CN105738770A - 一种基于故障行波沿线分布特性的线缆混合线路单端行波测距方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于故障行波沿线分布特性的线缆混合线路单端行波测距方法，属于电力系统继电保护技术领域。当线路发生故障时，首先，由高速采集装置获取量测端故障电流行波数据，并截取故障初始行波到达前(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长和故障初始到达后2(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长的行波数据；其次，采用DWT?PCA?SVM判别机制，实现故障段的判别；再次，计算两个相继时窗的测距函数f_uI(x)和f_uII(x)沿线分布的突变点，并根据测距函数沿线突变的分布规律实现线缆混合线路的故障测距。

Description

一种基于故障行波沿线分布特性的线缆混合线路单端行波测距方法

技术领域

本发明涉及一种基于故障行波沿线分布特性的线缆混合线路单端行波测距方法，属于电力系统继电保护技术领域。

背景技术

故障测距的任务就是当线路的某一点发生故障时，通过线路两端的实测电流、电压及线路阻抗等参数计算出故障距离。通常，输电线故障测距方法主要有两类，一类是阻抗法，是直接计算故障阻抗或其百分比的算法；另一类是行波法，利用高频故障暂态电流、电压的行波等来间接判定故障点的距离。

输电线路行波故障测距经历了早期行波故障测距和现代行波故障测距两个阶段。近年来随着硬件制造水平以及计算机技术的飞速发展，现代行波测距技术在很多方面遇到的困境都得到了突破，但仍存在一些尚未解决或者急需要改进的问题，这些问题主要有：故障行波的辨识准确度如何提高，行波波头到达测量端时刻如何准确的捕捉，不同输电线路及电压等级对应的波速怎样选取，利用其它健全线路含有的故障信息怎样实现广域行波测距等方面。因此，现代行波故障测距在未来发展之路中还要面对许多技术和原理层面上的挑战。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提出一种基于故障行波沿线分布特性的线缆混合线路单端行波测距方法，用以解决上述问题。

本发明的技术方案是：一种基于故障行波沿线分布特性的线缆混合线路单端行波测距方法，当线路发生故障时，首先，由高速采集装置获取量测端故障电流行波数据，并截取故障初始行波到达前(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长和故障初始到达后2(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长的行波数据；其次，采用DWT-PCA-SVM判别机制，实现故障段的判别；再次，计算两个相继时窗的测距函数f_uI(x)和f_uII(x)沿线分布的突变点，并根据测距函数沿线突变的分布规律实现线缆混合线路的故障测距。

具体步骤为：

第一步、当线路发生故障时，由高速采集装置获取量测端故障电流行波数据，并截取故障初始行波到达前(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长和故障初始到达后2(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长的行波数据；

第二步、采用下面所述方法判断故障段：

首先，将电流行波取绝对值后选取行波到达量测端前3个点，行波到达量测端后27个点，即采用2(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长的数据，进行小波分解(DWT)，得到a₀、d₁～d₈小波重构系数；其次，选取a，d₂～d₈尺度下重构获取的故障电流波形进行主成分分析(PCA)，得到主成分PC₁～PC₅主成分对应的投影值q₁～q₅；再次，将q₁～q₅作为支持向量机(SVM)的输入量，则若SVM输出0，表示架空线路故障；若SVM输出1，表示电缆故障；并称上述方法为“DWT-PCA-SVM”故障段判别机制；

第三步、构建测距函数：

首先，根据式(1)和(2)计算沿线电压分布；

$\begin{array}{c}{u}_x(x,t)=\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_c+rx/4}{Z_c}\right)}^2\[u_M(t+\frac{x}{v})-i_M(t+\frac{x}{v})(Z_c+\frac{rx}{4})\]\\ +\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_c-rx/4}{Z_c}\right)}^2\[u_M(t-\frac{x}{v})+i_M(t-\frac{x}{v})(Z_c-rx)\]\\ -{\left(\frac{rx/4}{Z_c}\right)}^2{u}_M\left(t\right)-\frac{rx}{4}\left(\frac{Z_c+rx/4}{Z_c}\right)\left(\frac{Z_c-rx/4}{Z_c}\right)i_M\left(t\right)\end{array}---\left(1\right)$

$\begin{array}{c}{i}_x(x,t)=\frac{1}{2Z_c}\left(\frac{Z_c+rx/4}{Z_c}\right)\[u_M(t+x/v)-i_M(t+x/v)\·(Z_c+rx/4)\]\\ -\frac{1}{2Z_c}\left(\frac{Z_c-rx/4}{Z_c}\right)\[u_M(t-x/v)+i_M(t-x/v)\·(Z_c-rx/4)\]\\ =\frac{1}{2Z_c}\·\frac{rx}{2Z_c}\[u_M\left(t\right)-i_M\left(t\right)(tx/4)\]\end{array}---\left(2\right)$

式中，u_M＝i_k×Z_c，i_k为相邻健全线路电流行波；

其次，计算方向行波沿线路分布：

根据式(1)和式(2)计算得到电压行波和电流行波以及式(3)和(4)计算正向行波和反向行波。

正向行波：u⁺ _x＝(u_x+Z_ci_x)/2(3)

反向行波：u^- _x＝(u_x-Z_ci_x)/2(4)

再次，提取正向行波和反向行波的突变：先采用式(5)和(6)差分运算得到和

$c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)=\[u_x^{+}\left(t\right)-u_x^{+}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(5\right)$

$c_{dif\_u^{-}}\left(t\right)=\[u_x^{-}\left(t\right)-u_x^{-}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(6\right)$

为正向行波的差分结果，为反向行波的差分结果，Δt为采样间隔；

再计算差分结果c_dif在一段时间的能量S_2u(x,t)，即：

$S_{2u^{+}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(7\right)$

$S_{2u^{-}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(8\right)$

式中，为正向行波在一段时间内的能量，为反向行波在一段时间内的能量；

最后，构建测距函数：

分别于[t₀,t₀+l/(2v)]和[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗长度内，得到测距函数f_uI(x)和f_uII(x)；

$f_{uI}\left(x\right)={\∫}_{t_0}^{t_0+l/\left(2v\right)}{S}_{2u^{+}}(x,t)\×S_{2u^{-}}(x,t)dt---\left(9a\right)$

$f_{uII}\left(x\right)={\∫}_{t_0+l/\left(2v\right)}^{t_0+l/v}{S}_{2u^{+}}(x,t)\×S_{2u^{-}}(x,t)dt---\left(9b\right)$

若根据步骤二判断出故障位于架空线路，则式(1)和(2)中取v＝v_l，l＝l₁，即式(9a)和(9b)计算得到是测距函数沿架空线路全长突变分布；

若根据步骤二判断出故障位于电缆，则式(1)和(2)中取v＝v_c，l＝l₂，即式(9a)和(9b)计算得到是测距函数沿电缆线路全长突变分布；

第四步、确定故障距离：

将[t₀,t₀+l/(2v)]时窗内计算得到测距函数f_uI(x)的突变点记为突变解集f_uI＝[x_I1,x_I2,……]，[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗内的计算得到测距函数f_uII(x)的突变点记为突变解集f_uII＝[x_II1,x_II2,……]；

根据式x^* _I+x^* _II＝l，并结合突变点的极性和幅值，确定故障距离。

构建DWT-PCA-SVM线缆混合线路故障线段辨识的模型及算法：

首先，采用附图1所示的线缆混合线路仿真系统，以架空线路起端观测为例。假设线路发生A相金属性接地故障，故障初相角分别设为+90°和-90°。设置故障位置从离开起端1km开始，步长为1km，遍历电缆和架空线路全长。得到68条故障电流行波数据，并对电流行波取绝对值后选取行波到达量测端前3个点，行波到达量测端后27个点，即采用2(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长的数据。其次，将电流行波数据进行小波分解，并选取a，d₂～d₈尺度下的小波系数进行重构；再次，将重构后的电流行波小波系数进行PCA(主成分)聚类分析，得到PC₁～PC₅主成分对应的投影值q₁～q₅。最后，将q₁～q₅作为SVM的输入量，进行训练，并规定SVM输出0，表示架空线路故障；若SVM输出1，表示电缆故障。其中，l₁为架空线路全长，l₂为电缆线路全长，v_l为架空线路波速度，v_c为电缆线路波速度。

本发明的有益效果是：

(1)采用DWT-PCA-SVM判别机制，实现了线缆混合线路故障段的可靠辨识；

(2)利用贝杰龙线路模型具有沿线长维度上的高通滤波器作用，使得测距方法更具鲁棒性和普适性，易于实现单端测距的实用化。

附图说明

图1为本发明实施例1、实施例2和实施例3中的线路结构图，架空线路全长25km，电缆线路全长为10km。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式，对本发明作进一步说明。

一种基于故障行波沿线分布特性的线缆混合线路单端行波测距方法，当线路发生故障时，首先，由高速采集装置获取量测端故障电流行波数据，并截取故障初始行波到达前(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长和故障初始到达后2(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长的行波数据；其次，采用DWT-PCA-SVM判别机制，实现故障段的判别；再次，计算两个相继时窗的测距函数f_uI(x)和f_uII(x)沿线分布的突变点，并根据测距函数沿线突变的分布规律实现线缆混合线路的故障测距。

具体步骤为：

第一步、当线路发生故障时，由高速采集装置获取量测端故障电流行波数据，并截取故障初始行波到达前(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长和故障初始到达后2(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长的行波数据；

第二步、采用下面所述方法判断故障段：

首先，将电流行波取绝对值后选取行波到达量测端前3个点，行波到达量测端后27个点，即采用2(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长的数据，进行小波分解(DWT)，得到a₀、d₁～d₈小波重构系数；其次，选取a，d₂～d₈尺度下重构获取的故障电流波形进行主成分分析(PCA)，得到主成分PC₁～PC₅主成分对应的投影值q₁～q₅；再次，将q₁～q₅作为支持向量机(SVM)的输入量，则若SVM输出0，表示架空线路故障；若SVM输出1，表示电缆故障；并称上述方法为“DWT-PCA-SVM”故障段判别机制；

第三步、构建测距函数：

首先，根据式(1)和(2)计算沿线电压分布；

$\begin{array}{c}{u}_x(x,t)=\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_c+rx/4}{Z_c}\right)}^2\[u_M(t+\frac{x}{v})-i_M(t+\frac{x}{v})(Z_c+\frac{rx}{4})\]\\ +\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_c-rx/4}{Z_c}\right)}^2\[u_M(t-\frac{x}{v})+i_M(t-\frac{x}{v})(Z_c-rx)\]\\ -{\left(\frac{rx/4}{Z_c}\right)}^2{u}_M\left(t\right)-\frac{rx}{4}\left(\frac{Z_c+rx/4}{Z_c}\right)\left(\frac{Z_c-rx/4}{Z_c}\right)i_M\left(t\right)\end{array}---\left(1\right)$

$\begin{array}{c}{i}_x(x,t)=\frac{1}{2Z_c}\left(\frac{Z_c+rx/4}{Z_c}\right)\[u_M(t+x/v)-i_M(t+x/v)\·(Z_c+rx/4)\]\\ -\frac{1}{2Z_c}\left(\frac{Z_c-rx/4}{Z_c}\right)\[u_M(t-x/v)+i_M(t-x/v)\·(Z_c-rx/4)\]\\ =\frac{1}{2Z_c}\·\frac{rx}{2Z_c}\[u_M\left(t\right)-i_M\left(t\right)(tx/4)\]\end{array}---\left(2\right)$

式中，u_M＝i_k×Z_c，i_k为相邻健全线路电流行波；

其次，计算方向行波沿线路分布：

根据式(1)和式(2)计算得到电压行波和电流行波以及式(3)和(4)计算正向行波和反向行波。

正向行波：u^＋ _x＝(u_x＋Z_ci_x)/2(3)

反向行波：u^- _x＝(u_x-Z_ci_x)/2(4)

再次，提取正向行波和反向行波的突变：先采用式(5)和(6)差分运算得到和

$c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)=\[u_x^{+}\left(t\right)-u_x^{+}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(5\right)$

$c_{dif\_u^{-}}\left(t\right)=\[u_x^{-}\left(t\right)-u_x^{-}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(6\right)$

为正向行波的差分结果，为反向行波的差分结果，Δt为采样间隔；

再计算差分结果c_dif在一段时间的能量S_2u(x,t)，即：

$S_{2u^{+}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(7\right)$

$S_{2u^{-}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(8\right)$

式中，为正向行波在一段时间内的能量，为反向行波在一段时间内的能量；

最后，构建测距函数：

分别于[t₀,t₀+l/(2v)]和[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗长度内，得到测距函数f_uI(x)和f_uII(x)；

$f_{uI}\left(x\right)={\∫}_{t_0}^{t_0+l/\left(2v\right)}{S}_{2u^{+}}(x,t)\×S_{2u^{-}}(x,t)dt---\left(9a\right)$

$f_{uII}\left(x\right)={\∫}_{t_0+l/\left(2v\right)}^{t_0+l/v}{S}_{2u^{+}}(x,t)\×S_{2u^{-}}(x,t)dt---\left(9b\right)$

若根据步骤二判断出故障位于架空线路，则式(1)和(2)中取v＝v_l，l＝l₁，即式(9a)和(9b)计算得到是测距函数沿架空线路全长突变分布；

若根据步骤二判断出故障位于电缆，则式(1)和(2)中取v＝v_c，l＝l₂，即式(9a)和(9b)计算得到是测距函数沿电缆线路全长突变分布；

第四步、确定故障距离：

将[t₀,t₀+l/(2v)]时窗内计算得到测距函数f_uI(x)的突变点记为突变解集f_uI＝[x_I1,x_I2,……]，[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗内的计算得到测距函数f_uII(x)的突变点记为突变解集f_uII＝[x_II1,x_II2,……]；

根据式x^* _I+x^* _II＝l，并结合突变点的极性和幅值，确定故障距离。

构建DWT-PCA-SVM线缆混合线路故障线段辨识的模型及算法：

首先，采用附图1所示的线缆混合线路仿真系统，以架空线路起端观测为例。假设线路发生A相金属性接地故障，故障初相角分别设为+90°和-90°。设置故障位置从离开起端1km开始，步长为1km，遍历电缆和架空线路全长。得到68条故障电流行波数据，并对电流行波取绝对值后选取行波到达量测端前3个点，行波到达量测端后27个点，即采用2(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长的数据。其次，将电流行波数据进行小波分解，并选取a，d₂～d₈尺度下的小波系数进行重构；再次，将重构后的电流行波小波系数进行PCA(主成分)聚类分析，得到PC₁～PC₅主成分对应的投影值q₁～q₅。最后，将q₁～q₅作为SVM的输入量，进行训练，并规定SVM输出0，表示架空线路故障；若SVM输出1，表示电缆故障。其中，l₁为架空线路全长，l₂为电缆线路全长，v_l为架空线路波速度，v_c为电缆线路波速度。

实施例1：以图1所示的输电线路为例，架空线路距离M端2.5km发生接地故障。

根据说明书中步骤二，将电流行波取绝对值后选取行波到达量测端前3个点，行波到达量测端后27个点，即采用2(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长的数据，进行小波分解，得到a₀、d₁～d₈小波重构系数。其次，选取a，d₂～d₈尺度下重构获取的故障电流波形进行PCA聚类分析，得到PC₁～PC₅主成分对应的投影值q₁～q₅＝[3.050.00540.350.024-0.016]作为SVM的输入属性，SVM输出0，表示架空线路故障。根据步骤三、四得到f_uI＝[-2.41-4.96]、f_uII＝[+22.35]，可知，x_I1+x_II1＝2.41+22.35＝24.76≈l₁，故得到故障位于架空线路，且离开M端2.41km。

实施例2：以图1所示的输电线路为例，架空线路距离M端10.5km发生接地故障。

根据说明书中步骤二，将电流行波取绝对值后选取行波到达量测端前3个点，行波到达量测端后27个点，即采用2(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长的数据，进行小波分解，得到a₀、d₁～d₈小波重构系数。其次，选取a，d₂～d₈尺度下重构获取的故障电流波形进行PCA聚类分析，得到PC₁～PC₅主成分对应的投影值q₁～q₅＝[1.810.120.020.0130.014]作为SVM的输入属性，SVM输出0，表示架空线路故障。根据步骤三、四得到f_uI＝[+14.30]、f_uII＝[-10.33]，可知，x_I1+x_II1＝14.30+10.33＝24.63≈l₁，故得到故障位于架空线路，且离开M端10.70km。

实施例3：以图1所示的输电线路为例，电缆线路距离M端28.5km发生接地故障。

根据说明书中步骤二，将电流行波取绝对值后选取行波到达量测端前3个点，行波到达量测端后27个点，即采用2(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长的数据，进行小波分解，得到a₀、d₁～d₈小波重构系数。其次，选取a，d₂～d₈尺度下重构获取的故障电流波形进行PCA聚类分析，得到PC₁～PC₅主成分对应的投影值q₁～q₅＝[0.96-0.35-0.250.006-0.0049]作为SVM的输入属性，SVM输出0，表示架空线路故障。根据步骤三、四得到f_uI＝[+3.63]、f_uII＝[+6.22]，可知，x_I1+x_II1＝3.63+6.22＝9.85≈l₂，故得到故障位于电缆线路，且离开M端28.63km。

在上述实例中，“+”表示突变的极性为正，“-”表示突变的极性为负。

以上结合附图对本发明的具体实施方式作了详细说明，但是本发明并不限于上述实施方式，在本领域普通技术人员所具备的知识范围内，还可以在不脱离本发明宗旨的前提下作出各种变化。

Claims (2)

1.一种基于故障行波沿线分布特性的线缆混合线路单端行波测距方法，其特征在于：当线路发生故障时，首先，由高速采集装置获取量测端故障电流行波数据，并截取故障初始行波到达前(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长和故障初始到达后2(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长的行波数据；其次，采用DWT-PCA-SVM判别机制，实现故障段的判别；再次，计算两个相继时窗的测距函数f_uI(x)和f_uII(x)沿线分布的突变点，并根据测距函数沿线突变的分布规律实现线缆混合线路的故障测距。

2.根据权利要求1所述的基于故障行波沿线分布特性的线缆混合线路单端行波测距方法，其特征在于具体步骤为：

第一步、当线路发生故障时，由高速采集装置获取量测端故障电流行波数据，并截取故障初始行波到达前(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长和故障初始到达后2(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长的行波数据；

第二步、采用下面所述方法判断故障段：

首先，将电流行波取绝对值后选取行波到达量测端前3个点，行波到达量测端后27个点，即采用2(l₁/v_l+l₂/v_c)时窗长的数据，进行小波分解，得到a₀、d₁～d₈小波重构系数；其次，选取a，d₂～d₈尺度下重构获取的故障电流波形进行主成分分析，得到主成分PC₁～PC₅主成分对应的投影值q₁～q₅；再次，将q₁～q₅作为支持向量机的输入量，则若SVM输出0，表示架空线路故障；若SVM输出1，表示电缆故障；并称上述方法为“DWT-PCA-SVM”故障段判别机制；

第三步、构建测距函数：

首先，根据式(1)和(2)计算沿线电压分布；

$\begin{array}{c}{u}_x(x,t)=\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_c+rx/4}{Z_c}\right)}^2\[u_M\left(t+\frac{x}{v}\right)-i_M\left(t+\frac{x}{v}\right)\left(Z_c+\frac{rx}{4}\right)\]\\ +\frac{1}{2}{\left(\frac{Z_c-rx/4}{Z_c}\right)}^2\[u_M\left(t-\frac{x}{v}\right)+i_M\left(t-\frac{x}{v}\right)(Z_c-rx)\]\\ -{\left(\frac{rx/4}{Z_c}\right)}^2{u}_M\left(t\right)-\frac{rx}{4}\left(\frac{Z_c+rx/4}{Z_c}\right)\left(\frac{Z_c-rx/4}{Z_c}\right)i_M\left(t\right)\end{array}---\left(1\right)$

$\begin{array}{c}{i}_x(x,t)=\frac{1}{2Z_c}\left(\frac{Z_c+rx/4}{Z_c}\right)\[u_M\left(t+x/v\right)-i_M\left(t+x/v\right)\·\left(Z_c+rx/4\right)\]\\ -\frac{1}{2Z_c}\left(\frac{Z_c-rx/4}{Z_c}\right)\[u_M\left(t-x/v\right)+i_M\left(t-x/v\right)\·(Z_c-rx/4)\]\\ -\frac{1}{2Z_c}\·\frac{rx}{2Z_c}\[u_M\left(t\right)-i_M\left(t\right)(rx/4)\]\end{array}---\left(2\right)$

式中，u_M＝i_k×Z_c，i_k为相邻健全线路电流行波；

其次，计算方向行波沿线路分布：

根据式(1)和式(2)计算得到电压行波和电流行波以及式(3)和(4)计算正向行波和反向行波。

正向行波：u⁺ _x＝(u_x+Z_ci_x)/2(3)

反向行波：u^- _x＝(u_x-Z_ci_x)/2(4)

再次，提取正向行波和反向行波的突变：先采用式(5)和(6)差分运算得到和

$c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)=\[u_x^{+}\left(t\right)-u_x^{+}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(5\right)$

$c_{dif\_u^{-}}\left(t\right)=\[u_x^{-}\left(t\right)-u_x^{-}(t-\mathrm{\Δ}t)\]/\mathrm{\Δ}t---\left(6\right)$

为正向行波的差分结果，为反向行波的差分结果，Δt为采样间隔；

再计算差分结果c_dif在一段时间的能量S_2u(x,t)，即：

$S_{2u^{+}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(7\right)$

$S_{2u^{-}}(x,t)=\underset{n=t-N\mathrm{\Δ}t+1}{\overset{t}{\Σ}}{\[c_{dif\_u^{+}}\left(t\right)\]}^3---\left(8\right)$

式中，为正向行波在一段时间内的能量，为反向行波在一段时间内的能量；

最后，构建测距函数：

分别于[t₀,t₀+l/(2v)]和[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗长度内，得到测距函数f_uI(x)和f_uII(x)；

$f_{uI}\left(x\right)={\∫}_{t_0}^{t_0+l/\left(2v\right)}{S}_{2u^{+}}(x,t)\×S_{2u^{-}}(x,t)dt---\left(9a\right)$

$f_{uII}\left(x\right)={\∫}_{t_0+l/\left(2v\right)}^{t_0+l/v}{S}_{2u^{+}}(x,t)\×S_{2u^{-}}(x,t)dt---\left(9b\right)$

若根据步骤二判断出故障位于架空线路，则式(1)和(2)中取v＝v_l，l＝l₁，即式(9a)和(9b)计算得到是测距函数沿架空线路全长突变分布；

若根据步骤二判断出故障位于电缆，则式(1)和(2)中取v＝v_c，l＝l₂，即式(9a)和(9b)计算得到是测距函数沿电缆线路全长突变分布；

第四步、确定故障距离：

将[t₀,t₀+l/(2v)]时窗内计算得到测距函数f_uI(x)的突变点记为突变解集f_uI＝[x_I1,x_I2,……]，[t₀+l/(2v),t₀+l/v]时窗内的计算得到测距函数f_uII(x)的突变点记为突变解集f_uII＝[x_II1,x_II2,……]；

根据式x^* _I+x^* _II＝l，并结合突变点的极性和幅值，确定故障距离。