CN108763668B - 基于细分技术与边界替换的齿轮模型区域参数化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了基于细分技术与边界替换的齿轮模型区域参数化方法。具有复杂区域的图形模型很难做到高质量的参数化。本发明通过曲线分割方法降低各段曲线的凹凸程度，保证不会产生翻转的四边形网格模型，从而优化齿轮模型参数化的质量，并且满足了它在工程应用中对于等几何分析的有效性要求；之后通过对齿轮模型多边形边界平均距离值的修改，均匀边界顶点之间的距离，从而提高四边形网格的生成率；通过使用边界替换的方法保证齿轮模型的形状不会改变，光顺方法和C‑C细分方法的使用则在光滑度和连续性上对齿轮模型进行了优化，从而满足了工程应用对于等几何分析的光滑度和鲁棒性要求。

Description

基于细分技术与边界替换的齿轮模型区域参数化方法

技术领域

本发明属于计算机辅助设计与工程应用领域，具体涉及基于细分技术与边界替换的齿轮模型区域参数化方法。

背景技术

计算机辅助设计(CAD)技术和计算机辅助工程(CAE)技术在今天的计算机应用和发展中，有着非常深远的影响，它们在航空航天、汽车制造、建筑设计、机械电子等领域都得到了广泛的应用。在CAD技术中，物体形状是通过边界模型来表示的，而边界模型又包含了几何模型内部曲面的信息。等几何分析经常需要进行几何模型区域内部的参数化，因此为了让CAD模型更加适用于等几何分析，就需要研究由给定边界数据构建区域参数化的方法技术。

等几何分析是一种基于CAD模型的精确几何表示进行模拟仿真的新型技术，它的提出为实现CAD/CAE的无缝融合开辟了新途径，同时也为已趋成熟的几何造型领域注入了新活力。在等几何分析中，计算域的参数化仍然是目前的研究热点之一，有限元分析中经常需要高精度和有效性的参数化模型，以便应用到高层次CAD或CAE模型的研究设计中。而为了达到这些要求，就需要对用于参数化的网格以及一些特殊区域进行优化，对某个特定的方法，区域的复杂程度很大程度上影响了参数化的有效性和质量。

等几何分析中对一个区域的参数化需要满足三个要求：1)它没有产生自交，也即从参数域到物理域的映射是内射的；2)等参元素应该尽可能地均匀；3)等参元素应该尽可能地正交。目前，已经有许多方法能够处理通过B样条曲线表示的边界信息，它们包括变分谐波方法，分治技术，映射法，基于轮廓的分解方法，多面片参数化方法以及非标准B样条的参数化方法。但现有的方法中大多只能处理一些简单区域的参数化，而对于具有复杂区域的一些图形模型，却很难做到高质量的参数化。比如一种情况是在处理一些有凹凸程度较大的网格区域的时候，很容易在该处形成翻转的网格，严重的影响了区域参数化的质量。

发明内容

本发明的目的是针对现有方法的不足，提出一种基于细分技术与边界替换的齿轮模型区域参数化方法，该方法主要用了一种边界替换的思想并结合C-C细分，实现对由曲线边界组成的齿轮模型进行效果良好的参数化，并获得最终的参数化模型。

本发明具体如下：

步骤1、对齿轮模型的内、外边界进行采样，内、外边界上均从第一个采样点开始，每次依次取4个采样点拟合成一条三次均匀B样条曲线，相邻两条三次均匀B样条曲线中，后一条三次均匀B样条曲线拟合时采用的第一个采样点为前一条三次均匀B样条曲线拟合时采用的最后一个采样点；拟合后，内边界由4条三次均匀B样条曲线组成，外边界由24条三次均匀B样条曲线组成；三次均匀B样条曲线表达式为：

其中，P_i为用于构建三次均匀B样条曲线的控制点位置，i取0,1,2或3，N_i,3(t)为B样条基函数，P(t)为形成的三次均匀B样条曲线上的拟合点位置，参数t∈节点区间[0,1]。

步骤2、对经步骤1处理后的齿轮模型的内、外边界均通过曲线特征点进行曲线分割，然后将齿轮模型的内、外边界转化为多边形边界几何模型，具体如下：

步骤a、通过抛物线插值的方法，检测齿轮模型的内、外边界上的曲线特征点，曲线特征点包括曲线的曲率极值点和拐点，并在曲线特征点处进行曲线分割。

抛物线插值检测曲率极值点的过程具体如下：将齿轮模型的内、外边界上的每条三次均匀B样条曲线的节点区间[0,1]均分成20等份区间[t_n-1,t_n]，n＝1,2，…，20，然后依次遍历[t_n-1,t_n+1]，计算区间[t_n-1,t_n+1]内三个拟合点曲率k(t_n-1)、k(t_n)和k(t_n+1)，如果满足条件k(t_n)>k(t_n-1)且k(t_n)>k(t_n+1)，则当前区间为曲线的曲率极大值点所在区间，而如果满足条件k(t_n)<k(t_n-1)且k(t_n)<k(t_n+1)，则当前区间为曲率极小值点所在区间。曲率极大值点所在区间或曲率极小值点所在区间均通过插值三个点(t_n-1,k(t_n-1))，(t_n,k(t_n))和(t_n+1,k(t_n+1))得到一条抛物线f(m)＝a₂m²+a₁m+a₀，其中a₀,a₁,a₂为系数，然后通过设定f(m)的导数f＇(m)＝0，求得抛物线中处于对称轴上的点的m值，记为t＇：

将抛物线最高点或最低点的极限曲率点t＇作为三次均匀B样条曲线在区间[t_n-1,t_n]内的曲率极大值点或曲率极小值点。

抛物线插值检测曲线拐点的过程具体如下：将齿轮模型的内、外边界上的每条三次均匀B样条曲线的节点区间[0,1]均分成20等份区间[t_n-1,t_n]，然后依次遍历[t_n-1,t_n]，计算区间[t_n-1,t_n]两个端点的曲率值，满足k(t_n-1)*k(t_n)<0时，该区间内存在曲线的拐点。然后计算出该参数区间的中点(t_n-0.5,k(t_n-0.5))，其中t_n-0.5＝1/2*(t_n-1+t_n)。如果|k(t_n-0.5)-0|<0.0001，就直接将t_n-0.5作为曲线的拐点，否则，仍然通过(t_n-1,k(t_n-1))，(t_n-0.5,k(t_n-0.5))和(t_n,k(t_n))三点插值一条抛物线f(m)＝b₂m²+b₁m+b₀，其中b₀,b₁,b₂为系数，求出f(m)＝0在区间[t_n-1,t_n]内的唯一根值，并将根值作为三次均匀B样条曲线在区间[t_n-1,t_n]内的拐点。

步骤b、将步骤a中三次均匀B样条曲线的曲线特征点作为分割点，对分割的曲线重新分配控制点；将节点区间[t_a，t_b]两端点t_a和t_b代入公式(1)中的t求出分割曲线两端点处的控制顶点P_a和P_b。分割的曲线和三次均匀B样条曲线的拟合点位置对应关系如下：

式中，P_ab(t″)为分割曲线拟合点位置，参数t″∈节点区间[t_a，t_b]；根据分割的曲线和三次均匀B样条曲线的拟合点位置对应关系计算出分割曲线剩余中间控制点位置分别为：

其中，P₀和P₁为原三次均匀B样条曲线的控制点位置，P_a1和P_a2为分割曲线中间两个控制点位置，从而根据原三次均匀B样条曲线为分割曲线分配了新的控制点位置，分别为P_a，P_a1，P_a2，P_b。

步骤3、首先对获得的分割点序列进行遍历，计算相邻分割点之间的距离，并计算各相邻分割点距离的平均值h。相邻分割点之间的距离小于0.5λh时，其中0＜λ＜1，将相邻分割点中后一个分割点删除；相邻分割点之间的距离大于1.5λh时，将相邻分割点之间的距离加上0.5λh所得值除以λh的结果取整后减一作为插入分割点的数量，从而对该相邻分割点所属的区间[t_n-1,t_n]进行均分，从而实现对应三次B样条曲线的分割，然后按照步骤2中步骤b重新分配控制点的方法，对分割的曲线重新分配控制点。最后，依次连接每条分割曲线两端的控制点，从而将曲线边界转化得到齿轮模型的多边形边界几何模型；使用四边形剖分算法生成齿轮模型的四边形网格模型，并使用迭代光顺方法对网格进行光顺化。

步骤4、对齿轮模型的四边形网格模型构建控制网格模型并进行C-C细分操作，同时通过替换边界控制点和曲线节点插入来保持步骤1处理后的经三次均匀B样条曲线拟合的齿轮模型曲线边界形状。

步骤a、使用线性插值计算四边形网格模型每个四边形面片边界和内部的控制点，包括四边形面片的四个顶点，在每个四边形面片上生成一个4*4的控制点序列，然后将经过步骤3中曲线分割后的分割曲线边界上的控制点替换到对应四边形网格模型边界通过线性插值得到的控制点上，从而构建出用于参数化的控制网格模型。

步骤b、使用C-C细分方法处理控制网格模型的内部顶点，生成C-C细分网格模型。

步骤c、使用B样条曲线插入节点和控制点的方法，增加步骤3中曲线分割后的每条边界曲线的控制点数量，以匹配C-C细分网格模型边界顶点的数目，具体如下：

生成C-C细分网格模型之后，每个四边形面片的边界所对应的顶点个数增加到7个，在依然保证节点向量均匀的情况下，将步骤3中曲线分割后的边界曲线中每条三次均匀B样条曲线增加3个节点，同时改动步骤3中曲线分割后的边界曲线中每条三次均匀B样条曲线的中间两个控制点位置，并增加3个控制点，7个新控制点的位置分别计算为：

P′₀＝P₀

P′₆＝P₃

其中，P_r＇，r＝0,1,…,6为新控制点的位置，P_s，s＝0,1,2,3为步骤3中曲线分割后的边界曲线中每条三次均匀B样条曲线的原来4个控制点位置。

插入节点之后，将每条边界曲线的新控制点依次替换到对应四边形网格模型边界经过C-C细分后的控制点上。

步骤5、将步骤4中的步骤c获得的C-C细分网格模型作为绘制B样条曲面的控制网格，对照步骤3中生成的四边形网格模型，每个四边形面片对应绘制一个有7行7列控制点的三次均匀B样条曲面来完成平面区域的参数化。

进一步，曲率的计算公式为：

式中，det为行列式运算，P＇(t)为P(t)的一阶导数，P＂(t)为P(t)的二阶导数；x(t)，y(t)为P(t)点处的坐标值，x＇(t)，x＂(t)分别为x(t)的一阶导数和二阶导数，y＇(t)，y＂(t)分别为y(t)的一阶导数和二阶导数，||P＇(t)||为P＇(t)的模运算。

本发明具有的有益效果：

本发明提出了一种高质量的复杂区域参数化方法，通过曲线分割方法，曲线分割后降低了各段曲线的凹凸程度，以此来保证不会产生翻转的四边形网格模型，从而优化了齿轮模型参数化的质量，并且满足了它在工程应用中对于等几何分析的有效性要求。之后通过对齿轮模型多边形边界平均距离值的修改，均匀了边界顶点之间的距离，从而提高了四边形网格的生成率。另外，通过使用边界替换的方法保证了齿轮模型的形状不会改变，光顺方法和C-C细分方法的使用则在光滑度和连续性上对齿轮模型进行了优化，从而满足了工程应用对于等几何分析的光滑度和鲁棒性要求。

附图说明

图1为本发明实施例采用的一个齿轮模型；

图2为曲线边界转化后的齿轮模型的多边形边界几何模型；

图3为B样条曲线的极限曲率点和拐点的示意图；

图4为B样条曲线的分割与控制点再分配示意图；

图5为图2进行四边形剖分后的四边形网格模型图；

图6为曲线分割点的删除和插入示意图；

图7为曲线分割后的分割曲线边界上的控制点替换到对应四边形网格模型边界通过线性插值得到的控制点上的示意图；

图8为图1中齿轮模型最终的参数化模型。

具体实施方式

以下结合实际应用给出一个齿轮形状的曲线边界模型，使用本发明对其进行区域参数化，以获得工程应用中需要的参数化模型，让齿轮模型更加适用于等几何分析。

基于细分技术与边界替换的齿轮模型区域参数化方法，具体如下：

步骤1、图1为一个齿轮模型，对该齿轮模型的内、外边界进行采样，内、外边界上均从第一个采样点开始，每次依次取4个采样点拟合成一条三次均匀B样条曲线，相邻两条三次均匀B样条曲线中，后一条三次均匀B样条曲线拟合时采用的第一个采样点为前一条三次均匀B样条曲线拟合时采用的最后一个采样点；调整控制点，使三次均匀B样条曲线拟合齿轮模型的曲线边界；拟合后，内边界由4条三次均匀B样条曲线组成，外边界由24条三次均匀B样条曲线组成，每条三次均匀B样条曲线含有四个控制点；三次均匀B样条曲线表达式为：

其中，P_i为用于构建三次均匀B样条曲线的控制点位置，i取0,1,2或3，N_i,3(t)为B样条基函数，P(t)为形成的三次均匀B样条曲线上的拟合点位置，参数t∈节点区间[0,1]。

步骤2、对经步骤1处理后的齿轮模型的内、外边界均通过曲线特征点进行曲线分割，然后将齿轮模型的内、外边界转化为多边形边界几何模型，具体如下：

步骤a、通过抛物线插值的方法，检测齿轮模型的内、外边界上的曲线特征点，曲线特征点包括曲线的曲率极值点和拐点(如图3)，并在曲线特征点处进行曲线分割。曲线的曲率极值点是曲线自身凹凸程度较为明显的地方，曲线分割后降低了各段曲线的凹凸程度，并由此保证后续生成的四边形网格模型中没有存在翻转网格的情况(如图5)。

抛物线插值检测曲率极值点的过程具体如下：将齿轮模型的内、外边界上的每条三次均匀B样条曲线的节点区间[0,1]均分成20等份区间[t_n-1,t_n]，n＝1,2，…，20，然后依次遍历[t_n-1,t_n+1]，计算区间[t_n-1,t_n+1]内三个拟合点曲率k(t_n-1)、k(t_n)和k(t_n+1)，如果满足条件k(t_n)>k(t_n-1)且k(t_n)>k(t_n+1)，则当前区间为曲线的曲率极大值点所在区间，而如果满足条件k(t_n)<k(t_n-1)且k(t_n)<k(t_n+1)，则当前区间为曲率极小值点所在区间。曲率极大值点所在区间或曲率极小值点所在区间均通过插值三个点(t_n-1,k(t_n-1))，(t_n,k(t_n))和(t_n+1,k(t_n+1))得到一条抛物线f(m)＝a₂m²+a₁m+a₀，其中a₀,a₁,a₂为系数，然后通过设定f(m)的导数f＇(m)＝0，求得抛物线中处于对称轴上的点的m值，记为t＇：

将抛物线最高点或最低点的极限曲率点t＇作为三次均匀B样条曲线在区间[t_n-1,t_n]内的曲率极大值点或曲率极小值点。

抛物线插值检测曲线拐点的过程具体如下：将齿轮模型的内、外边界上的每条三次均匀B样条曲线的节点区间[0,1]均分成20等份区间[t_n-1,t_n]，然后依次遍历[t_n-1,t_n]，计算区间[t_n-1,t_n]两个端点的曲率值，满足k(t_n-1)*k(t_n)<0时，说明该区间内存在曲线的拐点。然后计算出该参数区间的中点(t_n-0.5,k(t_n-0.5))，其中t_n-0.5＝1/2*(t_n-1+t_n)。如果|k(t_n-0.5)-0|<0.0001，就直接将t_n-0.5作为曲线的拐点，否则，仍然通过(t_n-1,k(t_n-1))，(t_n-0.5,k(t_n-0.5))和(t_n,k(t_n))三点插值一条抛物线f(m)＝b₂m²+b₁m+b₀，其中b₀,b₁,b₂为系数，求出f(m)＝0在区间[t_n-1,t_n]内的唯一根值，并将根值作为三次均匀B样条曲线在区间[t_n-1,t_n]内的拐点。

曲率的计算公式为：

式中，det为行列式运算，P＇(t)为P(t)的一阶导数，P＂(t)为P(t)的二阶导数；x(t)，y(t)为P(t)点处的坐标值，x＇(t)，x＂(t)分别为x(t)的一阶导数和二阶导数，y＇(t)，y＂(t)分别为y(t)的一阶导数和二阶导数，||P＇(t)||为P＇(t)的模运算。

步骤b、如图4所示，将步骤a中三次均匀B样条曲线的曲线特征点作为分割点，对分割的曲线重新分配控制点；将节点区间[t_a，t_b]两端点t_a和t_b代入公式(1)中的t求出分割曲线两端点处的控制顶点P_a和P_b。分割的曲线和三次均匀B样条曲线的拟合点位置对应关系如下：

式中，P_ab(t″)为分割曲线拟合点位置，参数t″∈节点区间[t_a，t_b]；根据分割的曲线和三次均匀B样条曲线的拟合点位置对应关系计算出分割曲线剩余中间控制点位置分别为：

其中，P₀和P₁为原三次均匀B样条曲线的控制点位置，P_a1和P_a2为分割曲线中间两个控制点位置，这样便根据原三次均匀B样条曲线为分割曲线分配了新的控制点位置，分别为P_a，P_a1，P_a2，P_b。

步骤3、如图6所示，首先对获得的分割点序列进行遍历，计算相邻分割点之间的距离，并计算各相邻分割点距离的平均值h。相邻分割点之间的距离小于0.5λh时(λ在0＜λ＜1中取一个值)，将相邻分割点中后一个分割点(如图6中的P点)删除；相邻分割点之间的距离大于1.5λh时，将相邻分割点之间的距离加上0.5λh所得值除以λh的结果取整后减一作为插入分割点的数量，从而对该相邻分割点所属的区间[t_n-1,t_n]进行均分，从而实现对应三次B样条曲线的分割，然后按照步骤2中步骤b重新分配控制点的方法，对分割的曲线重新分配控制点(如图6中的Q点)。最后，依次连接每条分割曲线两端的控制点，从而将曲线边界转化得到齿轮模型的由110个顶点组成的多边形边界几何模型，如图2所示，其顶点距离达到了相对均匀分布的效果，同时原边界曲线的数量从28个增长到了110个。

使用四边形剖分算法生成齿轮模型的四边形网格模型，并使用迭代光顺方法对网格进行光顺化，从而得到均匀光滑且有较好鲁棒性的四边形网格模型。如图5所示即为齿轮模型生成的四边形网格模型结果，其中四边形网格数量为196个。

步骤4、对齿轮模型的四边形网格模型构建控制网格模型并进行C-C细分操作，同时通过替换边界控制点和曲线节点插入来保持步骤1处理后的经三次均匀B样条曲线拟合的齿轮模型曲线边界形状。

步骤a、如图7所示，使用线性插值计算四边形网格模型每个四边形面片边界和内部的控制点，包括四边形面片的四个顶点(d_0,0、d_0,3、d_3,0和d_3,3，其中，d_0,0即为P₀，d_0,3即为P₃)在内，在每个四边形面片上生成一个4*4的控制点序列(即4行4列控制点)，然后将经过步骤3中曲线分割后的分割曲线边界上的控制点替换到对应四边形网格模型边界通过线性插值得到的控制点d_0,1、d_0,2上，从而构建出用于参数化的控制网格模型。

步骤b、使用C-C细分方法处理控制网格模型的内部顶点，生成C-C细分网格模型，C-C细分的作用是细化网格，改善网格的连续性和光滑度。

步骤c、使用B样条曲线插入节点和控制点的方法，增加步骤3中曲线分割后的每条边界曲线的控制点数量，以匹配C-C细分网格模型边界顶点的数目。

生成C-C细分网格模型之后，每个四边形面片的边界所对应的顶点个数增加到7个，在依然保证节点向量均匀的情况下，将步骤3中曲线分割后的边界曲线中每条三次均匀B样条曲线增加3个节点，同时改动步骤3中曲线分割后的边界曲线中每条三次均匀B样条曲线的中间两个控制点位置，并增加3个控制点，7个新控制点的位置分别计算为：

P′₀＝P₀

P′₆＝P₃

其中，P_r＇，r＝0,1,…,6为新控制点的位置，P_s，s＝0,1,2,3为步骤3中曲线分割后的边界曲线中每条三次均匀B样条曲线的原来4个控制点位置。

插入节点之后，将每条边界曲线的新控制点依次替换到对应四边形网格模型边界经过C-C细分后的控制点上。这样便可以实现步骤1处理后的经三次均匀B样条曲线拟合的齿轮模型曲线边界形状不变的效果，同样能够在参数化后的参数化模型上保留经三次均匀B样条曲线拟合的齿轮模型曲线边界形状。

步骤5、如图8所示，将步骤4中的步骤c获得的C-C细分网格模型作为绘制B样条曲面的控制网格，对照步骤3中生成的四边形网格模型，每个四边形面片对应绘制一个有7行7列控制点的三次均匀B样条曲面来完成平面区域的参数化，由此得到最终高质量的参数化结果。图8即为图1中齿轮模型最终的参数化模型。

这样我们便得到了齿轮的高质量参数化模型，其基本满足了CAD或CAE应用中对于参数化模型光滑性和鲁棒性的需求。

本发明通过曲线分割方法，曲线分割后降低了各段曲线的凹凸程度，以此来保证不会产生翻转的四边形网格模型，从而优化了齿轮模型参数化的质量，并且满足了它在工程应用中对于等几何分析的有效性要求。之后通过对齿轮模型多边形边界平均距离值的修改，均匀了边界顶点之间的距离，从而提高了四边形网格的生成率。另外，通过使用边界替换的方法保证了齿轮模型的形状不会改变，光顺方法和C-C细分方法的使用则在光滑度和连续性上对齿轮模型进行了优化，从而满足了工程应用对于等几何分析的光滑度和鲁棒性要求。

综上，本发明通过细分技术和边界替换方法的结合使用，得到了满足高精度和有效性要求的齿轮参数化模型，它可以适应复杂区域的参数化，从而能够应用到高层次CAD或CAE模型的研究设计中。

Claims (2)

1.基于细分技术与边界替换的齿轮模型区域参数化方法，其特征在于：该方法具体如下：

步骤1、对齿轮模型的内、外边界进行采样，内、外边界上均从第一个采样点开始，每次依次取4个采样点拟合成一条三次均匀B样条曲线，相邻两条三次均匀B样条曲线中，后一条三次均匀B样条曲线拟合时采用的第一个采样点为前一条三次均匀B样条曲线拟合时采用的最后一个采样点；拟合后，内边界由4条三次均匀B样条曲线组成，外边界由24条三次均匀B样条曲线组成；三次均匀B样条曲线表达式为：

其中，P_i为用于构建三次均匀B样条曲线的控制点位置，i取0,1,2或3，N_i,3(t)为B样条基函数，P(t)为形成的三次均匀B样条曲线上的拟合点位置，参数t∈节点区间[0,1]；

步骤2、对经步骤1处理后的齿轮模型的内、外边界均通过曲线特征点进行曲线分割，然后将齿轮模型的内、外边界转化为多边形边界几何模型，具体如下：

步骤a、通过抛物线插值的方法，检测齿轮模型的内、外边界上的曲线特征点，曲线特征点包括曲线的曲率极值点和拐点，并在曲线特征点处进行曲线分割；

抛物线插值检测曲率极值点的过程具体如下：将齿轮模型的内、外边界上的每条三次均匀B样条曲线的节点区间[0,1]均分成20等份区间[t_n-1,t_n]，n＝1,2，…，20，然后依次遍历[t_n-1,t_n+1]，计算区间[t_n-1,t_n+1]内三个拟合点曲率k(t_n-1)、k(t_n)和k(t_n+1)，如果满足条件k(t_n)>k(t_n-1)且k(t_n)>k(t_n+1)，则当前区间为曲线的曲率极大值点所在区间，而如果满足条件k(t_n)<k(t_n-1)且k(t_n)<k(t_n+1)，则当前区间为曲率极小值点所在区间；曲率极大值点所在区间或曲率极小值点所在区间均通过插值三个点(t_n-1,k(t_n-1))，(t_n,k(t_n))和(t_n+1,k(t_n+1))得到一条抛物线f(m)＝a₂m²+a₁m+a₀，其中a₀,a₁,a₂为系数，然后通过设定f(m)的导数f＇(m)＝0，求得抛物线中处于对称轴上的点的m值，记为t＇：

将抛物线最高点或最低点的极限曲率点t＇作为三次均匀B样条曲线在区间[t_n-1,t_n]内的曲率极大值点或曲率极小值点；

抛物线插值检测曲线拐点的过程具体如下：将齿轮模型的内、外边界上的每条三次均匀B样条曲线的节点区间[0,1]均分成20等份区间[t_n-1,t_n]，然后依次遍历[t_n-1,t_n]，计算区间[t_n-1,t_n]两个端点的曲率值，满足k(t_n-1)*k(t_n)<0时，该区间内存在曲线的拐点；然后计算出该参数区间的中点(t_n-0.5,k(t_n-0.5))，其中t_n-0.5＝1/2*(t_n-1+t_n)；如果|k(t_n-0.5)-0|<0.0001，就直接将t_n-0.5作为曲线的拐点，否则，仍然通过(t_n-1,k(t_n-1))，(t_n-0.5,k(t_n-0.5))和(t_n,k(t_n))三点插值一条抛物线f(m)＝b₂m²+b₁m+b₀，其中b₀,b₁,b₂为系数，求出f(m)＝0在区间[t_n-1,t_n]内的唯一根值，并将根值作为三次均匀B样条曲线在区间[t_n-1,t_n]内的拐点；

步骤b、将步骤a中三次均匀B样条曲线的曲线特征点作为分割点，对分割的曲线重新分配控制点；将节点区间[t_a，t_b]两端点t_a和t_b代入公式(1)中的t求出分割曲线两端点处的控制顶点P_a和P_b；分割的曲线和三次均匀B样条曲线的拟合点位置对应关系如下：

式中，P_ab(t″)为分割曲线拟合点位置，参数t″∈节点区间[t_a，t_b]；根据分割的曲线和三次均匀B样条曲线的拟合点位置对应关系计算出分割曲线剩余中间控制点位置分别为：

其中，P₀和P₁为原三次均匀B样条曲线的控制点位置，P_a1和P_a2为分割曲线中间两个控制点位置，从而根据原三次均匀B样条曲线为分割曲线分配了新的控制点位置，分别为P_a，P_a1，P_a2，P_b；

步骤3、首先对获得的分割点序列进行遍历，计算相邻分割点之间的距离，并计算各相邻分割点距离的平均值h；相邻分割点之间的距离小于0.5λh时，其中0＜λ＜1，将相邻分割点中后一个分割点删除；相邻分割点之间的距离大于1.5λh时，将相邻分割点之间的距离加上0.5λh所得值除以λh的结果取整后减一作为插入分割点的数量，从而对该相邻分割点所属的区间[t_n-1,t_n]进行均分，从而实现对应三次B样条曲线的分割，然后按照步骤2中步骤b重新分配控制点的方法，对分割的曲线重新分配控制点；最后，依次连接每条分割曲线两端的控制点，从而将曲线边界转化得到齿轮模型的多边形边界几何模型；使用四边形剖分算法生成齿轮模型的四边形网格模型，并使用迭代光顺方法对网格进行光顺化；

步骤4、对齿轮模型的四边形网格模型构建控制网格模型并进行C-C细分操作，同时通过替换边界控制点和曲线节点插入来保持步骤1处理后的经三次均匀B样条曲线拟合的齿轮模型曲线边界形状；

步骤a、使用线性插值计算四边形网格模型每个四边形面片边界和内部的控制点，包括四边形面片的四个顶点，在每个四边形面片上生成一个4*4的控制点序列，然后将经过步骤3中曲线分割后的分割曲线边界上的控制点替换到对应四边形网格模型边界通过线性插值得到的控制点上，从而构建出用于参数化的控制网格模型；

步骤b、使用C-C细分方法处理控制网格模型的内部顶点，生成C-C细分网格模型；

步骤c、使用B样条曲线插入节点和控制点的方法，增加步骤3中曲线分割后的每条边界曲线的控制点数量，以匹配C-C细分网格模型边界顶点的数目，具体如下：

生成C-C细分网格模型之后，每个四边形面片的边界所对应的顶点个数增加到7个，在依然保证节点向量均匀的情况下，将步骤3中曲线分割后的边界曲线中每条三次均匀B样条曲线增加3个节点，同时改动步骤3中曲线分割后的边界曲线中每条三次均匀B样条曲线的中间两个控制点位置，并增加3个控制点，7个新控制点的位置分别计算为：

P′₀＝P₀

P′₆＝P₃

其中，P_r＇，r＝0,1,…,6为新控制点的位置，P_s，s＝0,1,2,3为步骤3中曲线分割后的边界曲线中每条三次均匀B样条曲线的原来4个控制点位置；

插入节点之后，将每条边界曲线的新控制点依次替换到对应四边形网格模型边界经过C-C细分后的控制点上；

步骤5、将步骤4中的步骤c获得的C-C细分网格模型作为绘制B样条曲面的控制网格，对照步骤3中生成的四边形网格模型，每个四边形面片对应绘制一个有7行7列控制点的三次均匀B样条曲面来完成平面区域的参数化。

2.根据权利要求1所述的基于细分技术与边界替换的齿轮模型区域参数化方法，其特征在于：曲率的计算公式为：

式中，det为行列式运算，P＇(t)为P(t)的一阶导数，P＂(t)为P(t)的二阶导数；x(t)，y(t)为P(t)点处的坐标值，x＇(t)，x＂(t)分别为x(t)的一阶导数和二阶导数，y＇(t)，y＂(t)分别为y(t)的一阶导数和二阶导数，||P＇(t)||为P＇(t)的模运算。

Images