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CN115062500A - 分布式随机激励下结构振动响应分析方法 - Google Patents

分布式随机激励下结构振动响应分析方法 Download PDF

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CN115062500A
CN115062500A CN202210404217.3A CN202210404217A CN115062500A CN 115062500 A CN115062500 A CN 115062500A CN 202210404217 A CN202210404217 A CN 202210404217A CN 115062500 A CN115062500 A CN 115062500A
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CN
China
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response
excitation
matrix
finite element
frequency response
Prior art date
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CN202210404217.3A
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English (en)
Inventor
陈义春
何欢
钱瑜婷
何鹏远
王震宇
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Nanjing University of Aeronautics and Astronautics
Original Assignee
Nanjing University of Aeronautics and Astronautics
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Publication date
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    • G—PHYSICS
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Abstract

本发明公开了分布随机压力激励下结构振动响应分析方法，涉及的是随机振动领域，具体包括以下操作步骤：一、建立工程结构的动力学有限元离散模型；二、对结构进行模态分析；三、考虑并确定响应点的数量和位置；四、对分布式随机激励进行离散求解，在有限元模型上转化为多点随机激励；五、求解各个集中激励处的功率谱密度；六、将激励点和响应点位置互换，利用有限元软件对响应点位置进行激励，求解各个响应点的传递函数矩阵；七、结合谐响应分析结果和激励功率谱密度求解响应点的响应。本发明利用频响函数的互易性，将激励点和响应点的位置进行互换，在保持计算精度的同时减少了计算量，而且能够更加真实的反映实际激励情况。

Description

分布式随机激励下结构振动响应分析方法
技术领域
本发明属于多点随机分析的领域，是将分布式随机激励转换为多点随机激励，然后求解结构在这种随机激励下的响应，具体是一种分布随机压力激励下结构振动响应分析方法。
背景技术
随机振动是统计意义下描述的振动，在任何给定的时刻，其振动的幅值都不是确切可知的；但是其振动幅值的统计特性(如平均值、标准偏差以及超出某一个特定值的概率)是确切可知的，这种统计特性通常以功率谱密度(PSD)的形式来描述。结构的响应特性一般用功率谱密度和均方根来描述，计算结构响应的方法有经典的完全二次型(CQC)法，对CQC法进行变换后的均方和开根(SRSS)法以及虚拟激励法(PEM)。
对于航天器和高耸建筑物受到的风压波动、由于火箭与喷气发动机噪音引起的噪声激励以及飞行器再入大气层过程中受到的脉动压力等分布压力随机激励，传统的计算方法一般不考虑功率谱密度在空间上的变换，且遇到必须功率谱密度在空间上发生变化的情况，一般都是利用划分计算区域的手段来计算结构的响应。
现有计算方法存在的问题主要出现在以下两个方面：一、算法本身的局限性，CQC法是计算结构响应的精确方法，完全考虑各个振型之间的耦合关系，虽然在结果上是精确可靠的，但是对于大型结构而言，由于模型的自由度过多，造成了非常庞大的计算量，并没有很好的工程应用性。SRSS法忽略了模态的交叉项，但是这种简化仅对于参与计算的振型比较稀疏且各阶阻尼比都比较小的均质材料结构才适用，然而在实际的工程中，大部分三维结构，各阶频率和振型都是比较密集，所以这种计算方法局限性也非常大。虚拟激励法是对激励功率谱密度进行矩阵分解得到多个虚拟简谐激励，然后通过虚拟激励下的响应计算响应功率谱，这种方法的问题出现在以下几个方面，1：当矩阵非正定时候，此时对矩阵的分解就比较困难，2：当激励功率谱矩阵比较大时候，此时分解后的虚拟简谐激励也比较多，对于复杂结构和频率点数目较大时候，计算量也很大，3：矩阵分解后的简谐激励在实际施加中也比较困难。二、对于分布式随机激励的转换存在问题，可以知道在实际工程中，分布压力随机激励肯定不会是均布的，换而言之，不同位置的功率谱密度也是不一样的。工程中采用划分载荷区域的方法来提高计算精度，划分的区域越细，则载荷施加越合理，但是不管如何细分，载荷工况还是和实际的结果有一定的区别，而且划分的区域过细的话，就会带来计算量过大的问题，这是变为一个计算精度和计算量两难的问题。
发明内容
本发明的目的是提供一种分布式随机振动分析方法，解决了现有计算方法计算精度低，计算量大的问题。
本发明是这样实现的：
一种分布式随机激励下结构振动响应分析方法，其特征在于，所述的方法步骤如下：
步骤一、建立工程结构的动力学有限元离散模型；
步骤二、对结构进行模态分析，即利用有限元软件对离散后的有限元模型在边界条件做模态分析，求解其固有振型，并考虑步骤三中的响应点位置；
步骤三、确定响应点的数量和位置；
步骤四、对分布式随机激励进行离散求解，在有限元模型上转化为多点随机激励；
步骤五、求解各个集中激励处的功率谱密度，即转化后的激励功率谱密度矩阵；
步骤六、将激励点和响应点位置互换，利用有限元软件对响应点位置进行激励，求解各个响应点的频响函数矩阵；
步骤七、结合谐响应分析结果和激励功率谱密度求解响应点的响应。
进一步，所述的步骤一中将工程结构离散为有限元模型，对于离散后的n个自由度的有限元模型振动方程可以表示为：
Figure BDA0003601159240000021
其中M为n×n维质量矩阵；C为n×n维正交阻尼矩阵；K为n×n维刚度矩阵；
Figure BDA0003601159240000022
u分别为n阶加速度、速度、位移列向量；Q为定位矩阵；f等效节点载荷向量
进一步，对(1)中的动力学方程进行模态变换，即：
u＝Φq (2)
其中Φ为关于质量归一化后的固有振型矩阵，
Figure BDA0003601159240000031
根据固有振型关于质量矩阵、正交阻尼矩阵和刚度矩阵的加权正交性，可以将动力学方程解耦为n个互相独立的方程，每个方程在形式上都和单自由度系统完全一样，其中第r个元素的方程为：
Figure BDA0003601159240000032
求得对应于第r阶振型的频率响应函数为：
Figure BDA0003601159240000033
求得系统经过模态变换后的频率响应函数矩阵为：
Figure BDA0003601159240000034
结构的频响函数矩阵可以表示为：
Figure BDA0003601159240000035
进一步，所述的步骤四中的等效节点载荷向量f可以通过对分布式压力进行数值积分得到，转换公式如下：
Figure BDA0003601159240000036
Figure BDA0003601159240000037
为单元面载荷的该单元的等效节点载荷；Se为单元的积分面积；N为单元形函数矩；T为面载荷向量；
将每个单元的等效节点载荷进行叠加就构成了整体的等效节点载荷向量，即4中f，表达式为：
Figure BDA0003601159240000038
将分布载荷转化为集中载荷；
假设分布随机激励与空间位置无关，求解步骤五中各点的功率谱密度为：
Figure BDA0003601159240000039
其中，Sf(xp,yp,ω),Sf(xq,yq,ω)分别为p和q处的自功率谱密度；
将空间位置用节点编号表示，可以求得转换后m个节点载荷的功率谱密度矩阵：
Figure BDA0003601159240000041
由此得到转换后的节点载荷和对应的功率谱密度矩阵，对角元素为激励的自功率谱，非对角元素为激励之间的互谱；
利用商业有限元软件求得的频响函数矩阵如下：
Figure BDA0003601159240000042
其中
Figure BDA0003601159240000043
根据响应功率谱密度的计算公式计算响应点的功率谱密度，计算公式如下
Figure BDA0003601159240000044
对于r个响应自由度而言，式(12)可以转化为
Figure BDA0003601159240000045
其响应求解所需的广义频响函数矩阵Hr(ω)如下
Figure BDA0003601159240000046
得到公式(13)中的频响函数矩阵需要在有限元软件中对m个随机激励分别做频响分析。
进一步，所述的步骤六利用线性结构频响函数的互易性，即
Hij(ω)＝Hji(ω)
可以将公式(13)中的广义频响函数矩阵转化为：
Figure BDA0003601159240000047
即
Figure BDA0003601159240000051
经过这样变换后，将原本的m次频响分析变为r次频响分析，减少频响分析的次数，即减少了计算量还能得到所需的广义频响函数矩阵。
进一步，所述的步骤七中求解方法为：
将式(8)拓展为m×m维载荷变化系数矩阵，即载荷变换矩阵L为
Figure BDA0003601159240000052
此时求解确定响应自由度响应结果的公式为：
Figure BDA0003601159240000053
本发明通过建立合适的工程有限元离散模型，将分布式随机激励转换为多点随机激励。经过模态分析确定响应点的位置和编号。在已知响应点位置的前提上，对响应点进行单位简谐激励。利用有限元软件的频响分析得到响应点的全部传递函数。提取出计算所得的传递函数，根据上述计算的节点载荷大小进行比例变换，得到转换为节点载荷下该点的谐响应结果。提取出数据处理后的谐响应结果，对响应点进行简谐激励的谐响应结果和各单点随机激励下的谐响应结果是完全等价的，但是计算量会大大减小。按照响应功率谱密度的求解公式对谐响应结果和激励的功率谱密度进行处理，就可以得到响应点的功率谱密度。
本发明与现有技术的有益效果在于：
对于分布式随机激励的随机振动响应分析，以往的计算方法必然是在计算精度和计算效率中做出了取舍，总是有一定的缺陷，本发明首先确定了响应点的位置，避免了大量无关的计算，再根据分布式随机激励和集中激励的转换关系，将分布式随机激励转换为集中激励，相比较于划分计算区域计算，这种转换计算的方法精度更高，能够更加真实的反映实际激励情况，最后利用频响函数的互易性，将激励点和响应点的位置进行互换，再一次减少了计算量，总而言之，本发明在保持高精度计算结果的同时，减少了计算量，提高了计算效率。
附图说明
图1为一块简支板的模态分析第一阶振型云图；
图2为确定的简支板的响应点位置；
图3是利用本发明中的方法将分布式随机激励转换为多点随机激励后各节点的载荷比例系数；
图4是根据本发明计算出的响应点功率谱密度曲线和均方根。
具体实施方式
为使本发明的目的、技术方案及效果更加清楚，明确，以下列举实例对本发明进一步详细说明。应当指出此处所描述的具体实施仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。
本发明公开了一种分布式随机激励下结构振动响应分析方法，所述的方法步骤如下：
步骤一、建立工程结构的动力学有限元离散模型；
步骤二、对简支板进行模态分析，如图1所示；
步骤三、考虑并确定响应点的数量和位置，确定模态位移最大的点为响应点，如图2所示，；
步骤四、对分布式随机激励进行离散求解，在有限元模型上转化为多点随机激励，确定各节点载荷的大小，如图3所示；
步骤五、求解各个集中激励处的功率谱密度，即转化后的激励功率谱密度矩阵；
步骤六、将激励点和响应点位置互换，利用有限元软件对响应点位置进行激励，求解各个响应点的频响函数矩阵；
步骤七、结合谐响应分析结果和激励功率谱密度求解响应点的响应，如图4所示。
具体过程为：步骤一中将工程结构离散为有限元模型，对于离散后的n个自由度的有限元模型振动方程可以表示为：
Figure BDA0003601159240000061
其中M为n×n维质量矩阵；C为n×n维正交阻尼矩阵；K为n×n维刚度矩阵；
Figure BDA0003601159240000062
u分别为n阶加速度、速度、位移列向量；Q为定位矩阵；f等效节点载荷向量；
步骤二利用有限元软件对离散后的有限元模型在边界条件做模态分析，求解其固有振型，并确定步骤三中的响应点位置。
对(1)中的动力学方程进行模态变换，即u＝Φq (2)
其中Φ为关于质量归一化后的固有振型矩阵，
Figure BDA0003601159240000071
根据固有振型关于质量矩阵、正交阻尼矩阵和刚度矩阵的加权正交性，可以将动力学方程解耦为n个互相独立的方程，每个方程在形式上都和单自由度系统完全一样，其中第r个元素的方程为：
Figure BDA0003601159240000072
求得对应于第r阶振型的频率响应函数为：
Figure BDA0003601159240000073
求得系统经过模态变换后的频率响应函数矩阵为：
Figure BDA0003601159240000074
结构的频响函数矩阵可以表示为：
Figure BDA0003601159240000075
步骤四中的等效节点载荷向量f可以通过对分布式压力进行数值积分得到，转换公式如下：
Figure BDA0003601159240000076
Figure BDA0003601159240000077
为单元面载荷的该单元的等效节点载荷；Se为单元的积分面积；N为单元形函数矩；T为面载荷向量；
将每个单元的等效节点载荷进行叠加就构成了整体的等效节点载荷向量，即4中f，表达式为：
Figure BDA0003601159240000078
通过上述步骤，将分布载荷转化为集中载荷，
一般情况下，我们假设分布随机激励与空间位置无关，求解步骤五中各点的功率谱密度为：
Figure BDA0003601159240000079
其中，Sf(xp,yp,ω),Sf(xq,yq,ω)分别为p和q处的自功率谱密度；
将空间位置用节点编号表示，可以求得转换后m个节点载荷的功率谱密度矩阵：
Figure BDA0003601159240000081
由此得到转换后的节点载荷和对应的功率谱密度矩阵，对角元素为激励的自功率谱，非对角元素为激励之间的互谱；
利用商业有限元软件求得的广义频响函数矩阵如下
Figure BDA0003601159240000082
其中
Figure BDA0003601159240000083
根据响应功率谱密度的计算公式计算响应点的功率谱密度，计算公式如下
Figure BDA0003601159240000084
对于r个响应自由度而言，式(12)可以转化为
Figure BDA0003601159240000085
其响应求解所需的广义频响函数矩阵Hr(ω)如下
Figure BDA0003601159240000086
得到公式(13)中的广义频响函数矩阵需要在有限元分析中对m个随机激励分别做频响分析，计算量比较大。
步骤六利用线性结构频响函数的互易性，即
Hij(ω)＝Hji(ω)
可以将公式(13)中的广义频响函数矩阵转化为：
Figure BDA0003601159240000091
即
Figure BDA0003601159240000092
经过这样变换后，可以将原本的m次频响分析变为r次频响分析，减少了频响分析的次数，但是依旧可以得到响应点结果分析所需的广义频响函数矩阵，带来的好处就是大大减少了计算量。
步骤七中计算最后结果的方法为：
将式(8)拓展为m×m维载荷变化系数矩阵，即载荷变换矩阵L为
Figure BDA0003601159240000093
此时求解确定响应自由度响应结果的公式为
Figure BDA0003601159240000094
根据式(16)求得响应点的功率谱密度，如图4所示。
以上所述仅是本发明的优选实施方式，应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以做出若干改进，这些改进也应视为本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种分布式随机激励下结构振动响应分析方法，其特征在于，所述的方法步骤如下：
步骤一、建立工程结构的动力学有限元离散模型；
步骤二、对结构进行模态分析，即利用有限元软件对离散后的有限元模型在边界条件下做模态分析，求解其固有振型，并考虑步骤三中的响应点位置；
步骤三、确定响应点的数量和位置；
步骤四、对分布式随机激励进行离散求解，在有限元模型上转化为多点随机激励；
步骤五、求解各个集中激励处的功率谱密度，即转化后的激励功率谱密度矩阵；
步骤六、将激励点和响应点位置互换，利用有限元软件对响应点位置进行激励，求解各个响应点的广义频响函数矩阵；
步骤七、结合谐响应分析结果和激励功率谱密度求解响应点的响应。
2.根据权利要求1所述的一种分布随机压力激励下结构振动响应分析方法，其特征在于，所述的步骤一中将工程结构离散为有限元模型，对于离散后的n个自由度的有限元模型振动方程可以表示为：
Figure FDA0003601159230000011
其中M为n×n维质量矩阵；C为n×n维正交阻尼矩阵；K为n×n维刚度矩阵；
Figure FDA0003601159230000012
u分别为n阶加速度、速度、位移列向量；Q为定位矩阵；f等效节点载荷向量。
3.根据权利要求2所述的一种分布随机压力激励下结构振动响应分析方法，其特征在于，对(1)中的动力学方程进行模态变换，即：
u＝Φq (2)
其中Φ为关于质量归一化后的固有振型矩阵，
Figure FDA0003601159230000013
根据固有振型关于质量矩阵、正交阻尼矩阵和刚度矩阵的加权正交性，可以将动力学方程解耦为n个互相独立的方程，每个方程在形式上都和单自由度系统完全一样，其中第r个元素的方程为：
Figure FDA0003601159230000014
求得对应于第r阶振型的频率响应函数为：
Figure FDA0003601159230000021
其中ζr和ωr为系统的第r阶固有振型的阻尼比和自振圆频率。
求得系统经过模态变换后的频率响应函数矩阵为：
Figure FDA0003601159230000022
结构的频响函数矩阵可以表示为：
Figure FDA0003601159230000023
4.根据权利要求3所述的一种分布随机压力激励下结构振动响应分析方法，其特征在于，所述的步骤四中的等效节点载荷向量f可以通过对分布式压力进行数值积分得到，转换公式如下：
Figure FDA0003601159230000024
Figure FDA0003601159230000025
为单元面载荷的该单元的等效节点载荷；Se为单元的积分面积；N为单元形函数矩；T为面载荷向量；
将每个单元的等效节点载荷进行叠加就构成了整体的等效节点载荷向量，即4中f，表达式为：
Figure FDA0003601159230000026
将分布压力转化为集中载荷；
假设分布随机激励与空间位置无关，求解步骤五中各点的功率谱密度为：
Figure FDA0003601159230000027
其中，Sf(xp,yp,ω),Sf(xq,yq,ω)分别为p和q处的自功率谱密度；
将空间位置用节点编号表示，可以求得转换后m个节点载荷的功率谱密度矩阵：
Figure FDA0003601159230000028
由此得到转换后的节点载荷和对应的功率谱密度矩阵，对角元素为激励的自功率谱，非对角元素为激励之间的互谱；
利用商业有限元软件求得的广义频响函数矩阵如下：
Figure FDA0003601159230000031
其中
Figure FDA0003601159230000032
根据响应功率谱密度的计算公式计算响应点的功率谱密度，计算公式如下
Figure FDA0003601159230000033
对于r个响应自由度而言，式(12)可以转化为
Figure FDA0003601159230000034
其响应求解所需的广义频响函数矩阵Hr(ω)如下
Figure FDA0003601159230000035
得到公式(13)中的广义频响函数矩阵需要在有限元中对m个随机激励分别做频响分析。
5.根据权利要求4所述的一种分布随机压力激励下结构振动响应分析方法，其特征在于，所述的步骤六利用线性结构频响函数的互易性，即
Hij(ω)＝Hji (ω)
可以将公式(13)中的频响函数矩阵转化为：
Figure FDA0003601159230000036
即
Figure FDA0003601159230000037
经过这样变换后，将原本的m次频响分析变为r次频响分析，减少频响分析的次数，即减少了计算量的同时还能得到所需的频响函数矩阵。
6.根据权利要求5所述的一种分布随机压力激励下结构振动响应分析方法，其特征在于，所述的步骤七中求解方法为：
将式(8)拓展为m×m维载荷变化系数矩阵，即载荷变换矩阵L为
Figure FDA0003601159230000041
此时求解确定响应自由度响应结果的公式为：
Figure FDA0003601159230000042
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