CN103530880A - 基于投影高斯网格图案的摄像机标定方法 - Google Patents

Abstract

本发明基于投影高斯网格图案的摄像机标定方法属于图像处理和计算机视觉检测领域，特别涉及大型锻件尺寸测量系统中摄像机内、外参数的现场标定方法。摄像机标定方法利用高斯网格图案中横、纵光条在宽度方向上的灰度呈高斯分布的特性，通过拟合高斯曲线可以高精度地获取光条中心线上的点的图像坐标，进而拟合出横、纵光条的中心线方程，横、纵光条中心线的交点即为标定特征点，依据拍摄得到的高斯网格图案的图像中提供的标定特征点的图像坐标，分步获取摄像机的内、外参数。本发明具有高的实时性、鲁棒性及较高的标定精度，分步标定可以获取高精度的摄像机参数，避免将所有摄像机参数同时求解时的耦合性问题，适用于锻造现场对摄像机进行在线标定。

Description

基于投影高斯网格图案的摄像机标定方法

技术领域

本发明属于图像处理和计算机视觉检测领域，特别涉及大型锻件尺寸测量系统中摄像机内、外参数的现场标定方法。

背景技术

计算机视觉处理的基本任务之一是根据二维图像信息恢复物体的三维几何信息。要实现利用图像点求取相应的空间物体表面点的任务，需要确定摄像机成像几何模型，该几何模型的参数称为摄像机参数。摄像机参数分为内、外参数，内参数为摄像机自身的与几何和光学特性有关的参数，外参数为摄像机相对于某一世界坐标系的三维位置和方向。确定摄像机内、外参数的过程称为摄像机标定，标定方法的精度直接影响到计算机视觉测量的精度。因此，对摄像机进行快速、简捷、精准标定的研究无疑具有重大的意义。

传统的摄像机标定方法按照标定参照物的不同可以分为基于3D立体靶标标定方法，基于2D平面靶标标定方法（以张正友提出的棋盘格靶标标定方法为代表）和基于1D靶标的标定方法。这些传统的标定方法均需要标定参照物，而对于大视场摄像机的标定，标定参照物的特征点能否均匀布满于整个视场，直接影响着标定的精度。一方面，制作高精度的大尺寸标定靶标造价昂贵、维护困难。另一方面，对于不适用于在线与不可能使用标定参照物的场合也不适用。在锻件锻造车间高温环境下，标定块、标定板与粘贴靶点的方法均不能应用。因此，传统摄像机标定方法不能满足大型锻件在线尺寸参数测量的要求。另外，自标定方法虽然不利用任何标定物，仅利用摄像机内参数自身存在的约束，根据图像间图像点的对应关系就能估计出摄像机内参数。该类方法操作上较为灵活，但是精度不太高，鲁棒性不足。

通过采用投影仪投射靶标可以解决上述问题，投影的特征图案理论上边缘应为阶跃变化，但是实际上由于扩散效应，图案边缘呈渐变趋势，边缘会向黑色背景一侧偏移。以投影仪投射圆形特征光斑阵列为例，圆形光斑的中心即为用于标定的特征点，由于每个光斑会向周围产生不同程度的扩散，因此很难根据二值化后的图像采用形心法获取圆斑的精确中心，利用相关算法进行圆形特征边界提取并进行圆形（或椭圆形）拟合获得高精度的圆斑中心也并非易事。同理，利用投影仪投影一般的光条组合图案，提取光条的中心作为特征线，精度也难以保证。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是克服现有技术的不足，针对在锻造现场，传统的标定方法存在精度低、非实时，甚至不能应用以及自标定方法存在精度不太高，鲁棒性不足等问题，发明一种基于投影高斯网格图案的大视场摄像机标定方法，利用高斯网格图案中横、纵光条在宽度方向上的灰度呈高斯分布的特性，通过拟合高斯曲线可以高精度地获取光条中心线上的点的图像坐标，进而拟合出横、纵光条的中心线方程，横、纵光条中心线的交点即为标定特征点，依据拍摄得到的高斯网格图案的图像中提供的标定特征点的图像坐标，分步获取摄像机的内、外参数。

本发明采取的技术方案是一种基于投影高斯网格图案的摄像机标定方法，其特征在于，利用高斯网格图案中横、纵光条在宽度方向上的灰度呈高斯分布的特性，通过拟合高斯曲线可以高精度地获取光条中心线上的点的图像坐标，进而拟合出横、纵光条的中心线方程，横、纵光条中心线的交点即为标定特征点，依据拍摄得到的高斯网格图案的图像中提供的标定特征点的图像坐标，分步获取摄像机的内、外参数；具体步骤如下：

步骤1：搭建摄像机标定系统。将左侧四维电控平台2a、右侧四维电控平台2b及投影仪3安装在平台1的台面上，将左侧摄像机4a固定在左侧四维电控平台2a上，将右侧摄像机4b固定在右侧四维电控平台2b上。

步骤2：投影高斯网格图案、拍摄并获取交点坐标。通过投影仪3向厂房内光整的平板或墙面5上投影由多条平行的横光条与多条平行的纵光条组成高斯网格图案6，各光条在宽度方向上的灰度均呈高斯分布，其中横、纵光条交点A_i,j为标定特征点，i为横光条的编号，按照从上至下的次序，j为纵光条的编号，按照从左至右的次序。由于横、纵光条交点处光强叠加，对左侧摄像机4a与右侧摄像机4b拍摄得到的图像进行二值化处理后，获得的图像中只剩下网格交点处的亮斑，即一个个孤立的联通区域。利用形心法可以获取联通区域的质心坐标(u0_i,j,v0_i,j)，作为特征点A_i,j的粗略位置。将以该粗略位置为圆心，以Δ个像素为半径的圆形区域作为搜索范围，然后在[u0_i,j-Δ,u0_i,j+Δ]范围内每隔Δ/n沿宽度方向搜索一次横光条，按照高斯分布特性进行拟合，将高斯分布峰值点作为横光条中心线上的点，因此可以得到2n+1个中心线上的点P_i,j,s，下标s为1,2,3,…,2n+1，进而拟合出直线l_h,i,j。同样地，在[v0_i,j-Δ,v0_i,j+Δ]范围内每隔Δ/n沿宽度方向搜索一次纵光条，按照高斯分布特性进行拟合，将高斯分布峰值点作为纵光条中心线上的点，可以得到2n+1个中心线上的点Q_i,j,t，下标t为1,2,3,…,2n+1，进而拟合出直线l_v,i,j。最终，通过求取同一搜索范围内两条相交直线的交点作为标定特征点A_i,j，其坐标为(u_i,j,v_i,j)。

步骤3：获取主点的粗略坐标。利用左侧摄像机4a或右侧摄像机4b在两种不同焦距下拍摄同一个投影的高斯网格图案6，特征点A_i,j的图像坐标分别为(u1_i,j,v1_i,j)和(u2_i,j,v2_i,j)，主点坐标为(u₀,v₀)，则有：

$\frac{{u2}_{i,j}-u_0}{{u1}_{i,j}-u_0}=\frac{{v2}_{i,j}-v_0}{{v1}_{i,j}{-v}_0}---\left(2\right)$

可以利用上式求出主点的粗略位置的坐标(u₀,v₀)。

步骤4：求取畸变系数与优化的主点坐标。根据畸变模型可以推出实际拍摄的交点A_i,j的坐标p_i,j＝(u_i,j,v_i,j,1)^T与理想的交点坐标q_i,j＝(u'_i,j,v'_i,j,1)^T的转换关系如下：

其中，

k₁与k₂为径向畸变系数，p₁与p₂为切向畸变系数。

另外，以横、纵光条数目相同的网格图案为例，交点总数为num，那么每行上有

个交点，根据直线的保线性，即在同一条光条上的点共线的性质，结合三点共线的充要条件可以列出优化目标函数如下：

$\min \underset{i=1}{\overset{\sqrt{\mathrm{num}}}{\mathrm{\Σ}}}\left(\underset{j=\sqrt{\mathrm{num}}(i-1)+1}{\overset{\sqrt{\mathrm{num}}(i-1)+\sqrt{\mathrm{num}}-2}{\mathrm{\Σ}}}\right|q_{i,j+1}^T{\left[q_{i,j}\right]}_{\×}{q}_{i,j+2}\left|\right)---\left(4\right)$

其中，

为三点A_i,j，A_i,j+1，A_i,j+2共线的充要条件。[q_i，j]_×代表q_i,j的反对称矩阵，即：

${\left[q_{i,j}\right]}_{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& {v^{\′}}_{i,j}\\ 1& 0& -{u^{\′}}_{i,j}\\ -{v^{\′}}_{i,j}& {u^{\′}}_{i,j}& 0\end{array}\right]---\left(5\right)$

通过Levenberg-Marquardt非线性优化算法进行优化，使式（4）的目标函数的值最小，可以获取畸变系数k₁、k₂、p₁与p₂以及优化后的主点坐标(u'₀,v'₀)。然后利用式(3)将所有的交点坐标修正为理想的坐标。

步骤5：求取摄像机其余的内部参数。利用修正后的理想交点作为特征点，采用主动视觉方法，利用左侧四维电控平台2a带动左侧摄像机4a作两组正交运动，在每组正交运动的三个始末位置上分别拍摄一张投影的高斯网格图案6的图像，最终左侧摄像机4a拍摄得到6张图像。

平行直线与无穷远平面相交于同一个无穷远点，即隐消点。而一组正交运动含有两次平移，一次平移运动的始末位置上拍摄的两幅图像上对应交点的连线为一组空间平行线，而且两次平移是相互垂直的，因此我们可以获得一组正交的隐消点对e_i1(u_i1,v_i1)和e_i2(u_i2,v_i2)，其中i＝1,2，代表正交运动的次序，并有Oe_i1·Oe_i2＝0，其中O为摄像机的主点。利用两组正交隐消点对，可以通过求解下述方程组分别求解左侧摄像机4a的内参数矩阵K中的尺度因子α_x与α_y：

$\left\{\begin{array}{c}(u_{11}-{u^{\′}}_0)(u_{12}-{u^{\′}}_0)/{\mathrm{\α}}_x^2+(v_{11}-{v^{\′}}_0)(v_{12}-{v^{\′}}_0)/{\mathrm{\α}}_y^2+1=0\\ (u_{21}-{u^{\′}}_0)(u_{22}-{u^{\′}}_0)/{\mathrm{\α}}_x^2+(v_{21}-{v^{\′}}_0)(v_{22}-{v^{\′}}_0)/{\mathrm{\α}}_y^2+1=0\end{array}\right.---\left(6\right)$

同样地，可以获取右侧摄像机4b的内参数矩阵K中的尺度因子α_x与α_y。

步骤6：获取摄像机的外部参数。左侧摄像机4a与右侧摄像机4b拍摄同一投影的高斯网格图案6，将世界坐标系建立在左侧摄像机4a的像机坐标系上，利用左、右摄像机4a、4b拍摄图像修正后的匹配点计算出基本矩阵F。利用已求取的内参数和基本矩阵可在相差一个比例因子s的情况下计算出本质矩阵E。分解本质矩阵E后可在相差一个比例因子的情况下确定外部参数（旋转矩阵R'与平移向量t'）。

利用投影仪3投影平行的高斯光条至实际长度L₀已精确测量的量块上，利用光条的高斯特性拟合出亚像素光条中心线，利用灰度骤变的点作为量块的边界点，根据上述求取的内、外参数重建量块的长度L'₀，可以获得比例因子为：s＝L₀/L'₀。因此，可以得到摄像机实际的外部参数（旋转矩阵R＝R'与平移向量t＝s*t'）。至此，完成了摄像机的标定过程。

本发明的有益效果是采用投影仪投影的高斯网格图案的交点作为标定特征点，避免了标定块、标定板与粘贴标记点的使用，便于实现在锻造现场等复杂环境下进行摄像机的实时标定。根据光条宽度方向上灰度呈高斯分布特性可高精度地确定标定特征点的位置信息，具有高的鲁棒性，分步标定可以获取高精度的摄像机参数，该方法同时可以避免将所有摄像机参数同时求解时的耦合性问题。

附图说明

图1为本发明的标定系统示意图。其中：1-隔震平台，2a-左侧四维电控平台，2b-右侧四维电控平台，3-投影仪，4a-左侧摄像机，4b-右侧摄像机，5-光整的平板或墙面，6-高斯网格图案。

图2为本发明由摄像机拍摄得到的网格图案的图像。

图3为本发明对网格图案的图像进行二值化处理并获取交点的粗略位置。

图4为本发明的高斯光条阵列重建量块尺寸求取比例因子。

具体实施方式

下面结合附图和技术方案进一步详细说明本发明的具体实施方式。

摄像机标定通常采用经典的小孔成像模型，该模型的表达式如下：

其中，(X_w,Y_w,Z_w,1)^T为空间点在世界坐标系中的齐次坐标，(u,v,1)^T为对应的图像像点像素坐标系o₀uv中的齐次坐标，α_x＝f/dx为o₀uv坐标系内u轴上的尺度因子，α_y＝f/dy为o₀uv坐标系内v轴上的尺度因子，f为摄像机镜头焦距，dx与dy分别为像元的横、纵物理尺寸，(u₀,v₀)为主点坐标，ρ_c为比例系数，K为摄像机内部参数矩阵，[R|t]为摄像机的外部参数矩阵，其中，R为旋转矩阵，t为平移向量。

摄像机内部参数包括主点坐标(u₀,v₀)、尺度因子α_x、α_y，径向畸变系数k₁、k₂与切向畸变系数p₁、p₂。摄像机外部参数为摄像机坐标系相对于世界坐标系的方位，包括旋转矩阵R与平移向量t。

步骤1：搭建摄像机标定系统。将左侧四维电控平台2a、右侧四维电控平台2b及投影仪3安装在平台1的台面上，将左侧摄像机4a固定在左侧四维电控平台2a上，将右侧摄像机4b固定在右侧四维电控平台2b上，如图1所示。

步骤2：投影高斯网格图案、拍摄并获取交点坐标。通过投影仪3向厂房内光整的平板或墙面5上投影高斯网格图案6，高斯网格图案6由多条平行的横光条与多条平行的纵光条组成，各光条的灰度在宽度方向上均呈高斯分布，其中横、纵光条交点A_i,j为标定特征点，i为横光条的编号，按照从上至下的次序，j为纵光条的编号，按照从左至右的次序。由左侧摄像机4a或右侧摄像机4b拍摄得到的投射高斯网格图案的图像如图2所示。由于横、纵光条交点处光强叠加，对左侧摄像机4a与右侧摄像机4b拍摄得到的图像进行二值化处理后，获得的图像中只剩下网格交点处的亮斑，即一个个孤立的联通区域，如图3所示。利用形心法可以获取联通区域的质心坐标(u0_i,j,v0_i,j)，作为特征点A_i,j的粗略位置。将以该粗略位置为圆心，以Δ个像素为半径的圆形区域作为搜索范围，然后在[u0_i,j-Δ,u0_i,j+Δ]范围内每隔Δ/n沿宽度方向搜索一次横光条，按照高斯分布特性进行拟合，将高斯分布峰值点作为横光条中心线上的点，因此可以得到2n+1个中心线上的点P_i,j,s，下标s为1,2,3,…,2n+1，进而拟合出直线l_h,i,j。同样地，在[v0_i,j-Δ,v0_i,j+Δ]范围内每隔Δ/n沿宽度方向搜索一次纵光条，按照高斯分布特性进行拟合，将高斯分布峰值点作为纵光条中心线上的点，可以得到2n+1个中心线上的点Q_i,j,t，下标t为1,2,3,…,2n+1，进而拟合出直线l_v,i,j。最终，通过求取同一搜索范围内两条相交直线的交点作为标定特征点A_i,j，其坐标为(u_i,j,v_i,j)。

步骤3：获取主点的粗略坐标。利用变焦距方法求取主点，左侧摄像机4a或右侧摄像机4b在两种不同焦距下拍摄同一个投影高斯网格图案6，特征点A_i,j的图像坐标分别为(u1_i,j,v1_i,j)和(u2_i,j,v2_i,j)，主点坐标为(u₀,v₀)，则有：

$\frac{{u2}_{i,j}-u_0}{{u1}_{i,j}-u_0}=\frac{{v2}_{i,j}-v_0}{{v1}_{i,j}-v_0}---\left(2\right)$

暂且将镜头缩放中心视为主点，可以利用上式求出主点的粗略位置的坐标(u₀,v₀)。

步骤4：求取畸变系数与优化的主点坐标。根据畸变模型可以推出实际拍摄的交点A_i,j的坐标p_i,j＝(u_i,j,v_i,j,1)^T与理想的交点坐标q_i,j＝(u'_i,j,v'_i,j,1)^T的转换关系如下：

其中，k₁与k₂为径向畸变系数，p₁与p₂为切向畸变系数。

另外，以横、纵光条数目相同的网格图案为例，交点总数为num，那么每行上有

个交点，根据直线的保线性，即在同一条光条上的点共线的性质，结合三点共线的充要条件可以列出优化目标函数如下：

$\min \underset{i=1}{\overset{\sqrt{\mathrm{num}}}{\mathrm{\Σ}}}\left(\underset{j=\sqrt{\mathrm{num}}(i-1)+1}{\overset{\sqrt{\mathrm{num}}(i-1)+\sqrt{\mathrm{num}}-2}{\mathrm{\Σ}}}\right|q_{i,j+1}^T{\left[q_{i,j}\right]}_{\×}{q}_{i,j+2}\left|\right)---\left(4\right)$

其中，

为三点A_i,j，A_i,j+1，A_i,j+2共线的充要条件。[q_i，j]_×代表q_i,j的反对称矩阵，即：

${\left[q_{i,j}\right]}_{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& {v^{\′}}_{i,j}\\ 1& 0& -{u^{\′}}_{i,j}\\ -{v^{\′}}_{i,j}& {u^{\′}}_{i,j}& 0\end{array}\right]---\left(5\right)$

通过Levenberg-Marquardt非线性优化算法进行优化，使式（4）的目标函数的值最小，可以获取畸变系数k₁、k₂、p₁与p₂以及优化后的主点坐标(u'₀,v'₀)。然后利用式(3)将所有的交点坐标修正为理想的坐标。

步骤5：求取摄像机其余的内部参数。利用修正后的理想交点作为特征点，采用主动视觉方法，利用左侧四维电控平台2a带动左侧摄像机4a作两组正交运动，在每组正交运动的三个始末位置上分别拍摄一张投影高斯网格图案6的图像，最终左侧摄像机4a拍摄得到6张图像。具体流程如下：（1）调节左侧四维电控平台2a至适当的位置，开始第一组正交运动，在正交运动的三个始末位置上分别拍摄一张投影高斯网格图案6的图像；（2）利用左侧四维电控平台2a使左侧摄像机4a俯视一定角度，开始第二组正交运动，在正交运动的三个始末位置上分别拍摄一张投影高斯网格图案6的图像。

直线上无穷远点的图像称为该直线的隐消点。由于平行直线与无穷远平面相交于同一个无穷远点，即隐消点。一组正交运动含有两次平移，一次平移运动的始末位置上拍摄的两幅图像上对应交点的连线为一组空间平行线，而且两次平移是相互垂直的，因此我们可以获得一组正交的隐消点对e_i1(u_i1,v_i1)和e_i2(u_i2,v_i2)，下标i＝1,2，代表正交运动的次序，并有Oe_i1·Oe_i2＝0，其中O为摄像机的主点。利用两组正交隐消点对，可以通过求解下述方程组分别求解左侧摄像机4a的内参数矩阵K中的尺度因子α_x与α_y：

$\left\{\begin{array}{c}(u_{11}-{u^{\′}}_0)(u_{12}-{u^{\′}}_0)/{\mathrm{\α}}_x^2+(v_{11}-{v^{\′}}_0)(v_{12}-{v^{\′}}_0)/{\mathrm{\α}}_y^2+1=0\\ (u_{21}-{u^{\′}}_0)(u_{22}-{u^{\′}}_0)/{\mathrm{\α}}_x^2+(v_{21}-{v^{\′}}_0)(v_{22}-{v^{\′}}_0)/{\mathrm{\α}}_y^2+1=0\end{array}\right.---\left(6\right)$

同样地，可以获取右侧摄像机4b的内参数矩阵K中的尺度因子α_x与α_y。

步骤6：获取外部参数。左侧摄像机4a与右侧摄像机4b拍摄同一投影高斯网格图案6，将世界坐标系建立在左侧摄像机4a的像机坐标系上，利用左、右摄像机4a、4b拍摄图像修正后的匹配点计算出基本矩阵F。利用内参数和基本矩阵可在相差一个比例因子s的情况下计算出本质矩阵E。分解本质矩阵E后可在相差一个比例因子的情况下确定外部参数（旋转矩阵R'与平移向量t'）。

如图4所示，利用投影仪3投影平行的高斯光条至实际长度L₀已精确测量的量块上，利用光条的高斯特性拟合出亚像素光条中心线，利用灰度骤变的点作为量块的边界点，根据上述求取的内、外参数重建量块的长度L'₀，可以获得比例因子为：s＝L₀/L'₀。因此，可以得到摄像机实际的外部参数（旋转矩阵R＝R'与平移向量t＝s*t'）。至此，完成了摄像机的标定过程。

本发明提出的摄像机标定方法具有良好的实时性、鲁棒性及较高的标定精度，能够用于锻造现场等复杂环境下对大视场摄像机进行在线标定。

Claims (1)

1.一种基于投影高斯网格图案的摄像机标定方法，其特征在于，摄像机标定方法利用高斯网格图案中横、纵光条在宽度方向上的灰度呈高斯分布的特性，通过拟合高斯曲线可以高精度地获取光条中心线上的点的图像坐标，进而拟合出横、纵光条的中心线方程，横、纵光条中心线的交点即为标定特征点，依据拍摄得到的高斯网格图案的图像中提供的标定特征点的图像坐标，分步获取摄像机的内、外参数；具体步骤如下：

步骤1：搭建摄像机标定系统；将左侧四维电控平台（2a）、右侧四维电控平台（2b）及投影仪（3）安装在平台（1）的台面上，将左侧摄像机（4a）固定在左侧四维电控平台（2a）上，将右侧摄像机（4b）固定在右侧四维电控平台（2b）上；

步骤2：投影高斯网格图案、拍摄并获取交点坐标；通过投影仪（3）向厂房内光整的平板或墙面（5）上投影由多条平行的横光条与多条平行的纵光条组成高斯网格图案（6），各光条在宽度方向上的灰度均呈高斯分布，其中横、纵光条交点A_i,j为标定特征点，i为横光条的编号，按照从上至下的次序，j为纵光条的编号，按照从左至右的次序；由于横、纵光条交点处光强叠加，对左侧摄像机（4a）与右侧摄像机（4b）拍摄得到的图像进行二值化处理后，获得的图像中只剩下网格交点处的亮斑，即一个个孤立的联通区域；利用形心法可以获取联通区域的质心坐标(u0_i,j,v0_i,j)，作为特征点A_i,j的粗略位置；将以该粗略位置为圆心，以Δ个像素为半径的圆形区域作为搜索范围，然后在[u0_i,j-Δ,u0_i,j+Δ]范围内每隔Δ/n沿宽度方向搜索一次横光条，按照高斯分布特性进行拟合，将高斯分布峰值点作为横光条中心线上的点，因此可以得到2n+1个中心线上的点P_i,j,s，下标s为1,2,3,…,2n+1，进而拟合出直线l_h,i,j；同样地，在[v0_i,j-Δ,v0_i,j+Δ]范围内每隔Δ/n沿宽度方向搜索一次纵光条，按照高斯分布特性进行拟合，将高斯分布峰值点作为纵光条中心线上的点，可以得到2n+1个中心线上的点Q_i,j,t，下标t为1,2,3,…,2n+1，进而拟合出直线l_v,i,j；最终，通过求取同一搜索范围内两条相交直线的交点作为标定特征点A_i,j，其坐标为(u_i,j,v_i,j)；

步骤3：获取主点的粗略坐标；利用左侧摄像机（4a）或右侧摄像机（4b）在两种不同焦距下拍摄同一个投影的高斯网格图案（6），特征点A_i,j的图像坐标分别为(u1_i,j,v1_i,j)和(u2_i,j,v2_i,j)，主点坐标为(u₀,v₀)，则有：

$\frac{{u2}_{i,j}-u_0}{{u1}_{i,j}-u_0}=\frac{{v2}_{i,j}-v_0}{{v1}_{i,j}-v_0}---\left(2\right)$

可以利用上式求出主点的粗略位置的坐标(u₀,v₀)；

步骤4：求取畸变系数与优化的主点坐标；根据畸变模型可以推出实际拍摄的交点A_i,j的坐标p_i,j＝(u_i,j,v_i,j,1)^T与理想的交点坐标q_i,j＝(u'_i,j,v'_i,j,1)^T的转换关系如下：

其中，

k₁与k₂为径向畸变系数，p₁与p₂为切向畸变系数；

另外，以横、纵光条数目相同的网格图案为例，交点总数为num，那么每行上有个交点，根据直线的保线性，即在同一条光条上的点共线的性质，结合三点共线的充要条件可以列出优化目标函数如下：

$\min \underset{i=1}{\overset{\sqrt{\mathrm{num}}}{\mathrm{\Σ}}}\left(\underset{j=\sqrt{\mathrm{num}}(i-1)+1}{\overset{\sqrt{\mathrm{num}}(i-1)+\sqrt{\mathrm{num}}-2}{\mathrm{\Σ}}}\right|q_{i,j+1}^T{\left[q_{i,j}\right]}_{\×}{q}_{i,j+2}\left|\right)---\left(4\right)$

其中，

为三点A_i,j，A_i,j+1，A_i,j+2共线的充要条件；[q_i，j]_×代表q_i,j的反对称矩阵，即：

${\left[q_{i,j}\right]}_{\×}=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& {v^{\′}}_{i,j}\\ 1& 0& -{u^{\′}}_{i,j}\\ -{v^{\′}}_{i,j}& {u^{\′}}_{i,j}& 0\end{array}\right]---\left(5\right)$

通过Levenberg-Marquardt非线性优化算法进行优化，使式（4）的目标函数的值最小，可以获取畸变系数k₁、k₂、p₁与p₂以及优化后的主点坐标(u'₀,v'₀)；然后利用式(3)将所有的交点坐标修正为理想的坐标；

步骤5：求取摄像机其余的内部参数；利用修正后的理想交点作为特征点，采用主动视觉方法，利用左侧四维电控平台（2a）带动左侧摄像机（4a）作两组正交运动，在每组正交运动的三个始末位置上分别拍摄一张投影的高斯网格图案6的图像，最终左侧摄像机（4a）拍摄得到6张图像；

平行直线与无穷远平面相交于同一个无穷远点，即隐消点；而一组正交运动含有两次平移，一次平移运动的始末位置上拍摄的两幅图像上对应交点的连线为一组空间平行线，而且两次平移是相互垂直的，因此我们可以获得一组正交的隐消点对e_i1(u_i1,v_i1)和e_i2(u_i2,v_i2)，下标i＝1,2，代表正交运动的次序，并有Oe_i1·Oe_i2＝0，其中O＝(u'₀,v'₀)为摄像机的主点；利用两组正交隐消点对，可以通过求解下述方程组分别求解左侧摄像机（4a）的内参数矩阵K中的尺度因子α_x与α_y：

$\left\{\begin{array}{c}(u_{11}-{u^{\′}}_0)(u_{12}-{u^{\′}}_0)/{\mathrm{\α}}_x^2+(v_{11}-{v^{\′}}_0)(v_{12}-{v^{\′}}_0)/{\mathrm{\α}}_y^2+1=0\\ (u_{21}-{u^{\′}}_0)(u_{22}-{u^{\′}}_0)/{\mathrm{\α}}_x^2+(v_{21}-{v^{\′}}_0)(v_{22}-{v^{\′}}_0)/{\mathrm{\α}}_y^2+1=0\end{array}\right.---\left(6\right)$

同样，可以获取右侧摄像机（4b）的内参数矩阵K中的尺度因子α_x与α_y；

步骤6：获取摄像机的外部参数；左侧摄像机（4a）与右侧摄像机（4b）拍摄同一投影的高斯网格图案（6），将世界坐标系建立在左侧摄像机（4a）的像机坐标系上，利用左、右摄像机（4a）与（4b）拍摄图像修正后的匹配点计算出基本矩阵F；利用已求取的内参数和基本矩阵可在相差一个比例因子s的情况下计算出本质矩阵E；分解本质矩阵E后可在相差一个比例因子的情况下确定外部参数（旋转矩阵R'与平移向量t'）；

利用投影仪（3）投影平行的高斯光条至实际长度L₀已精确测量的量块上，利用光条的高斯特性拟合出亚像素光条中心线，利用灰度骤变的点作为量块的边界点，根据上述求取的内、外参数重建量块的长度L'₀，可以获得比例因子为：s＝L₀/L'₀；因此，可以得到摄像机实际的外部参数（旋转矩阵R＝R'与平移向量t＝s*t'）；至此，完成了摄像机的标定过程。

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