CN107016161B - 基于Zernike多项式和三角函数的赋形反射面天线型面描述方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于Zernike多项式和三角函数的赋形反射面天线型面描述方法，包括确定反射面天线结构信息及型面离散点坐标；进行坐标转化；确定Zernike多项式中反射面口径投影方位和径向指数初始值；采用最小二乘法计算天线型面描述方程中三角函数系数；得到Zernike多项式和三角函数构成的天线型面描述方程，计算型面离散点相对于方程的均方根误差；判断得到的型面离散点均方根误差是否满足型面描述要求，若满足要求，则得到最佳的赋形反射面天线型面描述方程，否则修改方位和径向指数。本发明能根据得到的赋形反射面天线型面离散点直接计算出天线表面描述数学方程，为天线不同频段观测时型面切换和性能补偿提供必需的天线型面全域精确信息。

Description

基于Zernike多项式和三角函数的赋形反射面天线型面描述 方法

技术领域

本发明属于天线技术领域，具体是基于泽尼克(Zernike)多项式和三角函数的赋形反射面天线型面描述方法，用于赋形反射面天线型面描述，为天线不同频段观测时型面切换和性能补偿提供必需的天线型面全域精确信息，具有重要的学术意义和工程应用价值。

背景技术

反射面天线主要用于通讯雷达﹑天文观测以及战略远程预警等重大工程中，近年来随着反射面天线工作环境的复杂化和工作模式的多样化，不同功能对天线提出了不同的型面要求，这也推动了反射面天线的发展，赋形面天线应运而生。赋形反射面天线是对天线反射面进行赋形，通过优化反射面的形状来提高一定区域的有效辐射，并减少对区域外的辐射干扰，达到辐射覆盖区域的高增益、高隔离度、低副瓣等设计要求。大型反射面天线具有高增益、窄波束的特点，而目前国内外对于大型反射面天线的筹建或者已经建成的大型反射面天线中，如喀什35米天线等等，天线设计者也逐渐开始采用赋形表面设计，使之满足于更多的使用功能。

反射面天线的赋形研究近年来逐渐成为研究热点，相关的工作包括赋形面型面描述，赋形反射面的设计等等，而赋形面型面描述成为赋形面研究中的重要基础。在已有的赋形面面型描述工作中，关蕊在《沙漏反射面天线波束赋形的研究》中，选用伯恩斯坦多项式对赋形反射面的母线进行展开，但这种方法只能对于轴向对称的赋形反射面进行赋形；李昌泽在《赋形反射面天线的研究与综合》中，采用了利用非均匀有理B样条(NURBS)曲面几何建模技术对任意的反射面天线进行赋形，通过改变反射面控制点的加权值来修改反射面的局部形状，但是难以从理论公式推导来控制加权值来进行赋形面描述分析；陈志华在《星载抛物面天线赋形方法及热分析研究》中，采用双三次样条函数对基准反射面进行展开，展开形式复杂困难，会导致赋形过程效果降低。

因此有必要使用基于一组正交基函数的Zernike多项式和三角函数，结合最小二乘法，通过确定反射面型面描述方程与型面离散点坐标均方根误差最小的三角函数系数来直接计算出反射面型面描述方程，使型面描述方程和型面离散点之间精度最高，得到的反射面型面光滑可导，天线不同频段观测时型面切换和性能补偿提供必需的天线型面全域精确信息，这一过程即为基于Zernike多项式和三角函数的赋形反射面天线型面描述方法。

发明内容

针对反射面天线型面描述，本文发明了一种基于Zernike多项式和三角函数的赋形反射面天线型面描述方法，通过对型面离散点进行坐标转换，确定Zernike多项式中反射面口径投影方位和径向指数初始值，运用最小二乘法计算相对于型面离散点均方根误差满足型面描述要求的天线型面描述方程。

本发明是通过下述技术方案来实现的。

基于Zernike多项式和三角函数的赋形反射面天线型面描述方法，包括下述步骤：

(1)根据反射面天线结构信息，确定天线型面所允许的面板精度和反射面天线型面离散点坐标；

(2)将型面离散点进行归一化处理，然后将其沿焦轴方向投影，将投影得到的圆的圆心作为坐标原点，建立笛卡尔坐标系；再对天线型面离散点坐标进行坐标变换，将型面离散点坐标由笛卡尔坐标系变为极坐标系，坐标系原点不变；

(3)由型面结构信息，确定反射面口径投影方位和径向指数(N,M)的初始值，得到Zernike多项式；

(4)针对型面离散点坐标，采用最小二乘法，通过计算型面离散点相对于天线型面描述方程的最小RMS，得到型面描述方程中三角函数系数；

(5)通过步骤(4)得到的天线型面描述方程，计算型面离散点相对于天线型面描述方程的均方根误差；

(6)判断型面离散点相对于天线型面描述方程的均方根误差是否满足天线型面描述要求，若是，输出天线型面描述方程中三角函数系数，得到天线型面描述方程；若否，修改反射面口径投影方位和径向指数并跳转到步骤(4)，重新进行计算。

进一步，步骤(1)中，所述反射面天线的结构信息，包括反射面型面描述精度要求以及反射面型面离散点坐标。

进一步，步骤(2)将型面离散点坐标由笛卡尔坐标系变为极坐标系，设定极坐标系中反射面口径投影径向坐标和方位坐标分别为ρ和θ，则得到赋形面上任一点N(x,y,z)，新直角坐标系相对于原坐标系的坐标O₁(x₀,y₀,z₀)。

进一步，步骤(3)包括以下步骤：

(3a)运用Zernike多项式表示反射面型面描述方程，确定Zernike多项式确定Zernike多项式中反射面口径投影方位和径向指数初始值均为4。

进一步，步骤(4)包括以下步骤：

(4a)用Zernike多项式和三角函数描述天线反射面型面；

(4b)反射面型面描述方程对反射面天线型面离散点Q_i(x_i,y_i,z_i)坐标的型面描述精度用均方根值描述，求得的均方根值σ为反射面型面描述方程系数C_nm,D_nm的函数，即σ＝f(C_nm,D_nm)；

(4c)根据最小二乘原理，对均方根值方程σ＝f(C_nm,D_nm)求最小值，得到反射面型面描述方程系数C_nm、D_nm的解。

进一步，步骤(5)包括以下步骤：

(5a)得到Zernike多项式和三角函数构成的天线型面描述方程，计算型面离散点相对于该方程的均方根误差，求得反射面型面描述方程对反射面天线型面离散点Q_i(x_i,y_i,z_i)坐标的型面描述精度的均方根误差σ。

进一步，步骤(6)中，所述判断采用Zernike多项式和三角函数得到的赋形反射面天线型面描述方程与反射面型面离散点间的均方根误差是否满足型面描述要求，若是，输出型面描述方程系数，得到反射面型面描述方程式；若否，则修改方位和径向指数取值，并跳转到步骤(4)，重新计算反射面型面描述方程系数。

本发明与现有技术相比，具有以下特点：

(1)本发明是基于Zernike多项式和三角函数的赋形反射面天线型面描述方法。Zernike多项式是一组在单位圆域内互为正交、线性无关的多项式。与传统方法相比，利用Zernike多项式和三角函数对赋形反射面天线进行型面描述可以大大的减少优化变量，并且能够保证反射面赋形后表面连续光滑，方便赋形反射面的加工。

(2)本发明提出的方法是一种由型面离散点推广到天线反射面型面描述方程的型面描述方法，实现了在型面描述要求内精确描述赋形反射面的作用，得到的反射面边缘光滑连续，为天线不同频段观测时型面切换和性能补偿提供必需的天线型面全域精确信息，具有重要的学术意义和工程应用价值。

附图说明

图1是本发明的流程图；

图2是反射面型面离散点俯视图；

图3是反射面型面描述方程所得点与离散点坐标所成反射面对比图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对发明作进一步的详细说明，但并不作为对发明做任何限制的依据。

如图1所示，基于Zernike多项式和三角函数的赋形反射面天线型面描述方法，具体步骤如下：

步骤1，根据反射面天线结构信息，确定天线型面所允许的面板精度，从电设计人员得到反射面天线型面离散点点坐标

根据天线反射面面板结构信息，确定赋形面天线面板所允许的面板精度，用于在最后验证赋形面方程是否满足型面描述要求。由电设计人员得到的赋形天线反射面型面离散点，用于天线型面描述方程中三角函数系数计算。

步骤2，将型面离散点进行归一化处理，然后将其沿焦轴方向投影，将投影得到的圆的圆心作为原点，建立笛卡尔坐标系。再对天线型面离散点坐标进行坐标变换，将型面离散点坐标由笛卡尔坐标系变为极坐标系，坐标系原点不变

2.1将型面离散点进行归一化处理，然后将其沿焦轴方向投影到XOY平面上得到投影圆，将投影圆的圆心作为原点，建立笛卡尔坐标系。再对天线型面离散点坐标进行坐标变换，将型面离散点坐标由笛卡尔坐标系变为极坐标系，坐标系原点不变。设定极坐标系中反射面口径投影径向坐标和方位坐标分别为ρ和θ，则赋形面上任一点N(x,y,z)可表示为：

x＝x(ρ,θ),y＝y(ρ,θ),z＝z(ρ,θ)

故有：

其中，a、b分别为投影口径A上沿x，y方向的半轴长，0≤ρ≤1，0≤θ≤2π，O₁(x₀,y₀,z₀)为新直角坐标系相对于原坐标系的坐标。

步骤3，由型面结构信息，确定反射面口径投影方位和径向指数的初始值，得到Zernike多项式的具体表达式

3.1运用Zernike多项式表示反射面型面描述方程式如下：

其中，C_nm、D_nm分别为赋形面的拟合系数,ρ，θ分别为极坐标系中反射面口径投影径向和方位坐标，m，n分别为反射面口径投影方位和径向指数，为Zernike多项式：

其中，ρ为极坐标系中反射面口径投影径向坐标。

3.2如表1所示给出了N≤4,M≤4时，Zernike多项式的具体表达式。

表1 N≤4,M≤4时，Zernike多项式具体表达式

3.3根据反射面型面描述精度要求以及已有的采用Zernike多项式和三角函数对赋形反射面天线型面描述经验，确定Zernike多项式中反射面口径投影方位和径向指数初始值均为4，从而确定反射面型面描述方程具体表达式。

步骤4，针对型面离散点坐标，采用最小二乘法，通过计算型面离散点相对于天线型面描述方程的最小RMS，得到线型面描述方程中三角函数系数；

4.1用Zernike多项式和三角函数描述天线反射面型面，反射面型面描述方程可表示为：

其中，C_nm、D_nm为反射面型面描述方程系数，ρ,θ为极坐标系中反射面口径投影径向和方位坐标，n,m为反射面口径投影方位和径向指数，为反射面型面描述方程中的Zernike多项式项。

4.2反射面型面描述方程对反射面天线型面离散点Q_i(x_i,y_i,z_i)坐标的型面描述精度用均方根值表示如下，求得的均方根值σ为反射面型面描述方程系数C_nm,D_nm的函数，即σ＝f(C_nm,D_nm)：

其中，T为反射面天线型面离散点个数，z_i为反射面天线型面离散点坐标。

4.3根据最小二乘原理，对均方根值方程σ＝f(C_nm,D_nm)求最小值，得到反射面型面描述方程系数C_nm、D_nm的解。如下方程组所示：

求解上式方程组，则可求出反射面型面描述方程三角函数系数C_nm、D_nm，从而得到反射面型面描述方程描述天线反射面型面。

步骤5，通过上步得到的三角函数系数表示出天线型面描述方程，计算型面离散点相对于天线型面描述方程的均方根误差

由步骤4反射面型面描述方程系数C_nm、D_nm，得到Zernike多项式和三角函数构成的天线型面描述方程，将已知离散点坐标代入到步骤4.2的均方根误差公式中计算型面离散点相对于该方程的均方根误差。求得反射面型面描述方程对反射面天线型面离散点Q_i(x_i,y_i,z_i)坐标的型面描述精度的均方根误差σ：

其中，T为反射面天线型面离散点个数。

步骤6，判断采用Zernike多项式和三角函数得到的赋形反射面天线型面描述方程与反射面型面离散点间的均方根误差是否满足型面描述要求

若赋形反射面天线型面描述方程与反射面型面离散点间的均方根误差是满足要求，则输出天线型面描述方程中三角函数系数，得到天线型面描述方程；若否，则修改反射面口径投影方位和径向指数并跳转到步骤4，重新进行计算反射面型面描述方程系数。

本发明的优点可通过以下仿真进一步说明

1，根据反射面天线结构信息，确定天线型面所允许的面板精度，从电设计人员得到反射面天线型面离散点点坐标

本实施例中，以8米天线为例，天线工作频率为2GHz，焦径比为0.347。天线所允许的面板精度为0.5mm，确定天线面板的离散点坐标，用于反射面型面描述方程计算。

2，将型面离散点进行归一化处理，对天线型面离散点坐标进行坐标变换

本实施例中，将型面离散点进行归一化处理，然后将其沿焦轴方向投影到XOY平面上得到投影圆，见图2、3所示，将投影圆的圆心作为原点，建立笛卡尔坐标系。再对天线型面离散点坐标进行坐标变换，新直角坐标系相对于原坐标系的坐标O₁(x₀,y₀,z₀)为(0,0,0)。

故有：

其中，0≤ρ≤1，0≤θ≤2π。

3，由型面结构信息，确定反射面口径投影方位和径向指数的初始值，得到Zernike多项式的具体表达式

本实施例中，根据反射面面板精度以及已有的采用Zernike多项式对赋形面进行拟合的经验来看，对于N,M的初始值均取为4。得到反射面型面描述方程表达式为：

4，针对型面离散点坐标，采用最小二乘法，通过计算型面离散点相对于天线型面描述方程的最小RMS，得到线型面描述方程中三角函数系数；

根据型面离散点信息，基于最小二乘法可构造方程组A*B＝H,

B＝[C₀₀ C₁₁ D₁₁ C₂₀ D₂₀ …… C₄₄ D₄₄]^T

其中A为构造等式的系数矩阵，B为反射面型面描述方程的待定系数矩阵，N为离散点个数，C₀₀、C₁₁、D₁₁、C₂₀、D₂₀……C₄₄、D₄₄为反射面型面描述方程的待定系数，ρ_i，θ_i为离散点点坐标对应的极坐标的曲率半径和角度，T为矩阵转置符号。

求解得到反射面型面描述方程三角函数系数为：

5，计算型面离散点相对于天线型面描述方程的均方根误差

将得到的Zernike多项式和三角函数构成的天线型面描述方程代入均方根公式，计算求得反射面型面描述方程对反射面天线型面离散点坐标的型面描述精度的均方根误差σ＝0.3536mm小于0.5mm，满足反射面型面精度要求。

通过上述仿真可以得出以下结论：采用本发明的方法可对赋形反射面天线型面进行描述，且满足反射面型面精度要求，为天线不同频段观测时型面切换和性能补偿提供必需的天线型面全域精确信息，具有重要的学术意义和工程应用价值。

Claims (6)

1.基于Zernike多项式和三角函数的赋形反射面天线型面描述方法，其特征在于，包括下述步骤：

(1)根据反射面天线结构信息，确定反射面天线型面所允许的面板精度和反射面天线型面离散点坐标；

(2)将反射面天线型面离散点进行归一化处理，然后将其沿焦轴方向投影，将投影得到的圆的圆心作为坐标原点，建立笛卡尔坐标系；再对反射面天线型面离散点坐标进行坐标变换，将反射面天线型面离散点坐标由笛卡尔坐标系变为极坐标系，坐标系原点不变；

(3)由反射面天线型面结构信息，确定反射面口径投影方位和径向指数(N,M)的初始值，得到Zernike多项式；

步骤(3)运用Zernike多项式表示反射面天线型面描述方程式如下：

其中，C_nm、D_nm分别为赋形面的拟合系数,ρ，θ分别为极坐标系中反射面口径投影径向坐标和方位坐标，m，n分别为反射面口径投影方位和径向指数，为Zernike多项式：

其中，

(4)针对反射面天线型面离散点坐标，采用最小二乘法，通过计算反射面天线型面离散点相对于反射面天线型面描述方程的最小RMS，得到型面描述方程中三角函数系数；

步骤(4)包括以下步骤：

(4a)用Zernike多项式和三角函数描述反射面天线型面，反射面天线型面描述方程可表示为：

；

其中，C₀₀、C₁₁、D₁₁、C₂₀、D₂₀……C₄₄、D₄₄为反射面天线型面描述方程的待定系数；

(4b)反射面天线型面描述方程对反射面天线型面离散点Q_i(x_i,y_i,z_i)坐标的反射面天线型面描述精度用均方根值表示如下，求得的均方根值σ为反射面天线型面描述方程系数C_nm,D_nm的函数，即σ＝f(C_nm,D_nm)：

其中，T为反射面天线型面离散点个数，z_i为反射面天线型面离散点坐标；

(4c)根据最小二乘原理，对均方根值方程σ＝f(C_nm,D_nm)求最小值，得到反射面天线型面描述方程系数C_nm、D_nm的解，如下方程组所示：

(5)通过步骤(4)得到的反射面天线型面描述方程，计算型面离散点相对于反射面天线型面描述方程的均方根误差；

(6)判断型面离散点相对于反射面天线型面描述方程的均方根误差是否满足反射面天线型面描述要求，若是，输出反射面天线型面描述方程中三角函数系数，得到反射面天线型面描述方程；若否，修改反射面口径投影方位和径向指数并跳转到步骤(4)，重新进行计算。

2.根据权利要求1所述的基于Zernike多项式和三角函数的赋形反射面天线型面描述方法，其特征在于，步骤(1)中，所述反射面天线的结构信息，包括反射面天线型面描述精度要求以及反射面天线型面离散点坐标。

3.根据权利要求1所述的基于Zernike多项式和三角函数的赋形反射面天线型面描述方法，其特征在于，步骤(2)将反射面天线型面离散点坐标由笛卡尔坐标系变为极坐标系，设定极坐标系中反射面口径投影径向坐标和方位坐标分别为ρ和θ，则赋形面上任一点N(x,y,z)可表示为：

x＝x(ρ,θ),y＝y(ρ,θ),z＝z(ρ,θ)

故有：

其中，a、b分别为投影口径A上沿x，y方向的半轴长，0≤ρ≤1，0≤θ≤2π，O₁(x₀,y₀,z₀)为新直角坐标系相对于原坐标系的坐标，x_max、x_min分别为坐标系投影后的x的最大值和最小值；y_max、y_min分别为坐标系投影后的y的最大值和最小值。

4.根据权利要求1所述的基于Zernike多项式和三角函数的赋形反射面天线型面描述方法，其特征在于，确定Zernike多项式中反射面口径投影方位和径向指数初始值均为4。

5.根据权利要求1所述的基于Zernike多项式和三角函数的赋形反射面天线型面描述方法，其特征在于，步骤(5)中，得到Zernike多项式和三角函数构成的反射面天线型面描述方程，计算反射面天线型面离散点相对于该方程的均方根误差，求得反射面天线型面描述方程对反射面天线型面离散点Q_i(x_i,y_i,z_i)坐标的反射面天线型面描述精度的均方根误差σ：

其中，T为反射面天线型面离散点个数，z_i为反射面天线型面离散点坐标。

6.根据权利要求1所述的基于Zernike多项式和三角函数的赋形反射面天线型面描述方法，其特征在于，步骤(6)中，所述判断采用Zernike多项式和三角函数得到的赋形反射面天线型面描述方程与反射面天线型面离散点间的均方根误差是否满足反射面天线型面描述要求，若是，输出反射面天线型面描述方程系数，得到反射面天线型面描述方程式；若否，则修改方位和径向指数取值，并跳转到步骤(4)，重新计算反射面天线型面描述方程系数。