CN103487189B - 基于核偏最小二乘的薄壁件铣削力系数识别方法 - Google Patents

Abstract

一种薄壁件铣削力系数识别方法，包括步骤有，步骤一，实验平台的构建，主要涉及铣削力测试系统设计和薄壁结构设计两部分。步骤二，解析铣削力系数的建立，将铣刀铣削刃沿轴线方向离散，以轴向微元为研究对象，将铣削刃参与切削的时间段为研究对象来建立解析铣削力系数公式。步骤三，铣削力系数的重构和预测：本发明采用核偏最小二乘在高维空间对铣削用量及其组合变量与解析铣削力系数进行回归分析，确定相应的核函数、核参数以及核主元个数。该方法能可靠、快速实现铣削力系数的识别，并且具有高的预测能力，对特定铣削用量条件下，薄壁件铣削力的计算，铣削变形、铣削工艺优化、铣削稳定域的建立具有重要的意义。

Description

基于核偏最小二乘的薄壁件铣削力系数识别方法

技术领域

本发明属于薄壁件铣削加工领域，具体涉及一种基于核偏最小二乘方法的薄壁件铣削力系数重构研究。

背景技术

随着材料科学和结构工艺学的发展，薄壁结构在航空、航天及汽车等领域得到广泛应用，薄壁结构件除具有重量轻、节约材料、结构紧凑等优点外，也产生刚度相对较低，在加工过程中易发生颤振、变形等不良现象，因此薄壁结构加工是国际上公认的复杂制造工艺难题之一。铣削是薄壁结构加工中常用的切削方式之一，铣削力作为铣削加工中一个非常重要的物理量，其大小对薄壁结构铣削过程稳定性、工件加工精度、加工质量以及加工变形等具有直接影响。因此，铣削力的精确预测对薄壁结构铣削稳定性、加工变形控制、工艺参数优化等具有重要的意义。

发明内容

本发明的目的在于对薄壁件铣削力系数进行重构，在高维空间建立铣削用量及铣削用量组合量与解析铣削力系数的关系；通过铣削力测试系统对铣削力进行采集，根据本发明方法即可对铣削力系数进行识别。

本发明给出的技术方案为：

一种薄壁件铣削力系数识别方法，其特征在于，包括步骤有，

步骤一，实验平台的构建。

主要涉及铣削力测试系统设计和薄壁结构设计两部分，其中铣削力测试系统主要由两刃螺旋平底立铣刀1、薄壁工件2、Kistler三向铣削力测力仪3、高阻抗数据传输线4、电荷放大器5、数据采集卡6和计算机7组成，所述计算机7为对信号进行存储、预处理与数据分析。铣刀1对薄壁工件2进行侧面立式铣削，Kistler测力仪3将刀具与工件间的作用力转变成电荷信号，信号经高阻抗数据传输线4送达电荷放大器5，电荷放大器5将电荷信号转换为电压信号，数据采集卡6对电压信号进行采集，并将数据保存到计算机7中。所述Kistler测力仪3为通过压电效应将铣削时产生的铣削力转换为电荷信号。所述高阻抗数据传输线4为将电荷信号进行传输，Kistler测力仪3获得的电荷量较小，且容易泄露，高阻抗数据传输线能将小电荷量电荷进行安全传输。所述电荷放大器5为对电荷进行放大并转换成电压信号，测力仪输出的电荷信号较微弱，为便于采集，需要电荷放大器5对电荷进行放大并转换为电压信号。所述数据采集卡6为将放大的电信号进行采集量化。所述计算机包括存储模块和数据分析模块。数据采集卡6采集的信号分别通过计算机的数据分析模块对信号进行处理和分析，从而输出铣削力系数的重构和预测结果。薄壁工件2主要有定位孔9、安装底座10以及悬臂结构11构成。所述定位孔9为将工件定位在Kistler测力仪3上表面，确定薄壁工件的正确位置。所述安装底座10为将工件固定在工作台上，并对其进行夹紧。所述悬臂结构11为铣削加工部位，铣削此部位获得铣削力。

步骤二，解析铣削力系数的建立。

将铣刀铣削刃沿轴线方向离散，以轴向微元为研究对象，将铣削刃参与切削的时间段为研究对象来建立解析铣削力系数公式，为Kt和Kr：

其中，p是铣削刃参与切削时刀具转过的角度；r是刀具半径；是每齿参与铣削的切削力，通过切削实验可获得。

步骤三，铣削力系数的重构和预测。

首先，设自变量样本为x，采用高斯径向基核函数构建铣削力系数公式：

(1)数据标准化处理

对样本数据进行标准化处理，如式(12)

$X_{\mathrm{biao}}=\frac{X-{\mathrm{\μ}}_X}{{\mathrm{\σ}}_X},Y_{\mathrm{biao}}=\frac{Y-{\mathrm{\μ}}_Y}{{\mathrm{\σ}}_Y}---\left(12\right)$

(2)计算核矩阵及其标准化

选择高斯核函数对步骤(1)标准化数据按式(10)进行计算，并对计算的核矩阵按式(13)进行标准化。

$\begin{array}{c}{K}_0^{\mathrm{\φ}}=K_0-\frac{1}{n}{K}_0{1}_n{1}_n^T-\frac{1}{n}{1}_n{1}_n^T{K}_0+\frac{1}{n^2}{1}_n{1}_n^T{K}_0{1}_n{1}_n^T\\ =(I_n-\left(\frac{1}{n}\right)1_n{1}_n^T)K_0(I_n-\left(\frac{1}{n}\right)1_n{1}_n^T)\end{array}---\left(13\right)$

式中1_n＝[1...1]^T，为经过标准化后的核矩阵。同时以因变量数据矩阵中的任意列作为u^(k)的初始值。

(3)计算高维空间的得分向量

设i＝1,2,...,a为得分向量的序数，k为迭代步数，初始时刻k＝1，将F₀＝Y和b_i表示为u^(k)、t^(k)、w^(k)、c^(k)和b，另F₀＝Y，高维空间的得分向量表示为：

$t^{\left(k\right)}=K_{i-1}^{\mathrm{\φ}}{u}^{\left(k\right)}/\left[{\left(u^{\left(k\right)}\right)}^T{u}^{\left(k\right)}\right]---\left(14\right)$

并对其单位化得：

t^(k)＝t^(k)/||t^(k)||

(4)计算Y的权值向量c

并归一化权值向量c^T＝c^T/||c^T||,c^Tc＝1。

(5)计算Y的得分向量

u^(k)＝F_i-1c^(k)/[(c^(k))^Tc^(k)]  (16)

对其单位化：u^(k)＝u^(k)/||u^(k)||

重复(3)-(5)步骤，直到收敛

(6)计算特征空间和因变量空间的残差空间

$K_i^{\mathrm{\φ}}=(I_n-t_i{t}_i^T)K_{i-1}^{\mathrm{\φ}}(I_n-t_i{t}_i^T)---\left(17\right)$

$F_i=F_{i-1}-t_i{t}_i^T{F}_{i-1}---\left(18\right)$

(7)重复以上步骤，直到获得所需的得分变量数。

(8)计算高维空间的回归系数

$B=U{\left(T^T{K}_0^{\mathrm{\φ}}U\right)}^{-1}{T}^T{Y}_{\mathrm{biao}}---\left(19\right)$

(9)训练数据的拟合值：

$Y_{\mathrm{ni}}=K_0^{\mathrm{\φ}}U{\left(T^T{K}_0^{\mathrm{\φ}}U\right)}^{-1}{T}^T{Y}_{\mathrm{biao}}---\left(20\right)$

测试样本预测值为：

$Y_t=K_t^{\mathrm{\φ}}U{\left(T^T{K}_0^{\mathrm{\φ}}U\right)}^{-1}{T}^T{Y}_{\mathrm{biao}}---\left(21\right)$

其中， $K_t^{\mathrm{\φ}}=(K_t-\left(\frac{1}{n}\right)1_{\mathrm{nt}}{1}_n^T{K}_0^{\mathrm{\φ}})(I_n-\left(\frac{1}{n}\right)1_n{1}_n^T)$

K_t中的元素K_t,jl＝K(x_j,x_l)，为样本数据，为预测数据。

(10)数据还原

Y_train＝Y_niσ_X+μ_X  (22)

Y_test＝Y_tσ_Y+μ_Y  (23)

以上通过核偏最小二乘对测试样本进行预测，获得铣削力系数为K_t1，K_r1，根据此铣削力系数建立的铣削力，该方法能准确对铣削力系数进行重构与预测，实现铣削力系数的识别。

本发明技术方案，通过正交实验获得不同铣削用量参数时的薄壁件解析铣削力系数，根据核分析方法强的非线性分析能力，将铣削用量组合变量在高维空间进行映射，对铣削用量组合变量间进行线性相关处理，在高维空间构建其余解析铣削力系数的重构公式。本发明建立铣削用量及其组合变量与解析铣削力系数的重构公式，通过该公式可方便获得某铣削用量条件下解析铣削力系数的值，消除了通过力学模型获得解析铣削力系数的繁琐过程。铣削用量组合变量间、铣削用量与铣削用量组合变量间存在交叉项和平方项等非线性关系，本发明根据核分析方法中核偏最小二乘方法较强的非线性分析能力，提出基于核偏最小二乘回归方法的薄壁件铣削力系数识别方法。本发明可快速、准确获得铣削力系数，并且具有强的预测能力，对金属切削加工中铣削力预测估计、铣削稳定域的建立具有重要的实际意义。

在铣削力计算中，铣削力系数的精度对铣削力预测结果具有巨大影响，因此铣削力系数被认为是铣削力计算中最重要的参数之一。本发明通过对铣削用量及铣削用量组合量对铣削力系数进行重构，本发明根据核分析方法较强的非线性分析能力，提出核偏最小二乘回归方法在高维空间采用铣削用量及铣削用量组合量对铣削力系数进行重构，该方法能可靠、快速实现铣削力系数的识别，并且具有高的预测能力，对特定铣削用量条件下，薄壁件铣削力的计算，铣削变形、铣削工艺优化、铣削稳定域的建立具有重要的意义。

附图说明

图1为铣削力测试系统及薄壁工件结构图。

图2为两齿螺旋铣刀铣削过程示意图。

图3为铣削区各参数示意图。

图4为铣削力信号图。其中：a为第一个刀齿切削区，b为刀齿间无切削区，c为第二个刀齿切削区。

图5核主元个数误差平方关系图。

图6测试样本仿真与实测铣削力。

具体实施方式

下面结合实施例和合附图对本发明技术方案作进一步说明。

实施例1(理论依据)

本发明内容主要由以下两个方面：

一、实验平台的构建。

实验平台主要由铣削力测试和薄壁结构设计两部分组成，采集数据，供后续数据挖掘处理。

二、解析铣削力系数的建立。由于铣刀螺旋角的存在，同一铣削刃不同位置参与切削的顺序不同，导致轴线铣削深度、径向铣削深度随铣刀旋转角变化，本发明将铣刀铣削刃沿轴线方向离散，以轴向微元为研究对象，同时为避免刀具刀齿间的干扰，将铣削刃参与切削的时间段为研究对象来建立解析铣削力系数公式。

通过薄壁件铣削过程构建解析形式的铣削力系数，下面对其进行介绍：

图2所示为两齿螺旋铣刀铣削过程示意图，从图中可看出，径向铣削厚度hm和轴线切深随刀具旋转角θp变化，目前，主要采用微分离散形式对其进行研究。

沿铣刀轴线进行离散化，作用在高度为dz的微元上的切向力(dF_t,j)、径向力(dF_r,j)可表示为：

由于薄壁件径向切深较小，前后刀具运动轨迹近似为圆形，切削厚度表示为：

h_j(φ,z)＝csinφ_j(z)  (2)

其中，c为每齿进给量，通式(3)将微元切削力分解到进给(x)，法向(y)方向：

将式(1)-(2)带入式(3)并对其进行积分可获得螺旋铣刀每齿在进给方向x及法线方向y的瞬时切削力：

其中，是螺旋槽j参与切削部分的轴向上限和下限。将所有螺旋齿的切削力求和，得到作用在刀具上的瞬时切削力：

本发明试验采用两齿螺旋铣刀对薄壁件进行切削，径向切深较小，在刀具切削区不存在前后两齿耦合切削的情况，对式(4)在接触角进行积分，并除以齿间角积分结果如下：

为提高铣削力系数识别精度，本发明选取每齿切削力为研究对象，计算平均切削力时，对式(4)在接触角进行积分，并除以齿接触角，其积分结果如下：

其中p值如3图所示，图3中θ_T,θ_L分别是铣削刃与工件铣削区接触线最大和最小接触角，θ_P是铣削刃刀尖转过的接触角(其值在θ_st和θ_ex之间)，m＝θ_L-θ_T，λ是铣刀螺旋角，p为铣削刃参与切削时刀具转过的角度，可表示为：

$p=({\mathrm{\θ}}_{\mathrm{ex}}-{\mathrm{\θ}}_{\mathrm{st}})+\frac{a}{\tan (90-\mathrm{\λ})*r}$

其中，r是刀具半径。对式(7)进行变换，可得到Kt和Kr：

通过切削实验可获得，将其带入式(8)就可获得相应的K_t和K_r，需要注意：F_x，F_y是每齿参与铣削的切削力，如图4所示。

三、铣削力系数的重构研究。根据核偏最小二乘分析强的非线性分析以及预测能力，本发明采用核偏最小二乘在高维空间对铣削用量及其组合变量与解析铣削力系数进行回归分析，确定相应的核函数、核参数以及核主元个数。

基于核偏最小二乘的铣削力系数重构研究。下面对该方法进行介绍：

设自变量样本为x，根据Mercer定理，存在一个函数K_i,j[x(i),x(j)]使为自变量x在高维空间中的映射，K_i,j[x(i),x(j)]称为核函数，常用的核函数形式如下：

1.多项式型核函数:K_i,j＝[x(i)*x(j)+1]^d d为整数。(9)

2.高斯径向基核函数:

r为常数，取决于预测过程，在1到10间取值；m为输入空间的维数；σ²是输

入数据的方差。

3.Sigmoid型核函数：

tanh为双曲正切函数，β、b为实数。

其中高斯核函数所对应的特征空间为无穷维，样本变量在该空间为线性可分的，因此高斯径向核函数为目前最常用的一种核函数。基本运算过程如下：

(1)数据标准化处理

为消除自变量、因变量量纲不一致对数据分析造成的影响，对样本数据进行标准化处理，如式(12)

$X_{\mathrm{biao}}=\frac{X-{\mathrm{\μ}}_X}{{\mathrm{\σ}}_X},Y_{\mathrm{biao}}=\frac{Y-{\mathrm{\μ}}_Y}{{\mathrm{\σ}}_Y}---\left(12\right)$

(2)计算核矩阵及其标准化

选择高斯核函数对步骤(1)标准化数据按式(10)进行计算，并对计算的核矩阵按式(13)进行标准化。

$\begin{array}{c}{K}_0^{\mathrm{\φ}}=K_0-\frac{1}{n}{K}_0{1}_n{1}_n^T-\frac{1}{n}{1}_n{1}_n^T{K}_0+\frac{1}{n^2}{1}_n{1}_n^T{K}_0{1}_n{1}_n^T\\ =(I_n-\left(\frac{1}{n}\right)1_n{1}_n^T)K_0(I_n-\left(\frac{1}{n}\right)1_n{1}_n^T)\end{array}---\left(13\right)$

式中1_n＝[1...1]^T，为经过标准化后的核矩阵。同时以因变量数据矩阵中的任意列作为u^(k)的初始值。

(3)计算高维空间的得分向量

设i＝1,2,...,a为得分向量的序数，k为迭代步数，初始时刻k＝1，将F₀＝Y和b_i表示为u^(k)、t^(k)、w^(k)、c^(k)和b，另F₀＝Y，高维空间的得分向量表示为：

$t^{\left(k\right)}=K_{i-1}^{\mathrm{\φ}}{u}^{\left(k\right)}/\left[{\left(u^{\left(k\right)}\right)}^T{u}^{\left(k\right)}\right]---\left(14\right)$

并对其单位化得：

t^(k)＝t^(k)/||t^(k)||

(4)计算Y的权值向量c

并归一化权值向量c^T＝c^T/||c^T||,c^Tc＝1。

(5)计算Y的得分向量

u^(k)＝F_i-1c^(k)/[(c^(k))^Tc^(k)]  (16)

对其单位化：

u^(k)＝u^(k)/||u^(k)||

重复(3)-(5)步骤，直到收敛

(6)计算特征空间和因变量空间的残差空间

$K_i^{\mathrm{\φ}}=(I_n-t_i{t}_i^T)K_{i-1}^{\mathrm{\φ}}(I_n-t_i{t}_i^T)---\left(17\right)$

$F_i=F_{i-1}-t_i{t}_i^T{F}_{i-1}---\left(18\right)$

(7)重复以上步骤，直到获得所需的得分变量数。

(8)计算高维空间的回归系数

$B=U{\left(T^T{K}_0^{\mathrm{\φ}}U\right)}^{-1}{T}^T{Y}_{\mathrm{biao}}---\left(19\right)$

(9)训练数据的拟合值：

$Y_{\mathrm{ni}}=K_0^{\mathrm{\φ}}U{\left(T^T{K}_0^{\mathrm{\φ}}U\right)}^{-1}{T}^T{Y}_{\mathrm{biao}}---\left(20\right)$

测试样本预测值为：

$Y_t=K_t^{\mathrm{\φ}}U{\left(T^T{K}_0^{\mathrm{\φ}}U\right)}^{-1}{T}^T{Y}_{\mathrm{biao}}---\left(21\right)$

其中， $K_t^{\mathrm{\φ}}=(K_t-\left(\frac{1}{n}\right)1_{\mathrm{nt}}{1}_n^T{K}_0^{\mathrm{\φ}})(I_n-\left(\frac{1}{n}\right)1_n{1}_n^T)$

K_t中的元素K_t,jl＝K(x_j,x_l)，为样本数据，为预测数据。

(10)数据还原

Y_train＝Y_niσ_X+μ_X  (22)

Y_test＝Y_tσ_Y+μ_Y  (23)

根据核偏最小二乘回归理论，在高维空间建立铣削用量及铣削用量组合量v_c,f,a_p,a_e,v_cf,v_ca_p,v_ca_e,fa_p,fa_e,a_pa_e,v_c ²,f²,a_p ²,a_e ²与解析铣削力系数的方程。其中核主元及核参数对重构结果具有很大影响，图5为不同核主元及核参数时，训练样本的拟合精度，根据图5本发明选择核主元个数为9，核参数为3。通过核偏最小二乘对测试样本进行预测，获得铣削力系数为，K_t1，K_r1，根据此铣削力系数建立的铣削力如图6所示。从图6可以看出，该方法能准确对铣削力系数进行重构与预测。

实施例2(具体例及验证)

实验平台主要由铣削力测试和薄壁结构设计两部分组成，其中铣削力测试系统主要由两刃螺旋平底立铣刀1、薄壁工件2、Kistler测力仪3、高阻抗数据传输线4、电荷放大器5、数据采集卡6、计算机7组成；铣削时，主轴8带动铣刀1旋转，铣刀1对薄壁工件2进行侧面立式铣削，Kistler测力仪3将刀具与工件间的作用力转变成电荷信号，信号经高阻抗数据传输线4送达电荷放大器5，电荷放大器5将电荷信号转换为电压信号，数据采集卡6对电压信号进行采集，并将数据保存到计算机7中。薄壁工件主要有定位孔9、安装底座10以及悬臂结构11构成。

所述Kistler测力仪3为通过压电效应将铣削时产生的铣削力转换为电荷信号。

所述高阻抗数据传输线4为将电荷信号进行传输，Kistler测力仪3获得的电荷量较小，且容易泄露，高阻抗数据传输线能将小电荷量电荷进行安全传输。

所述电荷放大器5为对电荷进行放大并转换成电压信号，测力仪输出的电荷信号较微弱，为便于采集，需要电荷放大器5对电荷进行放大并转换为电压信号。

所述数据采集卡6为将放大的电信号进行采集量化。为便于计算机存储、处理与分析需要对信号进行二进制量化，计算机7能完成该目的。

所述计算机7为对信号进行存储、处理与分析。采集的信号通过本发明方法算法对信号进行处理，从而获得铣削力系数的重构和预测结果。

所述定位孔9为将工件定位在Kistler测力仪3上表面，确定薄壁工件的正确位置。

所述安装底座10为将工件固定在工作台上，并对其进行夹紧。

所述悬臂结构11为铣削加工部位，铣削此部位获得铣削力。

以某材质铝合金薄壁件(设计尺寸为高度60mm×宽度40mm×厚度5mm)为铣削加工对象。

铣削实验在铣削中心进行，图1铣削力信号测试系统对切削力进行检测，实验时采用正交实验设计进行实验，选择四因素(铣削速度、径向铣削深度、轴向铣削深度、进给速度)四水平，按照正交表进行16组实验，铣削力采集系统采样频率设为10kHz。本实施例的数据处理过程如下：

步骤1：解析铣削力系数的计算，根据式(8)计算16组正交实验的解析铣削力系数。

步骤2：核主元个数及核参数的确定。根据核主元个数及式(10)中核参数C的个数，选择原则为使SPE误差值小的时，尽可能减少核主元的个数，以提高计算速度，图5为核主元个数和核参数对SPE值的影响，本实施例选择C＝3，核主元个数为9。

步骤3：核偏最小二乘回归重构，根据式(19)对高维空间的回归系数进行计算，采用测试样本根据式(21)、(23)对重构系数的有效性进行检验，图6所示为通过测试样本获得的铣削力系数，然后根据铣削力系数计算的铣削力，从图中可以看出预测结果与实际结果具有较高的一致性，说明该方法在铣削力系数重构中是有效的。

Claims (1)

1.一种薄壁件铣削力系数识别方法，其特征在于，包括步骤有，

步骤一，实验平台的构建

主要涉及铣削力测试系统设计和薄壁结构设计两部分，其中铣削力测试系统主要由两刃螺旋平底立铣刀(1)、薄壁工件(2)、Kistler三向铣削力测力仪(3)、高阻抗数据传输线(4)、电荷放大器(5)、数据采集卡(6)和计算机(7)组成，所述计算机(7)为对信号进行存储、预处理与数据分析；

铣刀(1)对薄壁工件(2)进行侧面立式铣削，Kistler测力仪(3)将刀具与工件间的作用力转变成电荷信号，信号经高阻抗数据传输线(4)送达电荷放大器(5)，电荷放大器(5)将电荷信号转换为电压信号，数据采集卡(6)对电压信号进行采集，并将数据保存到计算机7中；

所述Kistler测力仪(3)为通过压电效应将铣削时产生的铣削力转换为电荷信号；

所述高阻抗数据传输线(4)为将电荷信号进行传输，Kistler测力仪(3)获得的电荷量较小，且容易泄露，高阻抗数据传输线能将小电荷量电荷进行安全传输；

所述电荷放大器(5)为对电荷进行放大并转换成电压信号，测力仪输出的电荷信号较微弱，为便于采集，需要电荷放大器(5)对电荷进行放大并转换为电压信号；

所述数据采集卡(6)为将放大的电信号进行采集量化；

所述计算机包括存储模块和数据分析模块；

数据采集卡(6)采集的信号分别通过计算机的数据分析模块对信号进行处理和分析，从而输出铣削力系数的重构和预测结果；

薄壁工件(2)主要有定位孔(9)、安装底座(10)以及悬臂结构(11)构成；所述定位孔(9)为将工件定位在Kistler测力仪(3)上表面，确定薄壁工件的正确位置；所述安装底座(10)为将工件固定在工作台上，并对其进行夹紧；所述悬臂结构(11)为铣削加工部位，铣削此部位获得铣削力；

步骤二，解析铣削力系数的建立

将铣刀铣削刃沿轴线方向离散，以轴向微元为研究对象，将铣削刃参与切削的时间段为研究对象来建立解析铣削力系数公式，为Kt和Kr：

其中，p是铣削刃参与切削时刀具转过的角度；r是刀具半径；是每齿参与铣削的切削力，通过切削实验获得；

步骤三，铣削力系数的重构和预测

首先，设自变量样本为x，采用高斯径向基核函数构建铣削力系数公式：

(1)数据标准化处理

对样本数据进行标准化处理，如式(12)

(2)计算核矩阵及其标准化

选择高斯核函数对步骤(1)标准化数据按式(10)进行计算，并对计算的核矩阵按式(13)进行标准化，

$\begin{array}{c}{K}_0^{\mathrm{\φ}}=K_0-\frac{1}{n}{K}_0{1}_n{1}_n^T-\frac{1}{n}{1}_n{1}_n^T{K}_0+\frac{1}{n^2}{1}_n{1}_n^T{K}_0{1}_n{1}_n^T\\ =(I_n-\left(\frac{1}{n}\right)1_n{1}_n^T)K_0(I_n-\left(\frac{1}{n}\right)1_n{1}_n^T)\end{array}---\left(13\right)$

式中1_n＝[1...1]^T，为经过标准化后的核矩阵；同时以因变量数据矩阵中的任意列作为u^(k)的初始值；

(3)计算高维空间的得分向量

设i＝1,2,...,a为得分向量的序数，k为迭代步数，初始时刻k＝1，将F₀＝Y和b_i表示为u^(k)、t^(k)、w^(k)、c^(k)和b，另F₀＝Y，高维空间的得分向量表示为：

$t^{\left(k\right)}=K_{i-1}^{\mathrm{\φ}}{u}^{\left(k\right)}/\left[{\left(u^{\left(k\right)}\right)}^T{u}^{\left(k\right)}\right]---\left(14\right)$

并对其单位化得：

t^(k)＝t^(k)/||t^(k)||

(4)计算Y的权值向量c

并归一化权值向量c^T＝c^T/||c^T||,c^Tc＝1；

(5)计算Y的得分向量

u^(k)＝F_i-1c^(k)/[(c^(k))^Tc^(k)]     (16)

对其单位化：u^(k)＝u^(k)/||u^(k)||

重复(3)-(5)步骤，直到收敛；

(6)计算特征空间和因变量空间的残差空间

$K_i^{\mathrm{\φ}}=(I_n-t_i{t}_i^T)K_{i-1}^{\mathrm{\φ}}(I_n-t_i{t}_i^T)---\left(17\right)$

$F_i=F_{i-1}-t_i{t}_i^T{F}_{i-1}---\left(18\right)$

(7)重复以上步骤，直到获得所需的得分变量数；

(8)计算高维空间的回归系数

$B=U{\left(T^T{K}_0^{\mathrm{\φ}}U\right)}^{-1}{T}^T{Y}_{\mathrm{biao}}---\left(19\right)$

(9)训练数据的拟合值：

$Y_{\mathrm{ni}}=K_0^{\mathrm{\φ}}U{\left(T^T{K}_0^{\mathrm{\φ}}U\right)}^{-1}{T}^T{Y}_{\mathrm{biao}}---\left(20\right)$

测试样本预测值为：

$Y_t=K_t^{\mathrm{\φ}}U{\left(T^T{K}_0^{\mathrm{\φ}}U\right)}^{-1}{T}^T{Y}_{\mathrm{biao}}---\left(21\right)$

其中， $K_t^{\mathrm{\φ}}=(K_t-\left(\frac{1}{n}\right)1_{\mathrm{nt}}{1}_n^T{K}_0^{\mathrm{\φ}})(I_n-\left(\frac{1}{n}\right)1_n{1}_n^T)$

K_t中的元素K_t,jl＝K(x_j,x_l)，为样本数据，为预测数据；

(10)数据还原

Y_train＝Y_niσ_X+μ_X     (22)

Y_test＝Y_tσ_Y+μ_Y       (23)

以上通过核偏最小二乘对测试样本进行预测，获得铣削力系数为K_t1，K_r1，根据此铣削力系数建立的铣削力，实现铣削力系数的识别。