CN105092969A - 一种相位差估计的相频匹配方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及信号处理领域，特别是一种相位差估计的相频匹配方法。本发明的适用对象为两路正弦信号的相位差估计，包括以下步骤：首先，根据正弦信号的和差角公式，利用两路正弦信号和信号频率实现两路正弦信号的90°相移，获得两路正弦信号的正交分量；其次，对两路正弦信号及其正交分量进行滑动互相关，获得互相关信号；然后，对两路正弦信号及其正交分量进行滑动自相关，获得自相关信号，实现自相关信号和互相关信号的频率匹配；最后，对互相关信号和自相关信号进行互相关，得到互相关函数，利用互相关函数相位的加权平均获得相位差估计值。本发明涉及的两路正弦信号相位差估计方法能够充分运用两路正弦信号的信息，提高正弦信号相位差估计精度，改善相位差估计的抗噪性能。

Description

一种相位差估计的相频匹配方法

技术领域

本发明涉及信号处理领域，特别是相位差估计方法。

背景技术

正弦信号的相位差估计广泛应用于战场检测、设备故障诊断、雷达、工业测量等领域。例如，科里奥利质量流量计就是通过测量两路正弦信号之间的相位差获得流体的质量流量；发电机出厂试验需要检测发电机三相输出电压的相位差，对相位差的精确估计有很高的要求，所以正弦信号相位差估计方法具有重要的研究意义和应用价值。

近年来涌现出了多种相位差估计方法，主要有：过零检测法、相关法、希尔伯特变换法、正交时延估计方法等。

(1)过零检测法(参考文献[1]：任海东，尹文庆，胡飞.基于LabVIEW的三种相位差测量法的对比分析[J].科学技术与工程，2010，1：263-268.)：该方法通过计算两路正弦信号过零时刻的时间差，将时间差转换为相位差。该方法计算量小，测量速度快，但抗噪能力较差。

(2)相关法(参考文献[2]：沈廷鳌，涂亚庆，李明，张海涛.基于相关原理的相位差测量改进算法及应用[J].振动与冲击，2014，33(21)：177-182.)：该方法通过两路正弦信号的互相关和自相关获得信号的相位差。该方法无需预知信号的频率即可获得两路信号的相位差，但是其抗噪能力较差，且信号为非整周期采样时误差较大。

(3)希尔伯特变换法(参考文献[3]：刘维来，赵璐，王克逸，冯志华，龙潜.基于希尔伯特变换的科式流量计信号处理[J].计量学报，2013，34(5)：446-451.)：该方法通过对两路正弦信号进行Hilbert变换，得到解析信号，通过解析信号的互相关获得信号的相位差。该方法原理简单，但是信号非整周期采样时会出现端点效应，导致相位差误差较大，并且仅采用零序号互相关值，抗噪性能还有待提高。

(4)正交时延估计方法(参考文献[4]：DouglasL.Maskell，GrahamS.Woods.Thediscrete-timequadraturesubsampleestimationofdelay[J].IEEEtransactionsonInstrumentationandMeasurement，2002，51(1)：133-137.)：通过信号时移获得正弦信号的正交分量，利用两路正弦信号的同相分量及其正交分量的互相关获得相位差估计值。该方法计算原理简单，计算量小，实时性强，但要求设置适当的采样频率才能实现正弦信号的90°相移，且由于互相关信号误差项的存在，导致正交时延估计方法为有偏估计。

综上所述，正弦信号的相位差估计方法具有重要研究意义和应用价值，但现有方法存在估计精度不高、抗噪能力较差等问题，需要提出一种估计精度高、抗噪能力强的相位差估计方法。

发明内容

本发明的目的是提出一种相位差估计的相频匹配方法，适用于两路正弦信号的相位差估计，提高相位差估计精度，改善相位差估计的抗噪性能。

本发明提出一种相位差估计的相频匹配方法。

本发明的基本思想：

首先，根据正弦信号的和差角公式，利用两路正弦信号和信号频率实现两路正弦信号的90°相移，获得两路正弦信号的正交分量；其次，对两路正弦信号及其正交分量进行滑动互相关，获得互相关信号；然后，对两路正弦信号及其正交分量进行滑动自相关，获得自相关信号；最后，对互相关信号和自相关信号进行互相关，得到互相关函数，利用互相关函数相位的加权平均获得相位差估计值。

设有两路正弦信号为：

$\left\{\begin{array}{c}x\left(t\right)=s_x\left(t\right)+z_x\left(t\right)\\ y\left(t\right)=s_y\left(t\right)+z_y\left(t\right)\end{array}\right.---\left(1\right)$

式中s_x(t)＝Acos(ωt+θ₁)和s_y(t)＝Bcos(ωt+θ₂)为不含噪声信号，ω为两路信号的圆周频率，A和B分别为两路信号的幅值，θ₁和θ₂分别为两路信号的初相位，z_x(t)和z_y(t)分别为两路信号的噪声。

对于两路正弦信号x和y，设在N时刻采样得到N₀点信号为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_N=\{x\left(1\right),x\left(2\right)...x\left(N_0\right)\}\\ y_N=\{y\left(1\right),y\left(2\right)...y\left(N_0\right)\}\end{array}\right.,n=\mathrm{1,2}...N_0---\left(2\right)$

式中x_N(n)＝s_x,N(n)+z_x,N(n)，y_N(n)＝s_y,N(n)+z_y,N(n)，N₀为信号的长度。

第一步：根据正弦信号的和差角公式，利用两路正弦信号和信号频率计算两路正弦信号的正交分量。

对于正弦信号s(n-b)＝Acos(ω(n-b)+θ)，根据正弦信号的和差角公式可得：

$s(n-b)=s\left(n\right)\cos \left(\mathrm{b\ω}\right)+\hat{s}\left(n\right)\sin \left(\mathrm{b\ω}\right)---\left(3\right)$

根据式(3)，正弦信号s(n)的正交分量为：

$\hat{s}\left(n\right)=\frac{s(n-b)-s\left(n\right)\cos \left(\mathrm{b\ω}\right)}{\sin \left(\mathrm{b\ω}\right)}---\left(4\right)$

为获得两路正弦信号x_N(n)和y_N(n)的正交分量，根据正弦信号的和差角公式，利用两路正弦信号和信号频率计算得到两路正弦信号的正交分量为：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{x}}_N=\frac{x_N(n-b)-x_N\left(n\right)\cos \left(\mathrm{b\ω}\right)}{\sin \left(\mathrm{b\ω}\right)}\\ {\hat{y}}_N=\frac{y_N(n-b)-y_N\left(n\right)\cos \left(\mathrm{b\ω}\right)}{\sin \left(\mathrm{b\ω}\right)}\end{array}\right.---\left(5\right)$

和的期望值为：

$\left\{\begin{array}{c}E\left[{\hat{x}}_N\left(n\right)\right]=A\sin (\mathrm{n\ω}+{\mathrm{\θ}}_1)\\ E\left[{\hat{y}}_N\left(n\right)\right]=B\sin (\mathrm{n\ω}+{\mathrm{\θ}}_2)\end{array}\right.,1+b\≤n\≤N_0---\left(6\right)$

第二步：对两路正弦信号及其正交分量进行互相关，得到互相关信号。

为获得两路正弦信号的相位差，对两路正弦信号及其正交分量进行互相关，得到互相关信号为：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{1,N}\left(k\right)=\frac{1}{N_0-b-k}\underset{n=1+b}{\overset{N_0-k}{\mathrm{\Σ}}}[x_N\left(n\right)y_N(n+k)+{\hat{x}}_N\left(n\right){\hat{y}}_N(n+k)]\\ r_{2,N}\left(k\right)=\frac{1}{N_0-b-k}\underset{n=1+b}{\overset{N_0-k}{\mathrm{\Σ}}}[x_N\left(n\right){\hat{y}}_N(n+k)-{\hat{x}}_N\left(n\right)y_N(n+k)]\end{array}\right.,k=\mathrm{0,1}...N_0-b-1---\left(7\right)$

互相关信号r_1,N(k)和r_2,N(k)的期望值为：

$\left\{\begin{array}{c}E\left[r_{1,N}\left(k\right)\right]=\mathrm{AB}\cos (\mathrm{k\ω}+{\mathrm{\θ}}_2-{\mathrm{\θ}}_1)\\ E\left[r_{2,N}\left(k\right)\right]=\mathrm{AB}\sin (\mathrm{k\ω}+{\mathrm{\θ}}_2-{\mathrm{\θ}}_1)\end{array}\right.---\left(8\right)$

由式(8)可知，互相关信号r_1,N(k)和r_2,N(k)的相位均含有相位差信息，所以互相关信号的有效利用有助于提高两路信号相位差的估计精度。

第三步：对两路正弦信号及其正交分量进行自相关，得到自相关信号。

由于互相关信号的相位除包括相位差和频率两部分，利用互相关信号的相位求解相位差需要克服频率对相位差估计的影响。为克服互相关信号相位中的频率对相位差估计的影响，对两路正弦信号及其正交分量进行自相关，得到自相关信号为：

$\left\{\begin{array}{c}{h}_{1,N}\left(k\right)=\frac{1}{N_0-b-k}\underset{n=1+b}{\overset{N_0-k}{\mathrm{\Σ}}}[x_N\left(n\right)x_N(n+k)+{\hat{x}}_N\left(n\right){\hat{x}}_N(n+k)+y_N\left(n\right)y_N(n+k)+{\hat{y}}_N\left(n\right){\hat{y}}_N(n+k)]\\ h_{2,N}\left(k\right)=\frac{1}{N_0-b-k}\underset{n=1+b}{\overset{N_0-k}{\mathrm{\Σ}}}[x_N\left(n\right){\hat{x}}_N(n+k)-{\hat{x}}_N\left(n\right)x_N(n+k)+x_N\left(n\right){\hat{x}}_N(n+k)-{\hat{x}}_N\left(n\right)x_N(n+k)]\end{array}\right.---\left(9\right)$

式中h_1,N(0)＝1，h_2,N(0)＝0，k＝0，1…N₀-b-1。

自相关信号h_1,N(k)和h_2,N(k)的期望值为：

$\left\{\begin{array}{c}E\left[h_{1,N}\left(k\right)\right]=(A^2+B^2)\cos \left(\mathrm{k\ω}\right)\\ E\left[h_{2,N}\left(k\right)\right]=(A^2+B^2)\sin \left(\mathrm{k\ω}\right)\end{array}\right.,k=1...N_0-b-1---\left(10\right)$

由式(10)可知，自相关信号h_1,N(k)和h_2,N(k)的初相位为零，与互相关信号频率相同，自相关信号与互相关信号的相位差即为两路正弦信号的相位差。

第四步：对互相关信号和自相关信号的互相关，得到互相关函数，利用互相关函数相位的加权平均获得相位差估计值。

$\mathrm{\Δ\θ}={\mathrm{\θ}}_2-{\mathrm{\θ}}_1=\underset{k=0}{\overset{N_0-b-1}{\mathrm{\Σ}}}w\left(k\right)\frac{r_{2,N}\left(k\right)h_{1,N}\left(k\right)-r_{1,N}\left(k\right)h_{2,N}\left(k\right)}{r_{1,N}\left(k\right)h_{1,N}\left(k\right)+r_{2,N}\left(k\right)h_{2,N}\left(k\right)}---\left(11\right)$

式中w(k)表示权重值， $w\left(k\right)=\frac{N_0-b-k}{\underset{k=0}{\overset{N_0-b-1}{\mathrm{\Σ}}}(N_0-b-k)},k=\mathrm{0,1,2}...N_0-b-1.$

第五步：在N+1时刻采样得到两路信号的第N₀+1个采样点x(N₀+1)和y(N₀+1)，此时取N₀点采样信号为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{N+1}=\{x\left(2\right),x\left(3\right)...x(N_0+1)\}\\ y_{N+1}=\{y\left(2\right),y\left(3\right)...y(N_0+1)\}\end{array}\right.---\left(12\right)$

计算得到两路正弦信号x_N+1和y_N+1的正交分量为：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{x}}_{N+1}\left(N_0\right)=\frac{x_{N+1}(N_0-b)-x_{N+1}\left(N_0\right)\cos \left(\mathrm{b\ω}\right)}{\sin \left(\mathrm{b\ω}\right)}\\ {\hat{y}}_{N+1}\left(N_0\right)=\frac{y_{N+1}(N_0-b)-y_{N+1}\left(N_0\right)\cos \left(\mathrm{b\ω}\right)}{\sin \left(\mathrm{b\ω}\right)}\end{array}\right.---\left(13\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{x}}_{N+1}(1:N_0-1)={\hat{x}}_N(2:N_0)\\ {\hat{y}}_{N+1}(1:N_0-1)={\hat{y}}_N(2:N_0)\end{array}\right.---\left(14\right)$

计算得到第N+1时刻第k点互相关信号r_1,N+1(k)和r_2,N+1(k)为：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{1,N+1}\left(k\right)=r_{1,N}\left(k\right)-\frac{1}{N_0-b-k}[a_{11}-a_{12}]\\ r_{2,N+1}\left(k\right)=r_{2,N}\left(k\right)-\frac{1}{N_0-b-k}[a_{21}-a_{22}]\end{array}\right.---\left(15\right)$

式中 $a_{11}=x_N(1+b)y_N(1+b+k)+{\hat{x}}_N(1+b){\hat{y}}_N(1+b+k),$

$a_{12}=x_{N+1}(N_0-k)y_{N+1}\left(N_0\right)+{\hat{x}}_{N+1}(N_0-k){\hat{y}}_{N+1}\left(N_0\right),$

$a_{21}=x_N(1+b){\hat{y}}_N(1+b+k)-{\hat{x}}_N(1+b)y_N(1+b+k),$

$a_{22}=x_{N+1}(N_0-k){\hat{y}}_{N+1}\left(N_0\right)-{\hat{x}}_{N+1}(N_0-k)y_{N+1}\left(N_0\right).$

计算得到第N+1时刻第k点自相关信号h_1,N+1(k)和h_2,N+1(k)为：

$\left\{\begin{array}{c}{h}_{1,N+1}\left(k\right)=h_{1,N}\left(k\right)-\frac{1}{N_0-b-k}[b_{11}-b_{12}]\\ h_{2,N+1}\left(k\right)=h_{2,N}\left(k\right)-\frac{1}{N_0-b-k}[b_{21}-b_{22}]\end{array}\right.---\left(16\right)$

式中

$b_{11}=x_N(1+b)x_N(1+b+k)+{\hat{x}}_N(1+b){\hat{x}}_N(1+b+k)+{y_N(1+b)y}_N(1+b+k)+{\hat{y}}_N(1+b){\hat{y}}_N(1+b+k),$

$b_{12}=x_{N+1}(N_0-k)x_{N+1}\left(N_0\right)+{\hat{x}}_{N+1}{(N_0-k)\hat{x}}_{N+1}\left(N_0\right)+y_{N+1}(N_0-k)+y_{N+1}\left(N_0\right)+{\hat{y}}_{N+1}(N_0-k){\hat{y}}_{N+1}\left(N_0\right),$

$b_{21}=x_N(1+b){\hat{x}}_N(1+b+k)-{\hat{x}}_N(1+b)x_N(1+b+k)+y_N(1+b)+{\hat{y}}_N(1+b+k)-{\hat{y}}_N(1+b)y_N(1+b+k),$

$b_{22}=x_{N+1}(N_0-k){\hat{x}}_{N+1}\left(N_0\right)-{\hat{x}}_{N+1}(N_0-k)x_{N+1}\left(N_0\right)+y_{N+1}(N_0-k){\hat{y}}_N\left(N_0\right){-\hat{y}}_{N+1}(N_0-k)y_{N+1}\left(N_0\right).$

取N＝N+1，并重复步骤第四步到第五步，直到计算到最后一点采样信号。

附图说明

下面根据附图和具体实施方式对本发明进一步阐述。以两路正弦信号为例进行说明。

图1为方法的实现流程图。

图中：1表示两路正弦信号；2表示两路正弦信号的正交分量；3表示互相关信号；4表示自相关信号；5表示互相关函数；6表示相位差；7表示90°相移；8表示滑动互相关；9表示滑动自相关；10表示互相关；11表示相位加权平均。

图2为两路正弦信号。

图中：12表示第一路正弦信号；13表示第二路正弦信号。

图3为两路正弦信号的正交分量。

图中：14表示第一路正弦信号的正交分量；15表示第二路正弦信号的正交分量。

由上述分析可知，本文方法基本流程如下：

①利用式(5)计算得到两路正弦信号x_N(n)和y_N(n)的正交分量和

②利用式(7)计算得到两路正弦信号及其正交分量的互相关信号r_1,N(k)和r_2,N(k)；

③利用式(9)计算得到两路正弦信号及其正交分量的自相关信号h_1,N(k)和h_2,N(k)；

④利用式(11)计算得到相位差估计值Δθ；

⑤利用式(13)和(14)计算得到两路正弦信号x_N+1和y_N+1的正交分量和利用式(15)计算得到两路正弦信号及其正交分量的互相关信号r_1,N+1(k)和r_2,N+1(k)，利用式(16)计算得到两路正弦信号及其正交分量的自相关信号h_1,N+1(k)和h_2,N+1(k)，取N＝N+1，并重复步骤④-⑤，直到计算到最后一点采样信号。

Claims (1)

1.一种相位差估计的相频匹配方法，其特征在于：适用对象为两路正弦信号的相位差估计。

该方法包括以下步骤：

第一步：根据正弦信号的和差角公式，利用两路正弦信号x_N(n)、y_N(n)和信号频率ω计算得到两路正弦信号的正交分量和为：

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{x}}_N\left(n\right)=\frac{x_N(n-b)-x_N\left(n\right)\cos \left(\mathrm{b\ω}\right)}{\sin \left(\mathrm{b\ω}\right)}\\ {\hat{y}}_N\left(n\right)=\frac{y_N(n-b)-y_N\left(n\right)\cos \left(\mathrm{b\ω}\right)}{\sin \left(\mathrm{b\ω}\right)}\end{array}\right.---\left(1\right)$

第二步：对两路正弦信号x_N(n)、y_N(n)及其正交分量进行互相关，获得互相关信号r_1，N(k)和r_2，N(k)为：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{1,N}\left(k\right)=\frac{1}{N_0-b-k}\underset{n=1+b}{\overset{N_0-k}{\mathrm{\Σ}}}[x_N\left(n\right)y_N(n+k)+{\hat{x}}_N\left(n\right){\hat{y}}_N(n+k)]\\ r_{2,N}\left(k\right)=\frac{1}{N_0-b-k}\underset{n=1+b}{\overset{N_0-k}{\mathrm{\Σ}}}[x_N\left(n\right){\hat{y}}_N(n+k)-{\hat{x}}_N\left(n\right)y_N(n+k)]\end{array}\right.k=\mathrm{0,1}...N_0-b-1---\left(2\right)$

式中N₀为信号长度。

第三步：对两路正弦信号及其正交分量进行自相关，得到自相关信号为：

$\left\{\begin{array}{c}{h}_{1,N}\left(k\right)=\frac{1}{N_0-b-k}\underset{n=1+b}{\overset{N_0-k}{\mathrm{\Σ}}}[x_N\left(n\right)x_N(n+k)+{\hat{x}}_N\left(n\right){\hat{x}}_N(n+k)+y_N\left(n\right)y_N(n+k)+{\hat{y}}_N\left(n\right){\hat{y}}_N(n+k)]\\ h_{2,N}\left(k\right)=\frac{1}{N_0-b-k}\underset{n=1+b}{\overset{N_0-k}{\mathrm{\Σ}}}[x_N\left(n\right){\hat{x}}_N(n+k)-{\hat{x}}_N\left(n\right)x_N(n+k)+x_N\left(n\right){\hat{x}}_N(n+k)-{\hat{x}}_N\left(n\right)x_N(n+k)]\end{array}\right.---\left(3\right)$

其中h_1，N(0)＝1，h_2，N(0)＝0，k＝0，1…N₀-b-1。

第四步：对自相关信号h_1，N(k)、h_2，N(k)和互相关信号r_1，N(k)、r_2，N(k)进行互相关，得到互相关函数，利用互相关函数相位的加权平均获得相位差估计值Δθ为：

$\mathrm{\Δ\θ}={\mathrm{\θ}}_2-{\mathrm{\θ}}_1=\underset{k=0}{\overset{N_0-b-1}{\mathrm{\Σ}}}w\left(k\right)\frac{r_{2,N}\left(k\right)h_{1,N}\left(k\right)-r_{1,N}\left(k\right)h_{2,N}\left(k\right)}{r_{1,N}\left(k\right)h_{1,N}\left(k\right)+r_{2,N}\left(k\right)h_{2,N}\left(k\right)}---\left(4\right)$

式中w(k)表示权重值， $w\left(k\right)=\frac{N_0-b-k}{\underset{k=0}{\overset{N_0-b-1}{\mathrm{\Σ}}}(N_0-b-k)},k=\mathrm{0,1,2}...N_0-b-1.$

第五步：利用式(5)和(6)计算得到两路正弦信号x_N+1和y_N+1的正交分量和为

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{x}}_{N+1}\left(N_0\right)=\frac{x_{N+1}(N_0-b)-x_{N+1}\left(N_0\right)\cos \left(\mathrm{b\ω}\right)}{\sin \left(\mathrm{b\ω}\right)}\\ {\hat{y}}_{N+1}\left(N_0\right)=\frac{y_{N+1}(N_0-b)-y_{N+1}\left(N_0\right)\cos \left(\mathrm{b\ω}\right)}{\sin \left(\mathrm{b\ω}\right)}\end{array}\right.---\left(5\right)$

$\left\{\begin{array}{c}{\hat{x}}_{N+1}(1:N_0-1)={\hat{x}}_N(2:N_0)\\ {\hat{y}}_{N+1}(1:N_0-1)={\hat{y}}_N(2:N_0)\end{array}\right.---\left(6\right)$

利用式(7)计算得到第N+1时刻两路正弦信号及其正交分量的第k点互相关信号r_1，N+1(k)和r_2，N+1(k)为：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_{1,N+1}\left(k\right)=r_{1,N}\left(k\right)-\frac{1}{N_0-b-k}[a_{11}-a_{12}]\\ r_{2,N+1}\left(k\right)=r_{2,N}\left(k\right)-\frac{1}{N_0-b-k}[a_{21}-a_{22}]\end{array}\right.---\left(7\right)$

式中 $a_{11}=x_N(1+b)y_N(1+b+k)+{\hat{x}}_N(1+b){\hat{y}}_N(1+b+k),$

$a_{12}=x_{N+1}(N_0-k)y_{N+1}\left(N_0\right)+{\hat{x}}_{N+1}(N_0-k){\hat{y}}_{N+1}\left(N_0\right),$

$a_{21}=x_N(1+b){\hat{y}}_N(1+b+k)-{\hat{x}}_N(1+b)y_N(1+b+k),$

$a_{22}=x_{N+1}(N_0-k){\hat{y}}_{N+1}\left(N_0\right)-{\hat{x}}_{N+1}(N_0-k)y_{N+1}\left(N_0\right).$

计算得到第N+1时刻第k点自相关信号h_1，N+1(k)和h_2，N+1(k)为：

$\left\{\begin{array}{c}{h}_{1,N+1}\left(k\right)=h_{1,N}\left(k\right)-\frac{1}{N_0-b-k}[b_{11}-b_{12}]\\ h_{2,N+1}\left(k\right)=h_{2,N}\left(k\right)-\frac{1}{N_0-b-k}[b_{21}-b_{22}]\end{array}\right.---\left(8\right)$

式中

$b_{11}=x_N(1+b)x_N(1+b+k)+{\hat{x}}_N(1+b){\hat{x}}_N(1+b+k)+y_N(1+b)y_N(1+b+k)+{\hat{y}}_N(1+b){\hat{y}}_N(1+b+k),$

$b_{12}=x_{N+1}(N_0-k)x_{N+1}\left(N_0\right)+{\hat{x}}_{N+1}(N_0-k){\hat{x}}_{N+1}\left(N_0\right)+y_{N+1}(N_0-k)y_{N+1}\left(N_0\right)+{\hat{y}}_{N+1}(N_0-k){\hat{y}}_{N+1}\left(N_0\right),$

$b_{21}=x_N(1+b){\hat{x}}_N(1+b+k)-{\hat{x}}_N(1+b)x_N(1+b+k)+y_N(1+b){\hat{y}}_N(1+b+k)-{\hat{y}}_N(1+b)y_N(1+b+k),$

$b_{22}=x_{N+1}(N_0-k){\hat{x}}_{N+1}\left(N_0\right)-{\hat{x}}_{N+1}(N_0-k)x_{N+1}\left(N_0\right)+y_{N+1}(N_0-k){\hat{y}}_N\left(N_0\right)-{\hat{y}}_{N+1}(N_0-k)y_{N+1}\left(N_0\right).$

取N＝N+1，并重复步骤第四步到第五步，直到计算到最后一点采样信号。