CN104102144A - 基于遗传算法优化的批次过程的预测函数控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于遗传算法优化的批次过程的预测函数控制方法。本发明通过结合过程状态和输出误差建立了批次过程中的扩展状态空间模型，然后通过遗传算法优化过程状态和输出误差的权系数，进而设计了改进后的预测函数控制器，以获得期望的闭环系统响应，从而保证了闭环系统良好的控制性能。本发明可以很好的处理批次过程中执行器故障和未知扰动问题，保证了形式简单并满足实际工业过程的需要。

Description

基于遗传算法优化的批次过程的预测函数控制方法

技术领域

本发明属于自动化技术领域，涉及基于遗传算法优化的批次过程的预测函数控制方法。

背景技术

目前，批次过程技术在生产小批量和高价值产品中引起了广泛的关注并且取得了较大的进展，但是一些批次过程需要系统在很严格的条件下才能进行控制，这样就可能会引起系统故障。在化工过程中如果不对故障进行检测和校正，故障可能引起系统的毁坏或性能降低。目前，容错控制(FTC)为在这种故障情形下保持闭环系统的控制效果提供了很好的解决方法，但是由于批次过程的复杂性和技术支持的不成熟等因素，使得控制效果并不显著。因此，提出一种新的控制方法以解决批次过程控制中模型不匹配和执行器故障等问题并保证系统控制性能是很有必要的。

发明内容

本发明的目的是针对批次过程中可能出现的执行器故障的问题，提供一种基于遗传算法优化的批次过程的预测函数控制方法，以维持控制器的闭环稳定性并保持良好的控制性能。

本发明的技术方案是通过数据采集、模型建立、预测机理、优化等手段，确立了一种基于遗传算法优化的批次过程的预测函数控制方法，利用该方法可有效提高系统在未知扰动和执行器故障情况下的控制性能。

本发明方法的步骤包括：

步骤(1).建立批次过程中被控对象的扩展状态空间模型，具体方法是：

a.通过采集批次过程的输入输出数据，利用该数据建立该批次过程的状态模型，形式如下：

$\left\{\begin{array}{c}x(k+1)=\stackrel{\‾}{A}x\left(k\right)+\stackrel{\‾}{B}u(k-d)\\ y\left(k\right)=\stackrel{\‾}{C}x\left(k\right)+w\left(k\right)\end{array}\right.$

其中，x(k)∈Rⁿ，y(k)∈R，u(k)∈R为k时刻批次过程的状态、输出、输入，d为批次过程的时滞，w(k)∈R为测量噪声，分别为系统矩阵。

b.将步骤a中的模型进一步处理成如下形式：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}(k+1)=\stackrel{\‾}{A}\mathrm{\Δx}\left(k\right)+\stackrel{\‾}{B}\mathrm{\Δu}(k-d)\\ \mathrm{\Δy}\left(k\right)=\stackrel{\‾}{C}\mathrm{\Δx}\left(k\right)\end{array}\right.$

选取如下所示的状态变量：

Δx_m(k)＝[Δx(k) Δu(k-1) Δu(k-2)…Δu(k-d)]^T

从而得到批次过程的状态空间模型如下：

Δx_m(k+1)＝A_mΔx_m(k)+B_mΔu(k)

Δy(k)＝C_mΔx_m(k)

其中，

B_m＝[0 1 0 … 0]^T

$C_m=\left[\begin{array}{ccccc}\stackrel{\‾}{C}& 0& 0& \·\·\·& 0\end{array}\right]$

Δ是差分算子，Τ为矩阵的转置符号，和0均为适当维数的零向量。

c.将步骤b中得到的状态空间模型转换成包含状态变量和输出跟踪误差的扩展状态空间模型，形式如下：

z(k+1)＝Az(k)+BΔu(k)+CΔr(k+1)

其中，

$A=\left[\begin{array}{cc}{A}_m& 0\\ C_m{A}_m& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}{B}_m\\ C_m{B}_m\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]$

$z\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δx}}_m\left(k\right)\\ e\left(k\right)\end{array}\right]$

e(k)＝y(k)-r(k)

y(k)、r(k)分别为k时刻的实际输出值和跟踪设定值，e(k)为k时刻的输出误差。

步骤(2).设计被控对象的预测函数控制器，具体方法是：

a.首先将作用于被控对象的控制量线性表示为：

u(k+i)＝T_iΥ

其中，

T_i＝[f₁(i),f₂(i),…,f_N(i)],(i＝0,1,…,P-1)

Υ＝[μ₁,μ₂,…,μ_N]^T

μ₁,μ₂,…,μ_N是一组线性组合系数，f₁(i),f₂(i),…,f_N(i)是与线性组合系数对应的基函数在k+i时刻的值，N是基函数的个数，P是预测时域。

b.选取批次过程的目标函数J，形式如下：

J＝Z^TQZ

Q＝blockdiag{Q₁,Q₂,…,Q_P}

Z＝Fz(k)-Gu(k-1)+ΦΥ+SΔR

其中，

$\mathrm{\Φ}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{BT}}_0\\ (\mathrm{AB}-B)T_0+{\mathrm{BT}}_1\\ (A^{2}B-\mathrm{AB})T_0+(\mathrm{AB}-B)T_1+{\mathrm{BT}}_2\\ \·\\ \·\\ \·\\ \underset{k=1}{\overset{P-1}{\mathrm{\Σ}}}(A^{k}B-A^{k-1}B)T_{P-1-k}+{\mathrm{BT}}_{P-1}\end{array}\right]$

$Z=\left[\begin{array}{c}z(k+1)\\ z(k+2)\\ \·\\ \·\\ \·\\ z(k+P)\end{array}\right],\mathrm{\ΔR}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δr}(k+1)\\ \mathrm{\Δr}(k+2)\\ \·\\ \·\\ \·\\ \mathrm{\Δr}(k+P)\end{array}\right]$

Q_j＝diag{q_jx1,q_jx2,…,q_jxn,q_ju1,q_ju2,…,q_jud,q_je},1≤j≤P，

Q、R分别为过程状态和输入的权矩阵，Q为对称矩阵,q_jx1,…,q_jxn为过程状态的权重系数,q_ju1,…,q_jud为过程输入的权重系数,q_je为输出误差的权重系数

c.依据步骤b中的目标函数求解控制量，形式如下：

首先结合扩展状态空间模型和目标函数，得到线性组合系数向量，形式如下：

Υ＝-(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fz(k)-Gu(k-1)+SΔR)

进一步得到：

μ₁＝-(1,0,…,0)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fz(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h₁z(k)+h_u1u(k-1)-m₁ΔR

μ₂＝-(0,1,…,0)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fz(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h₂z(k)+h_u2u(k-1)-m₂ΔR

·

·

·

μ_N＝-(0,0,…,1)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fz(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h_Nz(k)+h_uNu(k-1)-m_NΔR

结合上述式子，可以求得控制量u(k)为：

$u\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_j{f}_j\left(0\right)=-\mathrm{Hz}\left(k\right)+H_{u}u(k-1)-\mathrm{M\ΔR}$

其中，

$H=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)h_j$

$H_u=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)h_{\mathrm{uj}}$

$M=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)m_j$

步骤(3).基于遗传算法优化预测函数控制器的参数，具体方法是：

a.首先对每个权重系数q_jx1,q_jx2,…,q_jxn进行二进制编码并将其组成长的二进制字符串，形式如下：

q_jxi＝max(q_jxi)*b/2¹⁰(i＝1,2,…,n)

其中，max表示求最大值，b表示十位的二进制数。

b.选取步骤a中得到的字符串的适应度函数f(t)，形式如下：

f(t)＝1/[c+ο(t)+tr(t)]

其中，ο(t)是个体的超调量，tr(t)是个体的上升时间，c是常数。

c.进行选择、交叉、变异操作

利用转轮选择方法确定选择算子，形式如下：

$P\left(c_l\right)=\frac{f\left(c_l\right)}{\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}f\left(c_l\right)}$

其中，P(c_l)是个体的选择概率，f(c_l)是个体c_l的适应值，M是种群数。

利用选择算子将父代染色体中适应度较高的个体选择出来产生子代染色体，然后以交叉概率p_c随机选择子代染色体中一部分进行交叉操作并将交叉后染色体个体c′_u添加到新种群中；以变异概率p_m随机选择子代染色体中另一部分进行变异操作并将变异后染色体个体c′_v添加到新种群中，子代染色体中的剩余部分直接复制到新种群中，从而形成新种群。

d.依据运行收敛情况判断是否达到最大的适应度，选出适应度最高的染色体个数所对应的权重系数作为最优解，否则，依据步骤c继续求解，依此循环。

步骤(4).将步骤(3)优化后的权重系数带入步骤(2)中求解出的控制量，得到遗传算法优化后的控制量u(k)并作用于被控对象，在下一时刻，依据(2)到(3)中的步骤继续求解新的控制量u(k+1)，并依次循环。

本发明提出了一种基于遗传算法优化的批次过程的预测函数控制方法。该方法建立了批次过程中的扩展状态空间模型，然后通过遗传算法优化过程状态和输出误差的权系数，进而设计了改进后的预测函数控制器，以获得期望的闭环系统响应，从而保证了闭环系统良好的控制性能。该方法提高了传统控制方法的性能并保证了系统在未知扰动和执行器故障情况下仍具有良好的控制效果。

具体实施方式

以注塑过程的注射速度控制为例。

注塑过程中的注射速度控制是一个典型的批次过程，调节手段是控制比例阀的阀门开度。

步骤(1).建立注射速度的扩展状态空间模型，具体方法是：

a.通过采集注射过程的输入输出数据，利用该数据建立注射过程的状态模型，形式如下：

$\left\{\begin{array}{c}x(k+1)=\stackrel{\‾}{A}x\left(k\right)+\stackrel{\‾}{B}u(k-d)\\ y\left(k\right)=\stackrel{\‾}{C}x\left(k\right)+w\left(k\right)\end{array}\right.$

其中，x(k)∈Rⁿ，y(k)∈R，u(k)∈R为k时刻注射过程的状态、注射速度、阀门开度，d为注射过程的时滞，w(k)∈R为测量噪声，分别为系统矩阵。

b.将步骤a中的模型进一步处理成如下形式：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}(k+1)=\stackrel{\‾}{A}\mathrm{\Δx}\left(k\right)+\stackrel{\‾}{B}\mathrm{\Δu}(k-d)\\ \mathrm{\Δy}\left(k\right)=\stackrel{\‾}{C}\mathrm{\Δx}\left(k\right)\end{array}\right.$

选取如下所示的状态变量：

Δx_m(k)＝[Δx(k) Δu(k-1) Δu(k-2)…Δu(k-d)]^T

从而得到注射过程的状态空间模型如下：

Δx_m(k+1)＝A_mΔx_m(k)+B_mΔu(k)

Δy(k)＝C_mΔx_m(k)

其中，

B_m＝[0 1 0 … 0]^T

$C_m=\left[\begin{array}{ccccc}\stackrel{\‾}{C}& 0& 0& \·\·\·& 0\end{array}\right]$

Δ是差分算子，Τ为矩阵的转置符号，和0均为适当维数的零向量。

c.将步骤b中得到的状态空间模型转换成包含状态变量和输出跟踪误差的扩展状态空间模型，形式如下：

z(k+1)＝Az(k)+BΔu(k)+CΔr(k+1)

其中，

$A=\left[\begin{array}{cc}{A}_m& 0\\ C_m{A}_m& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}{B}_m\\ C_m{B}_m\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]$

$z\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δx}}_m\left(k\right)\\ e\left(k\right)\end{array}\right]$

e(k)＝y(k)-r(k)

y(k)、r(k)分别为k时刻速度的实际输出值和跟踪设定值，e(k)为k时刻速度的输出误差。

步骤(2).设计注射速度的预测函数控制器，具体方法是：

a.首先将控制阀门开度的控制量线性表示为：

u(k+i)＝T_iΥ

其中，

T_i＝[f₁(i),f₂(i),…,f_N(i)],(i＝0,1,…,P-1)

Υ＝[μ₁,μ₂,…,μ_N]^T

μ₁,μ₂,…,μ_N是一组线性组合系数，f₁(i),f₂(i),…,f_N(i)是与线性组合系数对应的基函数在k+i时刻的值，N是基函数的个数，P是预测时域。

b.选取注射过程的目标函数J，形式如下：

J＝Z^TQZ

Q＝blockdiag{Q₁,Q₂,…,Q_P}

Z＝Fz(k)-Gu(k-1)+ΦΥ+SΔR

其中，

$\mathrm{\Φ}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{BT}}_0\\ (\mathrm{AB}-B)T_0+{\mathrm{BT}}_1\\ (A^{2}B-\mathrm{AB})T_0+(\mathrm{AB}-B)T_1+{\mathrm{BT}}_2\\ \·\\ \·\\ \·\\ \underset{k=1}{\overset{P-1}{\mathrm{\Σ}}}(A^{k}B-A^{k-1}B)T_{P-1-k}+{\mathrm{BT}}_{P-1}\end{array}\right]$

$Z=\left[\begin{array}{c}z(k+1)\\ z(k+2)\\ \·\\ \·\\ \·\\ z(k+P)\end{array}\right],\mathrm{\ΔR}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δr}(k+1)\\ \mathrm{\Δr}(k+2)\\ \·\\ \·\\ \·\\ \mathrm{\Δr}(k+P)\end{array}\right]$

Q_j＝diag{q_jx1,q_jx2,…,q_jxn,q_ju1,q_ju2,…,q_jud,q_je},1≤j≤P，

Q、R分别为过程状态和输入的权矩阵，Q为对称矩阵,q_jx1,…,q_jxn为过程状态的权重系数,q_ju1,…,q_jud为过程输入的权重系数,q_je为输出误差的权重系数

c.依据步骤b中的目标函数求解控制量u(k)，形式如下：

首先结合扩展状态空间模型和目标函数，得到线性组合系数向量，形式如下：

Υ＝-(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fz(k)-Gu(k-1)+SΔR)

进一步得到：

μ₁＝-(1,0,…,0)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fz(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h₁z(k)+h_u1u(k-1)-m₁ΔR

μ₂＝-(0,1,…,0)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fz(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h₂z(k)+h_u2u(k-1)-m₂ΔR

·

·

·

μ_N＝-(0,0,…,1)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fz(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h_Nz(k)+h_uNu(k-1)-m_NΔR

结合上述式子，可以求得控制量u(k)为：

$u\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_j{f}_j\left(0\right)=-\mathrm{Hz}\left(k\right)+H_{u}u(k-1)-\mathrm{M\ΔR}$

其中，

$H=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)h_j$

$H_u=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)h_{\mathrm{uj}}$

$M=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)m_j$

步骤(3).基于遗传算法优化预测函数控制器的参数，具体方法是：

a.首先对每个权重系数q_jx1,q_jx2,…,q_jxn进行二进制编码并将其组成长的二进制字符串，形式如下：

q_jxi＝max(q_jxi)*b/2¹⁰(i＝1,2,…,n)

其中，max表示求最大值，b表示十位的二进制数。

b.选取步骤a中得到的字符串的适应度函数f(t)，形式如下：

f(t)＝1/[c+ο(t)+tr(t)]

其中，ο(t)是个体的超调量，tr(t)是个体的上升时间，c是常数。

c.进行选择、交叉、变异操作

利用转轮选择方法确定选择算子，形式如下：

$P\left(c_l\right)=\frac{f\left(c_l\right)}{\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}f\left(c_l\right)}$

其中，P(c_l)是个体的选择概率，f(c_l)是个体c_l的适应值，M是种群数。

利用选择算子将父代染色体中适应度较高的个体选择出来产生子代染色体，然后以交叉概率p_c随机选择子代染色体中一部分进行交叉操作并将交叉后染色体个体c′_u添加到新种群中；以变异概率p_m随机选择子代染色体中另一部分进行变异操作并将变异后染色体个体c′_v添加到新种群中，子代染色体中的剩余部分直接复制到新种群中，从而形成新种群。

d.依据运行收敛情况判断是否达到最大的适应度，选出适应度最高的染色体个数所对应的权重系数作为最优解，否则，依据步骤c继续求解，依此循环。

步骤(4).将步骤(3)优化后的权重系数带入步骤(2)中求解出的控制量，得到遗传算法优化后的控制量u(k)并作用于注塑机，在下一时刻，依据(2)到(3)中的步骤继续求解新的控制量u(k+1)，并依次循环。

Claims (1)

1.基于遗传算法优化的批次过程的预测函数控制方法，其特征在于该方法的具体步骤是：

步骤(1).建立批次过程中被控对象的扩展状态空间模型，具体是：

a.通过采集批次过程的输入输出数据，利用该数据建立该批次过程的状态模型，形式如下：

$\left\{\begin{array}{c}x(k+1)=\stackrel{\‾}{A}x\left(k\right)+\stackrel{\‾}{B}u(k-d)\\ y\left(k\right)=\stackrel{\‾}{C}x\left(k\right)+w\left(k\right)\end{array}\right.$

其中，x(k)∈Rⁿ，y(k)∈R，u(k)∈R为k时刻批次过程的状态、输出、输入，d为批次过程的时滞，w(k)∈R为测量噪声，分别为系统矩阵；

b.将步骤a中的模型进一步处理成如下形式：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\Δx}(k+1)=\stackrel{\‾}{A}\mathrm{\Δx}\left(k\right)+\stackrel{\‾}{B}\mathrm{\Δu}(k-d)\\ \mathrm{\Δy}\left(k\right)=\stackrel{\‾}{C}\mathrm{\Δx}\left(k\right)\end{array}\right.$

选取如下所示的状态变量：

Δx_m(k)＝[Δx(k) Δu(k-1) Δu(k-2)…Δu(k-d)]^T

从而得到批次过程的状态空间模型如下：

Δx_m(k+1)＝A_mΔx_m(k)+B_mΔu(k)

Δy(k)＝C_mΔx_m(k)

其中，

B_m＝[0 1 0 … 0]^T

$C_m=\left[\begin{array}{ccccc}\stackrel{\‾}{C}& 0& 0& \·\·\·& 0\end{array}\right]$

Δ是差分算子，Τ为矩阵的转置符号， 0均为适当维数的零向量；

c.将步骤b中得到的状态空间模型转换成包含状态变量和输出跟踪误差的扩展状态空间模型，形式如下：

z(k+1)＝Az(k)+BΔu(k)+CΔr(k+1)

其中，

$A=\left[\begin{array}{cc}{A}_m& 0\\ C_m{A}_m& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}{B}_m\\ C_m{B}_m\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{c}0\\ -1\end{array}\right]$

$z\left(k\right)=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\Δx}}_m\left(k\right)\\ e\left(k\right)\end{array}\right]$

e(k)＝y(k)-r(k)

y(k)、r(k)分别为k时刻的实际输出值和跟踪设定值，e(k)为k时刻的输出误差；

步骤(2).设计被控对象的预测函数控制器，具体是：

a.将作用于被控对象的控制量线性表示为：

u(k+i)＝T_iΥ

其中，

T_i＝[f₁(i),f₂(i),…,f_N(i)],(i＝0,1,…,P-1)

Υ＝[μ₁,μ₂,…,μ_N]^T

μ₁,μ₂,…,μ_N是一组线性组合系数，f₁(i),f₂(i),…,f_N(i)是与线性组合系数对应的基函数在k+i时刻的值，N是基函数的个数，P是预测时域；

b.选取批次过程的目标函数J，形式如下：

J＝Z^TQZ

Q＝blockdiag{Q₁,Q₂,…,Q_P}

Z＝Fz(k)-Gu(k-1)+ΦΥ+SΔR

其中，

$\mathrm{\Φ}=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{BT}}_0\\ (\mathrm{AB}-B)T_0+{\mathrm{BT}}_1\\ (A^{2}B-\mathrm{AB})T_0+(\mathrm{AB}-B)T_1+{\mathrm{BT}}_2\\ \·\\ \·\\ \·\\ \underset{k=1}{\overset{P-1}{\mathrm{\Σ}}}(A^{k}B-A^{k-1}B)T_{P-1-k}+{\mathrm{BT}}_{P-1}\end{array}\right]$

$Z=\left[\begin{array}{c}z(k+1)\\ z(k+2)\\ \·\\ \·\\ \·\\ z(k+P)\end{array}\right],\mathrm{\ΔR}=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\Δr}(k+1)\\ \mathrm{\Δr}(k+2)\\ \·\\ \·\\ \·\\ \mathrm{\Δr}(k+P)\end{array}\right]$

Q_j＝diag{q_jx1,q_jx2,…,q_jxn,q_ju1,q_ju2,…,q_jud,q_je},1≤j≤P，

Q、R分别为过程状态和输入的权矩阵，Q为对称矩阵,q_jx1,…,q_jxn为过程状态的权重系数,q_ju1,…,q_jud为过程输入的权重系数,q_je为输出误差的权重系数

c.依据步骤b中的目标函数求解控制量，形式如下：

首先结合扩展状态空间模型和目标函数，得到线性组合系数向量，形式如下：

Υ＝-(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fz(k)-Gu(k-1)+SΔR)

进一步得到：

μ₁＝-(1,0,…,0)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fz(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h₁z(k)+h_u1u(k-1)-m₁ΔR

μ₂＝-(0,1,…,0)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fz(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h₂z(k)+h_u2u(k-1)-m₂ΔR

·

·

·

μ_N＝-(0,0,…,1)(Φ^TQΦ)^-1Φ^TQ(Fz(k)-Gu(k-1)+SΔR)

＝-h_Nz(k)+h_uNu(k-1)-m_NΔR

结合上述式子，可以求得控制量u(k)为：

$u\left(k\right)=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\μ}}_j{f}_j\left(0\right)=-\mathrm{Hz}\left(k\right)+H_{u}u(k-1)-\mathrm{M\ΔR}$

其中，

$H=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)h_j$

$H_u=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)h_{\mathrm{uj}}$

$M=\underset{j=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{f}_j\left(0\right)m_j$

步骤(3).基于遗传算法优化预测函数控制器的参数，具体是：

a.首先对每个权重系数q_jx1,q_jx2,…,q_jxn进行二进制编码并将其组成长的二进制字符串，形式如下：

q_jxi＝max(q_jxi)*b/2¹⁰(i＝1,2,…,n)

其中，max表示求最大值，b表示十位的二进制数；

b.选取步骤a中得到的字符串的适应度函数f(t)，形式如下：

f(t)＝1/[c+ο(t)+tr(t)]

其中，ο(t)是个体的超调量，tr(t)是个体的上升时间，c是常数；

c.进行选择、交叉、变异操作

利用转轮选择方法确定选择算子，形式如下：

$P\left(c_l\right)=\frac{f\left(c_l\right)}{\underset{l=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}f\left(c_l\right)}$

其中，P(c_l)是个体的选择概率，f(c_l)是个体c_l的适应值，M是种群数；

利用选择算子将父代染色体中适应度较高的个体选择出来产生子代染色体，然后以交叉概率p_c随机选择子代染色体中一部分进行交叉操作并将交叉后染色体个体c′_u添加到新种群中；以变异概率p_m随机选择子代染色体中另一部分进行变异操作并将变异后染色体个体c′_v添加到新种群中，子代染色体中的剩余部分直接复制到新种群中，从而形成新种群；

d.依据运行收敛情况判断是否达到最大的适应度，选出适应度最高的染色体个数所对应的权重系数作为最优解，否则，依据步骤c继续求解，依此循环；

步骤(4).将步骤(3)优化后的权重系数带入步骤(2)中求解出的控制量，得到遗传算法优化后的控制量u(k)并作用于被控对象，在下一时刻，依据(2)到(3)中的步骤继续求解新的控制量u(k+1)，并依次循环。