CN104657549B

CN104657549B - 一种基于正交参数化ltv模型的迭代学习预测控制方法

Info

Publication number: CN104657549B
Application number: CN201510063661.3A
Authority: CN
Inventors: 徐祖华; 周建川; 赵均
Original assignee: Zhejiang University ZJU
Current assignee: Zhejiang University ZJU
Priority date: 2015-02-06
Filing date: 2015-02-06
Publication date: 2018-02-16
Anticipated expiration: 2035-02-06
Also published as: CN104657549A

Abstract

本发明公开了一种针对注塑过程保压段基于正交参数化LTV模型的迭代学习预测控制方法。实施步骤如下：(1)建立正交参数化LTV模型；(2)模型参数估计；(3)阶次选择；(4)推导ILC‑MPC控制律。本发明充分利用注塑过程重复运行、跟踪轨迹已知的工艺特点，通过引入正交参数化LTV模型，改变了传统建模方法复杂度高、外推性差的特点。在控制过程中，采用迭代学习控制与模型预测控制相结合的控制策略，既可以充分利用历史批次信息，又可以根据预测模型在线进行滚动优化，从而能更迅速更稳定地完成控制需求。

Description

一种基于正交参数化LTV模型的迭代学习预测控制方法

技术领域

本发明涉及用于注塑过程领域，具体涉及一种针对注塑过程保压段正交参数化LTV(linear time-varying,LTV)模型的迭代学习预测控制方法。

背景技术

塑料制品广泛应用于人们日常生活当中，注塑成型是加工塑料制品的主要方法，目前世界上80％的塑料制品采用该工艺进行生产。注塑过程的主要设备是注塑成型机，简称注塑机。注塑成型根据金属压铸成型原理发展而来，通过使用注塑机和注塑模具将塑料原料转变为成型制品，是一种典型的间歇生产过程。它是利用塑料的热物理性质，把物料从料斗加入料筒中，料筒外由加热圈加热，使物料熔融，在料筒内装有在外动力马达作用下驱动旋转的螺杆，物料在螺杆的作用下，沿着螺槽向前输送并压实，物料在外加热和螺杆剪切的双重作用下逐渐地塑化、熔融和均化，当螺杆旋转时，物料在螺槽摩擦力及剪切力的作用下，把已熔融的物料推到螺杆的头部，与此同时，螺杆在物料的反作用下后退，使螺杆头部形成储料空间，完成塑化过程，然后，螺杆在注射油缸活塞推力的作用下，以高速、高压将储料室内的熔融料通过喷嘴注射到模具的型腔中，型腔中的熔料经过保压、冷却、固化定型后，模具在合模机构的作用下，开启模具，并通过顶出装置把定型好的制品从模具顶出落下。由上可见，一次完整的注塑流程主要包括关模、注射、保压、冷却、开模五部分，注塑机作业以此为基础，不断循环流程。

保压段是决定成品质量的一个重要阶段，它的关键变量是保压压力，但由于保压过程运行区间内一般没有稳态工作点，过程变量会在很大范围内剧烈波动。另外，由于熔体流速、压力分布不均匀性，以及材料、工艺工况等因素影响，会导致过程表现出强烈的非线性和时变特性，因此，线性时不变模型已经不能充分描述注塑过程，而基于线性模型的控制策略也不能很好地发挥作用，这些特点决定了保压过程控制要比连续过程控制更加复杂，因此有必要研究能更好描述保压过程的非线性模型，并基于此模型控制过程变量。

目前针对注塑过程保压段的非线性模型主要有机理模型、模糊模型、神经网络模型、多模型等，但是对于机理模型来说，建立一个能够充分描述过程的机理模型比较困难；模糊模型的方法缺点在于模糊模型的设计缺乏系统性，信息简单的模糊处理将导致系统的控制精度降低和动态品质变差；神经网络模型主要不便在于建模困难且外推性较差；多模型方法缺点在于模型选择和设计费时费力。

然而，注塑过程具有过程重复运行、跟踪轨迹已知的工艺特点，上述建模方法并没有充分利用这个特征以降低建模难度。

发明内容

为克服上述建模方法的不足，充分利用注塑过程重复运行、跟踪轨迹已知的工艺特点，本发明提供了一种基于正交参数化LTV模型的迭代学习预测控制方法，既满足精度要求，又降低复杂度，并在正交参数化LTV模型基础上推导出最优迭代学习预测控制算法。

为了达到上述的目的，本发明采取如下技术方案予以实现：

步骤(1)、建立正交参数化LTV模型：

利用注塑过程重复运行、跟踪轨迹已知的工艺特点,建立正交参数化LTV模型，用以表征过程非线性问题；此模型在满足精度要求的基础上，又降低了复杂度，时变系数为时间轴坐标t的非线性函数；

步骤(2)、模型参数估计：

确定模型参数的目的在于模型精度能在相关控制准则下达到最高，利用Levenberg-Marquardt方法求解非线性最小二乘问题确定模型参数。

步骤(3)、阶次选择；

确定模型阶次/结构的目的在于所获模型能以最高精度满足控制要求，利用赤池(Akaike information criterion，AIC)信息准则确定模型阶次。

步骤(4)、推导ILC-MPC控制律；

在所获LTV模型基础上求解优化命题，得到最优迭代学习预测控制律。本发明的有益效果是：

本发明充分利用注塑过程重复运行、跟踪轨迹已知的工艺特点，通过引入正交参数化LTV模型，改变了传统建模方法复杂度高、外推性差的特点。在控制过程中，采用迭代学习控制与模型预测控制相结合的控制策略，既可以充分利用历史批次信息，又可以根据预测模型在线进行滚动优化，从而能更迅速更稳定地完成控制需求。

附图说明

图1是基于LTV模型ILC-MPC控制系统框图；

图2是ILC-MPC算法流程图；

图3是控制效果图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步的分析。

基于正交参数化LTV模型的迭代学习预测控制系统框图如图1所示。

基于正交参数化LTV模型迭代学习控制方法实施步骤如下：

步骤(1)、建立正交参数化LTV模型：

针对注塑过程保压段，采用如下LTV模型表示：

y_k(t)＝G(q,t)u_k(t)+v_k(t)t＝1,...,N,k＝1,2,... (1)

其中t和k分别代表时间轴坐标和批次轴坐标；N为每个批次时间长度；y_k(t),u_k(t),v_k(t)分别代表第k个批次t时刻的保压压力，阀门开度以及扰动；G(q,t)是从u_k(t)到y_k(t)的线性时变传递函数；

对注塑过程而言，由于扰动存在着很强的批次相关性，因此，不可测扰动可用如下沿批次轴的积分白噪声来描述：v_k(t)＝v_k-1(t)+w_k(t)，其中w_k(t)是零均值高斯白噪声；

对上述LTV模型即公式(1)，相邻两批次数据做差分，则有

其中

A(q,t)＝1+a₁(t)q^-1+...+a_n(t)q^-n (4)

B(q,t)＝1+b₁(t)q^-1+...+b_n(t)q^-n (5)

上述模型是一种LTV-OE模型结构(见公式2～7)，其中n为OE模型阶次，a_i(t)和b_i(t)为时变模型系数，其中i＝1,2,…,n。

虽然注塑过程具有明显的非线性和时变性，但是其过程存在过程重复运行、跟踪轨迹已知的显著特点，因此a_i(t)和b_i(t)可以表示为时间轴坐标n的非线性函数，从而既满足精度需求，又降低复杂度，即

其中，是一组多项式基函数，m为多项式阶次，a_i ^j和b_i ^j为加权系数。由于正交多项式具有良好的数值稳定性，而在正交多项式各种形式中，首项系数为1的Legendre多项式形式简单、递推方便、高阶逼近误差较小，因此，选其作为正交基函数。

得到首项系数为1的Legendre多项式需要经过两步变换。首先，Legendre多项式定义在[-1,1]上，其一般形式为：

由于P_n(x)中xⁿ的系数为令则可得到首项系数为1的Legendre多项式。其次，由于Legendre多项式定义域为[-1,1]，而a_i(t)和b_i(t)中定义在[1,N]上，通过如下变换则可将t∈[1,N]转换为μ∈[-1,1]。

选用首项系数为1的Legendre多项式作基函数，带入公式(8),(9)中得：

步骤(2)、模型参数估计

对于LTV-OE模型见公式(2),需要估计的模型参数为：

则一步向前最优预报值为：

因此，通过最小化预报误差准则函数V_KN(θ)，来确定参数矢量θ

其中，

由于ε_k(t|θ)与A(q,t)呈非线性关系，则优化命题(15)不存在解析解，需采用数值方法进行求解。对于上述非线性最小二乘问题，已有Newton-Raphson，Gauss-Newton，Levenberg-Marquardt等数值优化方法，由于Levenberg-Marquardt法具有收敛速度快、数值稳定性好的优点，故采用Levenberg-Marquardt法进行数值求解，并得到如下迭代计算过程：

其中为第r次迭代的估计值，μ为步长因子，I为单位阵，

在用上述方法进行模型参数的数值优化时，需知道的梯度ψ_k(t,θ)。对于公式(14)，两边分别对a_i ^j和b_i ^j得：

将A(q,t)代入上式，可得梯度ψ_k(t,θ)的计算公式。

步骤(3)、阶次选择

采用赤池信息准则(Akaike information criterion，AIC)确定LTV-OE模型的模型阶次n以及正交多项式阶次m。

赤池信息准则为：

其中，N_k为辨识数据个数，N_k＝K·N；d为模型参数个数，d＝2n·m。

步骤(4)、推导ILC-MPC控制律

对于LTV模型即公式(1)相邻批次做差分有：

即

写成状态空间形式为：

其中，

预测模型：

令则

y_k(t)-y_k-1(t)＝Cx_k(t)+w_k(t)因此有：

P为预测时域。

由于x_k(t)为已知状态，则根据递推公式有：

·

由于控制时域为M，则有：

综上推导，可得，

令

则可表示为：

带入(27)有：

整理得，

其中，

选目标函数为：

无约束问题解析解为：

令d^T＝[10…0](G^TQG+R)^-1G^TQ,则

其中，

求解优化命题公式(33)，得到最终解析解公式(35)，从而得到控制律为：

u_k(t)＝r_k(t),k＝1；u_k(t)＝r_k(t)+u_k-1(t),k＞1 (37)

基于正交参数化LTV模型的迭代学习预测控制方法流程图如图2所示。

如图3所示，建立正交参数化LTV模型，用系统辨识的方法确定模型阶次及参数，在此模型基础上对保压段保压压力进行控制仿真，得到图3曲线，可以看到，经过大约2-3个批次的学习后，输出(保压压力)曲线跟踪上设定曲线。

上述实施例并非是对于本发明的限制，本发明并非仅限于上述实施例，只要符合本发明要求，均属于本发明的保护范围。

Claims

1.一种基于正交参数化LTV模型的迭代学习预测控制方法，其特征在于该方法包括以下步骤：

步骤(1)、建立正交参数化LTV模型：

利用注塑过程重复运行、跟踪轨迹已知的工艺特点,建立正交参数化LTV模型，用以表征注塑过程非线性问题；其中时变系数为时间轴坐标t的非线性函数；

步骤(2)、模型参数估计：

由于模型精度能在相关控制准则下达到最高，利用Levenberg-Marquardtt方法求解非线性最小二乘问题确定模型参数；

步骤(3)、阶次选择：

为了使模型能以最高精度满足控制要求，利用赤池信息准则确定模型阶次；

步骤(4)、推导ILC-MPC控制律：

在步骤(1)所获LTV模型基础上求解优化命题，得到最优迭代学习预测控制律，实现注塑机保压段保压压力的控制；

步骤(1)具体是针对注塑过程保压段，采用如下LTV模型表示：

y_k(t)＝G(q,t)u_k(t)+v_k(t),t＝1,...,N,k＝1,2,... (1)

对注塑过程而言，由于扰动存在着很强的批次相关性，因此不可测扰动可用如下沿批次轴的积分白噪声来描述：v_k(t)＝v_k-1(t)+w_k(t)，其中w_k(t)是零均值高斯白噪声；

对上述LTV模型即公式(1)，相邻两批次数据做差分，则有

其中

A(q,t)＝1+a₁(t)q^-1+...+a_n(t)q^-n (4)

B(q,t)＝1+b₁(t)q^-1+...+b_n(t)q^-n (5)

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上述公式(2)～(7)是LTV-OE模型结构，其中n为OE模型阶次，a_i(t)和b_i(t)为时变模型系数；

虽然注塑过程具有明显的非线性和时变性，但是其过程存在过程重复运行、跟踪轨迹已知的显著特点，因此a_i(t)和b_i(t)可以表示为时间轴坐标n的非线性函数，即

其中，是一组多项式基函数，m为多项式阶次，和为加权系数；设首项系数为1的Legendre多项式作为正交基函数；

得到首项系数为1的Legendre多项式需要经过两步变换；首先，Legendre多项式定义在[-1,1]上，其一般形式为：

由于P_n(x)中xⁿ的系数为令则可得到首项系数为1的Legendre多项式；其次，由于Legendre多项式定义域为[-1,1]，而a_i(t)和b_i(t)中定义在[1,N]上，通过如下变换则可将t∈[1,N]转换为μ∈[-1,1]；

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步骤(2)具体是对于LTV-OE模型,需要估计的模型参数为：

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则一步向前最优预报值为：

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因此，通过最小化预报误差准则函数V_KN(θ)，来确定参数矢量θ：

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其中，

由于ε_k(t|θ)与A(q,t)呈非线性关系，则优化命题(15)不存在解析解，需采用数值方法进行求解；对于上述非线性最小二乘问题，采用L-M法进行数值求解，并得到如下迭代计算过程：

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其中为第r次迭代的估计值，μ为步长因子，I为单位阵，

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在用上述方法进行模型参数的数值优化时，需知道的梯度ψ_k(t,θ)；对于公式(14)，两边分别对和求导得：

<mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>y</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>|</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msup> <msub> <mi>a</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>j</mi> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <mo>-</mo> <msub> <mover> <mi>P</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>y</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mo>|</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>18</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

<mrow> <mi>A</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mi>q</mi> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <mfrac> <mrow> <mo>&part;</mo> <msub> <mover> <mover> <mi>y</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>|</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow> <mrow> <mo>&part;</mo> <msup> <msub> <mi>b</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>j</mi> </msup> </mrow> </mfrac> <mo>=</mo> <msub> <mover> <mi>P</mi> <mo>~</mo> </mover> <mrow> <mi>j</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mfrac> <mrow> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mfrac> <mrow> <mi>N</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mn>2</mn> </mfrac> </mrow> <mrow> <mi>N</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </mfrac> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mover> <mi>u</mi> <mo>&OverBar;</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>-</mo> <mi>i</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>19</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

将A(q,t)代入上式，可得梯度ψ_k(t,θ)的计算公式；

步骤(3)具体是采用赤池信息准则确定LTV-OE模型的模型阶次n以及正交多项式阶次m；

所述的赤池信息准则为：

<mrow> <mi>A</mi> <mi>I</mi> <mi>C</mi> <mo>=</mo> <msub> <mi>logV</mi> <mrow> <mi>K</mi> <mi>N</mi> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&theta;</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mrow> <mn>2</mn> <mi>d</mi> </mrow> <msub> <mi>N</mi> <mi>k</mi> </msub> </mfrac> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>20</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，N_k为辨识数据个数，N_k＝K·N；d为模型参数个数，d＝2n·m；

步骤(4)具体是对于LTV模型相邻批次做差分有：

即

写成状态空间形式为：

其中，

预测模型：

令则

y_k(t)-y_k-1(t)＝Cx_k(t)+w_k(t)因此有：

<mrow> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <mi>C</mi> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>27</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

P为预测时域；

由于x_k(t)为已知状态，则根据递推公式有：

由于控制时域为M，则有：

综上推导，可得，

令

则可表示为：

带入(27)有：

<mrow> <msub> <mover> <mi>y</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>p</mi> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <mi>C</mi> <mo>&CenterDot;</mo> <mo>&lsqb;</mo> <mi>h</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>g</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mover> <mi>r</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>M</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>t</mi> </msubsup> <mo>,</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

整理得，

其中，

<mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>32</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

选目标函数为：

无约束问题解析解为：

<mrow> <msub> <mi>r</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>*</mo> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <msup> <mi>G</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>Q</mi> <mi>G</mi> <mo>+</mo> <mi>R</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <msup> <mi>G</mi> <mi>T</mi> </msup> <mi>Q</mi> <mo>&CenterDot;</mo> <mo>&lsqb;</mo> <msub> <mi>y</mi> <mi>r</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mi>f</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&rsqb;</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>34</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

令d^T＝[1 0 … 0](G^TQG+R)^-1G^TQ,则

<mrow> <msub> <mi>f</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mo>(</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> <mo>=</mo> <msub> <mi>y</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mi>H</mi> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mi>P</mi> </mrow> <mrow> <mi>t</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>x</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <msub> <mi>I</mi> <mrow> <mi>P</mi> <mi>x</mi> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>&CenterDot;</mo> <msub> <mi>w</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mi>t</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>36</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，

u_k(t)＝r_k(t),k＝1；u_k(t)＝r_k(t)+u_k-1(t),k＞1 (37)。