CN110131312B - 五自由度交流主动磁轴承自抗扰解耦控制器及构造方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种五自由度交流主动磁轴承自抗扰解耦控制器及构造方法，由串接在复合被控对象前的内部结构相同的五个自适应自抗扰控制器组成，分别控制单自由度被控对象，每个自适应自抗扰控制器都由跟踪微分器、非线性状态误差反馈控制律、自适应扩张状态观测器、BP神经网络、第一补偿因子和第二补偿因子组成，通过构造系统的自适应扩张状态观测器，能够自动补偿被控对象内部、外部扰动，并采用状态误差反馈控制律实现系统优良的控制性能，利用神经网络逼近非线性函数的性质对关键参数进行整定，实现了自抗扰解耦控制器关键参数的在线自整定，提高了自抗扰解耦控制器的控制性能。

Description

五自由度交流主动磁轴承自抗扰解耦控制器及构造方法

技术领域

本发明属于高速及超高速电气传动领域，是一种五自由度交流主动磁轴承的控制器，为高速转轴的高效、精密支承提供条件，适用于高速机床、飞轮储能、航天航空和核能等。

背景技术

磁轴承通过电磁力将转子悬浮于空中，使定子和转子之间不存在任何机械接触，因此具有无摩擦、无磨损、无需润滑、寿命长、高精度及高速度等突出优点，特别是在高速机床主轴系统中，主轴的支撑方式很大程度上决定了机床所能达到的切削速度、加工精度和应用范围，将磁轴承应用于高速机床主轴的支撑中，为高速机床主轴技术水平的提高创造了有利条件。

五自由度交流主动磁轴系统是一个强耦合、非线性的多输入多输出系统，要实现磁轴承的高速高精度稳定运行，需要对系统进行线性化解耦控制。通常的线性化解耦控制方法有：近似线性化法、微分几何法、解析逆系统法等。其中近似线性化法只能对系统进行静态解耦，临界转速、系统参数改变及干扰等因素会降低其控制性能。微分几何法采用比较抽象的数学工具，计算复杂，不利于推广应用。解析逆系统方法要求具体的系统参数和被控对象的数学模型已知，但在实际工程应用中往往极难求出逆模型的解析解，且难以确切描述系统的非线性特性。

目前，自抗扰控制器具有不依赖被控对象精确数学模型的优点被广泛应用在复杂的控制系统中，例如中国专利申请号为201310491326.4，名称为“一种飞轮储能用轴向磁轴承自抗扰控制器的构造方法”的文献中提出采用自抗扰控制器对轴向磁轴承进行控制，但其仅用自抗扰控制器对轴向磁轴承进行控制，自抗扰控制器并不具有对磁轴承的解耦性能，并且仅对自抗扰控制器的一项参数进行自整定。

发明内容

本发明的目的是为克服现有五自由度交流主动磁轴承系统解耦控制技术的不足，提供一种五自由度交流主动磁轴承自适应自抗扰解耦控制器及其构造方法，既可实现五自由度交流主动磁轴承系统径向及轴向五个自由度位移变量之间的解耦控制，又可使系统获得良好的动、静态性能，有效提高整个系统的控制性能。

本发明采用五自由度交流主动磁轴承自抗扰解耦控制器采用的技术方案是：由串接在复合被控对象前的内部结构相同的五个自适应自抗扰控制器组成，分别控制单自由度被控对象，其中的第一自适应自抗扰控制器的输入为径向位移x_a和径向位移的期望值x_a ^*、输出为控制电流期望值i_ax ^*，第二自适应自抗扰控制器的输入为径向位移y_a和径向位移的期望值y_a*、输出为控制电流期望值i_ay ^*，第三自适应自抗扰控制器的输入为径向位移x_b和径向位移的期望值x_b ^*、输出为控制电流期望值i_bx ^*，第四自适应自抗扰控制器的输入为径向位移y_b和径向位移的期望值y_b ^*、输出为电流期望值i_by ^*，第五自适应自抗扰控制器的输入为轴向位移z和轴向位移的期望值z^*、输出为控制电流期望值i_z ^*；每个自适应自抗扰控制器都由跟踪微分器、非线性状态误差反馈控制律、自适应扩张状态观测器、BP神经网络、第一补偿因子和第二补偿因子组成，五个跟踪微分器的输入分别是径向位移的期望值x_a ^*、ya*、x_b ^*、y_b ^*和轴向位移的期望值z^*，其中的第一个跟踪微分器的输出是对应的跟踪信号x₁和微分信号x₂，第一个自适应扩张状态观测器的输入为复合被控对象的输出位移x_a、三个参数β₀₁、β₀₂和β₀₃、控制量u、输出为x₁、x₂的估计值z₁、z₂和总扰动的估计值z₃，第一个非线性状态误差反馈控制律的输入为误差e₁＝x₁-z₁和e₂＝x₂-z₂、输出为控制量u₀，第一个BP神经网络的输入为误差e₁、e₂、位移x_a和偏置值1、输出为三个参数β₀₁、β₀₂和β₀₃，第一个第一补偿因子的输入为误差u₀-z₃、输出为至单自由度被控对象的电流i_a ^*，第一个第二补偿因子的输入是电流i_a ^*，输出是至自适应扩张状态观测器的控制量u。

所述的五自由度交流主动磁轴承自抗扰解耦控制器的构造方法采用的技术方案是包括如下步骤：

步骤A：采用下式构造第一个跟踪微分器，得到跟踪信号x₁和微分信号x₂：

为最速综合函数，h₀为积分步长；r₀为速度因子；h为采样周期；x_a ^*(k)为径向位移x_a ^*在k时刻的值；x₁(k)为x₁在k时刻的值；x₁(k+1)为x₁在k+1时刻的值；x₂(k)为x₂在k时刻的值；x₂(k+1)为x₂在k+1时刻的值。

步骤B：采用下式构造第一个自适应扩张状态观测器，得到其输出z₁、z₂和z₃：

u(k)为扰动补偿形成控制量u(k)＝(u₀(k)-z₃(k))/b₀，u₀(k)为控制量u₀在k时刻的值；fal为非线性函数，其表达式：

z₁(k)、z₂(k)、z₃(k)分别为z₁、z₂、z₃在k时刻的值，z₁(k+1)、z₂(k+1)、z₃(k+1)分别为z₁、z₂、z₃在k+1时刻的值，x_a(k)为x_a在k时刻的值，e为误差，h为采样周期，b₀为第一补偿因子的估计值，b为第二补偿因子的值，b＝1/b₀；α₁取0.5，α₂取0.25，δ₁＞0，为采样周期的5～10倍。

步骤C：采用式u₀＝β₁fal(e₁,α₃,δ₂)+β₂fal(e₂,α₄,δ₂)构造第一个非线性状态误差反馈控制律，得到控制量u₀；fal为非线性函数，误差e₁＝x₁-z₁，e₂＝x₂-z₂，α₃取0.5，α₄取0.25，δ₂＞0，取采样周期的5～10倍；

步骤D：采用第一个BP神经网整定三个参数β₀₁、β₀₂和β₀₃。

本发明的优点在于：

1、本发明中的自适应自抗扰解耦控制器串联于复合被控对象前，从而把具有强耦合、非线性特性的五自由度交流主动磁轴承系统解耦为无耦合线性系统，通过构造系统的自适应扩张状态观测器，能够自动补偿被控对象内部、外部扰动，并采用状态误差反馈控制律实现系统优良的控制性能。

2、由于标准自抗扰控制器所需整定的参数较多，有些参数之间还存在相互影响，因此参数整定十分困难。而且五自由度交流主动磁轴承受到的扰动往往是不固定的，因此一套固定的参数难以满足系统的控制要求，本发明提出的自抗扰解耦控制器，利用神经网络逼近非线性函数的性质对关键参数进行整定，实现了自抗扰解耦控制器关键参数的在线自整定，提高了自抗扰解耦控制器的控制性能。

附图说明

图1是五自由度交流主动磁轴承结构示意图；

图2是复合被控对象4的结构示意图；

图3是本发明所述的五自由度交流主动磁轴承自适应自抗扰解耦控制器的总体框图；

图4是图1中其中一个自适应自抗扰控制器的结构图；

图中：a、b.径向主动磁轴承；c.轴向主动磁轴承；d.高速电机；f1、f2.径向位移传感器；f3.轴向位移传感器；g1、g2.辅助轴承；h1、h2.端盖；i.套筒；m.转轴；1.五自由度交流主动磁轴承；2.功率驱动器；3.坐标变换；4.复合被控对象；5.自抗扰控制器；21、22.电流跟踪逆变器；23.开关功率放大器；31、32.Clark逆变换；51、52、53、54、55.自适应自抗扰控制器；511.跟踪微分器；512.非线性误差状态反馈控制律；513.自适应扩张状态观测器；514.BP神经网络；515.第一补偿因子；516.第二补偿因子；517.单自由度被控对象。

具体实施方式

如图1，五自由度交流主动磁轴承1由两个径向主动磁轴承a、b、一个轴向主动磁轴承c和高速电机d构成；两个径向主动磁轴承a、b、一个轴向主动磁轴承c和高速电机d均同轴心地装在套筒i中，均共用同一个转轴m，转轴m的轴向两端分别由辅助轴承g1、g2支撑，辅助轴承g1、g2分别固定在对应的端盖h1、h2上。两个径向位移传感器f1、f2分别固定在对应的径向主动磁轴承a、b的两侧，测量转子径向位移。轴向位移传感器f3固定在端盖h2上，并处于转轴m的轴心线上，测量转子轴向位移。

如图2所示，复合被控对象4由坐标变换模块3、功率驱动器2和五自由度交流主动磁轴承1依次串接组成。由两个电流跟踪逆变器21、22与一个开关功率放大器23构成功率驱动器2，并串接于五自由度交流主动磁轴承1前，由两个Clark逆变换模块31、32作为坐标变换模块3，坐标变换模块3串接于功率驱动器2之前，其中，第一Clark逆变换模块31串接于第一电流跟踪逆变器21前，第二Clark逆变换模块32串接于第二电流跟踪逆变器22前，坐标变换模块3、功率驱动器2与五自由度交流主动磁轴承1共同构成复合被控对象4。径向主动磁轴承a的径向等效控制电流期望值i_ax ^*、i_ay ^*经第一Clark逆变换模块31变换为三相电流期望值i_au ^*、i_av ^*、i_aw ^*，径向主动磁轴承b的径向等效控制电流期望值i_bx*、i_by*经第二Clark逆变换模块32变换为三相电流期望值i_bu ^*、i_bv ^*、i_bw ^*。第一电流跟踪逆变器21跟踪三相电流期望值，输出径向主动磁轴承a的驱动电流i_au、i_av、i_aw。第二电流跟踪逆变器22跟踪三相电流期望值，输出径向主动磁轴承b的驱动电流i_bu、i_bv、i_bw。轴向控制电流期望值i_z ^*输入至开关功率放大器23，开关功率放大器23根据轴向控制电流期望值i_z ^*输出轴向驱动电流i_z。复合被控对象4的输入为等效控制电流期望值i_ax ^*、i_ay ^*、i_z ^*、i_bx ^*、i_by ^*，输出为转轴m五个方向上的位移x_a、y_a、z、x_b、y_b。转轴m五个方向上的位移x_a、y_a、z、x_b、y_b分别由位移传感器f1、f2、f3测得，根据转轴m五个方向上的位移可得到控制电流的期望值i_ax ^*、i_ay ^*、i_z ^*、i_bx ^*、i_by ^*。

如图3所示，本发明所述五自由度交流主动磁轴承自抗扰解耦控制器由五个自适应自抗扰控制器组成，分别是第一、第二、第三、第四、第五自适应自抗扰控制器51、52、53、54、55。

五自由度交流主动磁轴承的每一自由度都由一个二阶的自适应自抗扰控制器进行控制。第一、第二自适应自抗扰控制器51、52对径向交流磁主动轴承a的径向两自由度进行控制，第一自适应自抗扰控制器51的输入为径向位移x_a和径向位移的期望值x_a ^*，输出为复合被控对象4的等效控制电流期望值i_ax ^*，第二自适应自抗扰控制器52的输入为径向位移y_a和径向位移的期望值y_a*，输出为复合被控对象4的等效控制电流期望值i_ay ^*；第三、第四自适应自抗扰控制器53、54对径向交流主动磁轴承b的径向两自由度进行控制，第三自适应自抗扰控制器53的输入为径向位移x_b和径向位移的期望值x_b ^*，输出为复合被控对象4的等效控制电流期望值i_bx ^*，第四自适应自抗扰控制器54的输入为径向位移y_b和径向位移的期望值y_b ^*，输出为复合被控对象4的等效控制电流期望值i_by ^*；第五自适应自抗扰控制器55对单自由度轴向主动磁轴承c进行控制，第五自适应自抗扰控制器55的输入为转轴m的轴向位移z和轴向位移的期望值z^*，输出为复合被控对象4的等效控制电流期望值i_z ^*。

五个自适应自抗扰控制器51、52、53、54、55的结构和算法相同，以下仅以第一自适应自抗扰控制器51为例进行说明。如图4所示，第一自适应自抗扰控制器51由跟踪微分器511、非线性状态误差反馈控制律512、自适应扩张状态观测器513、BP神经网络514、第一补偿因子515、第二补偿因子516组成，对单自由度被控对象517进行控制，此处的单自由度被控对象517是指复合被控对象4中的径向交流磁主动轴承a的径向一个自由度，即控制径向位移x_a，对应于第一自适应自抗扰控制器51，由第一自适应自抗扰控制器51实现径向位移x_a控制。第一自适应自抗扰控制器51按以下步骤构建：

1、构建跟踪微分器

将径向位移的期望值x_a ^*作为跟踪微分器511的输入，跟踪微分器511根据复合被控对象4的控制需求，合理的提取跟踪信号x₁和微分信号x₂。跟踪微分器为：

式中：

为最速综合函数，h₀为积分步长；r₀为速度因子；h为采样周期；x_a ^*(k)为径向位移x_a ^*在k时刻的值；x₁(k)为x₁在k时刻的值；x₁(k+1)为x₁在k+1时刻的值；x₂(k)为x₂在k时刻的值；x₂(k+1)为x₂在k+1时刻的值。

2、构建自适应扩张状态观测器

基于复合被控对象4的输入、输出构造自适应扩张状态观测器512，其中自适应扩张状态观测器512的输入为复合被控对象4的输出位移x_a、以及自适应扩张状态观测器512的三个可调参数β₀₁、β₀₂和β₀₃；自适应扩张状态观测器512的输出为z₁、z₂和z₃，z₁、z₂分别为x₁和x₂的估计值，z₃为总扰动的估计；扩张状态观测器采用如下形式：

其中u(k)为扰动补偿形成控制量u(k)＝(u₀(k)-z₃(k))/b₀，u₀(k)为控制量u₀在k时刻的值；fal为非线性函数，其表达式：

β₀₁、β₀₂、β₀₃、α₁、α₂、δ₁、b、b₀为扩张状态观测器的可调参数；z₁(k)、z₂(k)、z₃(k)分别为z₁、z₂、z₃在k时刻的值，z₁(k+1)、z₂(k+1)、z₃(k+1)分别为z₁、z₂、z₃在k+1时刻的值，x_a(k)为x_a在k时刻的值；e为误差，h为采样周期，b₀为第一补偿因子55的估计值，b为第二补偿因子516的值，b＝1/b₀；第一补偿因子515的输入是差值u₀-z₃，输出电流i_a ^*(k)＝(u₀-z₃)/b₀，第二补偿因子516的输入为电流i_a ^*(k)，输出是控制量u＝u₀-z₃，u₀是非线性状态误差反馈控制律513输出控制量。当0＜α₁、α₂＜1时，fal函数具有小误差大增益，大误差小增益的特性，通常情况下α₁取0.5，α₂取0.25；δ₁＞0，一般可取采样周期的5～10倍；β₀₁、β₀₂、β₀₃的值由BP神经网514整定，这种根据被控对象4的变化和扰动而自动调整扩张状态观测器的参数β₀₁、β₀₂、β₀₃，即自适应扩张状态观测器。

3、构建非线性状态误差反馈控制律

将跟踪微分器511的两个输出x₁和x₂分别减去扩张状态观测器512的两个输出z₁和z₂，得到系统误差e₁＝x₁-z₁和e₂＝x₂-z₂，该误差作为非线性状态误差反馈控制律513的输入，非线性状态误差反馈控制律513输出控制量u₀。对于交流径向磁轴承系统，非线性状态误差反馈控制律72为：

u₀＝β₁fal(e₁,α₃,δ₂)+β₂fal(e₂,α₄,δ₂)，

式中：β₁和β₂为非线性状态误差反馈控制律513的两个参数，fal为非线性函数，通常情况下α₃取0.5，α₄取0.25，δ₂＞0，一般可取采样周期的5～10倍。

4、基于BP神经网络的自适应扩张状态观测器参数整定方法

BP神经网络514采用三层结构，输入层4个节点，输出层3个节点，选择信号误差e₁、信号微分误差e₂、系统输出x_a和偏置值1作为BP神经网络514的4个输入节点，结合复合被控对象4并经过试凑选择5个隐含层节点，输出层的三个节点为自适应扩张状态观测器513的三个参数β₀₁、β₀₂、β₀₃。由此可以实现自适应扩张状态观测器512参数的在线自整定。

BP神经网络514输入层的输入为

其中in表示输入层，j表示输入层的四个节点，j＝1，2，3，4；隐含层的输入输出为

其中im表示隐含层，

为隐含层加权系数k时刻的值，k表示k时刻，i表示隐含层的五个节点，i＝1，2，3，4，5；输出层的输入输出为

其中out表示输出层，k表示k时刻，

为隐含层加权系数k时刻的值，l表示输出层的三个节点，l＝1,2,3。

BP神经网络按照梯度下降法修正网络的权系数，即按照性指标函数E(k)对加权系数的负梯度方向搜索调整。传统BP算法网络连接权的迭代关系为

添加动量项之后网络连接权的迭代关系为

其中n表示调整权的次数，E为指标函数，w为加权系数，η为学习速率，α为动量因子，0＜α＜1；αΔw(n-1)就是添加的动量项。添加多重动量项的改进方法，就是在普通添加动量项αΔw(n-1)的基础上，再添加一个βΔw(n-2)和γΔw(n-3)项，

即

也就是调整(n-2)和(n-3)次时的权值变化量，β、γ为动量因子，0＜β＜1，0＜γ＜1。

BP神经网络自适应自抗扰控制器的具体算法如下：

1)确定BP神经网络的结构，即确定输入层节点数和隐含层节点数，选定惯性系数α、β、γ和学习速率η，给出各层加权系数的初始值

和

此时令k＝1；

2)采样得到k时刻的误差e₁(k)和e₂(k)；

3)计算神经网络各层神经元的输入、输出，其输出层的输出即为自适应扩张状态观测器中三个可调参数β₀₁、β₀₂和β₀₃；

4)进行神经网络的学习，对加权系数

和

进行在线调整，实现ESO三个可调参数的β₀₁、β₀₂和β₀₃自整定；

5)置k＝k+l，返回到步骤3)重新计算，直至系统误差满足要求为止。

5、将跟踪微分器511、非线性状态误差反馈控制律512、自适应扩张状态观测器513、BP神经网络514、第一补偿因子515、第二补偿因子516作为一个整体构成第一自适应自抗扰控制器51，控制单自由度被控对象517。

同理可构造出第二、第三、第四、第五自适应自抗扰控制器51、52、53、54、55，分别控制对应的单自由度被控对象，即分别控制径向位移y_a、x_b、y_b和轴向位移z。

Claims (6)

1.一种五自由度交流主动磁轴承自抗扰解耦控制器，其特征是：由串接在复合被控对象(4)前的内部结构相同的五个自适应自抗扰控制器组成，分别控制单自由度被控对象，其中的第一自适应自抗扰控制器(51)的输入为径向位移x_a和径向位移的期望值x_a ^*、输出为控制电流期望值i_ax ^*，第二自适应自抗扰控制器(52)的输入为径向位移y_a和径向位移的期望值y_a*、输出为控制电流期望值i_ay ^*，第三自适应自抗扰控制器(53)的输入为径向位移x_b和径向位移的期望值x_b ^*、输出为控制电流期望值i_bx ^*，第四自适应自抗扰控制器(54)的输入为径向位移y_b和径向位移的期望值y_b ^*、输出为电流期望值i_by ^*，第五自适应自抗扰控制器(55)的输入为轴向位移z和轴向位移的期望值z^*、输出为控制电流期望值i_z ^*；每个自适应自抗扰控制器都由跟踪微分器、非线性状态误差反馈控制律、自适应扩张状态观测器、BP神经网络、第一补偿因子和第二补偿因子组成，五个跟踪微分器的输入分别是径向位移的期望值x_a ^*、y_a*、x_b ^*、y_b ^*和轴向位移的期望值z^*，其中的第一个跟踪微分器(511)的输出是对应的跟踪信号x₁和微分信号x₂，第一个自适应扩张状态观测器(512)的输入为复合被控对象的输出位移x_a、三个参数β₀₁、β₀₂和β₀₃、控制量u、输出为x₁、x₂的估计值z₁、z₂和总扰动的估计值z₃，第一个非线性状态误差反馈控制律(513)的输入为误差e₁＝x₁-z₁和e₂＝x₂-z₂、输出为控制量u₀，第一个BP神经网络(514)的输入为误差e₁、e₂、位移x_a和偏置值1、输出为三个参数β₀₁、β₀₂和β₀₃，第一个第一补偿因子(515)的输入为误差u₀-z₃、输出为至单自由度被控对象的电流i_a ^*，第一个第二补偿因子(516)的输入是电流i_a ^*，输出是至自适应扩张状态观测器(512)的控制量u。

2.根据权利要求1所述的五自由度交流主动磁轴承自抗扰解耦控制器，其特征是：复合被控对象(4)由坐标变换模块(3)、功率驱动器(2)和五自由度交流主动磁轴承(1)依次串接组成，功率驱动器(2)由两个电流跟踪逆变器(21、22)与一个开关功率放大器(23)构成，坐标变换模块(3)由两个Clark逆变换模块(31、32)构成，第一Clark逆变换模块(31)串接于第一电流跟踪逆变器(21)前，第二Clark逆变换模块(32)串接于第二电流跟踪逆变器(22)前。

3.一种如权利要求1所述的五自由度交流主动磁轴承自抗扰解耦控制器的构造方法，其特征是包括如下步骤：

步骤A：采用下式构造第一个跟踪微分器(511)，得到跟踪信号x₁和微分信号x₂：

为最速综合函数，h₀为积分步长；r₀为速度因子；h为采样周期；x_a ^*(k)为径向位移x_a ^*在k时刻的值；x₁(k)为x₁在k时刻的值；x₁(k+1)为x₁在k+1时刻的值；x₂(k)为x₂在k时刻的值；x₂(k+1)为x₂在k+1时刻的值；

步骤B：采用下式构造第一个自适应扩张状态观测器(512)，得到其输出z₁、z₂和z₃：

u(k)为扰动补偿形成控制量u(k)＝(u₀(k)-z₃(k))/b₀，u₀(k)为控制量u₀在k时刻的值；fal为非线性函数，其表达式：

z₁(k)、z₂(k)、z₃(k)分别为z₁、z₂、z₃在k时刻的值，z₁(k+1)、z₂(k+1)、z₃(k+1)分别为z₁、z₂、z₃在k+1时刻的值，x_a(k)为x_a在k时刻的值，e为误差，h为采样周期，b₀为第一补偿因子的估计值，b为第二补偿因子的值，b＝1/b₀；α₁取0.5，α₂取0.25，δ₁＞0，为采样周期的5～10倍；

步骤C：采用式u₀＝β₁fal(e₁,α₃,δ₂)+β₂fal(e₂,α₄,δ₂)构造第一个非线性状态误差反馈控制律(513)，得到控制量u₀；fal为非线性函数，误差e₁＝x₁-z₁，e₂＝x₂-z₂，α₃取0.5，α₄取0.25，δ₂＞0，取采样周期的5～10倍；

步骤D：采用第一个BP神经网络(514)整定三个参数β₀₁、β₀₂和β₀₃。

4.根据权利要求3所述的五自由度交流主动磁轴承自抗扰解耦控制器的构造方法，其特征是：步骤D中，第一个BP神经网络(514)采用三层结构，输入层是4个节点，输出层是3个节点。

5.根据权利要求4所述的五自由度交流主动磁轴承自抗扰解耦控制器的构造方法，其特征是：第一个BP神经网络(514)连接权的迭代关系为

n表示调整权的次数，E为指标函数，w为加权系数，η为学习速率，α、β、γ为动量因子。

6.根据权利要求5所述的五自由度交流主动磁轴承自抗扰解耦控制器的构造方法，其特征是：给出BP神经网络各层加权系数的初始值

和

令k＝1，采样得到k时刻的误差e₁(k)和e₂(k)，计算神经网络各层神经元的输入和输出，其输出即为三个参数β₀₁、β₀₂和β₀₃；之后进行神经网络的学习，对加权系数

和

在线调整；最后置k＝k+l进行重新计算，直至误差满足要求为止。

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