CN113033043B - 一种复合材料支撑结构拓扑与材料协同稳健优化设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种复合材料支撑结构拓扑与材料协同稳健优化设计方法。包括以下步骤：考虑复合材料支撑结构制造服役中的不确定性，将样本不充分的外载和样本充足的基体材料属性分别描述为区间变量和有界概率变量；对设计域、颗粒增强相体积分布离散化并作为两组设计变量，设置物理与几何约束，建立拓扑与材料协同稳健优化模型。利用移动渐近线法求解：解耦概率区间不确定性，利用目标性能的梯度确定最差工况；通过单变量分解法与拉盖尔积分估计最差工况下目标性能的均值及标准差以构造目标函数；最后计算目标与约束函数对设计变量的梯度用于迭代。本发明建立的优化模型真实反映支撑结构多源不确定性的分布特性，求解高效，具有很好的工程应用价值。

Description

一种复合材料支撑结构拓扑与材料协同稳健优化设计方法

技术领域

本发明属于装备结构优化设计领域，涉及一种复合材料支撑结构拓扑与材料协同稳健优化设计方法。

背景技术

拓扑优化作为一种调配有限材料在设计域内的分布从而使结构目标性能最优的方法，已广泛应用于产品设计中，并随着近年增材制造技术的推广而进一步成熟，考虑增强材料的拓扑与材料分布协同优化也受到了广泛关注。由于生产制造与使用过程中存在各种不确定性，为使拓扑优化理论结果在实际制造后不至于性能劣化，必须在设计阶段考虑不确定性的影响。

由于计算量巨大、理论分析复杂，现有结构拓扑与材料分布协同优化往往忽略不确定性。然而，由于复合材料制备与产品制造的双重不确定性，忽略不确定性的优化设计可能造成设计结果失效。

广义复合材料(利用微观可变晶格结构来实现宏观结构上同一材料、不同等效物理属性的梯度性质)近年来被广泛研究，但受制于现有增材制造技术水平，实际产品性能往往存在劣化，其原因在于：1)晶格中的微小拓扑结构难以完整复现；2)增材制造过程中不可避免制造误差，而在晶格结构的微观层面引入几何边界不确定性。而现有对多种材料在结构内的分布进行协同稳健优化的方式需要考虑不同材料间融合面的不确定性，在理论分析上尚存较大困难。

因此，颗粒增强复合材料(如目前广泛应用的碳纤维增强塑料、颗粒增强金属或金属陶瓷材料等)在今后较长时间内仍会是适合实际应用的主要材料形式。

发明内容

为解决多源不确定性影响下颗粒增强材料支撑结构拓扑与材料分布的协同稳健优化设计问题，本发明提供了一种复合材料支撑结构拓扑与材料协同稳健优化设计方法。包括以下步骤：考虑使用颗粒增强材料的支撑结构在制造、服役中的不确定性，将样本不充分的外载视为区间不确定性、将样本充足的基体与颗粒材料属性视为有界概率不确定性；分别对设计域、颗粒增强相体积分布离散化并作为两组设计变量，设置物理与几何约束，建立拓扑与材料协同稳健优化设计模型；利用移动渐近线算法迭代求解：首先解耦概率区间混合不确定性，利用优化目标梯度确定最差工况；接着使用单变量分解方法与拉盖尔积分格式估计最差工况下优化目标的均值、标准差以构造目标函数；最后计算目标函数与约束函数对于两组设计变量的梯度用于迭代。本发明高效地解决了概率区间不确定因素共存情况下颗粒增强材料支撑结构拓扑与材料分布的协同稳健优化设计问题，具有很好的工程应用价值。

本发明是通过以下技术方案实现的：一种复合材料支撑结构拓扑与材料协同稳健优化设计方法，该方法包括以下步骤：

1)考虑颗粒增强复合材料支撑结构在制造与服役过程中的以下不确定性：支撑结构基体材料与颗粒增强相的材料属性、支撑结构所受外载的幅值与方向；其中，难以获得充足样本信息的外载幅值与加载方向视为区间不确定性；将具有充足样本信息的基体材料与颗粒增强相的材料属性视为有界概率不确定性，并采用服从广义贝塔分布的随机变量来描述各有界概率不确定性参数；

2)离散化支撑结构设计域，具体为：

简化支撑结构受力情况为二维平面应力状态，保留安装孔并去除结构细节以提高计算效率；将简化的支撑结构置于一规则矩形设计域内，并将该设计域划分为N_x×N_y个正方形单元，其中N_x，N_y分别为沿x,y轴方向的划分数；基于带罚各向同性材料拓扑优化(SMIP)框架，每一单元赋予唯一设计变量ρ_e∈[0,1](e＝1,2,…,N_x·N_y)；

3)离散化颗粒增强相在支撑结构基体中的体积分布，具体为：

3.1)假设颗粒增强相在基体中的体积分数仅沿y轴方向变化，同一y轴坐标上体积分数视为常数，记每一层颗粒增强相体积分数为δ_l(l＝1,2,…,N_y)；

3.2)使用Halpin-Tsai微观结构模型，计算第l(l＝1,2,…,N_y)层内各单元杨氏模量

与泊松比

3.3)引入罚因子p计算第l(l＝1,2,…,N_y)层内各单元在拓扑优化框架下的杨氏模量

为：

式Eq.1中，E_min为最小允许值；l^＜e＞是第l(l＝1,2,…,N_y)层所包含的单元序号集合；

4)对已离散的结构施加物理约束与几何约束，具体为：

4.1)依据经典有限元方式施加包括固定或支持、外部载荷在内的物理约束；

4.2)几何约束包括结构中指定的孔洞与强制保留材料的区域，其方法是对于孔洞内单元所对应的设计变量置ρ_e≡0而要求保留材料区域内单元所对应的设计变量置ρ_e≡1，并在后续优化过程中不改变其数值；

5)以有界混合不确定性影响下支撑结构的结构屈服c作为优化目标性能，最差工况下的结构屈服均值与标准差为目标性能的表征，建立颗粒增强复合材料支撑结构拓扑与材料分布协同稳健优化设计模型如Eq.2所示：

式中，

与

分别是拓扑优化与材料分布设计向量，ρ_min是拓扑优化设计变量最小允许值，δ_min与δ_max分别是材料分布设计变量最小与最大允许值；有界概率不确定性向量X＝(X₁,X₂,…,X_m)^T包含m个支撑结构基体与增强相的不确定材料属性；区间不确定性向量I＝(f₁,f₂,…,f_n,α₁,α₂,…,α_n)^T包含支撑结构所受n个不确定外载的幅值f₁,f₂,…,f_n与方向角α₁,α₂,…,α_n；当前迭代中的两组设计向量分别为ρ＝ρ^this_itr，δ＝δ^this_itr；

g₁(ρ)是关于结构拓扑的约束函数，其中

是当前支撑结构的总体积；V₀是设计域的体积；

是给定的设计域空间利用率；初始化

g₂(ρ,δ)是关于增强相使用量的约束函数，其中

是当前支撑结构中的颗粒增强相使用量；

是设计中给定的颗粒增强相使用率；初始化

支撑结构平衡方程K(ρ,δ,X)U＝F(I)中，U是(2(N_x+1)(N_y+1))维节点位移向量；K(ρ,δ,X)是(2(N_x+1)(N_y+1))×(2(N_x+1)(N_y+1))维总体刚度矩阵，受有界概率不确定性向量X、与两组设计向量ρ与δ影响，下文为简明起见将其记为K；F(I)是(2(N_x+1)(N_y+1))维节点力向量，受区间不确定性向量I影响；

是支撑结构最差工况对应的区间不确定性向量；

是支撑结构在最差工况

下的结构屈服；确定最差工况

的具体方式如下：

5.1)同时考虑区间与有界概率不确定性作用的结构屈服写作Eq.3:

c(ρ,δ,X,I)＝U^TK(ρ,δ,X)U＝F(I)^TK^-1(ρ,δ,X)F(I) Eq.3

5.2)令结构屈服c(ρ,δ,X,I)中

其中

分别为各不确定性X₁,X₂,…,X_m的均值，此时结构屈服仅包含区间不确定性I，写作c(ρ,δ,μ_X,I)＝c(ρ,δ,I)；同时，在每一迭代中总体刚度矩阵K(ρ,δ,μ_X)为常矩阵；

5.3)将节点力向量写成各外载节点力向量之和的形式：

同时有：

式中，e_ix，e_iy分别为对应于外载F_i所作用节点沿x,y轴方向的单位节点力向量；

5.4)采用线弹性假设，将n个不确定载荷的总体作用等效为各载荷单独作用效果的叠加：

在Eq.6中对不确定载荷幅值与方向角分别求导，并分别令

求解得最差工况

式Eq.2中，

分别为在有界概率不确定性向量X影响下、最差工况结构屈服

的均值与标准差，其计算方式如下：

5.5)还原

中μ_X为有界概率不确定性向量X，简记

为

5.6)采用Rahman单变量降维方法，展开

如式Eq.8：

式Eq.8中，X_＜i＞(i＝1,2,…,m)按Eq.9定义：

5.7)根据Eq.8，

一阶、二阶原点矩的高维积分可以转化为若干一维积分的运算：

式Eq.11中ψ(X_i)是有界概率不确定性X_i的概率分布函数，在使用广义贝塔分布建模时即确定；

5.8)式Eq.10、Eq.11中的各一维积分采用拉盖尔(Laguerre)积分格式进行计算：

式中，t是拉盖尔积分点个数；

λ^(j)(j＝1,2,…,t)分别为拉盖尔积分规则给出的积分点与对应权重；

采用

通过Eq.9确定；

5.9)最差工况结构屈服的均值与标准差可通过Eq.13获得：

6)采用移动渐近线算法(Moving asymptote algorithm)求解Eq.2的协同稳健优化设计模型，每一迭代具体为：

6.1)引入权值w并按Eq.14定义目标函数J(ρ,δ,X,I)，用于实现

的双目标优化：

6.2)按Eq.15、Eq.16、Eq.17分别计算目标与约束函数对设计变量ρ_e的梯度：

6.3)按Eq.18、Eq.19、Eq.20分别计算目标与约束函数对设计变量δ_l的梯度：

6.4)基于目标与约束函数梯度信息，采用移动渐近线算法同时更新两组设计向量ρ,δ；

6.5)检查本次迭代中目标函数值与上一迭代中目标函数值的差值，对于第一次迭代，该差值被定义为第一代的目标函数值，若该差值小于收敛阈值，则输出更新后的设计变量；否则重复步骤5)至6)。

本发明具有的有益效果是：

1)考虑基于颗粒增强材料的支撑结构在制造与使用过程中的以下不确定性：支撑结构基体与颗粒增强相的材料属性、所受外载的幅值与方向；其中，由于难以获得外载的充足样本信息，故将其幅值与方向不确定性视为区间不确定性处理；将具有充足样本信息的基体与颗粒增强相材料属性视为有界概率不确定性处理，并采用服从广义贝塔分布的随机变量来描述各有界概率不确定性参数，克服了现有结构拓扑与材料分布协同稳健优化设计方法仅考虑概率或区间不确定性的不足，所构建的支撑结构拓扑与材料协同稳健优化模型更符合工程实际。

2)借助经典有限元框架，建立目标性能关于设计变量与不确定性参数的显示表达；引入线弹性形变假设，通过叠加各外载单独作用产生的形变而获得结构最终发生的形变，并据此计算目标性能对不确定性外载的梯度信息，从而获得结构最差目标性能所对应的最差工况，解决了现有结构拓扑与材料分布协同稳健优化方法往往无法给出最差工况的局限，为保障结构安全服役提供了理论依据。

3)针对制造业中广泛使用的颗粒增强材料，建立了一种使用颗粒增强材料的支撑结构拓扑与材料分布协同稳健优化方法，克服了现有实际生产中往往只能采用特定增强材料添加模式的不足，扩大了增强材料实际使用的自由度，提高了颗粒增强材料对于产品结构性能增强的贡献率；且该结构拓扑与材料分布协同稳健优化给出的设计结果具有良好的可制造性。

4)引入高精度拉盖尔积分格式，提出了一种精确估计结构目标性能均值与标准差的数值方法，相较现有考虑概率区间混合不确定性的产品结构性能统计矩估计方法，该方法与成熟的拓扑与材料分布协同稳健优化框架中具有更好兼容性，且能高效导出目标性能对设计变量的梯度信息用于迭代寻优。

附图说明

图1是复合材料支撑结构拓扑与材料协同稳健优化设计流程图。

图2是某型号盾构机掘进机构的三维外观图与内刀盘支撑结构位置示意图。

图3是支撑结构初始设计图。

图4是支撑结构拓扑与材料分布协同稳健优化设计域示意图。

图5是支撑结构拓扑与材料分布协同稳健优化设计结果。

图6是根据拓扑与材料分布协同稳健优化设计结果平滑处理得到的支撑结构最终设计图。

具体实施方式

以下结合附图和具体实施例对本发明作进一步说明。

图中涉及信息为本发明在某型号盾构机内刀盘支撑结构的拓扑与材料协同稳健优化设计中的实际应用数据，图1是复合材料支撑结构拓扑与材料协同稳健优化设计流程图。

1、以图2所示使用最大允许体积分数2％SiC颗粒增强高强度低合金钢材料制造的某型号盾构机内刀盘支撑结构作为研究对象，考虑该支撑结构在制造与服役过程中的不确定性：

1.1)图3为盾构机内刀盘支撑结构的初始设计相关尺寸，图4为用于协同稳健优化的边界设置情况。支撑结构于其顶部的受到盾构机切削运动过程中的轴向载荷；且该载荷在此考虑为均布线载荷，其幅值大小与加载方向随切削岩层物理性质的波动而具有一定不确定性；但由于在盾构机工作过程中对该外载进行测量有一定困难，难以获得关于外载的充足样本信息，故将其幅值f与方向角α视为区间不确定性处理；

1.2)在内刀盘支撑结构所使用材料的材料属性中，基体高强度低合金钢的杨氏模量E_M与泊松比ν_M由于原材料物性不均一、冶金工艺波动等而具有显著不确定性，但通过测量成品可获得充足样本信息，故视为有界概率不确定性；SiC增强颗粒一般通过溶胶-凝胶法等精密化学方法制得，杨氏模量与泊松比均一，故使用其标称值(颗粒平均长度l_G＝1μm、平均宽度w_G＝0.4μm、平均厚度t_G＝0.4μm、杨氏模量E_G＝400GPa、泊松比ν_G＝0.17)；进一步地，以上有界概率不确定性采用服从广义贝塔分布的随机变量来描述；各不确定性信息总结如表1所示；

表1盾构机内刀盘支撑结构的不确定性信息汇总表

不确定性	不确定性变量类型	取值范围	不确定性参数*
				E<sub>M</sub>(GPa)	有界概率变量α<sub>EM</sub>＝5.30,β<sub>EM</sub>＝6.28	[200.00,210.00]	μ<sub>EM</sub>＝206.00,σ<sub>EM</sub>＝1.20
ν<sub>M</sub>	有界概率变量α<sub>νM</sub>＝β<sub>νM</sub>＝5.32	[0.28,0.32]	μ<sub>νM</sub>＝0.30,σ<sub>νM</sub>＝5.00E-3
				f(kN/m)	区间变量	[1.90E+5,2.10E+5]	<2.00E+5,1.00E+5>
α	区间变量	[-70.00°,-110.00°]	<-90.00°,20.00°>

*对区间变量而言为区间中点与半径；对有界概率变量而言为其均值与标准差；

2、对该支撑结构设计域进行离散化，具体为：

简化盾构机内刀盘支撑结构受力情况为二维平面应力状态；将待优化的支撑结构置于一规则矩形设计域内(图4中最外侧实线框出的范围，其尺寸为X×Y＝450mm×850mm)，并将该矩形设计域划分为N_x×N_y个正方形单元，其中N_x，N_y分别为沿x,y轴方向的划分数，在本设计中取N_x＝180、N_y＝340；每一单元赋予唯一设计变量ρ_e∈[0,1](e＝1,2,…,180×340)；

3、离散化SiC颗粒增强相在高强度低合金钢基体中的体积分布，具体为：

3.1)颗粒增强相在支撑结构基体中的体积分数仅沿支撑结构y轴方向发生变化；第l(l＝1,2,…,340)层中的颗粒增强相体积分数δ_l；

3.2)使用Halpin-Tsai微观结构模型，计算第l(l＝1,2,…,340)层内各单元杨氏模量与泊松比；

3.3)引入罚因子p＝3，并指定最小杨氏模量允许值E_min＝1E-3GPa，则拓扑优化框架下第l(l＝1,2,…,340)层内各单元的杨氏模量最终可表达为：

4、施加物理约束与几何约束，具体为：

4.1)几何约束：如图4所示，设计域Ω内无需设置强制保留或去除的材料单元；

4.2)物理约束：依据经典有限元方法框架，设置图4中支撑结构底部全部单元为固定约束、右侧边允许y方向的位移；图4中支撑结构上部施加均布线载荷，具有不确定性幅值f与方向角α；

5、将区间与有界概率混合不确定性影响下支撑结构的结构屈服作为优化目标、将最差工况下结构屈服的均值与标准差作为优化目标的表征，建立结构拓扑与材料分布协同稳健优化设计模型：

式中，ρ＝(ρ₁,ρ₂,…,ρ_180×340)^T与δ＝(δ₁,δ₂,…,δ₃₄₀)^T分别是拓扑优化与材料分布设计向量，各设计变量允许值ρ_min＝0.001，δ_min＝0％，δ_max＝2.0％；X＝(E_M,ν_M)^T是有界概率不确定性向量；I＝(f,α)^T是区间不确定性向量；

是当前结构的体积；

是设计域空间利用率；

是当前颗粒增强相使用量；

是增强相占用结构的体积比例；

K(ρ,δ,X)U＝F(I)是平衡方程，其中K(ρ,δ,X)是2(181×341)×2(181×341)维总体刚度矩阵受有界概率不确定性向量X与两组设计向量ρ、δ影响，下文为简明起见将其记为K；F(I)是2(181×341)维节点力向量；U是2(181×341)维节点位移向量；

是支撑结构在最差工况

下的结构屈服；

分别为在有界概率不确定性向量X影响下、最差工况结构屈服

的均值与标准差；

盾构机内刀盘支撑结构的最差工况通过以下步骤确定：

5.1)根据经典有限元方法，将同时考虑区间与有界概率不确定性作用的结构屈服写作：

c(ρ,δ,X,I)＝U^TK(ρ,δ,X)U＝F(I)^TK^-1(ρ,δ,X)F(I) Eq.30

5.2)定义均值向量

其中

分别为不确定性E_M,ν_M的均值；令结构屈服c(ρ,δ,X,I)中X＝μ_X，则此时结构屈服仅包含区间不确定性I，可写作c(ρ,δ,μ_X,I)＝c(ρ,δ,I)；

5.3)将节点力向量写成各外载节点力向量之和的形式，本例只包含一个不确定性外载，因此有：

F(I)＝F(f,α) Eq.31

同时有：

5.4)根据线弹性假设，多个不确定载荷的总体作用可以等效为各载荷单独作用效果的叠加，因此有：

c(ρ,δ,I)＝(F(f,α))^TK^-1F(f,α) Eq.33

在上式中对不确定载荷的幅值与方向角分别求导，并根据所得导数信息，借助梯度下降法求解颗粒最差工况

在有界概率不确定性向量X影响下、最差工况结构屈服

的均值与标准差，其计算方式如下：

5.5)还原

中的μ_X为有界概率不确定性向量X，记

为

5.6)通过Rahman单变量降维方法，展开

式中，X_＜i＞(i＝1,2)分别如下：

5.7)根据5.6)中展开式，

一阶、二阶原点矩高维积分转化为若干一维积分的运算：

5.8)以上式中的各一维积分采用拉盖尔积分格式进行计算：

式中，拉盖尔积分点个数t＝6；

λ^(j)(j＝1,2,…,6)分别为拉盖尔积分规则给出的积分点与对应权重；

采用

通过Eq.35确定；

5.9)最差工况结构屈服的均值与标准差可通过下式获得：

6、采用移动渐近线算法迭代求解盾构机内刀盘支撑结构协同稳健优化设计模型：

6.1)以第1次迭代为例说明盾构机内刀盘支撑结构协同稳健优化设计模型求解流程：加权目标函数：

6.2)目标与约束函数对ρ_e的梯度：

6.2.1)将Eq.36、Eq.37与Eq.39代入Eq.41，得到：

式中梯度项

可分别在Eq.36与Eq.37中对ρ_e求导得到；

6.2.2)上述6.2.1)的求导过程中包含的各梯度项

通过经典拓扑优化框架给出：

式中X°是

与μ_X的简写，均为有界概率不确定性向量的某种实现；

是该次实现下单元e的单元刚度矩阵；

是该次实现下单元e的单元位移矩阵，从节点位移向量中提取；

6.2.3)将梯度项

代入Eq.43，得到梯度结果：

6.3)目标与约束函数对δ_l的梯度：

6.3.1)将Eq.36、Eq.37与Eq.46，得到：

式中梯度项

可分别在Eq.36与Eq.37中对δ_l求导得到；

6.3.2)上述6.3.1)的求导过程中包含的各梯度项

通过经典拓扑优化框架SMIP给出：

式中X^°是

与μ_X的简写，均为有界概率不确定性向量的某种实现；

是该次实现下单元e的单元位移矩阵，从节点位移向量中提取；

是该次实现下单元e的单元刚度矩阵，是颗粒增强相体积分数的函数，如下：

式中，

与

是第l层内单元e(e∈l^＜e＞,l＝1,2,…,340)的材料属性，k(i)(i＝1,2,…,8)是向量k的第i个元素；向量k定义如下：

6.3.3)记Eq.50中的方阵为D，则单元刚度矩阵

关于δ_l的梯度为：

6.3.4)将全部计算结果代入Eq.48中，获得最终目标函数关于δ_l的梯度结果，截取如下：

6.4)根据上述所求目标函数与已得约束函数分别关于两组设计变量的梯度信息，使用移动渐近线算法同时更新两组设计向量，第一次迭代更新后的设计变量分别截取部分如下：

ρ₁＝0.98,ρ₂＝0.98,…,ρ₂₀₀＝0.632,ρ₂₀₁＝0.607,…Eq.54

δ₁＝0.017,δ₁＝0.017,…,δ₂₀₀＝0.014,δ₂₀₁＝0.014,…Eq.55

6.5)检查本次迭代中目标函数值与上一迭代中目标函数值的差值，由于是第一次迭代，该差值被定义为当前目标函数值，不满足收敛阈值0.01，因此重复步骤6.1)至6.5)。

最终获得的最优解截取部分如下：

ρ₁＝1.00,ρ₂＝1.00,…,ρ_90×170-1＝1E-3,ρ_90×170＝1E-3,…,ρ_180×340＝1.00 Eq.56

迭代寻优在第104代收敛，最优解对应的拓扑结构如图5所示；最优解的目标性能指标为

对应该最优解的最差工况为

该值可用于进一步工程分析，满足盾构机内刀盘支撑结构稳健性设计指标与工作要求；协同优化后的SiC颗粒增强相在支撑结构高度方向的变化模式在图5中以灰度形式表现，其中为了更显著地展示其数值对比，图5中的纵坐标是归一化体积分数δ^*：

由图可见，在支撑结构的顶部受载处对颗粒增强的要求更高，这一优化结果符合工程经验；结合优化后的结构屈服性能，所提出方法的有效性得到了验证；对该拓扑与材料分布协同稳健优化结果进行进一步轮廓平滑后，最终获得的盾构机内刀盘支撑结构设计如图6所示。

需要声明的是，本发明内容及具体实施方式意在证明本发明所提供技术方案的实际应用，不应解释为对本发明保护范围的限定。在本发明的精神和权利要求的保护范围内，对本发明作出的任何修改和改变，都落入本发明的保护范围。

Claims (3)

1.一种复合材料支撑结构拓扑与材料协同稳健优化设计方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)考虑颗粒增强复合材料支撑结构在制造与服役过程中的以下不确定性：支撑结构基体材料与颗粒增强相的材料属性、支撑结构所受外载的幅值与方向；其中，难以获得充足样本信息的外载幅值与加载方向视为区间不确定性；将具有充足样本信息的基体材料与颗粒增强相的材料属性视为有界概率不确定性，并采用服从广义贝塔分布的随机变量来描述各有界概率不确定性参数；

2)离散化支撑结构设计域，具体为：

简化支撑结构受力情况为二维平面应力状态，保留安装孔并去除结构细节；将简化的支撑结构置于一规则矩形设计域内，并将该设计域划分为N_x×N_y个正方形单元，其中N_x，N_y分别为沿x,y轴方向的划分数；基于带罚各向同性材料拓扑优化框架，每一单元赋予唯一设计变量ρ_e∈[0,1]，其中e＝1,2,…,N_x·N_y；

3)离散化颗粒增强相在支撑结构基体中的体积分布，具体为：

3.1)假设颗粒增强相在基体中的体积分数仅沿y轴方向变化，同一y轴坐标上体积分数视为常数，记每一层颗粒增强相体积分数为δ_l，其中l＝1,2,…,N_y；

3.2)使用Halpin-Tsai微观结构模型，计算第l层内各单元杨氏模量

与泊松比

3.3)引入罚因子p'计算第l层内各单元在拓扑优化框架下的杨氏模量

为：

式中，E_min为最小允许值；l^＜e＞是第l层所包含的单元序号集合；

4)对已离散的结构施加物理约束与几何约束，具体为：

4.1)依据经典有限元方式施加包括固定或支持、外部载荷在内的物理约束；

4.2)几何约束包括结构中指定的孔洞与强制保留材料的区域，其方法是对于孔洞内单元所对应的设计变量置ρ_e≡0而要求保留材料区域内单元所对应的设计变量置ρ_e≡1，并在后续优化过程中不改变其数值；

5)以有界混合不确定性影响下支撑结构的结构屈服c作为优化目标性能，最差工况下的结构屈服均值与标准差为目标性能的表征，建立颗粒增强复合材料支撑结构拓扑与材料分布协同稳健优化设计模型如Eq.2所示：

式中，

与

分别是拓扑优化与材料分布设计向量，ρ_min是拓扑优化设计变量最小允许值，δ_min与δ_max分别是材料分布设计变量最小与最大允许值；有界概率不确定性向量X＝(X₁,X₂,…,X_m)^T包含m个支撑结构基体与增强相的不确定材料属性；区间不确定性向量I＝(f₁,f₂,…,f_n,α₁,α₂,…,α_n)^T包含支撑结构所受n个不确定外载的幅值f₁,f₂,…,f_n与方向角α₁,α₂,…,α_n；当前迭代中的两组设计向量分别为ρ＝ρ^this_itr，δ＝δ^this_itr；

g₁(ρ)是关于结构拓扑的约束函数，其中

是当前支撑结构的总体积；V₀是设计域的体积；

是给定的设计域空间利用率；初始化

g₂(ρ,δ)是关于增强相使用量的约束函数，其中

是当前支撑结构中的颗粒增强相使用量；

是设计中给定的颗粒增强相使用率；初始化

支撑结构平衡方程K(ρ,δ,X)U＝F(I)中，U是(2(N_x+1)(N_y+1))维节点位移向量；K(ρ,δ,X)是(2(N_x+1)(N_y+1))×(2(N_x+1)(N_y+1))维总体刚度矩阵；F(I)是(2(N_x+1)(N_y+1))维节点力向量；

是支撑结构最差工况对应的区间不确定性向量；

是支撑结构在最差工况

下的屈服；确定最差工况

的具体方式如下：

5.1)同时考虑区间与有界概率不确定性作用的结构屈服写作Eq.3:

c(ρ,δ,X,I)＝U^TK(ρ,δ,X)U＝F(I)^TK^-1(ρ,δ,X)F(I) Eq.3

5.2)令c(ρ,δ,X,I)中

其中

分别为各不确定性X₁,X₂,…,X_m的均值，此时结构屈服仅包含I，写作c(ρ,δ,μ_X,I)＝c(ρ,δ,I)；在每一迭代中K为常矩阵；

5.3)将节点力向量写成各外载节点力向量之和的形式：

同时有：

式中，e_ix，e_iy分别为对应于外载F_i所作用节点沿x,y轴方向的单位节点力向量；

5.4)采用线弹性假设，将n个不确定载荷的总体作用等效为各载荷单独作用效果的叠加：

在Eq.6中对不确定载荷幅值与方向角分别求导，并分别令

求解得最差工况

式Eq.2中，

分别为在X影响下、最差工况结构屈服

的均值与标准差，其计算方式如下：

5.5)还原

中μ_X为X，简记

为

5.6)采用Rahman单变量降维方法，展开

式中，X_＜ω＞中ω＝1,2,…,m，按Eq.9定义：

5.7)根据Eq.8，

一阶、二阶原点矩的高维积分可以转化为若干一维积分的运算：

式Eq.11中ψ(X_ω)是X_ω的概率分布函数；

5.8)式Eq.10、Eq.11中的各一维积分采用拉盖尔积分格式进行计算：

式中，t是拉盖尔积分点个数；

λ^(j)分别为拉盖尔积分规则给出的积分点与对应权重；

采用

通过Eq.9确定；

5.9)最差工况结构屈服的均值与标准差可通过Eq.13获得：

6)采用移动渐近线算法求解Eq.2的协同稳健优化设计模型，每一迭代具体为：

6.1)引入权值w并按Eq.14定义目标函数J(ρ,δ,X,I)：

6.2)计算目标与约束函数对ρ_e的梯度：

6.3)计算目标与约束函数对δ_l的梯度：

6.4)基于目标与约束函数梯度信息，采用移动渐近线算法同时更新ρ,δ；

6.5)检查本次迭代中目标函数值与上一迭代中目标函数值的差值，对于第一次迭代，该差值被定义为第一代的目标函数值，若该差值小于收敛阈值，则输出更新后的设计变量；否则重复步骤5)至6)。

2.根据权利要求1所述的一种复合材料支撑结构拓扑与材料协同稳健优化设计方法，其特征在于，所述步骤6.2)具体如下：

6.2.1)将Eq.10、Eq.11、Eq.13代入Eq.15：

式中的梯度项

可通过分别在Eq.10、Eq.11对ρ_e求导得到；

6.2.2)各梯度项

通过经典拓扑优化框架给出：

式中X^o是

与μ_X的简写，均为有界概率不确定性向量的某种实现；

是该次实现下单元e的单元刚度矩阵，是颗粒增强相体积分数的函数；

是该次实现下单元e的单元位移矩阵，从节点位移向量中提取；

6.2.3)将

结果代入Eq.21中，获得最终目标函数关于ρ_e的梯度结果。

3.根据权利要求1所述的一种复合材料支撑结构拓扑与材料协同稳健优化设计方法，其特征在于，所述步骤6.3)具体如下：

6.3.1)将Eq.10、Eq.11、Eq.13代入Eq.18：

式中梯度项

可通过分别在Eq.10、Eq.11对δ_l求导得到；

6.3.2)上述6.3.1)的求导过程中包含的各梯度项

通过经典拓扑优化框架给出：

X^o是

与μ_X的简写，均为有界概率不确定性向量的某种实现，

是该次实现下单元e的单元位移矩阵，

是该次实现下单元e的单元刚度矩阵，是颗粒增强相体积分数的函数，如Eq.25所示：

式中，

与

是第l层内单元e，其中e∈l^＜e＞,l＝1,2,…,N_y的材料属性；k(θ)是向量k的第θ个元素，其中θ＝ 1,2, … ,8 ；向量k定义如下：

6.3.3)记Eq.25中的方阵为D，则Eq.24中单元刚度矩阵

关于δ_l的梯度可计算为：

6.3.4)将

结果代入Eq.23中，获得最终目标函数关于δ_l的梯度结果。

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