CN109902357B - 一种复变差分的光滑非线性结构动响应灵敏度分析方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供了一种复变差分的非线性结构动响应灵敏度分析方法，本方法针对光滑非线性结构的灵敏度计算问题，把偏导数的计算转化为复域函数值的计算，通过对设计参数进行虚部摄动，对非线性结构进行动力学分析，提取分析结果的虚部响应，获得设计参数的动响应灵敏度，实现了非线性结构的动响应灵敏度分析。本发明可以为具有光滑特征的非线性结构提供具有二阶精度的动态响应灵敏度分析方法，解决由于摄动步长导致的分析误差的难题，提高非线性反问题的分析精度。
Description
技术领域
本发明属于非线性结构优化领域，尤其涉及一种复变差分的光滑非线性结构动响应灵敏度分析方法。
背景技术
线性结构的灵敏度分析计算方法近年来已经发展地较为完善,而非线性结构由于刚度与结构的状态变量有关,不再是由结构的设计变量直接确定,因此相应的灵敏度分析也就更为困难。结构参数的动响应灵敏度分析作为模型修正领域中的重要环节，灵敏度的数值可以反映结构各设计参数对结构性能的影响程度和影响规律，而灵敏度的计算精度直接决定了模型修正结果的准确性，一种复变差分的非线性结构动响应灵敏度分析方法具有较好的工程实际意义。
灵敏度分析的常规方法为有限差分法，有限差分法通过计算结构性能参数对结构设计参数的偏导数，得出结构各设计变量对结构性能的影响。但在函数偏导数急剧振荡处或偏导数在较大区间趋于0时，该方法存在近似数相减后再除以小数值的问题，计算精度较差，有一定的局限性。
发明内容
发明目的：针对以上问题，本发明提出一种复变差分的非线性结构动响应灵敏度分析方法，通过构造设计参数的虚部摄动，对具有多个设计参数的非线性结构进行灵敏度分析，偏导数的计算转化为复域函数值的求解，实现了非线性结构动响应灵敏度的计算。
技术方案：为实现本发明的目的，本发明所采用的技术方案是：一种复变差分的光滑非线性结构动响应灵敏度分析方法，该方法包括以下步骤：
(1)对光滑非线性结构进行动力学建模，得到结构质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵，非线性力向量和外部力向量；
(2)构造设计参数的复变差分摄动量，使设计参数从实数变为复数；
(3)将摄动后的设计参数带入光滑非线性结构动力学模型，并利用数值分析方法对该动力学模型进行求解，得到结构的光滑非线性动响应；
(4)提取摄动后动力学模型计算得到的光滑非线性动响应虚部结果，计算对应参数的光滑非线性动响应灵敏度。
进一步的，步骤(1)中，对光滑非线性结构进行动力学建模，得到结构质量矩阵M，阻尼矩阵C，刚度矩阵K，非线性力向量
和外部力向量F(t)，具体步骤包括如下步骤：
(1.1)根据结构的质量、阻尼、刚度特征得到结构的质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K，根据结构的光滑非线性特征得到非线性力向量
根据结构的外部激励位置和施加载荷大小得到外部力向量F(t)，其中p为设计参数向量，
表示结构速度响应，x表示结构位移响应。
进一步的，步骤(2)中，构造设计参数的复变差分摄动量，使设计参数从实数变为复数，具体步骤包括如下步骤：
(2.1)针对设计参数向量p，对第l个设计参数构造复变差分摄动量，：
其中，
表示第l个设计参数pl的复变摄动系数，i为虚数单位，i2＝-1，
表示第l个设计参数pl的复变差分摄动量，上标Imag表示虚部的含义；
(2.2)将复变差分摄动量与原设计参数相加，得到复数域的设计参数，实现设计参数从实数变为复数：
其中，
表示进行复变差分摄动后得到的复数域的设计参数。
进一步的，步骤(3)中，将摄动后的设计参数带入光滑非线性结构动力学模型，并利用数值分析方法对该动力学模型进行求解，得到结构的光滑非线性动响应，具体步骤包括如下步骤：
(3.1)将摄动后的复数域设计参数
带入非线性力中替换原设计参数pl，得到摄动后的非线性力向量
和基于摄动后设计参数的光滑非线性结构动力学模型：
其中，M表示结构质量矩阵，C表示结构阻尼矩阵，K表示结构刚度矩阵，
摄动后的非线性力向量，F(t)表示外部力向量，
表示摄动后的参数向量，
x分别表示整体结构的加速度响应、速度响应和位移响应，利用结构动力学时域动响应分析方法求得。
进一步的，步骤(4)中，提取摄动后动力学模型计算得到的光滑非线性动响应虚部结果，计算对应参数的光滑非线性动响应灵敏度，具体步骤包括如下步骤：
(4.1)根据步骤(3.1)计算得到的对第l个参数pl进行复变差分摄动后的结构动响应，包含加速度响应、速度响应和位移响应，将摄动后的响应进行复数域泰勒展开：
其中，n表示第n阶导数，忽略式(3)第二阶以上的高阶项，提取结构动响应数据中的虚部结果，计算设计参数的动响应灵敏度：
其中，
表示对动响应(*)取其虚部部分，
表示结构加速度响应对第l个参数pl的灵敏度，
表示结构速度响应对第l个参数pl的灵敏度，
表示结构位移响应响应对第l个参数pl的灵敏度，上标a、v、d分别表示加速度、速度和位移，当l遍历所有设计参数的个数时，采用相同的基于复变差分的方法即可以实现对所有设计参数的动响应灵敏度分析。
有益效果：与现有技术相比，本发明的技术方案具有以下有益技术效果：
本发明提出一种复变差分的非线性结构动响应灵敏度分析方法，通过对非线性结构进行有限元建模，将设计参数从实数域向复数域进行拓展，构造参数的虚部摄动量，实现了较高精度的非线性结构动响应灵敏度的计算，若有p个设计参数，仅需p次计算便可以给出光滑非线性结构的动响应灵敏度的分析结果。
附图说明
图1为本发明的实施流程图；
图2为本发明的实施例分析结构：光滑非线性的弹簧-质量结构；
图3为本发明的实施例中质量块m1关于设计参数
的加速度响应灵敏度曲线；
图4为本发明的实施例中质量块m2关于设计参数
的加速度响应灵敏度曲线；
图5为本发明的实施例中质量块m3关于设计参数
的加速度响应灵敏度曲线；
图6为本发明的实施例中质量块m4关于设计参数
的加速度响应灵敏度曲线；
图7为本发明的实施例中质量块m5关于设计参数
的加速度响应灵敏度曲线。
具体实施方式
下面结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步的说明。
图1展示了本发明提出的一种复变差分的光滑非线性结构动响应灵敏度分析方法，该方法包括如下步骤：
(1)对图1所示的光滑非线性结构进行动力学建模，得到结构质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵，非线性力向量和外部力向量；
(2)构造设计参数的复变差分摄动量，使设计参数从实数变为复数；
(3)将摄动后的设计参数带入光滑非线性结构动力学模型，并利用数值分析方法对该动力学模型进行求解，得到结构的光滑非线性动响应；
(4)提取摄动后动力学模型计算得到的光滑非线性动响应虚部结果，计算对应参数的光滑非线性动响应灵敏度。
一种复变差分的结构动响应灵敏度分析方法，实现流程图如图1所示。图2所示为本算例所采用的五自由度的光滑非线性弹簧-质量模型，该模型可以模拟具有光滑非线性特征的土木房屋、机械装配等结构。光滑非线性弹簧-质量结构的基本参数分别为：
表1光滑非线性弹簧-质量结构的基本参数
设计参数为结构中两组弹簧-阻尼单元的非线性刚度系数和非线性阻尼系数，本算例中采用立方非线性弹簧-阻尼单元。组成的设计参数向量
如图2所示，设计参数的具体取值如表2所列：
表2光滑非线性弹簧-质量结构的设计参数
具体操作如下：
步骤(1)中，对光滑非线性结构进行动力学建模，得到结构质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵，非线性力向量和外部力向量，具体步骤包括如下步骤：
(1.1)如图2所示的非线性弹簧-质量结构，考虑无阻尼状态，其阻尼矩阵C＝0，结构的质量矩阵M和刚度矩阵K表达式为：
其中，m1～m5为图2所示光滑非线性结构的5个质量块质量，如表1所列；k1～k5为图2所示结构的5个线性刚度系数，如表1所列。根据结构的光滑非线性特征得到非线性力向量
设置施加在质量块m3上的初始位移为x3＝0.05m，此处的初始位移可以根据实际需要设置，由于未施加外部激励力，即外部力向量F(t)＝0，非线性力向量的表达式为：
其中，p为设计参数向量，x1，x2，x4和
分别为质量块m1，m2和m4的位移和速度。
步骤(2)中，构造设计参数的复变差分摄动量，使设计参数从实数变为复数，具体步骤包括如下步骤：
(2.1)针对设计参数向量p，对第l个设计参数pl构造复变差分摄动量。本算例中l取1,2,3,4，分别对应于设计参数向量p中的四个设计参数，取l＝1为例，
其复变差分摄动量为：
其中，
表示参数
的复变摄动系数，取为
该值可以根据实际需要设置，i为虚数单位，i2＝-1。
表示参数
的复变差分摄动量，上标Imag表示虚部的含义。
(2.2)将复变差分摄动量与原设计参数相加，得到复数域的设计参数，实现设计参数从实数变为复数。本算例中，l＝1时得到的摄动后的设计参数为：
其中，
表示l＝1时进行复变差分摄动后得到的复数域的设计参数；
步骤(3)中，将摄动后的设计参数带入光滑非线性结构动力学模型，并利用数值分析方法对该动力学模型进行求解，得到结构的光滑非线性动响应，具体步骤包括如下步骤：
(3.1)将摄动后的复数域设计参数
带入非线性力中替换原设计参数pk，得到摄动后的非线性力向量
本算例取l＝1为例，将摄动后的参数
带入非线性力(13)中得到摄动后的非线性力向量为：
基于摄动后设计参数的光滑非线性结构动力学模型为：
其中，M表示结构质量矩阵，C表示结构阻尼矩阵，K表示结构刚度矩阵，F(t)表示外部力向量，由步骤(1)得到。
为摄动后的非线性力向量，由公式(11)确定，
表示摄动后的参数向量，
x分别表示光滑非线性结构的加速度响应、速度响应和位移响应。将式(11)，式(12)和式(16)带入式(17)，利用结构动力学时域动响应分析方法求解复变差分摄动后的结构动响应，常用动力学时域动响应分析方法包括：中心差分法、逐步积分法等。
步骤(4)中，提取摄动后动力学模型计算得到的光滑非线性动响应虚部结果，计算对应参数的光滑非线性动响应灵敏度，具体步骤包括如下步骤：
(4.1)根据步骤(3.1)计算得到的对第l个参数pl进行复变差分摄动后的结构动响应，可以是加速度响应、速度响应和位移响应，将摄动后的响应进行复数域泰勒展开。本算例中以加速度响应关于设计参数
的复数域泰勒展开为例：
其中，n表示第n阶导数。提取公式(18)中一阶虚部响应，计算设计参数的动响应灵敏度。本算例中以加速度响应关于设计参数knl1的动响应灵敏度计算为例，使用公式(18)中一阶虚部响应，计算动响应灵敏度，方式如下：
其中，
表示对动响应(*)取其虚部部分，
表示结构加速度响应对设计参数
的动响应灵敏度，上标a表示加速度，根据步骤(3)可以求得5个质量块的加速度动响应，进而求得5个质量块加速度动响应灵敏度。图3-图7所示为5个质量块的加速度动响应关于
的灵敏度分析结果图，在计算的时候，五个质量块的加速度响应可以同时求出。当l遍历所有设计参数的个数时，采用步骤(2)，步骤(3)和步骤(4)相同的基于复变差分的方法便可以实现对所有设计参数的动响应灵敏度分析。
以上，即在一次分析中，通过构造虚部摄动量计算设计参数的结构动响应灵敏度。本算例中，利用本专利所提的一种基于复变差分的结构动响应灵敏度分析方法，相比于有限差分灵敏度分析方法，不需要初始分析，实现4个设计参数的动响应灵敏度分析的计算次数为4次。且与有限差分法相比，本方法具有二阶计算精度。
Claims (3)
1.一种复变差分的光滑非线性结构动响应灵敏度分析方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：
(1)对光滑非线性结构进行动力学建模，得到结构质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵，非线性力向量和外部力向量；
(2)构造设计参数的复变差分摄动量，使设计参数从实数变为复数，具体方法如下；
(2.1)针对设计参数向量p，对第l个设计参数构造复变差分摄动量：
其中，
表示第l个设计参数pl的复变摄动系数，i为虚数单位，i2＝-1，
表示第l个设计参数pl的复变差分摄动量，上标Imag表示虚部的含义；
(2.2)将复变差分摄动量与原设计参数相加，得到复数域的设计参数，实现设计参数从实数变为复数：
其中，
表示进行复变差分摄动后得到的复数域的设计参数；
(3)将摄动后的设计参数带入光滑非线性结构动力学模型，并利用数值分析方法对该动力学模型进行求解，得到结构的光滑非线性动响应；
(4)提取摄动后动力学模型计算得到的光滑非线性动响应虚部结果，计算对应参数的光滑非线性动响应灵敏度，具体方法如下：
(4.1)根据步骤(3)计算得到的对第l个参数pl进行复变差分摄动后的结构动响应，包含加速度响应、速度响应和位移响应，将摄动后的响应进行复数域泰勒展开：
其中，n表示第n阶导数，忽略式(3)第二阶以上的高阶项，提取结构动响应数据中的虚部结果，计算设计参数的动响应灵敏度：
其中，
表示对动响应(*)取其虚部部分，
表示结构加速度响应对第l个参数pl的灵敏度，
表示结构速度响应对第l个参数pl的灵敏度，
表示结构位移响应响应对第l个参数pl的灵敏度，上标a、v、d分别表示加速度、速度和位移，当l遍历所有设计参数的个数时，采用相同的基于复变差分的方法即可以实现对所有设计参数的动响应灵敏度分析。
2.如权利要求1所述的一种复变差分的光滑非线性结构动响应灵敏度分析方法，其特征在于，步骤(1)中，对光滑非线性结构进行动力学建模，得到结构质量矩阵M，阻尼矩阵C，刚度矩阵K，非线性力向量
和外部力向量F(t)，具体步骤包括如下步骤：
(1.1)根据结构的质量、阻尼、刚度特征得到结构的质量矩阵M、阻尼矩阵C和刚度矩阵K，根据结构的光滑非线性特征得到非线性力向量
根据结构的外部激励位置和施加载荷大小得到外部力向量F(t)，其中p为设计参数向量，
表示结构速度响应，x表示结构位移响应。
3.如权利要求2所述的一种复变差分的光滑非线性结构动响应灵敏度分析方法，其特征在于，步骤(3)中，将摄动后的设计参数带入光滑非线性结构动力学模型，并利用数值分析方法对该动力学模型进行求解，得到结构的光滑非线性动响应，具体步骤包括如下步骤：
(3.1)将摄动后的复数域设计参数
带入非线性力中替换原设计参数pl，得到摄动后的非线性力向量
和基于摄动后设计参数的光滑非线性结构动力学模型：
其中，M表示结构质量矩阵，C表示结构阻尼矩阵，K表示结构刚度矩阵，
摄动后的非线性力向量，F(t)表示外部力向量，
表示摄动后的参数向量，
x分别表示整体结构的加速度响应、速度响应和位移响应，利用结构动力学时域动响应分析方法求得。
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