CN113534091B - 一种高分辨雷达发/收联合设计的优化问题解算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种高分辨雷达发/收联合设计的优化问题解算方法，属于信号处理领域。首先将雷达建模为通信系统，对目标构建关于发射权值s(t)和滤波器w(t)间的约束优化问题并等价转化为半定规划问题然后引入辅助函数将半定规划问题拆分为两个子问题，采用序贯迭代方法交替解算两个子问题，输出使得达到最大的与最后判断与的秩是否均为1，若是，则发射权值和滤波器的最优解和分别取和的第一主成分；若否，则引入秩一分解定理，对和进行秩一分解，得到发射权值和滤波器的最优解。本发明可应用于非凸型多元分式优化问题的解算过程中，且整体上具有多项式时间复杂度。

Description

一种高分辨雷达发/收联合设计的优化问题解算方法

技术领域

本发明属于信号处理领域，涉及一种高分辨雷达发/收联合设计的优化问题解算方法。

背景技术

高分辨雷达通过脉冲压缩技术实现了探测距离和脉冲宽度之间的解耦。随着该项技术的日益成熟，许多体积微小或空间相邻的目标逐渐变得可辨别，雷达系统可以从接收信号中获取更多有关目标的细节信息，从而使得高精度目标检测、分类、追踪和识别等成为了可能。由香农信息论可知，目标感知精度或雷达应用效果取决于系统获取的信息量。因此，提升高分辨雷达的信息获取能力有着十分重要的意义。

雷达的信息获取能力由发射波形与滤波器的性能决定。蝙蝠、海豚等带有雷达的生物能够调整自身发出的波形和对接收信号的处理方式来感知各类复杂的环境，以规避危险、捕捉猎物、制定路线等。发射波形和接收滤波器的优化设计历来都是雷达研究中的主旋律之一。由于高分辨雷达存在着特殊性，提升信息获取能力的同时还需兼顾其本身的高分辨特性。可对现有高分辨波形进行加权，如线性调频信号、频率步进信号以及相位编码信号，在保留其分辨率的同时提升信息获取能力。为此，这一问题就转化为了在互信息量准则下开展发射权值和与之“匹配”的滤波器的联合设计，进而又可被建模为一个约束优化问题。

如何解算既得的约束优化问题是整个设计过程中最为关键的一步。互信息量的定义式中包含了二重积分，待优化变量耦合在概率密度函数的表达式中，形式极为复杂，将其作为目标函数会使得优化问题难以解算。此外，将权值和滤波器作为优化变量，为了保证设计结果的工程可实现和高分辨特性，优化问题中需引入多项约束条件，甚至有些约束是非凸的，这又会进一步增加解算难度。

采用现有的最优化算法难以解算，需要提出针对此类优化问题的解算方法。

发明内容

本发明主要是针对互信息量准则下高分辨雷达发射权值和接收滤波器联合设计的优化问题难以被解算，提出相应的一种高分辨雷达发/收联合设计的优化问题解算方法，该方法将原始形式复杂的目标函数进行转化，通过松弛约束条件、问题拆分以及交替迭代，最终得到目标函数的全局最优解。

所述的高分辨雷达发/收联合设计的优化问题解算方法，包括以下步骤：

步骤一：将雷达建模为通信系统，对目标构建关于发射权值s(t)和滤波器w(t)间的约束优化问题并等价转化为半定规划问题

通信系统由信源、信道和信宿组成；将目标散射特性G(t)视为信源，雷达系统为信道，雷达输出的关于G(t)的估计为信宿。

首先，以G(t)和间的互信息量I_G作为目标函数，建立约束优化问题为：

其中为发射权值s(t)的约束集，为滤波器w(t)的约束集，约束集即s(t)和w(t)需满足工程可实现和高分辨约束条件。

然后，针对给定时刻l，离散化权值s(t)采用N维矢量s表示，高分辨波形c(t)采用N维矢量c表示，噪声V(t)采用N维矢量v(l)表示，回波Y(t)采用N维矢量y(l)表示，以及滤波器w(t)采用N维矢量w表示，则信宿为：

其中，为目标散射特性G(t)构成的Toeplitz矩阵，为为背景背景杂波散射特性B(t)构成的Toeplitz矩阵。

将约束优化问题改写成离散化表达形式

式中，E_s表示经过加权后波形的能量，E_w表示经过加权后滤波器的能量；ε₁和ε₂为大于0的正数，ε₁用来限定加权后的波形与原始波形的相似度，ε₂用来限定新设计的最优滤波器与c的匹配滤波器r之间的相似度；

最后，依据中心极限定理，雷达信号服从高斯分布，将目标函数等价转化为皮尔森相关系数的模平方|ρ_G|²，f(s,w)为忽略常数项的|ρ_G|²；即：

其中，R_V为V(t)的相关函数构造的矩阵；T(s)为波形与G(t)作用后的信号的相关函数构造得到的矩阵，Γ(s)为波形与B(t)作用后的信号的相关函数构造得到的矩阵；

则约束优化问题等价转化为半定规划问题

其中X＝ss^H，W＝ww^H，rank[·]表示矩阵的秩，tr[·]表示矩阵的迹，为f(s,w)的半定规划表达式。

步骤二、引入辅助函数将半定规划问题拆分为两个子问题；

具体为：

辅助函数为：

其中，μ(X,W)和η(X,W)分别为的分子和分母，和为辅助变量。

通过辅助函数将二元优化问题拆分为两个子问题；

两个子问题分别为：

和

其中，m为迭代的步数。

步骤三、采用序贯迭代方法交替解算两个子问题和输出使得达到最大的与

具体操作过程为：

首先，初始化m＝1，X⁽⁰⁾和W⁽⁰⁾，生成辅助函数Ψ(X^(m-1),W；X^(m-1),W^(m-1))，进而求解得到W^(m)；

然后，令生成辅助函数Ψ(X,W^(m)；X^(m-1),W^(m))，进而求解得到X^(m)；

最后，验证停止条件，如果条件不满足，则令m＝m+1，进行下一步迭代，直至满足停止条件；如果满足停止条件，则输出迭代结果，迭代结果即为使得达到最大的与

停止条件为：

步骤四：判断与的秩是否均为1，若是，则发射权值和滤波器的最优解和分别取和的第一主成分；若否，则执行步骤五。

步骤五，引入秩一分解定理，对和进行秩一分解，得到发射权值和滤波器的最优解；

秩一分解定理具体为：

假设和的维数大于等于3，A₁、A₂和A₃为与同维度的Hermitian矩阵，X表示待分解的半正定阵，令rank[X]＝r，则

1)若r≥3，在多项式时间找到一个非零矢量s属于的值域空间使得

s^HA_is＝tr[A_iX],i＝1,2,3 (9)

且rank[X-1/rss^H]≤r-1；

2)若r＝2，对于任意不属于存在矢量s属于空间使得

s^HA_is＝tr[A_iX],i＝1,2,3 (10)

且rank[X+zz^H-1/rss^H]≤2；

3)若r＝1，则直接进行特征值分解。

由该秩一分解定理可知，和能在多项式时间内得到分解。

证明得到：由此得到等式：

上式表明，通过目标函数转化、松弛非凸的约束条件，以及交替迭代子优化问题等步骤，最终使得原始约束优化问题得以解算，并获得了发射权值和滤波器的全局最优解和

本发明的优点在于：

(1)实用性。本发明提出的算法能够将一个目标函数形式复杂且含有非凸约束条件的二元优化问题得以解算，并经过秩一分解可获得全局最优解。

(2)高效性。本发明提出的解算方法能够以多项式时间复杂度完成子优化问题的交替迭代过程和秩一分解过程，因此整体上具有多项式时间复杂度。

(3)通用性。本发明提出的解算方法可很好的迁移至非凸型多元分式优化问题的解算过程中，通过结合辅助函数、半定松弛和秩一分解，实现了分子分母和多元变量的解耦。

附图说明

图1是本发明一种高分辨雷达发/收联合设计的优化问题解算方法的整体流程图；

图2是本发明高分辨雷达通信系统的信息获取模型；

图3是本发明对半定规划问题进行解算的方法流程图。

图4为不同可行域下的线性调频雷达和P4雷达的优化问题迭代过程中的目标函数值曲线图；

图4(a)为线性调频雷达的优化问题针对不同ε₁的目标函数值；

图4(b)为线性调频雷达的优化问题针对不同ε₂的目标函数值；

图4(c)是P4雷达的优化问题针对不同ε₁的目标函数值，

图4(d)是P4雷达的优化问题针对不同ε₂的目标函数值。

具体实施方式

下面将结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

本发明是一种高分辨雷达发/收联合设计的优化问题解算方法，实现流程如图1所示，具体包括以下步骤：

步骤一：将雷达建模为通信系统，并对目标构建约束优化问题；

通信系统由信源、信道和信宿组成。将目标的散射特性G(t)视为信源，雷达系统为信道，雷达输出关于G(t)的估计为信宿，通信过程如图2所示，具体为：现有高分辨率波形c(t)经过发射权值s(t)的加权，形成新的发射波形s(t)c(t)；新的发射波形s(t)c(t)与目标散射特性G(t)和背景B(t)相互作用并叠加噪声V(t)后产生回波信号Y(t)，经过最优滤波器w(t)的处理获得目标散射特性的估计值

以G(t)和间的互信息量I_G作为目标函数，建立关于发射权值s(t)和滤波器w(t)间的约束优化问题

约束优化问题为：

其中，为发射权值s(t)的约束集，为滤波器w(t)的约束集，约束集即s(t)和w(t)需满足工程可实现和高分辨约束条件。

步骤二：考虑雷达通信系统的离散信号模型，推导约束优化问题的离散化表达形式为并等价转化为半定规划问题

互信息量I_G的定义式中包含了二重积分，无法显示的表示出待优化变量s(t)和w(t)，必须进行转化。依据中心极限定理，雷达信号服从高斯分布。在此条件下，目标函数可等价转化为皮尔森相关系数的模平方|ρ_G|²。

考虑离散信号模型，采用N维矢量s、c、v(l)、y(l)和w，分别表示在给定时刻l时的离散化权值s(t)、现有高分辨波形c(t)、噪声V(t)、回波Y(t)以及滤波器w(t)，则雷达通信系统输出的信宿为：

其中和分别为目标散射特性G(t)和背景杂波散射特性B(t)构成的Toeplitz矩阵。

将约束优化问题改写成离散化表达形式

式中，E_s表示经过加权后波形的能量，E_w表示经过加权后滤波器的能量；ε₁和ε₂为大于0的正数，ε₁用来限定加权后的波形与原始波形的相似度，ε₂用来限定新设计的最优滤波器与c的匹配滤波器r之间的相似度；

f(s,w)为忽略常数项的|ρ_G|²，即

且

式中E(·)表示期望算子，R_G和R_V分别为G(t)和V(t)的相关函数构造的矩阵，T(s)和Γ(s)分别为波形与G(t)和B(t)作用后的信号的相关函数构造得到的矩阵。

式(3)中，的约束条件<1>和<3>为能量恒定的限制，以确保所设计出的s和w具有可工程实现性；约束条件<2>和<4>为相似性约束，以确保改进后的高分辨雷达仍然不失高分辨特性。含有多个约束条件，并且<1>和<3>是非凸的，于是约束优化问题等价转化为

其中X＝ss^H，W＝ww^H，rank[·]表示矩阵的秩，tr[·]表示矩阵的迹，为f(s,w)的半定规划表达式。

步骤三，引入辅助函数将半定规划问题拆分为两个子问题；

具体为：

首先，引入辅助函数对的分子和分母解耦；

辅助函数为：

其中

其中μ(X,W)和η(X,W)分别为的分子和分母，和为辅助变量。

为波形与目标相关函数构造的矩阵，为波形与目标和背景叠加的相关函数构造的矩阵，公式分别为：

式中r_G和r_B分别为目标散射特性和背景的相关函数；n₁,n₂∈[-N+1,-N+2,…,N-1]；

J_n为转移矩阵，定义为

然后，将二元优化问题拆分为两个子问题和初始化发射权值矩阵的起始值X⁽⁰⁾＝1和滤波器矩阵的起始值W⁽⁰⁾＝r^Hr，给出发射权值的能量E_s、滤波器的能量E_w、原始波形的能量E_c、原始匹配滤波器的能量E_s，设定信噪比(SNR)和信杂比(SCR)。

假设迭代进行至m步，得到：

和

其中

步骤四，采用序贯迭代方法交替解算两个子问题和输出使得达到最大的与

交替解算和可使得单调递增，当不再增加时，迭代过程停止，输出可使得达到最大的与序贯迭代方法的基本思路是在给定其中一个变量的条件下求解另外一个变量，不断交替解算，目标函数单调递增，最终得到二元变量的最优解。具体操作过程如图3所示：

首先，初始化m＝1，X⁽⁰⁾和W⁽⁰⁾，生成辅助函数Ψ(X^(m-1),W；X^(m-1),W^(m-1))，进而求解得到W^(m)；

然后，令生成辅助函数Ψ(X,W^(m)；X^(m-1),W^(m))，进而求解得到X^(m)；

最后，验证停止条件，如果条件不满足，则令m＝m+1，进行下一步迭代，条件满足则输出迭代结果。

停止条件为：

步骤五，判断得到的迭代结果与的秩是否均为1，若是，则发射权值和滤波器的最优解和分别取和的第一主成分；若否，则执行步骤六。

步骤六，引入秩一分解定理，对和进行秩一分解，得到发射权值和滤波器的最优解；

若和的秩远大于1，则引入以下秩一分解定理：

假设和的维数大于等于3，A₁、A₂和A₃为与同维度的Hermitian矩阵，X表示待分解的半正定阵，令rank[X]＝r，则

1)若r≥3，可在多项式时间找到一个非零矢量s属于的值域空间使得

s^HA_is＝tr[A_iX],i＝1,2,3 (15)

且rank[X-1/rss^H]≤r-1；

2)若r＝2，对于任意不属于存在矢量s属于空间使得

s^HA_is＝tr[A_iX],i＝1,2,3 (16)

且rank[X+zz^H-1/rss^H]≤2；

3)若r＝1，则直接进行特征值分解即可。

由该秩一分解定理可知，和可在多项式时间内得到分解。

以为例，给出分解过程中矩阵A_i的取值：

由关于波形权值矩阵的优化问题中包含的两个约束条件可得：

A₁＝cc^H⊙E，A₂＝cc^H⊙(cc^H)^* (17)

其中E表示单位阵。

由的目标函数，可给出A₃为

且Λ为滤波器与目标和背景的相关函数构造的矩阵：

同理，对进行证明。

可以证明：等于原始双变量耦合的半定松弛问题的最优值由此可得

上式表明，通过目标函数转化、松弛非凸的约束条件，以及交替迭代子优化问题等步骤，最终可使得原始问题得以解算，并获得了全局最优解。

实施例

为说明本发明的有效性，本实施例针对线性调频雷达和P4雷达开展验证实验。

G(t)、B(t)和V(t)均服从零均值的高斯分布，且功率谱密度已知。发射权值的起始值X⁽⁰⁾为全1矩阵，滤波器矩阵W⁽⁰⁾为线性调频信号或P4编码信号的匹配滤波器所构成的矩阵。令E_s＝E_w＝E_c＝E_r＝N，N＝40且SNR＝-20dB，SCR＝0dB。

设置迭代步数起始值m＝1，控制迭代停止的参数κ＝10^-3。令且代入辅助函数中，构造优化问题求解后得到W^(m)；再令且同样代入辅助函数构造优化问题求解后得到X^(m)。将X^(m)与W^(m)代入以验证是否满足停止条件，如果满足，则输出和如果不满足，则继续迭代。

为验证所提的解算方法是否具有收敛性，通过改变ε₁和ε₂的值设定不同的可行域，给出每一步迭代的目标函数值，如图4所示，可以看出，针对不同的可行域，两个雷达的目标函数随着迭代步数m单调递增。解算算法收敛速度很快，迭代四次之后达到了相对稳定的状态。两个雷达分别通过图4(a)和图4(c)表明：ε₁从1.0增大至无穷大，可使得迭代停止时的目标函数有明显的提升，符合一贯的预期，即增大可行域，目标函数值也增大。同理，通过图4(b)和图4(d)表明，ε₂从1.0增大至无穷大，增大可行域，目标函数值也增大。

两个雷达交替迭代过程结束时的目标函数和秩一分解后的目标函数，如表1所示，从表1的比较中，可以看出秩一分解算法具有极高的精度，能够使得其之间的误差在10^-6量级，可近似忽略。由此可得表明所提算法能够求出优化问题的全局最优解。

表1

Claims (4)

1.一种高分辨雷达发/收联合设计的优化问题解算方法，其特征在于，具体步骤如下：

首先，将雷达建模为通信系统，对目标构建关于发射权值和滤波器间的约束优化问题，并等价转化为半定规划问题

约束优化问题的构建以及等价转化，具体为：

首先，以信源G(t)和信宿间的互信息量I_G作为目标函数，建立的约束优化问题为：

其中为发射权值s(t)的约束集，为滤波器w(t)的约束集，约束集即s(t)和w(t)需满足工程可实现和高分辨约束条件；

然后，针对给定时刻离散化权值s(t)采用N维矢量s表示，高分辨波形c(t)采用N维矢量c表示，噪声V(t)采用N维矢量表示，回波Y(t)采用N维矢量表示，以及滤波器w(t)采用N维矢量w表示，则信宿为：

其中，为目标散射特性G(t)构成的Toeplitz矩阵，为背景杂波散射特性B(t)构成的Toeplitz矩阵；

将约束优化问题改写成离散化表达形式

式中，E_s表示经过加权后波形的能量，E_w表示经过加权后滤波器的能量；ε₁和ε₂为大于0的正数，ε₁用来限定加权后的波形与原始波形的相似度，ε₂用来限定新设计的最优滤波器与c的匹配滤波器r之间的相似度；

最后，依据中心极限定理，雷达信号服从高斯分布，将目标函数等价转化为皮尔森相关系数的模平方|ρ_G|²，f(s,w)为忽略常数项的|ρ_G|²；即：

其中，R_V为V(t)的相关函数构造的矩阵；T(s)为波形与G(t)作用后的信号的相关函数构造得到的矩阵，Γ(s)为波形与B(t)作用后的信号的相关函数构造得到的矩阵；

则约束优化问题等价转化为半定规划问题

其中X＝ss^H，W＝ww^H，rank[·]表示矩阵的秩，tr[·]表示矩阵的迹，为f(s,w)的半定规划表达式；

然后，引入辅助函数将半定规划问题拆分为两个子问题，采用序贯迭代方法交替解算两个子问题，输出使得半定规划表达形式的目标函数达到最大的与

引入辅助函数将半定规划问题拆分为两个子问题，具体为：

辅助函数为：

其中，μ(X,W)和η(X,W)分别为的分子和分母，和为辅助变量；

通过辅助函数将二元优化问题拆分为两个子问题；

两个子问题分别为：

和

其中，X＝ss^H，W＝ww^H，m为迭代的步数，tr[·]表示矩阵的迹；

最后，判断与的秩是否均为1，若是，则发射权值和滤波器的最优解和分别取和的第一主成分；若否，则引入秩一分解定理，对和进行秩一分解，得到发射权值和滤波器的最优解。

2.根据权利要求1所述的一种高分辨雷达发/收联合设计的优化问题解算方法，其特征在于，所述的通信系统由信源、信道和信宿组成，将目标散射特性G(t)视为信源，雷达系统为信道，雷达输出的关于G(t)的估计为信宿。

3.根据权利要求1所述的一种高分辨雷达发/收联合设计的优化问题解算方法，其特征在于，所述的两个子问题采用序贯迭代方法进行交替解算，具体操作过程为：

首先，初始化m＝1，X⁽⁰⁾和W⁽⁰⁾，生成辅助函数Ψ(X^(m-1),W；X^(m-1),W^(m-1))，进而求解子问题得到W^(m)；

然后，令生成辅助函数Ψ(X,W^(m)；X^(m-1),W^(m))，进而求解另一个子问题得到X^(m)；

最后，验证停止条件，如果条件不满足，则令m＝m+1，进行下一步迭代，直至满足停止条件；如果满足停止条件，则输出迭代结果，迭代结果即为使得达到最大的与停止条件为：

4.根据权利要求1所述的一种高分辨雷达发/收联合设计的优化问题解算方法，其特征在于，所述的秩一分解定理具体为：

假设和的维数大于等于3，A₁、A₂和A₃为与同维度的Hermitian矩阵，X表示待分解的半正定阵，令rank[X]＝r，则

1)若r≥3，在多项式时间找到一个非零矢量s属于的值域空间使得

s^HA_is＝tr[A_iX],i＝1,2,3 (9)

且X-1/rss^H≥0，rank[X-1/rss^H]≤r-1；

2)若r＝2，对于任意不属于存在矢量s属于空间使得

且X+zz^H-1/rs^sH≥0，rank[X+zz^H-1/rss^H]≤2；

3)若r＝1，则直接进行特征值分解；

由该秩一分解定理可知，和能在多项式时间内得到分解。