CN105242236B

CN105242236B - 宽带信号超分辨测向中的阵元位置误差校正方法

Info

Publication number: CN105242236B
Application number: CN201510628070.6A
Authority: CN
Inventors: 甄佳奇; 王志芳
Original assignee: Heilongjiang University
Current assignee: Heilongjiang University
Priority date: 2015-09-28
Filing date: 2015-09-28
Publication date: 2017-12-08
Anticipated expiration: 2035-09-28
Also published as: CN105242236A

Abstract

宽带信号超分辨测向中的阵元位置误差校正方法，本发明涉及宽带信号超分辨测向中存在的阵列误差的校正方法。本发明为了解决现有的阵元位置误差校正方法求解高维非线性的优化时存在的运算量大、收敛速度慢的问题和现有的对多小孔径阵列的校正技术不适用于宽带信号的问题。本发明利用各个频点上的信号构建对应的优化函数，之后利用信号的空域稀疏性，通过稀疏贝叶斯学习方法分别对各个频点上的函数进行迭代优化处理，最后对所有频点上的信息进行融合估计出信号到达方向。该方法可以有效的实现阵元位置误差存在时的阵列误差校正，并且利用多片数字信号处理器有效提高算法的运行速度。本发明适用于宽带信号超分辨测向中存在的阵列误差的校正领域。

Description

宽带信号超分辨测向中的阵元位置误差校正方法

技术领域

本发明涉及宽带信号超分辨测向中存在的阵列误差的校正方法。

背景技术

超分辨测向是阵列信号处理中的一个重要研究内容，在无线电监测、物联网和电子对抗等领域有着较广泛的应用。目前多数的测向方法都是以精确的掌握阵列流型为前提。而在实际的测向系统当中，由于阵元位置扰动或者测量不准确等原因，经常导致测向估计时伴随着阵元位置误差，这直接导致了很多的超分辨测向方法的性能恶化，甚至失效，所以有必要对其进行校正处理。

参数类的校正方法通常可以分为有源校正和自校正。有源校正可通过在空间设置方位已知的辅助信源对阵列扰动参数进行离线估计，而自校正方法通常根据某种优化函数对空间信源的方位与阵列扰动参数联合估计。Friedlander B和Weiss A J基于子空间原理，提出了一种信源方位、阵元间互耦、阵元增益和相位扰动交替迭代估计的阵列自校正技术。但该技术需要求解高维非线性的优化问题，运算量大、收敛速度慢，而且对于均匀线阵来说，阵列扰动参数存在模糊问题。Mavrychev等学者对多小孔径阵列的部分校正技术进行了研究，有效地解决了通常单个小孔径基阵难以满足的多目标分辨和定向精度要求。由于所构造的估计器不需要精确的知道各子阵之间的位置信息，从而避免了伪峰和位置估计误差对方位估计的影响。然而它们只适用于窄带信号，对于宽带信号超分辨测向时的阵元位置误差校正技术，公开发表的文献并不多见。

发明内容

本发明为了解决现有的阵元位置误差校正方法求解高维非线性的优化时存在的运算量大、收敛速度慢的问题和现有的对多小孔径阵列的校正技术不适用于宽带信号的问题。

宽带信号超分辨测向中的阵元位置误差校正方法，包括下述步骤：

步骤1：建立含有阵元位置误差的阵列信号模型：

当阵列当中存在阵元位置误差时，频点f_i上的阵列输出可以表示为

X'(f_i)＝A'(f_i,α)S(f_i)+N(f_i)，i＝1,2,…,J (12)

A'(f_i,α)为存在阵元位置误差时频点f_i上的阵列流型矩阵；S(f_i)为信号s_k(t)经过傅立叶变换后的信号矢量矩阵；N(f_i)为噪声n_m(t)经过傅立叶变换后的噪声矢量矩阵，均值为0，方差为μ²(f_i)；

存在阵元位置误差时频点f_i上的接收信号协方差矩阵为

R'(f_i)＝E{X'(f_i)(X'(f_i))^H}，i＝1,2,…,J (13)

A(f_i,α)＝[a(f_i,α₁),…,a(f_i,α_k),…,a(f_i,α_K)]为理想情况下频点f_i上的阵列流型矩阵，a(f_i,α_k)为理想情况下频点f_i上第k个信号的阵列导向矢量；

当第m个阵元的位置存在误差△d_m时，可以等效为阵列导向矢量中引入了方位依赖的相位扰动，则有

其中，W(f_i,α_k)为频点f_i上、方向α_k的阵元位置误差扰动矩阵，a'(f_i,α_k)表示存在阵元位置误差时频点f_i上第k个信号的阵列导向矢量；

为第k个信号从方向α_k到达第m个阵元时，由阵元位置误差扰动引入的信源传播时延误差；则存在阵元位置误差时频点f_i上的阵列流型矩阵为

A'(f_i,α)＝[a'(f_i,α₁),…,a'(f_i,α_k),…,a'(f_i,α_K)]

(17)

＝W(f_i,α)·A(f_i,α)

其中，W(f_i,α)＝[W(f_i,α₁),…,W(f_i,α_k),…,W(f_i,α_K)]表示频点f_i上的阵元位置误差扰动矩阵；

步骤2：对含有阵元位置误差的阵列信号参数进行估计：

首先将搜索空间划分为若干离散的角度网格对应着信号可能到达的L个方向；从而可得出频点f_i上阵列流型矩阵的稀疏表示

其中，为频点f_i上第l个稀疏信号的阵列导向矢量，相应的可获得存在阵元位置误差时频点f_i上阵列流型矩阵的稀疏表示为频点f_i上的阵元位置误差扰动矩阵的稀疏表示，为频点f_i上、第l个稀疏信号的阵元位置误差扰动矩阵，为第l个稀疏信号到达第m个阵元时，由阵元位置误差扰动引入的信源传播时延误差，为存在阵元位置误差时频点f_i上第l个稀疏信号的阵列导向矢量，则可得出存在阵元位置误差时频点f_i上阵列输出信号的稀疏表示

其中，Λ(f_i)为一个只与原信号有关的参数，与误差无关；为Λ(f_i)的稀疏表示；w(f_i)＝[△d₂,…,△d_M]^T表示阵元位置误差扰动矢量，以第1个阵元作为位置参考点，△d₂,…,△d_M分别为频点f_i上第2个阵元到第M个阵元的真实位置和测量位置的偏差，它们与信号频率f_i无关；

的协方差矩阵为

式(18)中为S(f_i)的稀疏表示，

其中，为稀疏矩阵，为S(f_i,kp)的稀疏表示，中只包含K个非零元素，为中的第l个元素，当且仅当时中的元素不全为零且有故此可以看成是S(f_i)中加入了许多0元素后得到的矩阵；

设δ(f_i)＝[δ₁(f_i),…,δ_l(f_i),…,δ_L(f_i)]^T为中元素的方差，反映了信号的能量，即有

其中，Σ(f_i)＝diag(δ(f_i))，即服从均值为0，方差为δ(f_i)的高斯分布；

由于可以看成是S(f_i)中加入了许多0元素后得到的向量，所以δ(f_i)包含了K个非零元素，并且有K<<L，根据δ(f_i)，结合w(f_i)和噪声方差μ²(f_i)估计出从而重构出原信号，同时对误差进行校正；

根据式(18)可知，存在阵元位置误差时频点f_i的阵列输出信号的概率密度为

结合式(18)、(20)和(21)可得

其中，I_M是M×M维的单位阵；

采用期望最大化(Expectation Maximization,EM)方法来对w(f_i)、μ²(f_i)和δ_l(f_i)进行迭代估计，得出估计值和对应的可得到以及

步骤3：利用和对阵列误差进行校正并对信号到达方向求解；

令X为一段观测时间内阵列接收到的所有频点信号的和构成的向量，由于各频点的信号具有统计独立性，因此各频点接收信号的联合概率密度为

对式(35)两端取对数有

因此令式(36)最大化即可求得信号到达方向，即信号到达方向的估计值k＝1,2,…,K，即可以通过

求得；

经过推导有

其中，Re{·}为求{·}的实部；Ω_-k、分别表示从Ω和中去掉其中的第k个元素；k＝1,2,…,K；

根据的表达式求得△d₂,…,△d_M，再根据式(16)、(15)求得W(f_i,α_k)以及W(f_i,Ω)，然后进行阵列校正求得a'(f_i,α_k)和A'(f_i,Ω_-k)；再根据以上参数和公式(38)，能够得到经过阵列校正后的信号到达方向的估计值

本发明具有以下有益效果：

本发明提出了一种存在阵元位置误差时的宽带信号超分辨测向误差校正方法，利用各个频点上的信号构建对应的优化函数，之后利用信号的空域稀疏性，通过稀疏贝叶斯学习方法分别对各个频点上的函数进行迭代优化处理，最后对所有频点上的信息进行融合估计出信号到达方向。本发明可以有效的实现阵元位置误差存在时的阵列误差校正，当信噪比为10dB，每个频点采样快拍数为40时，精度可达0.6°/σ。

而且本发明的方法可以用多片数字信号处理器进行处理，可以有效的提高算法的运行速度。

附图说明

图1为宽带信号超分辨测向阵列信号模型示意图；

图2为宽带信号探测系统装置图；

图3为具体实施方式四的宽带信号超分辨测向装置图；

图4为具体实施方式五的宽带信号超分辨测向装置图；

图5为具体实施方式六的宽带信号超分辨测向装置图。

具体实施方式

具体实施方式一：

步骤1：建立含有阵元位置误差的阵列信号模型：

X'(f_i)＝A'(f_i,α)S(f_i)+N(f_i)，i＝1,2,…,J (12)

存在阵元位置误差时频点f_i上的接收信号协方差矩阵为

R'(f_i)＝E{X'(f_i)(X'(f_i))^H}，i＝1,2,…,J (13)

A'(f_i,α)＝[a'(f_i,α₁),…,a'(f_i,α_k),…,a'(f_i,α_K)]

(17)

＝W(f_i,α)·A(f_i,α)

步骤2：对含有阵元位置误差的阵列信号参数进行估计：

的协方差矩阵为

式(18)中为S(f_i)的稀疏表示，

结合式(18)、(20)和(21)可得

其中，I_M是M×M维的单位阵；

步骤3：利用和对阵列误差进行校正并对信号到达方向求解；

对式(35)两端取对数有

求得；

经过推导有

具体实施方式二：

本实施方式步骤1所述建立含有阵元位置误差的阵列信号模型的具体步骤如下：

步骤1.1：建立理想阵列信号模型：

如图1所示，设有K个远场宽带信号s_k(t)，k＝1,2,…,K，入射到M个全向阵元组成的宽带均匀直线阵列上，到达方向为α＝[α₁,…,α_k,…,α_K]，阵元间距为d；远场宽带信号s_k(t)，简称宽带信号s_k(t)；

将第1个阵元作为相位参考点，在理想情况下，第m个阵元的输出表示为

其中，表示第k个宽带信号s_k(t)到达第m个阵元相对于它到达相位参考点的延时，c为电磁波在真空中的传播速度，n_m(t)为第m个阵元接收到的高斯白噪声；

假设宽带信号的频率范围为[f_Low,f_High]，利用离散傅里叶变换将宽带信号分成J个频点，经过窄带滤波器组将它们分开，则第i组滤波器阵列输出信号表示为

X(f_i)＝A(f_i,α)S(f_i)+N(f_i)，i＝1,2,…,J (2)

其中，f_Low≤f_i≤f_High，i＝1,2,…,J；

假设在每个频点f_i上进行了KP次采样，X(f_i)的矩阵形式表示为

X(f_i)＝[X(f_i,1),…,X(f_i,kp),…,X(f_i,KP)]，i＝1,2,…,J (3)

其中，X(f_i,kp)为X(f_i)的第kp次数据采样矩阵，

X(f_i,kp)＝[X₁(f_i,kp),…,X_m(f_i,kp),…,X_M(f_i,kp)]^T，i＝1,2,…,J， (4)

X_m(f_i,kp)为第m个阵元在频点f_i上得到的第kp次数据采样值；

A(f_i,α)为理想情况下频点f_i上的阵列流型矩阵，

A(f_i,α)＝[a(f_i,α₁),…,a(f_i,α_k),…,a(f_i,α_K)]，i＝1,2,…,J， (5)

a(f_i,α_k)为理想情况下频点f_i上第k个信号的阵列导向矢量，

其中，是第k个信号的相位；j是复数标志；

S(f_i)＝[S(f_i,1),…,S(f_i,kp),…,S(f_i,KP)]，i＝1,2,…,J， (8)

为信号s_k(t)经过傅立叶变换后的信号矢量矩阵，k＝1,2,…,K；

其中，S(f_i,kp)为S(f_i)的第kp次信号采样矩阵，

S(f_i,kp)＝[S₁(f_i,kp),…S_k(f_i,kp),…,S_K(f_i,kp)]^T i＝1,2,…,J (9)

S_k(f_i,kp)为第k个信号在频点f_i上得到的第kp次信号采样值；

N(f_i)＝[N(f_i,1),…,N(f_i,kp),…,N(f_i,KP)] i＝1,2,…,J (10)

为噪声n_m(t)经过傅立叶变换后的噪声矢量矩阵，均值为0，方差为μ²(f_i)；m＝1,2,…,M；其中，N(f_i,kp)为N(f_i)的第kp次噪声采样矩阵，

N(f_i,kp)＝[N₁(f_i,kp),…,N_m(f_i,kp),…,N_M(f_i,kp)]^T i＝1,2,…,J (11)

N_m(f_i,kp)为第m个阵元在频点f_i上得到的第kp次噪声采样值；

步骤1.2：在理想阵列信号模型基础上建立含有阵元位置误差的阵列信号模型：

X'(f_i)＝A'(f_i,α)S(f_i)+N(f_i)，i＝1,2,…,J (12)

存在阵元位置误差时频点f_i上的接收信号协方差矩阵为

R'(f_i)＝E{X'(f_i)(X'(f_i))^H}，i＝1,2,…,J (13)

式(12)中，A'(f_i,α)＝[a'(f_i,α₁),…,a'(f_i,α_k),…,a'(f_i,α_K)]为存在阵元位置误差时频点f_i上的阵列流型矩阵，a'(f_i,α_k)为对应的阵列导向矢量；

其中，

为频点f_i上、到达方向为α_k的阵元位置误差扰动矩阵；

其中

为第k个信号到达第m个阵元时，由阵元位置误差扰动引入的信源传播时延误差；

则存在阵元位置误差时的阵列流型矩阵为

A'(f_i,α)＝[a'(f_i,α¹),…,a'(f_i,α_k),…,a'(f_i,α_K)]

(17)

＝W(f_i,α)·A(f_i,α)

其中W(f_i,α)＝[W(f_i,α₁),…,W(f_i,α_k),…,W(f_i,α_K)]表示存在阵元位置误差时频点f_i上的阵元位置误差扰动矩阵。

其它步骤和参数与具体实施方式一相同。

具体实施方式三：

本实施方式步骤2中所述的采用期望最大化方法来对w(f_i)、μ²(f_i)和δ_l(f_i)进行迭代估计的具体步骤如下：

在期望最大化方法中的E-step步中，首先对的分布函数进行计算

其中运算符<·>表示求解条件期望；

在期望最大化方法中的M-step步中，分别求取分布函数对各未知参数的导数，即对取极值来对各未知参数求解；

分别令以上的导数为0，即可求得第p次迭代时各个未知参数的估计值

其中(p)代表迭代次数，式(27)中

为矩阵第r1行、r2列的元素，其中tr[·]表示求迹运算；

式(30)中；

O(f_i)＝Σ(f_i)(A'(f_i,Ω))^H(μ²(f_i)I_M+A'(f_i,Ω)Σ(f_i)(A'(f_i,Ω))^H)^-1X(f_i) (31)

为中间变量；

Ξ(f_i)

(32)

＝Σ(f_i)-Σ(f_i)(A'(f_i,Ω))^H(μ²(f_i)I_M+A'(f_i,Ω)Σ(f_i)(A'(f_i,Ω))^H)^-1A'(f_i,Ω)Σ(f_i)

为中间变量；

式(27)中；

式(28)中

式(33)中，Ψ_r(f_i)为中间变量，为M×M维的矩阵，只有在第r+1行、r+1列处的元素全为1，其余元素全为0；

由于直接利用式(27)～(28)计算w(f_i)和μ²(f_i)比较复杂，因此可将式(30)～(34)代入式(27)～(28)中对等式进行化简并对w(f_i)和μ²(f_i)求解；

当迭代若干步后，w(f_i)、μ²(f_i)和δ_l(f_i)三个量估计值的变化趋于0，此时可认为它们已经收敛，则可得出最后的估计值和对应得到以及

其它步骤和参数与具体实施方式二相同。

具体实施方式四：参照图2和图3具体说明本实施方式，

本实施方式为实现具体实施方式一至三所述方法的宽带信号探测系统及实现探测的方法，

如图2所示，宽带信号探测系统包括：宽带均匀直线阵列1、多通道宽带数字接收机2和宽带信号超分辨测向装置3；

如图3所示，宽带信号超分辨测向装置3包括6片数字信号处理器，即DSP，采用快速串行输入输出口，即SRIO口，组成多处理器系统实现并行处理。其中，DSP3-1为主DSP，DSP3-2～DSP3-6为从DSP；宽带信号超分辨测向装置3还包括CPLD3-7、PROM3-8、FLASH3-9、SRAM3-10、JTAG3-11、电源、晶振和复位。

数字信号处理器采用Texas Instruments(TI)公司的TMS320C6678，采用6片处理器并行处理，6片DSP通过SRIO口连接，上电后PROM3-8首先将程序加载给CPLD3-7，FLASH3-9也将程序加载给这6块DSP(3-1～3-6)，之后主DSP3-1开始接收多通道宽带数字接收机2传来的J个频点的观测数据，把它们分为W组，假设J＝30，W＝6，则每片DSP可以处理U＝30/6＝5个频点的观测数据，主DSP3-1通过SRIO口将其它从DSP(3-2～3-6)负责处理的观测数据传递给它们，之后每个DSP(3-1～3-6)都按照以上理论推导的步骤进行求解，之后5片从DSP(3-2～3-6)将各自的误差估计值通过SRIO口传给主DSP3-1，主DSP3-1再利用这些结果，结合式(38)得出信号到达角度。其中SRAM3-10负责存储数据，JTAG3-11负责对DSP(3-1～3-6)进行调试，电源负责整体供电，晶振负责提供时钟，复位负责提供复位信号。

具体实施方式五：参照图2和图4具体说明本实施方式，

如图4所示，宽带信号超分辨测向装置3包括6片数字信号处理器，即DSP，采用共享总线紧耦合方式组成多处理器系统实现并行处理。其中，DSP3-1为主DSP，DSP3-2～DSP3-6为从DSP；宽带信号超分辨测向装置3还包括CPLD3-7、PROM3-8、FLASH3-9、SRAM3-10、JTAG3-11、电源、晶振和复位。

数字信号处理器采用Analog Device Instruments(ADI)公司的ADSP-TS201S，采用6片DSP并行处理，6片DSP通过共享总线紧耦合方式连接，上电后PROM3-8首先将程序加载给CPLD3-7对DSP(3-1～3-6)进行配置，之后FLASH3-9将程序加载给这6块DSP(3-1～3-6)，主DSP3-1开始接收多通道宽带数字接收机2传来的J个频点的观测数据，把它们分为W组，假设J＝30，W＝6，则每片DSP可以处理U＝30/6＝5个频点的观测数据，主DSP3-1通过总线将其它从DSP(3-2～3-6)负责处理的观测数据传递给它们，之后每个DSP(3-1～3-6)都按照以上理论推导的步骤进行求解，之后5片从DSP(3-2～3-6)将各自的误差估计值通过总线传给主DSP3-1，主DSP3-1再利用这些结果，结合式(38)得出信号到达角度。其中SRAM3-10负责存储数据，JTAG3-11负责对DSP(3-1～3-6)进行调试，电源负责整体供电，晶振负责提供时钟，复位负责提供复位信号。

具体实施方式六：参照图2和图5具体说明本实施方式，

如图5所示，宽带信号超分辨测向装置3包括6片数字信号处理器，即DSP，采用链路口级联松耦合方式组成多处理器系统实现并行处理。其中，DSP3-1为主DSP，DSP3-2～DSP3-6为从DSP；宽带信号超分辨测向装置3还包括CPLD3-7、PROM3-8、FLASH3-9、SRAM3-10、JTAG3-11、电源、晶振和复位。

数字信号处理器采用Analog Device Instruments(ADI)公司的ADSP-TS201S，采用6片处理器并行处理，6片DSP通过链路口级联松耦合方式连接，上电后PROM3-8首先将程序加载给CPLD3-7，FLASH3-9将这6片DSP的程序加载给主DSP3-1，主DSP3-1再依次将其它从DSP(3-2～3-6)的程序通过链路口一级一级传给它们，之后主DSP3-1开始接收多通道宽带数字接收机2传来的J个频点的观测数据，把它们分为W组，假设J＝30，W＝6，则每片DSP可以处理U＝30/6＝5个频点的观测数据，主DSP3-1再通过链路口将其它DSP(3-2～3-6)负责处理的观测数据一级一级逐次传递给它们，之后每个DSP(3-1～3-6)都按照以上理论推导的步骤进行求解，之后5片从DSP(3-2～3-6)将各自的误差估计值通过链路口一级一级逐次上传到主DSP3-1，主DSP3-1再利用这些结果，结合式(38)得出信号到达角度。其中SRAM3-10负责存储数据，JTAG3-11负责对DSP(3-1～3-6)进行调试，电源负责整体供电，晶振负责提供时钟，复位负责提供复位信号。

Claims

1.宽带信号超分辨测向中的阵元位置误差校正方法，其特征在于包括下述步骤：

步骤1：建立含有阵元位置误差的阵列信号模型：

当阵列当中存在阵元位置误差时，频点f_i上的阵列输出表示为

X'(f_i)＝A'(f_i,α)S(f_i)+N(f_i)，i＝1,2,…,J (12)

A'(f_i,α)为存在阵元位置误差时频点f_i上的阵列流型矩阵；S(f_i)为信号s_k(t)经过傅立叶变换后的信号矢量矩阵；N(f_i)为噪声n_m(t)经过傅立叶变换后的噪声矢量矩阵，均值为0，方差为μ²(f_i)；J为频点数量；α＝[α₁,…,α_k,…,α_K]为K个远场宽带信号入射到M个全向阵元组成的宽带均匀直线阵列上的到达方向；

存在阵元位置误差时频点f_i上的接收信号协方差矩阵为

R'(f_i)＝E{X'(f_i)(X'(f_i))^H}，i＝1,2,…,J (13)

A(f_i,α)＝[a(f_i,α₁),…,a(f_i,α_k),…,a(f_i,α_K)]为理想情况下频点f_i上的阵列流型矩阵，a(f_i,α_k)为理想情况下频点f_i上第k个信号的阵列导向矢量；K为远场宽带信号数量；

当第m个阵元的位置存在误差Δd_m时，等效为阵列导向矢量中引入了方位依赖的相位扰动，则有

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>a</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <msup> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&pi;f</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&Delta;&tau;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&pi;f</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&Delta;&tau;</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&pi;f</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&Delta;&tau;</mi> <mi>M</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>14</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&pi;f</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&Delta;&tau;</mi> <mn>2</mn> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&pi;f</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&Delta;&tau;</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>e</mi> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&pi;f</mi> <mi>i</mi> </msub> <msub> <mi>&Delta;&tau;</mi> <mi>M</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </msup> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>15</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msub> <mi>&Delta;&tau;</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mrow> <msub> <mi>&Delta;d</mi> <mi>m</mi> </msub> </mrow> <mi>c</mi> </mfrac> <msub> <mi>sin&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>16</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

为第k个信号从方向α_k到达第m个阵元时，由阵元位置误差扰动引入的信源传播时延误差；

则存在阵元位置误差时频点f_i上的阵列流型矩阵为

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>&lsqb;</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>W</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&alpha;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>17</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

步骤2：对含有阵元位置误差的阵列信号参数进行估计：

首先将搜索空间划分为若干离散的角度网格对应着信号可能到达的L个方向；从而得出频点f_i上阵列流型矩阵的稀疏表示

<mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mn>1</mn> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>l</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mo>...</mo> <mo>,</mo> <mi>a</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>L</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> </mrow>

其中，为频点f_i上第l个稀疏信号的阵列导向矢量，相应的获得存在阵元位置误差时频点f_i上阵列流型矩阵的稀疏表示d为阵元间距；为频点f_i上的阵元位置误差扰动矩阵的稀疏表示，为频点f_i上、第l个稀疏信号的阵元位置误差扰动矩阵，为第l个稀疏信号到达第m个阵元时，由阵元位置误差扰动引入的信源传播时延误差，c为电磁波在真空中的传播速度；为存在阵元位置误差时频点f_i上第l个稀疏信号的阵列导向矢量，则得出存在阵元位置误差时频点f_i上阵列输出信号的稀疏表示

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mover> <mi>&Lambda;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>J</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，Λ(f_i)为一个只与原信号有关的参数；为Λ(f_i)的稀疏表示；w(f_i)＝[Δd₂,…,Δd_M]^T表示阵元位置误差扰动矢量，以第1个阵元作为位置参考点，Δd₂,…,Δd_M分别为频点f_i上第2个阵元到第M个阵元的真实位置和测量位置的偏差；

的协方差矩阵为

<mrow> <msup> <mover> <mi>R</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>E</mi> <mo>{</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>}</mo> <mo>,</mo> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>J</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式(18)中为S(f_i)的稀疏表示，KP为采样次数，kp表示第kp次采样；

其中，为稀疏矩阵，为S(f_i,kp)的稀疏表示，中只包含K个非零元素，为中的第l个元素，当且仅当时中的元素不全为零且有l＝1,2,…,L，k＝1,2,…,K；故此看成是S(f_i)中加入了许多0元素后得到的矩阵；S(f_i,kp)为S(f_i)的第kp次信号采样矩阵，S_k(f_i,kp)为第k个信号在频点f_i上得到的第kp次信号采样值；

<mrow> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>~</mo> <mi>N</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mn>0</mn> <mo>,</mo> <mi>&Sigma;</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

根据式(18)，存在阵元位置误差时频点f_i的阵列输出信号的概率密度为

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>;</mo> <mi>w</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mi>&pi;</mi> <msup> <mover> <mi>&mu;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>M</mi> </msub> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mi>P</mi> </mrow> </msup> <mi>exp</mi> <mo>{</mo> <mo>-</mo> <msup> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mover> <mi>&Lambda;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>21</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

结合式(18)、(20)和(21)得

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>;</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mi>&pi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mi>&Sigma;</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mi>P</mi> </mrow> </msup> <mo>&times;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>exp</mi> <mo>{</mo> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mi>P</mi> <mo>&times;</mo> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mover> <mi>R</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>22</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，I_M是M×M维的单位阵；M为全向阵元的数量；

采用期望最大化方法来对w(f_i)、μ²(f_i)和δ_l(f_i)进行迭代估计，得出估计值和对应的得到以及

步骤3：利用和对阵列误差进行校正并对信号到达方向求解；

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mi>&Pi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>J</mi> </munderover> <mi>P</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>;</mo> <mover> <mi>&delta;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mover> <mi>w</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mover> <mi>&mu;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mi>&pi;</mi> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <mo>&times;</mo> <mi>K</mi> <mi>P</mi> </mrow> </msup> <munderover> <mi>&Pi;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>J</mi> </munderover> <mo>|</mo> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>&mu;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mover> <mi>&Sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mi>P</mi> </mrow> </msup> <mo>&times;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>exp</mi> <mo>{</mo> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mi>P</mi> <mo>&times;</mo> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>J</mi> </munderover> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mover> <mi>&mu;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&Sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mover> <mi>R</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>}</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>35</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

对式(35)两端取对数有

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>I</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mi>J</mi> <mo>&times;</mo> <mi>K</mi> <mi>P</mi> <mo>&times;</mo> <mi>I</mi> <mi>n</mi> <mi>&pi;</mi> <mo>-</mo> <mi>K</mi> <mi>P</mi> <mo>&times;</mo> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>J</mi> </munderover> <mi>I</mi> <mi>n</mi> <mo>|</mo> <msup> <mover> <mi>&mu;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <msub> <mi>I</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mover> <mi>&Sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>|</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>K</mi> <mi>P</mi> <mo>&times;</mo> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>J</mi> </munderover> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mover> <mi>&mu;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&Sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mover> <mi>R</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>36</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

令式(36)最大化即求得信号到达方向，即信号到达方向的估计值k＝1,2,…,K，即通过

<mrow> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>I</mi> <mi>n</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>P</mi> <mo>(</mo> <mi>X</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>&alpha;</mi> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mn>0</mn> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>37</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

求得；

经过推导有

<mrow> <msub> <mover> <mi>&alpha;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mo>=</mo> <mi>arg</mi> <munder> <mi>max</mi> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> </munder> <mo>|</mo> <mi>Re</mi> <mfenced open = "{" close = "}"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>J</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>a</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mover> <mi>&mu;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&Omega;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mover> <mi>&Sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&Omega;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&times;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>J</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>a</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mover> <mi>&mu;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&Omega;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&Sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&Omega;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mover> <mi>R</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>J</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>R</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mover> <mi>&mu;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&Omega;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&Sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&Omega;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>a</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>a</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>&times;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>i</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>J</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mover> <mi>&mu;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&Omega;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&Sigma;</mi> <mo>^</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&Omega;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mi>k</mi> </mrow> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>&times;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msup> <mi>a</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <msup> <mo>|</mo> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>38</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

根据的表达式求得Δd₂,…,Δd_M，再根据式(16)、(15)求得W(f_i,α_k)以及W(f_i,Ω)，然后进行阵列校正求得a'(f_i,α_k)和A'(f_i,Ω_-k)；再根据以上参数和公式(38)，能够得到经过阵列校正后的信号到达方向的估计值

2.根据权利要求1所述的宽带信号超分辨测向中的阵元位置误差校正方法，其特征在于步骤1所述建立含有阵元位置误差的阵列信号模型的具体步骤如下：

步骤1.1：建立理想阵列信号模型：

设有K个远场宽带信号s_k(t)，k＝1,2,…,K，入射到M个全向阵元组成的宽带均匀直线阵列上，到达方向为α＝[α₁,…,α_k,…,α_K]，阵元间距为d；远场宽带信号s_k(t)，简称宽带信号s_k(t)；

<mrow> <msub> <mi>x</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>K</mi> </munderover> <msub> <mi>s</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <msub> <mi>&tau;</mi> <mi>m</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>&alpha;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>n</mi> <mi>m</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>,</mo> <mi>m</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mn>2</mn> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>1</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

X(f_i)＝A(f_i,α)S(f_i)+N(f_i)，i＝1,2,…,J (2)

其中，f_Low≤f_i≤f_High，i＝1,2,…,J；

X(f_i)＝[X(f_i,1),…,X(f_i,kp),…,X(f_i,KP)]，i＝1,2,…,J (3)

其中，X(f_i,kp)为X(f_i)的第kp次数据采样矩阵，

X_m(f_i,kp)为第m个阵元在频点f_i上得到的第kp次数据采样值；

A(f_i,α)为理想情况下频点f_i上的阵列流型矩阵，

a(f_i,α_k)为理想情况下频点f_i上第k个信号的阵列导向矢量，

其中，是第k个信号的相位；j是复数标志；

S(f_i)＝[S(f_i,1),…,S(f_i,kp),…,S(f_i,KP)]，i＝1,2,…,J， (8)

为信号s_k(t)经过傅立叶变换后的信号矢量矩阵，k＝1,2,…,K；

其中，S(f_i,kp)为S(f_i)的第kp次信号采样矩阵，

S(f_i,kp)＝[S₁(f_i,kp),…S_k(f_i,kp),…,S_K(f_i,kp)]^T i＝1,2,…,J (9)

S_k(f_i,kp)为第k个信号在频点f_i上得到的第kp次信号采样值；

N(f_i)＝[N(f_i,1),…,N(f_i,kp),…,N(f_i,KP)] i＝1,2,…,J (10)

N(f_i,kp)＝[N₁(f_i,kp),…,N_m(f_i,kp),…,N_M(f_i,kp)]^T i＝1,2,…,J (11)

N_m(f_i,kp)为第m个阵元在频点f_i上得到的第kp次噪声采样值；

X'(f_i)＝A'(f_i,α)S(f_i)+N(f_i)，i＝1,2,…,J (12)

存在阵元位置误差时频点f_i上的接收信号协方差矩阵为

R'(f_i)＝E{X'(f_i)(X'(f_i))^H}，i＝1,2,…,J (13)

其中，

为频点f_i上、到达方向为α_k的阵元位置误差扰动矩阵；

其中

则存在阵元位置误差时的阵列流型矩阵为

3.根据权利要求2所述的宽带信号超分辨测向中的阵元位置误差校正方法，其特征在于步骤2中所述的采用期望最大化方法来对w(f_i)、μ²(f_i)和δ_l(f_i)进行迭代估计的具体步骤如下：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>;</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mrow> <mo>&lang;</mo> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mi>M</mi> <mo>&times;</mo> <mi>K</mi> <mi>P</mi> <mo>&times;</mo> <msup> <mi>In&mu;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>&mu;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mover> <mi>&Lambda;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>-</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>l</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>J</mi> </munderover> <mrow> <mo>(</mo> <mi>K</mi> <mi>P</mi> <mo>&times;</mo> <msub> <mi>In&delta;</mi> <mi>l</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>K</mi> <mi>P</mi> </mrow> </munderover> <mo>|</mo> <msub> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>l</mi> </msub> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mi>p</mi> <mo>)</mo> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>l</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>&rang;</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>23</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中运算符<·>表示求解条件期望；

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>;</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> <msup> <mi>&mu;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&lsqb;</mo> <mo><</mo> <msup> <mover> <mi>&Lambda;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&Lambda;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>></mo> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo><</mo> <msup> <mover> <mi>&Lambda;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>></mo> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>24</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>;</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msup> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>M</mi> <mo>&times;</mo> <mi>K</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <msup> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mn>2</mn> </msup> </mfrac> <mo><</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>></mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>25</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <mi>F</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>;</mo> <mi>&delta;</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <mi>w</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>,</mo> <msup> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>l</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>K</mi> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <msub> <mi>&delta;</mi> <mi>l</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo>+</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <msubsup> <mi>&delta;</mi> <mi>l</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mfrac> <mo><</mo> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>K</mi> <mi>P</mi> </mrow> </munderover> <mo>|</mo> <msub> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>l</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>></mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>26</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

分别令以上的导数为0，即求得第p次迭代时各个未知参数的估计值

<mrow> <msup> <mi>w</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mo><</mo> <msup> <mover> <mi>&Lambda;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&Lambda;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mo>></mo> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo><</mo> <msup> <mover> <mi>&Lambda;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>></mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>&mu;</mi> <mn>2</mn> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>M</mi> <mo>&times;</mo> <mi>K</mi> <mi>P</mi> </mrow> </mfrac> <mo><</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>></mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>28</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <msubsup> <mi>&delta;</mi> <mi>l</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mfrac> <mn>1</mn> <mrow> <mi>K</mi> <mi>P</mi> </mrow> </mfrac> <mo><</mo> <munderover> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mi>p</mi> <mo>=</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mrow> <mi>K</mi> <mi>P</mi> </mrow> </munderover> <mo>|</mo> <msub> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>l</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>k</mi> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> </msup> <mo>></mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>29</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中(p)代表迭代次数，式(27)中

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo><</mo> <msup> <mover> <mi>&Lambda;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mover> <mi>&Lambda;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mo>></mo> <mrow> <mi>r</mi> <mn>1</mn> <mo>,</mo> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mfenced open = "[" close = "]"> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msubsup> <mi>&Psi;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mn>1</mn> </mrow> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>&Psi;</mi> <mrow> <mi>r</mi> <mn>2</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&pi;f</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mi>c</mi> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>sin&alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>sin&alpha;</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&times;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>(</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <msup> <mi>O</mi> <mi>H</mi> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mi>P</mi> <mo>&times;</mo> <mi>&Xi;</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>A</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&pi;f</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mi>c</mi> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>sin&alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>sin&alpha;</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>30</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

为矩阵第r1行、r2列的元素，其中tr[·]表示求迹运算；

式(30)中；

为中间变量；

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>&Xi;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>&mu;</mi> <mrow> <mo>-</mo> <mn>2</mn> </mrow> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>I</mi> <mi>M</mi> </msub> <mo>+</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>&Sigma;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mi>&Sigma;</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

为中间变量；

式(27)中；

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo><</mo> <msup> <mover> <mi>&Lambda;</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>-</mo> <mi>A</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mo>></mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mo>&lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&Psi;</mi> <mi>r</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mi>O</mi> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>A</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&pi;f</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mi>c</mi> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>sin&alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>sin&alpha;</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>&rsqb;</mo> <mo>-</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mo>&lsqb;</mo> <msubsup> <mi>&Psi;</mi> <mi>r</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>O</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <msup> <mi>O</mi> <mi>H</mi> </msup> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mi>P</mi> <mo>&times;</mo> <mi>&Xi;</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>A</mi> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mi>d</mi> <mi>i</mi> <mi>a</mi> <mi>g</mi> <mo>(</mo> <mrow> <mfrac> <mrow> <mi>j</mi> <mn>2</mn> <msub> <mi>&pi;f</mi> <mi>i</mi> </msub> </mrow> <mi>c</mi> </mfrac> <msup> <mrow> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>sin&alpha;</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>,</mo> <mn>...</mn> <mo>,</mo> <msub> <mi>sin&alpha;</mi> <mi>K</mi> </msub> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> <mi>T</mi> </msup> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>&rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>33</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

式(28)中

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <mo><</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <msup> <mover> <mi>X</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mover> <mi>S</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mn>2</mn> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>></mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <mo>=</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>X</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mi>O</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mi>K</mi> <mi>P</mi> <mo>&times;</mo> <mi>t</mi> <mi>r</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mi>&Xi;</mi> <mo>(</mo> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>)</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msup> <mi>A</mi> <mo>&prime;</mo> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>i</mi> </msub> <mo>,</mo> <mi>&Omega;</mi> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>(</mo> <mi>p</mi> <mo>)</mo> </mrow> </msup> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>34</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

将式(30)～(34)代入式(27)～(28)中对等式进行化简并对w(f_i)和μ²(f_i)求解；

当迭代若干步后，w(f_i)、μ²(f_i)和δ_l(f_i)三个量估计值的变化趋于0，则得出最后的估计值和对应得到以及