ₁＝ζ₂＝0.1；

采样周期为0.01s；神经网络高斯函数选取为：其中，j＝1,2,…,16，由高斯函数的中心C_j组成的矩阵C＝[C₁,C₂,...,C₁₆]如下：

仿真结果如图3-图10所示，显然，所有信号都有界。从图3和图4中可以看出，即使系统受到输入死区的影响，仍具有良好的跟踪精度。图5和图6表达了不同系统初始状态下的跟踪误差，其中，状态2：x₁₁(0)＝0.1，x₁₂(0)＝0，x₂₁(0)＝0.1，x₂₂(0)＝0；状态3：x₁₁(0)＝0.05，x₁₂(0)＝0，x₂₁(0)＝0.05，x₂₂(0)＝0；从图可以看出，在不同的初始系统状态下，系统的收敛速度很快。系统的控制输入信号如图7和图8所示。图9和图10描述了触发事件之间的时间间隔，最短时间间隔为0.01s，最长间隔为046s。因此，节省了大量的通信资源，且不存在Zeno现象。

本发明实施例提供的上述技术方案，可以实现平面二连杆机械臂的跟踪误差在固定时间内收敛，且收敛时间与系统初始状态无关，并可以通过选择适合的参数使系统快速收敛；同时，在保证精度的前提下，节约系统的通信资源。

以上详细描述了本发明的较佳具体实施例。应当理解，本领域的普通技术无需创造性劳动就可以根据本发明的构思做出诸多修改和变化。因此，凡本技术领域中技术人员依本发明的构思在现有技术的基础上通过逻辑分析、推理或者有限的试验可以得到的技术方案，皆应在由权利要求书所确定的保护范围内。

Claims (2)

1.一种具有输入死区约束的平面二连杆机械臂控制方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1：建立平面二连杆机械臂的动力学方程；

S2：定义误差系统，设计第一虚拟控制律α_i,1；

S3：设计相对阈值事件触发机制；

S4：设计第二虚拟律α_i,2、自适应律和

S5：基于Matlab实验平台，进行仿真实验；

所述步骤S1通过拉格朗日方法对平面二连杆机械臂建立动力学方程：其中，q＝[q₁,q₂]^T是关节角，是角速度，是角加速度，M(q)为惯性矩阵，为离心力和哥氏矢量，G(q)为重力矢量，D(u)＝[D₁(u₁),D₂(u₂)]^T为输入死区，u＝[u₁,u₂]^T是输入转矩；其中，

m_i和l_i(i＝1,2)分别代表连杆质量和连杆长度g为重力加速度；c_i和s_i(i＝1,2)分别代表cos(q_i)和sin(q_i)，c₁₂代表cos(q₁+q₂)；

所述步骤S1对所述动力学方程进行坐标变换得到：

其中，x_i,1＝q_i，i＝1,2；则输入死区的数学表达式为：

D_i(u_i)＝h_iu_i+g_i

其中，h_i,1＞0是负半轴中直线的未知斜率，h_i,2＞0是正半轴中直线的未知斜率，g_i,1＜0和g_i,2＞0是未知转折点，u_i是输入转矩，D_i(u_i)为输入死区的模型输出；

所述步骤S2中的误差系统用以下公式表示：

其中，e_i,1是跟踪误差，e_i,2是虚拟误差，x_i,d是系统的期望输出，α_i，1是虚拟控制律，i＝1,2；则第一虚拟控制律α_i，1为：

其中，α_i，1和b_i,1为正设计参数，

所述步骤S3通过以下公式计算事件触发控制信号ω_i(t)：

其中，控制律u_i通过以下公式计算：其中，δ_i＞0、0＜ρ_i＜1、o_i＞0、R为实数，inf{·}为下确界，k为整数，t_i,k为第k个触发时刻，t_i,k+1为第k+1个触发时刻，m(t)为测量误差，且m_i(t)＝ω_i(t)-u_i(t)；其中，中间控制率通过以下公式计算：

Q_i＝[α_i,2,1]^T

其中，和分别为和的估计值，α_i,2为第二虚拟控制律；

所述步骤S4中的第二控制率α_i，2通过以下公式计算：

自适应率和通过以下公式计算：

其中，a_i,2、b_i,2、λ_i、ν_i、η_i、κ_i和ζ_i为正设计参数，Φ_i(X_i)＝[Φ_i,1(X_i),Φ_i,2(X_i),…Φ_i,n(X_i)]^T是神经网络基函数向量，Φ_i,j(X_i)是基函数，j＝1,2,…,n，n是神经元的个数； i＝1,2。

2.根据权利要求1所述的一种具有输入死区约束的平面二连杆机械臂控制方法，其特征在于，所述步骤S5在基于Matlab实验平台的仿真实验中，选取机械臂参数：m₁＝4kg，m₂＝2kg，l₁＝l₂＝0.5m；系统的初始状态为状态1：x₁₁(0)＝0.2，x₁₂(0)＝0，x₂₁(0)＝0.2，x₂₂(0)＝0；控制器参数为：a₁₁＝b₁₁＝9，a₁₂＝b₁₂＝10，a₂₁＝b₂₁＝6，a₂₂＝b₂₂＝10，κ₁＝κ₂＝0.5，μ₁＝μ₂＝1，λ₁＝λ₂＝ν₁＝ν₂＝1，ρ₁＝ρ₂＝0.1，o₁＝o₂＝0.1，η₁＝η₂＝ζ₁＝ζ₂＝0.1；

采样周期为0.01s；神经网络高斯函数选取为：其中，j＝1,2,...,16，由高斯函数的中心C_j组成的矩阵C＝[C₁,C₂,...,C₁₆]如下：