CN104764586B - 一种螺旋胶囊机器人液体阻力矩的非接触在线测量方法 - Google Patents

Abstract

一种螺旋胶囊机器人液体阻力矩的在线测量方法和转差角的计算方法，通过对三组线圈分别加载以空间某一固定轴线方位角为输入变量的相关幅值和相位及以各自线圈电结构参数进行幅度补偿的同频率三相正弦电流信号使线圈内部产生均匀旋转磁场驱动胶囊机器人旋进；逐渐减小修正驱动电流，使机器人刚好出现丢步，对应的电流即为临界驱动电流，并由磁耦合力矩公式得到液体阻力矩。本发明实现了胶囊机器人在液体中受到液体阻力矩的实时非接触检测和转差角的计算，提高了液体阻力矩测量准确性，为进行廓形优化减小对肠道的液体扭曲阻力矩与有效提高能源利用率奠定了基础。

Description

一种螺旋胶囊机器人液体阻力矩的非接触在线测量方法

技术领域

本发明属于自动化工程技术领域，涉及一种通过向三轴正交亥姆霍兹线圈输入以空间某一固定轴线方位角为输入变量的相关幅值和相位及以各自线圈电结构参数进行幅度补偿的同频率三相正弦电流信号叠加空间万向旋转磁场驱动螺旋胶囊机器人稳态游动过程中，采取逐渐减小有效驱动电流和磁驱动力矩直到胶囊机器人出现临界丢步现象，结合磁耦合力矩与临界驱动电流、丢步转差角的特定关系和磁耦合力矩与液体阻力矩的平衡关系，实现螺旋胶囊机器人液体阻力矩的非接触在线检测和任一旋转磁场强度下转差角的计算方法。

背景技术

胃肠胶囊内窥镜的临床应用扩展了医学诊疗视野，使体内结肠等盲区内的检查成为可能。目前胶囊内窥镜主要依靠胃肠蠕动被动行走，尚不能实现姿态控制，统计研究表明胶囊内窥镜在胃肠道内的漏检区域大约为百分之二十，并存在滞留于肠道的危险。若能实现胶囊姿态和运动主动控制，消化道遍历时间会缩短，可望提高诊疗效率，降低漏检区域，改善诊疗安全性。主动控制对扩展胶囊功能十分重要，如检测胃肠道pH值生理参数，消化道内释放药物、甚至微手术等操作，具有广阔的应用前景。

体内医疗胶囊机器人的作业环境是体内的肠道、泌尿系统、血管等，其环境特点是周围由柔弹性组织封闭、内部充有体液的狭小空间。为了避免对柔弹性软组织造成创伤，要求机器人以无缆方式驱动，目前，通过磁场控制胶囊机器人已经成为研究的主流，并认为是最有可能应用的技术途径，通过控制游动，可靠的进入和退出体内深处，并采用简单、易于微型化的结构，实现体内在线作业。

机器人在人体内部封闭、充满体液的狭小空间中运行时，由于柔弹性软组织的特殊性，要求机器人对肠道无损伤，不产生肠道扭曲，并以较低功耗对全消化道进行安全、可靠的在线检测。因此，合理设计胶囊机器人外形，减小机器人旋转时的液体阻力矩对减少或者避免肠道扭曲十分重要，可是，迄今为止，螺旋胶囊机器人液体阻力矩的非接触在线实时检测一直是个难题。该技术对廓形的优化设计与优化结果的安全检测意义重大。

在所申请的发明专利“空间万向叠加旋转磁场旋转轴线方位与旋向的控制方法”中(专利授权号：ZL 201210039753.4)，通过以空间某一固定轴线方位角为输入变量的相关幅值和相位的同频率三相正弦电流信号的各种反相位电流的组合驱动方式与三轴正交嵌套亥姆霍兹线圈装置内叠加的空间万向均匀旋转磁场的旋转轴方位和旋向的变化规律为基础，实现了空间万向旋转磁场旋转轴线方位与旋转方向在空间坐标系各个象限内的唯一性控制，但没有涉及电流幅值的具体补偿方法，会使所叠加的空间万向旋转磁场形状产生误差，进而影响胶囊机器人液体阻力矩的检测精度。此外，专利中还存在如下2个问题：

(1)上述专利已经得到了万向旋转磁场叠加公式：

其中，α、β、γ、分别为空间单位向量n＝(cosα，cosβ，cosγ)与空间笛卡尔坐标系x，y，z轴的方向角，B₀为磁感应强度幅值，ω为磁场旋转的角速度，旋转方向为逆时针。

专利中提及电流匹配问题，即施加相同驱动电流时，即施加相同驱动电流时，在三组线圈中心叠加出的磁场强度相等，但根据电流与磁场强度关系，

B_x＝K_xI_x

B_y＝K_yI_y

B_z＝K_zI_z

即须保证：

B₀＝K_xI₀

B₀＝K_yI₀ (2)

B₀＝K_zI₀

当三组线圈输入同一驱动电流I₀时，为了保证三组线圈的B₀相等，叠加出均匀旋转磁场，线圈结构参数K_x，K_y，K_z也应相等，但三轴亥姆霍兹线圈采用特殊的正交嵌套安装方式，其大、中、小三组线圈的匝数和尺寸结构各不相同才能保证在线圈中心叠加出均匀旋转磁场，所以专利中提出保证关系式(2)是自相矛盾的，该专利并没有解决电流匹配问题，并未能够对电流幅度进行补偿；

(2)该专利还提及电压驱动关系式：

因此，

由公式(4)知，感抗与通入线圈的电流频率有关，生成的磁场强度与电流成正比，电流频率增加时，线圈的感抗值增大，因此当加载相同幅值的电压时生成的旋转磁场幅值将减小，为保证产生足够大的磁场驱动机器人旋转，不能加载较大的频率，针对该情况，设置具有电流反馈作用的系统控制器，电流反馈不会因电流频率的增加使线圈感抗增大而造成磁场衰减，而是通过PID控制调节三组线圈电流幅值的恒定，形成电流闭环，即利用霍尔电流传感器检测亥姆霍兹线圈的输出电流，传感器输出的电压信号经过限流电阻、运算放大以及滤波之后，输出的放大电流经A/D转换输入至DSP中，经过PID运算模块对电流设定值和测量值的误差进行修改整定，最终实现电流反馈控制，这样便消除了感抗对电流幅度的影响，叠加出幅值均匀的旋转磁场，进而减小液体阻力矩在线测量误差。

在所申请的发明专利“一种胶囊机器人及其多楔形效应驱动控制方法”中(专利授权号：ZL200910306805.8)，提出的一种利用机器人外表面多个附有螺旋肋铜瓦的凸起外形，与管壁形成多个楔形角产生的多楔形效应，可以显著提高机器人的流体动压力和推力，同时也降低了胶囊机器人旋转流体阻力矩的方法。多楔形效应在一定间隙范围内显著提高了机器人表面流体动压力和游动速度，而胶囊机器人液体阻力矩的减小，降低了对驱动磁感应强度的要求，同时也降低了驱动系统驱动功率与磁能耗，显著提高了内驱动安全性。但该专利并没有涉及液体阻力矩的检测，没有解决多楔形效应胶囊机器人旋转流体阻力矩的非接触测量与验证问题，也没有解决任一旋转磁场强度与对应转差角的确定问题，事实上，如果确定了驱动电流与转差角的变化关系式，空间万向旋转磁场磁耦合力矩才能定量的分析。因此，本项申请专利在上述专利的基础上又提出液体阻力矩的在线检测技术方法和任一旋转磁场强度下转差角的计算方法。

空间万向旋转磁场是向三轴亥姆霍兹线圈施加三组正弦电流叠加而成，磁感应强度与功耗成指数关系，流体阻力矩的减小，即降低了对驱动磁感应强度的要求，低强度磁场对人体伤害小，进而提高了内驱动安全性，又减小了磁场耦合力矩扭曲肠道的可能性，同时也降低了驱动系统功率与磁能耗。可见，胶囊机器人流体阻力矩的可靠在线检测对体内驱动的安全性方面意义重大。

国外进行了胶囊机器人相关流体阻力测量的研究，主要针对在离体猪小肠中机器人受到的生物学摩擦阻力特性进行了研究，美国科罗拉多大学Benjamin S.Terry等采用测量胶囊机器人在肠道中前进时撑开坍塌肠道产生的剥离力和通过时肠壁对机器人的粘滞阻力的技术方案，其缺点是驱动力矩不能根据肠道内结构随动平衡，功率输出大，测出的阻力不能准确反应复杂环境内情况。

国内中科院沈阳自动化研究所对机器人启动过程中肠道摩擦阻力进行了研究，该方法通过力传感器牵引连接机器人尾部绳索的方式模拟机器人在肠中运动时的阻力大小，读取力传感器显示的数值获得检测值。该方法的缺点是没有考虑肠道蠕动的复杂性，拖拽的方式很容易损伤肠道，而且无法测量在弯曲环境内机器人受到的阻力，也没有流体阻力矩非接触在线测量方面的研究。

综上所述，所提出的螺旋胶囊机器人液体阻力矩非接触在线测量技术涉及体内微型医疗机器人扭曲肠道性能检测的关键技术。目前，在旋转磁场条件下，基于临界驱动电流原理，在管内充满大粘度液体的环境下，实现胶囊机器人液体阻力矩的非接触在线检测和转差角计算的研究还未见报道，该技术操作简便、实用性强，检测结果准确、可靠，可实现在线实时测量，具体可间接通过机器人在液体环境内丢步时的临界驱动电流获得液体阻力矩并计算对应转差角，提供了一种实用、有效的体内胶囊机器人的液体阻力矩检测手段和转差角计算方法，可有力支持提高胶囊机器人廓形的优化，极大降低了三组线圈的磁感应强度和磁能耗，也降低了驱动系统的驱动功率与磁能耗，有效节约了医疗资源，提高体内驱动安全性，为未来体内介入治疗铺平道路。

发明内容

本发明要解决的技术问题，一是要对电流幅值进行补偿，消除三轴正交嵌套亥姆霍兹线圈电结构参数对电流幅值的影响，保证叠加出均匀规则的万向旋转磁场，减小液体阻力矩在线测量误差，二是提供一种螺旋胶囊机器人液体阻力矩的非接触在线测量方法，是一种在充满大粘度液体介质的管道内和在外旋转磁场驱动条件下，利用临界丢步现象独有的临界驱动电流和转差角特征实现磁耦合力矩在线测量的操作装置和方法，进而实现管内胶囊机器人液体阻力矩的非接触在线检测。三是提供一种转差角计算方法，根据机器人处于平衡状态时耦合磁力矩恒等于流体阻力矩的特点，实现任一旋转磁感应强度下机器人转差角的计算。

本发明的技术方案是：

由沿z轴方向放置的一组大线圈组、沿y轴方向放置的一组中间线圈组和沿x轴方向放置的一组小线圈组从大到小组成的三轴正交嵌套亥姆霍兹线圈，其空间区域包围胶囊机器人；聚苯乙烯空心细杆、反射圆盘和有机玻璃管在管外利用光电转速表进行转速检测，即为机器人的实际转速。由系统控制器分别向三轴亥姆霍兹线圈加载具有相应幅值、相位关系的同频谐波电流，三组正弦电流信号则叠加产生空间万向旋转磁场，并与在充满硅油的管道中胶囊机器人的内嵌径向磁化小磁铁产生磁耦合力矩驱动机器人旋进，当万向磁场旋转轴线与机器人自转轴线重合，机器人稳态游动时，磁驱动力矩与液体阻力矩达到平衡状态。首先，要对电流幅值进行补偿，消除三轴正交嵌套亥姆霍兹线圈电结构参数对电流幅值的影响，提高磁场均匀度，然后分别逐渐减小三组线圈的驱动电流幅值，使磁耦合力矩减小，机器人与万向磁场的转差角增大，对应的转差角为90°时，机器人刚好出现丢步，此时的电流即为临界驱动电流，最后，将测出的临界驱动电流和90°转差角代入磁耦合力矩公式即可求得临界磁耦合力矩，即为液体阻力矩。机器人与旋转磁场同步旋转，磁场频率不变时机器人旋转角速度也保持不变，液体阻力矩恒定，但转差角随旋转磁场强度的减小而增大。机器人稳定旋转时，由于磁耦合力矩恒等于液体阻力矩，根据临界电流方法测得磁耦合力矩的基础上，再由磁耦合力矩公式即可求得任一磁感应强度下的转差角。

总之，三轴亥姆霍兹线圈是由三组线圈正交嵌套组合而成，利用毕奥萨法尔定律在线圈中心叠加出的空间万向均匀旋转磁场不会因线圈的形状不同有本质差别，所以，方形亥姆霍兹线圈和圆形亥姆霍兹线圈的磁场叠加原理都是相同的，仅有的区别就是线圈的结构参数不同。电流幅值补偿修正公式、电流反馈控制和基于磁耦合力矩临界驱动电流的液体阻力矩检测方法对圆形亥姆霍兹线圈甚至其它形状的亥姆霍兹线圈均适用。

下面结合附图，说明液体阻力矩在线测量和转差角计算原理。胶囊机器人在三轴正交亥姆霍兹线圈产生的万向旋转磁场驱动下旋进，当磁场旋转轴线与机器人自转轴线重合时，机器人稳态游动，磁驱动力矩与流体阻力矩达到平衡状态，即：

T_f＝T (5)

附图3所示为单组方形亥姆霍兹线圈结构图，单组方形亥姆霍兹线圈中心点磁感应强度与电流及线圈结构参数之间的关系为：

其中，真空磁导率μ₀＝4π×10^-7H/m，2a为线圈的边长，t为线圈的厚度，2d为线圈中心点之间的距离，l为线圈宽度，b为线圈的间距，N为线圈缠绕的匝数，I为通入三轴亥姆霍兹线圈的电流，结构参数K_i与线圈自身结构相关，方形线圈的K_i为：

附图4所示为单组圆形亥姆霍兹线圈结构图，单组圆形亥姆霍兹线圈结构参数K′_i为：

其中，R为线圈的内部半径，其它参数的意义与公式(6)的参数解释完全相同。由公式(1)—(4)可知，为了使胶囊机器人在行走过程中具有良好的方向性及稳定性，提高磁场的均匀度，需要对通入三组线圈的电流幅值进行修正补偿，以消除三组线圈结构参数不同对磁场幅值的影响，综上，磁感应强度的幅值B₀与电流幅值有如下关系：

B₀＝K_xI₁

B₀＝K_yI₂ (7)

B₀＝K_zI₃

令I₃＝I₀则有：

最终得到小线圈、中线圈、大线圈(轴线分别沿x，y，z轴)针对线圈结构参数进行电流幅值补偿后的修正电流驱动公式：

当磁场旋转轴线与机器人自转轴线重合时，磁耦合力矩为：

T＝B₀msinδ＝K_ZI₀msinδ (9)

其中，m为永磁体磁矩矢量，B₀为磁感应强度的幅值，δ为旋转磁场矢量与机器人内嵌永磁体磁矩矢量的转差角。

由公式(9)可知，当驱动电流I₀和转差角δ都增加时，磁驱动力矩也增加，当输入电流一定时，转差角δ从零达到某一角度时，机器人达到稳态游动状态，图2(a)中上图为机器人转差角轴向视图，下图为转差角侧视图，表示旋转磁场在一定电流作用下得到的一定转差角，此时，磁驱动力矩与流体阻力矩相等。尽管驱动电流已知，由于转差角未知，因此，无法计算磁驱动力矩；然后再逐渐减小驱动电流，并利用转速表测量转速变化情况，当转速低于稳定转速时(旋转磁场转速)即为丢步，此时的电流称为临界驱动电流，而转差角刚好为90°，其轴向和侧向视图如图2(b)所示，将此时的临界驱动电流和特殊转差角90°代入公式(9)，可计算得到磁驱动力矩T，由公式(5)可知，磁驱动力矩与液体阻力矩相等，因此通过临界驱动电流可间接得到液体阻力矩T_f。再根据机器人稳定旋转时磁耦合力矩恒等于液体阻力矩的特点，利用磁耦合力矩公式(9)实现任一磁感应强度下的转差角的计算。

本发明的效果和益处是：

通过逐渐减小修正后的驱动电流使机器人达到临界丢步，由临界电流和丢步时的转差角的特有关系并结合磁耦合力矩公式实现液体阻力矩的在线检测和转差角的计算，解决了体内胶囊机器人液体摩擦阻力矩测量与转差角难以确定这一技术瓶颈，这种通过调节驱动电流并结合磁驱动力矩与液体阻力矩达到平衡状态的间接检测方法避免了传统方法需要多个传感器进行检测与复杂的运算过程，由于没有改变检测条件，因此减小了测量误差，以非接触方式简便、快捷的检测出机器人在液体环境内的流体力矩，该技术不仅可用于体内医疗微型机器人的液体阻力矩检测，而且可以作为一般测量方法适用于一般工业不同液体粘度、密度等参量变化介质环境内的检测。液体摩擦阻力矩作为评价机器人驱动性能的主要参量，影响整个磁场驱动系统的消耗功率，而液体阻力矩测量十分困难，通过该方法可间接、实时的获得液体摩擦阻力矩及机器人转差角，提高了体内机器人游动状态监测的可靠性与实用性。

附图说明

图1是本发明所修正的空间万向旋转磁场装置用于液体阻力矩检测的技术方案示意图。

图2是胶囊微型机器人的液体阻力矩测量原理图。

图3是单轴方形亥姆霍兹线圈示意图。

图4是单组圆形亥姆霍兹线圈结构图。

图中：1有机玻璃管；

2大线圈组，由沿z轴方向放置的两个相同线圈组成；

3中间线圈组，由沿y轴方向放置的两个相同线圈组成；

4小线圈组，由沿x轴方向放置的两个相同线圈组成；同一方向的两个相同线圈为串联关系，但三个方向的控制信号相互独立；

5胶囊机器人；6玻璃管侧端孔；7反光圆盘；8聚苯乙烯空心细管；

9光电转速表；10系统控制器。

具体实施方式

以下结合技术方案和附图1详细叙述本发明的具体实施例。

具体步骤如下：

以磁场频率为8Hz时的空间万向旋转磁场电流幅值进行数字化补偿为例，利用临界电流法实现管内胶囊机器人液体阻力矩的非接触在线检测。

(1)如附图1所示，首先进行电流幅值补偿，作为特例，令机器人沿线圈y轴方向前进，其磁场方向向量为n＝(cosα，cosβ，cosγ)＝(cos90°，cos0°，cos90°)，其中(90°，0°，90°)分别为n与x，y，z轴的方向角，三轴方形亥姆霍兹线圈的小、中、大线圈组的电结构参数分别为：

分别求得K_x＝9.10747×10^-4N/(A²m)，K_y＝8.97703×10^-4N/(A²m)，K_z＝8.90422×10^-4N/(A²m)。以大线圈为基准进行修正，首先向大线圈输入的电流幅值I₀＝5A，再根据I₁，I₂，I₃与线圈电结构参数之间的关系I₃＝I₀计算得到小线圈输入的电流幅值I₁＝4.9A，中间线圈输入电流幅值I₂＝0A，大线圈输入电流幅值I₃＝5A，此时机器人以稳态速度旋进。

(2)逐渐减小三组驱动电流幅值，每次以0.1A为递减量，至机器人刚好出现丢步。通过胶囊机器人转速变化判断丢步，磁场频率为8Hz时，机器人稳定游动时的转速为480r/min，当低于480r/min时表示机器人已经失稳，处于丢步状态。当大线圈的驱动电流减小至I₃＝4.5A，其他两组线圈驱动电流分别为I₂＝0A，I₁＝4.4A时，通过观察可以发现机器人在管内发生临界丢步现象，表示机器人已出现丢步。由于转速表的测量精度为0.2r/min，所以此时对应机器人转速为479.8r/min，结合附图2(b)可知，丢步时的转差角为90°，而此时三组线圈施加的驱动电流即为临界驱动电流。

(3)由磁感应强度幅值B₀与驱动电流幅值的关系：

B₀＝K_xI₁

B₀＝K_yI₂ (7)

B₀＝K_zI₃

计算得出B₀＝4mT，并将永磁体磁矩m＝0.35478(A·m²)一并带入磁耦合力矩式：

T＝B₀msinδ＝K_ZI₀msinδ (9)

并令

T_f＝T (5)

最终计算得到液体阻力矩T_f＝1.423×10^-3N·m。

沿其它一般方向驱动机器人的液体阻力矩检测方法相同。

(4)磁场频率为8Hz，磁耦合力矩与流体阻力矩达到平衡状态时，恒有T＝T_f＝1.423×10^-3N·m，取大线圈组的驱动电流为I₃＝I₀＝12A时的特例计算转差角，由公式(7)中B₀＝K_zI₃计算得B₀＝10.929mT，然后将永磁体磁矩m＝0.35478(A·m²)以及上述T_f和B₀一并代入公式(9)，得出转差角δ＝21.53°。

在其它磁场频率下，向线圈施加其它电流值时转差角的计算方法相同。

Claims (2)

1.一种螺旋胶囊机器人液体阻力矩的非接触在线测量方法，其特征在于：

由沿z轴方向放置的一组大线圈组、沿y轴方向放置的一组中间线圈组和沿x轴方向放置的一组小线圈组从大到小组成三轴正交嵌套亥姆霍兹线圈，其空间区域包围胶囊机器人、聚苯乙烯空心细杆、反射圆盘和有机玻璃管；将聚苯乙烯空心细杆穿过有机玻璃管一端的孔，确保聚苯乙烯空心细杆不与孔壁接触，并使聚苯乙烯空心细杆的两端分别连接有机玻璃管内的胶囊机器人和反射圆盘，在管外利用光电转速表对反射圆盘进行转速检测，即为机器人的实际转速；

对电流幅值进行补偿，消除三轴正交嵌套亥姆霍兹线圈电结构参数对电流幅值的影响，提高磁场均匀度，然后分别逐渐减小三组线圈的驱动电流幅值，使磁耦合力矩减小，机器人与万向磁场的转差角增大，对应的转差角为90°时，机器人刚好出现丢步，此时的电流即为临界驱动电流；将测出的临界驱动电流和90°转差角代入磁耦合力矩公式求得临界磁耦合力矩，即液体阻力矩。

2.根据权利要求1所述的一种螺旋胶囊机器人液体阻力矩的非接触在线测量方法，其特征在于：

(1)叠加幅值为B₀的均匀空间万向旋转磁场，沿x线圈、沿y线圈、沿z线圈针对线圈结构参数进行电流幅值补偿后的电流公式为：

其中，α、β、γ、分别为空间单位向量n＝(cosα，cosβ，cosγ)与空间笛卡尔坐标系的x，y，z轴的方向角，I₀为向z轴线圈中施加电流的幅值，ω为磁场旋转的角速度，旋转方向为逆时针；公式(8)即为修正电流关系式；

$K_i=\frac{4{\mathrm{\μ}}_0{N}_i{\left(a_i+\frac{t_i}{2}\right)}^2}{\mathrm{\π}\[{\left(a_i+\frac{t_i}{2}\right)}^2+{d_i}^2\]\sqrt{2{\left(a_i+\frac{t_i}{2}\right)}^2+{d_i}^2}},i=x,y,z$

其中，2a为线圈的边长，t为方形线圈的厚度，2d为线圈中心点之间的距离，N为单个亥姆霍兹线圈的匝数，μ₀＝4π×10^-7H/m代表真空磁导率；a_i为线圈的边长的一半，d_i为线圈中心点之间的距离的一半；

(2)叠加幅值为B₀的均匀空间万向旋转磁场，为了消除三组线圈感抗对各自电流幅度的影响，以便叠加出幅值均匀的旋转磁场，进而减小液体阻力矩在线测量误差，设置具有电流反馈作用的系统控制器，电流反馈不会因电流频率的增加使线圈感抗增大而造成磁场衰减，而是通过PID控制调节三组线圈电流幅值保持恒定，形成电流闭环，即利用霍尔电流传感器检测亥姆霍兹线圈的输出电流，传感器输出的电压信号经过限流电阻、运算放大以及滤波之后，输出的放大电流经A/D转换输入至DSP中，经过PID运算模块对电流设定值和测量值的误差进行修改整定，最终实现电流反馈控制；

(3)空间万向旋转磁场驱动胶囊机器人在充满大粘度液体中行走，当旋转磁场轴线与机器人轴线重合，机器人达到稳态游动状态时，磁驱动力矩与流体阻力矩相等，采用数字化控制器逐渐减小对三组线圈施加的驱动电流，使机器人刚好出现丢步，通过转速表测量机器人的稳态转速变化来判定胶囊机器人的丢步，当低于该稳态转速时表示机器人已经失稳，机器人出现丢步，对应的转差角为90°，此时电流即为临界驱动电流，最后，由磁耦合力矩公式可得出液体阻力矩；

T＝B₀msinδ＝K_ZI₀msinδ (9)

其中，B₀为磁感应强度幅值，m为永磁体磁矩矢量，δ为旋转磁场矢量与机器人内嵌永磁体磁矩矢量的转差角；

(4)旋转磁场频率不变时同步旋转的机器人角速度也保持不变，磁耦合力矩与流体阻力矩达到平衡状态，即磁耦合力矩恒等于液体阻力矩，根据磁耦合力矩公式(9)即可求得任一磁感应强度下机器人的转差角；

(5)三轴亥姆霍兹线圈是由三组线圈正交嵌套组合而成，利用毕奥萨法尔定律在线圈中心叠加出的空间万向均匀旋转磁场不会因线圈的形状不同有本质差别，所以，方形亥姆霍兹线圈和圆形亥姆霍兹线圈的磁场叠加原理都是相同的，仅有的区别就是线圈的结构参数不同；电流幅值补偿修正公式、电流反馈控制和基于磁耦合力矩临界驱动电流的液体阻力矩检测方法对圆形亥姆霍兹线圈甚至其它形状的亥姆霍兹线圈均适用；单组圆形亥姆霍兹线圈结构参数K_i′为：

$K_i^{\′}=\frac{{\mathrm{\μ}}_0{N}_i{\left(R_i+\frac{t_i}{2}\right)}^2}{{\[{\left(R_i+\frac{t_i}{2}\right)}^2+{\left(2d_i\right)}^2\]}^{\frac{3}{2}}},i=x,y,z$

其中，R为线圈内部半径，其它参数的意义与方形亥姆霍兹线圈相同。