CN111290015B - 具有约束的分数阶自持式机电地震仪系统加速稳定控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种具有约束的分数阶自持式机电地震仪系统加速稳定控制方法，属于地震勘探领域。该方法包括：S1：系统建模，根据牛顿第二定律和基尔霍夫定律建立分数阶自持式机电地震仪系统的数学模型，并定义约束条件；S2：设计加速稳定控制器，包括构建加速前馈控制器和最优反馈控制器；加速前馈控制器由基于分数阶反演法的塑造行为函数、模糊小波神经网络和跟踪微分器集成；最优反馈控制器由模糊小波神经网络和自适应动态规划策略融合而成。本发明在保证闭环系统所有信号的有界性且保证系统在满足约束条件下的安全运行的同时，能达到抑制混沌振荡和实现最小化成本函数。

Description

具有约束的分数阶自持式机电地震仪系统加速稳定控制方法

技术领域

本发明属于地震勘探领域，涉及一种具有约束的分数阶自持式机电地震仪系统加速稳定控制方法。

背景技术

自持式机电地震仪系统是一种机电敏感仪器，可用于探测地震引起的地面振动。地震仪系统的非线性振荡和混沌动力学对其稳定运行有非常重要的影响，在工程应用中往往需要满足性能指标。因此，以最优的形式对分数阶自持式机电地震仪系统进行建模、动力学分析、驱使混沌运动到周期的目标轨迹、满足系统安全约束和加速稳定是一项有意义和具有挑战性的工作。

在过去几十年里，关于此类地震仪系统的动力学问题有零星的报道。Siewe等人首先研究了机电地震仪系统对第五共振激励的非线性响应和混沌控制，他们用解析方法进一步研究了该地震仪系统同宿轨道的分岔和控制。Hegazy讨论了具有时变刚度的机电地震仪系统的非线性动力学和振动控制。然而，这些工作仅仅局限于整数阶机电地震仪系统的动力学，不能准确地描述其工作过程。

分数阶微积分自从被证明是具有更高精度、更多设计自由度的系统动力学建模有效工具以来受到学术界的广泛关注。之后，相继报道出很多关于分数阶控制策略的研究成果，如PI^λD^μ控制、滑模控制、鲁棒控制和自适应控制等。众所周知，反演法是一种控制具有三角结构的不确定整数阶非线性系统的好方法。一些研究者进一步将反演法推广到分数阶非线性系统，特别是混沌系统。Liu等人研究了具有非线性输入和未知动力学模型的分数阶非线性系统和分数阶神经网络的模糊反演控制问题。Wei等人利用频率分布模型讨论了分数阶系统和不对称分数阶系统的自适应反演控制问题。随着系统阶数的增加，这些方法的分数阶求导会出现“爆炸项”，同时一般模糊逻辑面对高维超混沌系统时会出现逼近精度低问题。此外，规定的性能控制问题，包括瞬时动态和稳态响应不能在其中解决。

工程中存在涉及消耗更少资源的零和微分对策问题，如何近似哈密顿-雅可比-艾萨克斯方程的解以获得纳什均衡解变得有些棘手。为了解决这个问题，Vamvoudakis等学者利用沿玩家轨迹测量的数据进行强化学习来解决多玩家游戏问题。为了解决零和微分对策问题，Modares和Lewis提出了约束输入系统的积分强化学习和H∞控制策略。这些工作对于整数阶系统的最优控制是有效的，而不是分数阶机电地震仪系统的。因此，如何为分数阶机电设备设计具有最优性能的加速稳定控制器仍然是一个悬而未决的问题。

对于给定瞬态和稳定行为的非线性系统，规定的性能控制已成为另一个有趣但具有挑战性的话题。值得指出的是，在违反约束的情况下来自安全规范和物理故障的约束会导致被控系统性能下降和不稳定运行。障碍李雅普诺夫函数方法用来解决状态约束问题。结合规定的性能控制和障碍李雅普诺夫函数，Zhao等解决了具有全状态约束和非参数不确定性的欧拉-拉格朗日系统的零误差跟踪问题。Huang等讨论了在给定性能指标下针对具有完整状态约束的严格反馈系统的自适应神经控制。在分数阶领域，这些工作不再适用，而且一类严格的反馈系统与具有复杂动力学的自持式机电地震仪系统之间存在巨大差异。此外，非线性系统的最优能量成本在这类文献中并未涉及。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种具有约束的分数阶自持式机电地震仪系统加速稳定控制方法，解决能量机制下分数阶自持式机电地震仪系统的动力学分析和加速稳定控制问题。使用该方法，保证闭环系统所有信号的有界性且保证系统在满足约束条件下的安全运行，达到了抑制混沌振荡和实现最小化成本函数的目的。

为达到上述目的，本发明提供如下技术方案：

一种具有约束的分数阶自持式机电地震仪系统加速稳定控制方法，建立该控制系统的陀螺耦合分数阶方程，利用相图和李雅普诺夫指数进行动力学分析，发现混沌行为和周期行为对系统物理参数和分数阶阶数有很强的依赖性。整个控制器由加速前馈控制器和最优反馈控制器构成。在加速前馈控制器中，利用一种塑造行为函数在可控的时间和速率上加速跟踪误差收敛，并利用变换的模糊小波神经网络逼近系统的未知项，设置跟踪微分器解决塑造行为函数以及在分数阶反演法框架下分数阶的复杂性问题。在最优反馈控制器中，提出了一种自适应动态规划策略来处理零和微分对策解问题，其中利用模糊小波神经网络在线近似求解约束哈密顿-雅可比-艾萨克斯方程的解。该方法具体包括以下步骤：

S1：系统建模，根据牛顿第二定律和基尔霍夫定律建立分数阶自持式机电地震仪系统的数学模型，并定义约束条件；

S2：设计加速稳定控制器，包括构建加速前馈控制器和最优反馈控制器；加速前馈控制器由基于分数阶反演法的塑造行为函数、模糊小波神经网络和跟踪微分器集成；最优反馈控制器由模糊小波神经网络和自适应动态规划策略融合而成。

进一步，所述步骤S1中，分数阶自持式机电地震仪系统的数学模型：

其中，m是质量，x是弹簧的伸长度，k₀是线性弹簧系数，k₁是立方弹簧系数，k₂是五阶弹簧系数，B表示磁场，l表示电线的长度；α是分数阶阶数，q是瞬时电荷，C₀是电容器的线性部分，I₀是初始电流，a_a和a_b是电容器非线性部分的系数；

表示电流；f_v＝f₁+f₀cosΩt表示由于地面加速度引起的随机振动，f₁表示临界力且假设为0，f₀和Ω表示噪声项的振幅和频率；

所述系统的陀螺耦合分数阶控制方程为：

其中，u_i,i＝2,4表示增加的控制输入；定义无量纲参数：

x₁＝y,x₃＝z,C表示卡普托定义，μ₀表示阻尼系统，L是线性电感器，Q₀表示参考电荷，R是电阻；定义的新无量纲变量为y＝x/l,z＝q/Q₀,τ＝ω_et,

进一步，所述步骤S1中，定义的约束条件具体包括：

定义1：对于实函数F(t)，给出卡普托分数阶导数为：

其中，

表示n-1＜α＜n，

的伽马函数；

将上述方程取拉普拉斯变换得：

如果F^(k)(0)＝0,k＝0,1,…,max(p_α,p_β)成立，其中p_α,p_β＞0，则

定义2：定义一个带约束的成本函数为：

其中，Q(S)＞0，S和U'表示罚函数，跟踪误差和正定函数，U'定义为：

其中，R_o表示对称正定矩阵，λ_o表示正常数，

表示最优控制输入，υ表示变量；

定义3：类似κ(t)＝1+l₀(t-t₀)²、κ(t)＝exp(l₀(t-t₀))或κ(t)＝1+tan(0.5πtanh(t-t₀))等形式的速率函数

具有以下特性：1)κ(t)＞1，其中t＞t₀且κ(t₀)＝1；2)

其中t≥t₀；3)

是有界的；其中，l₀表示常量，t₀表示初始时间；

假设：目标轨迹x_id,i＝1,3和对应的分数阶导数已知且有界，则

其中A_i＞0，

进一步，所述步骤S2中，构建加速前馈控制器具体包括：

为了指定给定时间内的稳态误差和跟踪精度，引入了塑造行为函数

其中η_b＞1，

和

定义误差变量为：

其中，α_i+1表示虚拟控制；

步骤1：为了确保x₁满足约束条件，选择第一个李雅普诺夫候选函数为：

其中，

相应地选择虚拟控制为：

结合虚拟控制求得V₁的导数为：

其中，β表示塑造行为函数，k₁＞0，

和

步骤2：选择第二个李雅普诺夫候选函数为：

其中，

表示射击度数的估计值；

使用模糊小波神经网络在紧凑集上逼近，并基于整数阶跟踪微分器重构一个分数阶跟踪微分器：

其中，

和

表示跟踪微分器的状态，

表示跟踪微分器的输入信号，c_i和σ_i表示满足c_i＞0和0＜σ_i＜1的设计常数；

设计自适应律的控制输入为：

结合分数阶跟踪微分器和控制输入，求得V₂的分数阶导数为：

其中，k₂表示正常数，

步骤3：选择第三个李雅普诺夫候选函数为：

其中

虚拟控制选择为：

其中，k₃表示正常数；

结合虚拟控制求出V₃的导数为：

其中，

和

步骤4：选择第四个李雅普诺夫候选函数为：

设计控制输入和自适应律为：

其中，k₄表示正常数，Z₄表示分数阶跟踪微分器的状态；

结合控制输入和自适应律求出V₄的导数为：

其中

k_s＝min{k₁ k₂ k₃ k₄}，

和

进一步，所述步骤S2中，构建最优反馈控制器具体包括：首先，给定受控系统、成本函数和最优成本函数，存在满足

的连续可微和无界Lyapunov函数J_a，其中

表示

的偏导数；定义一个对称正定矩阵，使得

然后，采用模糊小波神经网络来估计成本函数，引入权重近似误差

得到最优控制输入为：

其中

从而推导出一个与模糊小波神经网络相关联的权值自适应律，即：

其中，

k_o表示设计参数，z₁和z₂表示调节参数，受控系统为：

G表示四阶单位矩阵。

本发明的有益效果在于：

1)本发明建立了自持式机电地震仪系统的分数阶动力学模型，精准描述系统的动力学特性，增加控制器的设计自由度。

2)为了更好地检测和记录地面的有益振动，本发明提出了一种将混沌运动转换为系统常规运动的加速稳定控制方案，实现加快收敛与稳定，克服不确定性和混沌振荡的影响。

3)本发明的整个控制策略包括一个加速前馈控制器和一个最优反馈控制器。加速前馈控制器由基于分数阶反演法的塑造行为函数、模糊小波神经网络和跟踪微分器集成，最优反馈控制器由模糊小波神经网络和自适应动态规划策略融合而成。该控制策略不仅保证了闭环系统所有信号的有界性且保证系统在满足约束条件下的安全运行，达到了抑制混沌振荡和实现最小化成本函数的目的。

本发明的其他优点、目标和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导。本发明的目标和其他优点可以通过下面的说明书来实现和获得。

附图说明

为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面将结合附图对本发明作优选的详细描述，其中：

图1为本发明加速稳定控制方法的原理图；

图2为自持式机电地震仪系统原理图；

图3为在不同的分数阶和第1组参数下的相图；

图4为在不同的分数阶和第2组参数下的相图；

图5为Lyapunov指数与时间历程和分数阶的关系仿真图；

图6为第1种情况下不同参数和分数阶下的目标轨迹跟踪仿真图；

图7为第1种情况下下不同参数和分数阶的性能曲线图；

图8为在验证实施例下，本发明方法与AFBC的性能对比仿真图；

附图标记：1-弹簧，2-地震质量块，3-减震器，4-框架，5-耦合磁体线圈，6-永磁体，7-螺栓，8-基座。

具体实施方式

以下通过特定的具体实例说明本发明的实施方式，本领域技术人员可由本说明书所揭露的内容轻易地了解本发明的其他优点与功效。本发明还可以通过另外不同的具体实施方式加以实施或应用，本说明书中的各项细节也可以基于不同观点与应用，在没有背离本发明的精神下进行各种修饰或改变。需要说明的是，以下实施例中所提供的图示仅以示意方式说明本发明的基本构想，在不冲突的情况下，以下实施例及实施例中的特征可以相互组合。

请参阅图1～图8，为一种具有约束的分数阶自持式机电地震仪系统加速稳定控制方法，如图1所示，该方法包括以下步骤：

一、系统建模。

图2所示的分数阶自持式机电地震仪系统由电气和机械部分组成，其中前者由线性电感器L、非线性电容器C_NL、非线性电阻器R_NL和电动势e_v彼此串联组成，后者由一个减震器3和一个悬挂在弹簧上的地震质量块2组成。这两部分通过耦合磁体线圈5和永磁体6相互作用，产生径向磁场

一旦发生地震，地壳断裂所产生的振动就会从断裂位置向外辐射。地震仪根据地震质量块的垂直运动来探测和测量这些振动。Westerlund和Ekstam揭示了各种电介质电容器的分数阶实验值，其中电流

和电压

之间存在分数阶关系

基于这一事实和分数阶算子的持久记忆，非线性电阻器和电容器的电压表示为：

其中，α是分数阶阶数，q是瞬时电荷，R是电阻，C₀是电容器的线性部分，I₀是初始电流，a_a和a_b是电容器非线性部分的系数，

中I是电流。

显然，在被控制的系统中存在摩擦和空气阻力，将具有非线性刚度的弹簧力写为

F_k＝k₀+k₁x²+k₂x⁴, (2)

其中，x是弹簧的伸长度，k₀是线性弹簧系数，k₁是立方弹簧系数，k₂是五阶弹簧系数。

由于永磁体和耦合线圈的构成结构，因此有必要考虑机械部分的拉普拉斯力和电气部分的伦兹电动势。基于牛顿第二定律和基尔霍夫定律，设计分数阶自持式机电地震仪系统的数学模型如下：

其中，m是质量，B表示磁场，l表示电线的长度，f_v＝f₁+f₀cost表示由于地面加速度引起的随机振动，f₁表示临界力且假设为0，f₀和表示噪声项的振幅和频率。

定义新的无量纲变量为：

其中Q₀表示参考电荷。

在Grünwald-Letnikov、黎曼-卢维尔和卡普托分数定义中，由于卡普托定义的分数阶和整数阶系统在应用中的初始条件形式相同，故而采用该定义。利用方程(3)和(4)和增加控制输入u_i,i＝2,4，导出了陀螺耦合系统的控制方程

定义无量纲参数为：

x₁＝y,x₃＝z,C表示卡普托定义。

定义1：对于实函数F(t)，给出了卡普托分数阶导数为

其中，

表示n-1＜α＜n，

的伽马函数。

将方程(6)取拉普拉斯变换得

如果F^(k)(0)＝0,k＝0,1,…,max(p_α,p_β)成立，其中p_α,p_β＞0，则

定义2：提出了一个带约束的成本函数

其中Q(S)＞0，S和U'表示罚函数，跟踪误差和正定函数，U'定义为

其中R_o表示对称正定矩阵，λ_o表示正常数。

定义3：类似κ(t)＝1+l₀(t-t₀)²、κ(t)＝exp(l₀(t-t₀))或κ(t)＝1+tan(0.5πtanh(t-t₀))等形式的速率函数

具有以下特性：1)κ(t)＞1，其中t＞t₀且κ(t₀)＝1；2)

其中t≥t₀；3)

是有界的；其中l₀表示常量，t₀表示初始时间。

假设1：目标轨迹x_id,i＝1,3和对应的分数阶导数已知且有界。这意味着

其中A_i＞0，

二、动力学分析。

为了揭示地震仪系统的动力学特性，本实施例给出两组地震仪系统的物理参数：

第1组：μ₁＝0.1,μ₂＝0.2,ω₁＝1,λ₁＝0.01,λ₂＝-0.7,β₁＝0.01,β₂＝0.1,γ₁＝0.25,γ₂＝0.95,ω＝0.5,

第2组：μ₁＝0.03,μ₂＝0.02,ω₁＝1,λ₁＝0.5,λ₂＝0.6,β₁＝0.05,β₂＝0.13,γ₁＝0.65,γ₂＝0.42,ω＝0.25.

采用多步法求解分数阶微分方程的数值解。

的解可以通过产品集成求积公式产生显式欧拉方法近似

其中t_m＝nh，具有恒定步长h＞0。方程(11)中右边第一项表示以时间零点为中心的函数F(t)的n-1次泰勒多项式。数值解F_m≈F(t_m)在每个子区间[t_j,t_j+1]中逼近，矢量场y(t,F(t))通过一阶插值多项式被近似。

图3、图4展示了两种情况下在不同的分数阶和参数下的相图，显然，包括分数阶和外力在内的不同参数集会诱发周期、准周期和混沌行为。混沌吸引子经历了放大、收缩、扭曲和移动。图5揭示了时间历程和分数阶的李雅普诺夫指数，可以看出，由于LE的负值和正值，分数阶地震仪系统表现出周期性运动和混沌振荡。由势能的非平衡相互作用引起的这种振荡会破坏系统能量机制下的稳定性。

本实施例的控制问题是：利用成本函数(9)，结合给出的分数阶自持式机电地震仪系统的数学模型(5)，找到一种加速稳定控制策略，使闭环系统中所有信号都有界，满足约束条件

和

并且成本函数是最小的。另外，在混沌吸引子中嵌入检测和记录地震地面振动的目标轨迹，实现混沌控制。

三、设计加速稳定控制器，包括构建加速前馈控制器和最优反馈控制器；加速前馈控制器由基于分数阶反演法的塑造行为函数、模糊小波神经网络和跟踪微分器集成；最优反馈控制器由模糊小波神经网络和自适应动态规划策略融合而成。

1、模糊小波神经网络

模糊小波神经网络在控制、预测和分类方面具有良好的性能。它由一系列模糊“如果-则”规则组成：

如果x₁是

x_n是

则

是ω_j,j＝1,…,N_s， (12)

其中

表示第i个输入的第j个隶属函数，n_s表示输入数，N_s表示所考虑的模糊规则数。

将规则的触发度定义为

其中i＝1,…,N，j＝1,…,n，n表示输入的数目，N表示规则神经元的数目，

和

表示隶属函数的中心和宽度。

射击度数定义如下：

令ξ≡[₁,…,ξ_N]^T，w≡[w₁,…,w_N]^T，则模糊小波神经网络的输出如下：

其中

i＝1,…,N和

表示向量权重，存在

其中ε和D_X表示逼近误差和具有有界X的紧集，设最优参数w^*等于

的解，Ω_w表示w的紧集。引入

其中w^*表示满足

和

的虚拟量。

为了提高求解速度，从(15)中推导出与模糊小波神经网络相关联的变换

其中

成立，

表示ζ_i和b_i＞0的离子。

由于常数的卡普托导数为零，可以推导出

2、设计加速前馈控制器

为了指定给定时间内的稳态误差和跟踪精度，引入了塑造行为函数

其中η_b＞1，

和

定义误差变量为：

其中α_i+1表示虚拟控制。

基于分数阶反演法的原理，加速前馈控制器由四个步骤组成。

步骤1：为了确保x₁满足约束条件，选择第一个李雅普诺夫候选函数为

其中

取V₁的导数为

其中

和

相应地选择虚拟控制为

其中k₁＞0。

根据(22)可将(21)转换为

步骤2：选择第二个李雅普诺夫候选函数为

求V₂的分数阶导数

其中

具有连续函数

和

将系统动力学中涉及的

项视为一个未知函数。为了便于控制器设计，使用模糊小波神经网络在紧凑集上逼近它，即

其中(·)表示(x₁,x₂,x₃,x₄)的缩写。

显然，由于塑造行为函数和分数阶的复杂性，直接计算

是非常困难的。为了实现对虚拟控制导数的信号估计，基于整数阶跟踪微分器重构了一个分数阶跟踪微分器

其中

和

表示跟踪微分器的状态，

表示跟踪微分器的输入信号，c_i和σ_i表示满足c_i＞0和0＜σ_i＜1的设计常数。

结合式(26)和式(27)，将式(25)重写为：

然后，具有自适应律的控制输入设计如下

其中k₂表示正常数。

将式(29)和式(30)代入式(28)得：

步骤3：第三个李雅普诺夫候选函数

其中

虚拟控制选择为：

其中k₃表示正常数。

根据(31)和(32)求出V₃的导数

其中

和

步骤4：选择第四个李雅普诺夫候选函数

注意

和

被认定为一个未知函数。再一次用模糊小波神经网络

逼近它。

同理步骤2，控制输入和自适应律被直接设计为：

其中k₄表示正常数，Z₄表示分数阶跟踪微分器的状态。

用式(35)和式(36)可以推导出(34)的导数为：

其中

k_s＝min{k₁ k₂ k₃ k₄}，

和

控制策略由加速前馈控制器和最优反馈控制器组成。后者依赖前者，而不是并列的。如果

和

不能保证闭环系统的稳定性。另外，所提出的加速前馈控制器不涉及最优性。

3、设计最优反馈控制器

在式(37)的基础上，为解决地震仪系统的零和微分对策问题，需要开发与自适应动态规划策略相结合的最优反馈控制方法，即

其中G表示四阶单位矩阵。

根据式(9)，定义式(38)的哈密顿函数：

其中

表示

的梯度。

利用哈密顿-雅可比-艾萨克斯理论，通过求解

可以计算出最优成本函数J^*。最优控制输入写为

其中

将式(40)代入式(39)，推导出哈密顿-雅可比-艾萨克斯方程

引理1：给定受控系统(38)、成本函数(9)和最优控制(40)，存在满足

的连续可微和无界Lyapunov函数J_a，其中

表示

的偏导数。定义一个对称正定矩阵Γ，使得

为了解决像

这样的未知系统动力学问题，采用模糊小波神经网络来估计成本函数

且偏导数为

通过泰勒展开，得到了最优控制输入和哈密顿-雅可比-艾萨克斯方程

其中

和

鉴于模糊小波神经网络的权值未知，有必要引入当前已知的权值来代替他们：

其中

和

表示J和w_o的估计值。此外，权重近似误差定义为

调用式(45)，最优控制输入可以改写为

其中

式(41)变为：

调用式(39)，需要选择

使平方残留误差

最小化。然而，在学习过程中，仅调节e_q不能保证被控系统的稳定性。因此，推导了一个与模糊小波神经网络相关联的权值自适应律，即：

其中

k_o表示设计参数，z₁和z₂表示调节参数。

权重自适应律包括三个部分。第一部分是用于稳定性分析，第二部分是为了最小化哈密顿函数，第三部分用于保证系统状态有界性。

四、稳定性分析

定理1：对于式(5)描述的分数阶自持式机电地震仪系统且具有成本函数式(9)的加速稳定控制问题，设计具有自适应律式(30)，式(36)的加速前馈控制输入为式(29)，式(35)。如果通过与模糊小波神经网络相关的更新律式(48)将最佳反馈控制输入推导为式(46)，则闭环系统中的所有信号都有界且不违反约束。同时，实现了加速稳定并且使成本函数最小化。

证明：选择整个李雅普诺夫候选函数

式(49)的导数为：

其中

表示

的最小属性值，

式(50)进一步简化为：

其中

λ_min(Λ)表示Λ的最小特征值。

如果条件

或

成立，则

通过调整k_i,i＝1,…,4、b_i,i＝2,4、R_o、λ_o、k_o、z_i,i＝1,2等设计参数，可以获得满意的暂态性能和稳定结果。直接调整k_i可以得到较低的跟踪误差。然而，过大的k_i值将导致较大的控制输入。另外选择z_i来保证矩阵

是正定矩阵。

实施例验证：

加速前馈控制器和跟踪微分器的参数设置为k₁＝k₂＝10、k₃＝k₄＝15、b₂＝b₄＝0.6、l₀＝1、c₁＝c₃＝4和σ₁＝σ₃＝0.2。选择塑造行为函数的参数为η_b＝1.1、

和

选择目标轨迹为x_1d＝1.5sin3t和x_3d＝0.9sin2t。很容易得到A₁＝1.5，A₃＝0.9，

和

在最优反馈控制器中，最优控制输入的约束条件为

罚函数Q等于

对称正定矩阵R_o设为I_4×4。此外，z₂≡8×I_4×4，z₁≡[9 9 9 9]^T和k_o＝5。模糊小波神经网络的中心和宽度定义为

和

图6显示了情况1下不同参数和分数阶下的目标轨迹跟踪。分数阶自持式机电地震仪系统在很短的时间内将实现高精度的轨迹跟踪。随着时间的推移，外部和内部环境对系统参数和分数阶的变化不会影响跟踪性能。与图3-4相比，设计的控制器完全抑制了与势能相关的混沌振荡。从图7的第1子图和第5子图可以看出，基于Lyapunov函数的控制方案不会违反状态约束条件，且无论系统参数和分数阶是否变化，塑造行为函数都加速了稳定过程。

图7的第2子图和第6子图揭示了模糊小波神经网络对未知系统动力学的逼近能力。同时可以看出，这种近似能力对系统参数不敏感，对分数阶敏感。在图7的第4和第8个子图中，无论系统参数和分数阶如何变化，最优控制输入都满足给定的约束条件。图7的其余子图进一步显示了所提的方案在不同参数和分数阶下的稳定控制性能。

为了验证本发明控制方法的优越性，将所本发明设计的方案与自适应模糊反演控制(AFBC)方法进行了比较。从图8可以看出，无论是在稳定振幅还是在响应时间上，本发明所提方案都明显优于AFBC。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (4)

1.一种具有约束的分数阶自持式机电地震仪系统加速稳定控制方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

S1：系统建模，根据牛顿第二定律和基尔霍夫定律建立分数阶自持式机电地震仪系统的数学模型，并定义约束条件；

S2：设计加速稳定控制器，包括构建加速前馈控制器和最优反馈控制器；加速前馈控制器由基于分数阶反演法的塑造行为函数、模糊小波神经网络和跟踪微分器集成；最优反馈控制器由模糊小波神经网络和自适应动态规划策略融合而成；

步骤S1中，分数阶自持式机电地震仪系统的数学模型：

其中，m是质量，x是弹簧的伸长度，k₀是线性弹簧系数，k₁是立方弹簧系数，k₂是五阶弹簧系数，B表示磁场，l表示电线的长度；α是分数阶阶数，q是瞬时电荷，C₀是电容器的线性部分，I₀是初始电流，a_a和a_b是电容器非线性部分的系数；

表示电流；f_v＝f₁+f₀cosΩt表示由于地面加速度引起的随机振动，f₁表示临界力且假设为0，f₀和Ω表示噪声项的振幅和频率；

系统的陀螺耦合分数阶控制方程为：

其中，u_i,i＝2,4表示增加的控制输入；定义无量纲参数：

x₁＝y,x₃＝z,C表示卡普托定义，μ₀表示阻尼系统，L是线性电感器，Q₀表示参考电荷，R是电阻；定义的新无量纲变量为y＝x/l,z＝q/Q₀,τ＝ω_et,

2.根据权利要求1所述的具有约束的分数阶自持式机电地震仪系统加速稳定控制方法，其特征在于，所述步骤S1中，定义的约束条件具体包括：

定义1：对于实函数F(t)，给出卡普托分数阶导数为：

其中，

表示n-1＜α＜n，

的伽马函数；

将上述方程取拉普拉斯变换得：

如果F^(k)(0)＝0,k＝0,1,…,max(p_α,p_β)成立，其中p_α,p_β＞0，则

定义2：定义一个带约束的成本函数为：

其中，Q(S)＞0，S和U'表示罚函数，跟踪误差和正定函数，U'定义为：

其中，R_o表示对称正定矩阵，λ_o表示正常数，

表示最优控制输入，υ表示变量；

定义3：速率函数

具有以下特性：1)κ(t)＞1，其中t＞t₀且κ(t₀)＝1；2)

其中t≥t₀；3)

是有界的；其中，l₀表示常量，t₀表示初始时间；

假设：目标轨迹x_id,i＝1,3和对应的分数阶导数已知且有界，则|x_id|≤A_i＜k_ζi，其中A_i＞0，k_ζi＞0。

3.根据权利要求2所述的具有约束的分数阶自持式机电地震仪系统加速稳定控制方法，其特征在于，所述步骤S2中，构建加速前馈控制器具体包括：

为了指定给定时间内的稳态误差和跟踪精度，引入了塑造行为函数

其中η_b＞1，

ε_b＜1和

定义误差变量为：

其中，α_i+1表示虚拟控制；

步骤1：为了确保x₁满足约束条件，选择第一个李雅普诺夫候选函数为：

其中，

相应地选择虚拟控制为：

结合虚拟控制求得V₁的导数为：

其中，β表示塑造行为函数，k₁＞0，

和

步骤2：选择第二个李雅普诺夫候选函数为：

其中，

表示射击度数的估计值；

使用模糊小波神经网络在紧凑集上逼近，并基于整数阶跟踪微分器重构一个分数阶跟踪微分器：

其中，

和

表示跟踪微分器的状态，

表示跟踪微分器的输入信号，c_i和σ_i表示满足c_i＞0和0＜σ_i＜1的设计常数；

设计自适应律的控制输入为：

结合分数阶跟踪微分器和控制输入，求得V₂的分数阶导数为：

其中，k₂表示正常数，

步骤3：选择第三个李雅普诺夫候选函数为：

其中

虚拟控制选择为：

其中，k₃表示正常数；

结合虚拟控制求出V₃的导数为：

其中，

和

步骤4：选择第四个李雅普诺夫候选函数为：

设计控制输入和自适应律为：

其中，k₄表示正常数，Z₄表示分数阶跟踪微分器的状态；

结合控制输入和自适应律求出V₄的导数为：

其中

k_s＝min{k₁ k₂ k₃ k₄}，

和

4.根据权利要求3所述的具有约束的分数阶自持式机电地震仪系统加速稳定控制方法，其特征在于，所述步骤S2中，构建最优反馈控制器具体包括：首先，给定受控系统、成本函数和最优成本函数，存在满足

的连续可微和无界Lyapunov函数J_a，其中

表示

的偏导数；定义一个对称正定矩阵Γ，使得

然后，采用模糊小波神经网络来估计成本函数，引入权重近似误差

得到最优控制输入为：

其中

从而推导出一个与模糊小波神经网络相关联的权值自适应律，即：

其中，

k_o表示设计参数，z₁和z₂表示调节参数，受控系统为：

G表示四阶单位矩阵。

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