CN102385048A - 基于均匀线阵的混合信号方向估计方法 - Google Patents

Abstract

一种基于均匀线阵的混合信号方向估计方法，通过两步分别估计出不相关和相干信号的方向。第一步，应用传统的子空间方法估计出不相关信号的波达方向；第二步，使用矩阵差分技术将不相关信号的信息从接收信号中滤除，再通过子阵平均技术解相干，将相干信号的波达方向估计出来，克服了可解信号个数远小于传感器个数的缺陷，该方法通过分步估计的方法，提高了方法的性能，并通过分别估计出不相关信号和相干信号的波达方向，能快速估计波达方向。

Description

基于均匀线阵的混合信号方向估计方法

技术领域

本发明属于不相关和相干信号同时存在的混合信号的波达方向的估计技术领域，特别涉及一种基于均匀线阵的混合信号方向估计方法。

背景技术

入射在传感器阵列上的信号波的波达方向估计是阵列信号处理的基本问题，其应用涉及雷达、声呐、通信、地质勘测这样的众多领域。基于子空间的方法具有相对的简单性和高的分辨率，而且关于他们的研究已经有很多，其中有多重信号分类(MUSIC)和子空间旋转不变法(ESPRIT)。然而，当入射信号为相干信号，这时的源信号的互协方差矩阵的秩小于入射信号的个数，基于子空间方法的性能下降明显。一些可行的方法被提出来解决信号的相关问题，这些方法采用一些对阵列传感器的预处理策略，它们把传感器阵列分成几个子阵列，然后得到子阵列的输出协方差矩阵的平均，以牺牲阵列孔径为代价来达到解相干的目的，但是在不相关信号和相干信号同时存在的情况下，为解相干信号波达方向而采取的子阵平滑技术导致阵列孔径减小，使得不相关信号的波达方向估计精度也降低。

发明内容

为了克服上述现有技术存在的不足，本发明的目的在于提供一种基于均匀线阵的混合信号方向估计方法，克服了可解信号个数远小于传感器个数的缺陷，该方法通过分步估计的方法，提高了方法的性能，并通过分别估计出不相关信号和相干信号的波达方向，能快速估计波达方向。

为了达到上述目的，本发明所采用的技术方案是：

一种基于均匀线阵的混合信号方向估计方法，步骤如下：

步骤1：首先设置均匀线性阵列，该均匀线性阵列由M个各向同性的传感器线型排列，相邻的两个传感器的间隔d大小为λ/2，λ为远场窄带信号{s_k(n)}的波长。相干信号和不相关信号同时存在的p个波长为λ的远场窄带信号{s_k(n)}沿角度{θ_i(k)}入射到均匀线性阵列上时，该均匀线性阵列所采样接收到的信号x(n)表示为式(1)：

$x\left(n\right)=\underset{k=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right){\mathrm{\β}}_k{s}_1\left(n\right)+\underset{k=q+1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)s_k\left(n\right)+w\left(n\right)$

$=A_c\left(\mathrm{\θ}\right)\mathrm{\β}{s}_1\left(n\right)+A_u\left(\mathrm{\θ}\right)s_u\left(n\right)+w\left(n\right)---\left(1\right)$

$=A\left(\mathrm{\θ}\right)s\left(n\right)+w\left(n\right)$

其中β_k是复的信号衰减系数，且β₁＝1，s_k(n)＝β_ks₁(n)，其中k＝1，2，...，p，q为小于p的自然数，p为大于等于1的整数且p＜M，n为信号采样数目，β[β₁，β₂，...，β_q]^T，

τ_k2πdcosθ_k/λ，A_c(θ)[a(θ₁)，，a(θ₂)，...，a(θ_q)]，A_u(θ)[a(θ_q+1)，a(θ_q+2)，...，a(θ_p)]，A(θ)[A_c(θ)β，A_u(θ)]，s_u(n)[s_q+1(n)，s_q+2(n)，...，s_p(n)]^T，s(n)[s₁(n)，s_u(n)]^T，x(n)[x₁(n)，x₂(n)，...，x_M(n)]^T，w(n)[w₁(n)，w₂(n)，...，w_M(n)]^T，w(n)为附加噪音信号且为复的白高斯随机过程，其均值为零，方差为σ²，且w(n)和远场窄带信号{s_k(n)}相互独立，远场窄带信号{s_k(n)}是复的白高斯随机过程，均值为零；

步骤2：不相关信号的波达方向估计，即根据式(1)导出阵列协方差矩阵R_x为式(2)：

$R_{x}E\left\{x\left(n\right)x^H\left(n\right)\right\}$

$=A_c\left(\mathrm{\θ}\right)R_{s_c}{A}_c^H\left(\mathrm{\θ}\right)+A_u\left(\mathrm{\θ}\right)R_{s_u}{A}_u^H\left(\mathrm{\θ}\right)+{\mathrm{\σ}}^2{I}_M---\left(2\right)$

$=A\left(\mathrm{\θ}\right)R_s{A}^H\left(\mathrm{\θ}\right)+{\mathrm{\σ}}^2{I}_M$

其中E{·}和(·)^H分别表示期望运算和复共轭转置， $R_{s_c}E\left\{\mathrm{\β}{s}_1\left(n\right)s_1^{*}\left(n\right){\mathrm{\β}}^H\right\}={\mathrm{\δ}}_1^2{\mathrm{\β\β}}^H,$ $R_{s_u}E\left\{s_u\left(n\right)s_u^H\left(n\right)\right\}=\mathrm{diag}\{{\mathrm{\δ}}_{q+1}^2,{\mathrm{\δ}}_{q+2}^2,...,{\mathrm{\δ}}_p^2\},$ $R_{s}E\left\{s\left(n\right)s^H\left(n\right)\right\}=\mathrm{diag}\{{\mathrm{\δ}}_1^2,{\mathrm{\δ}}_2^2,...,{\mathrm{\δ}}_p^2\},$ ${\mathrm{\δ}}_k^2=E\left\{s_k\left(n\right)s_k^{*}\left(n\right)\right\}$ 是第k个远场窄带信号s_k(n)的能量，I_M是M×M单位矩阵；随后对R_x进行特征值分解如式(3)所示：

$R_x=U_s{\mathrm{\Λ}}_s{U}_s^H+U_n{\mathrm{\Λ}}_n{U}_n^H---\left(3\right)$

其中U_s是M×(p-q+1)的矩阵，它的列向量是按从大到小排列的前p-q+1个特征值所对应的特征向量，U_n的是M×(M-(p-q+1))的矩阵，它的列向量是剩余的M-(p-q+1)个特征值所对应的特征向量，Λ_s和Λ_n分别为(p-q+1)×(p-q+1)对角矩阵和(M-(p-q+1))×(M-(p-q+1))对角矩阵。

U_s的列张成的空间对应信号子空间，和[A_c(θ)β，A_u(θ)]的列张成的生成子空间相同，而且信号子空间和U_n的列张成的噪声子空间是正交的，据此导出|[(A_c(θ)β)^HU_n]|²＝0，

其中O表示零矩阵，最后最小化式(4)导出不相关信号的波达方向估计值；

$f\left(\mathrm{\θ}\right)=a^H\left(\mathrm{\θ}\right)U_n{U}_n^{H}a\left(\mathrm{\θ}\right)---\left(4\right)$

步骤3：相干信号的波达方向的估计，即通过阵列协方差矩阵R_x导出初始扩展的协方差矩阵R_d如式(5)所示，

其中

为准信号协方差矩阵，由此准信号协方差矩阵

的第k个对角元素为

而准信号协方差矩阵

的对角元素表示远场窄带信号{s_k(n)}的能量，是非零的，随后将初始扩展的协方差矩阵R_d进行平方，得到平方结果矩阵

如式(6)所示，

其中

它的对角元素为

其中向量

为

的第k行，且向量是非零的，

其次，对平方结果矩阵

利用子空间平滑技术，可以得到平方结果矩阵

的子阵如式(7)和式(8)所示，

$R_{d,l}^q{F}_l{R}_d^q={\stackrel{\‾}{A}}_c\left(\mathrm{\θ}\right){\mathrm{\Φ}}^{l-1}{\stackrel{\‾}{R}}_s{A}_c^H\left(\mathrm{\θ}\right)---\left(7\right)$

$R_{d,l}^q{F}_l{J}_M{R}_d^{q*}={\stackrel{\‾}{A}}_c\left(\mathrm{\θ}\right){\mathrm{\Φ}}^{-(M-l)}{\stackrel{\‾}{R}}_s^{*}{A}_c^T\left(\mathrm{\θ}\right)---\left(8\right)$

其中l＝1，2...q，选择矩阵F_l＝[O_m×(l-1)，I_m，O_m×(M-m-l+1)]，J_m是一个m×m的反单位矩阵，

是由A_c(θ)的的前m行组成的子阵，m＝M-q+1，由式(7)和式(8)，导出过程扩展的协方差矩阵R如式(9)所示，

$R[R_{d,1}^q,R_{d,2}^q,...,R_{d,q}^q,{\stackrel{\‾}{R}}_{d,1}^q,{\stackrel{\‾}{R}}_{d,2}^q,...,{\stackrel{\‾}{R}}_{d,q}^q]---\left(9\right)$

将m×q的矩阵

分成上子阵A_c1(θ)和下子阵A_c2(θ)如式(10)所示，

${\stackrel{\‾}{A}}_c\left(\mathrm{\θ}\right){\left[\begin{array}{c}{A}_{c1}\left(\mathrm{\θ}\right)\\ A_{c2}\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right]}_{\}m-q}^{\}q}---\left(10\right)$

根据A_c1(θ)是Vandermode矩阵，是非奇异的，而A_c2(θ)由A_c1(θ)的行向量的线性组合来表示，通过一个q×(m-q)的线性运算矩阵P，导出式(11)，

P^HA_c1(θ)＝A_c2(θ)    (11)

并据此将过程扩展的协方差矩阵R分为前子阵R₁和后子阵R₂，导出式(12)，

$R{\left[\begin{array}{c}{R}_1\\ R_2\end{array}\right]}_{\}m-p}^{\}p}---\left(12\right)$

由式(7)-式(12)，导出式(13)，

P^HR₁＝R₂    (13)

因此，矩阵P可以由R₁和R₂来计算，

$P={\left(R_1{R}_1^H\right)}^{-1}{R}_1{R}_2^H---\left(14\right)$

构造矩阵Q[P^T，-I_m-q]^T，有

根据该构造矩阵Q并且信号采样数n为有限值，角度通过最小化式(15)来获取，

其中，

该

的求解是通过矩阵求逆引理，

是变量x的估计。

通过两步分别估计出不相关和相干信号的方向。第一步，应用传统的子空间方法估计出不相关信号的波达方向；第二步，使用矩阵差分技术将不相关信号的信息从接收信号中滤除，再通过子阵平均技术解相干，将相干信号的波达方向估计出来，克服了可解信号个数远小于传感器个数的缺陷，该方法通过分步估计的方法，提高了方法的性能，并通过分别估计出不相关信号和相干信号的波达方向，能快速估计波达方向。

具体实施方式

下面结合实施例对本发明作更详细的说明。

基于均匀线阵的混合信号方向估计方法，步骤如下：

步骤1：首先设置均匀线性阵列，该均匀线性阵列由M个各向同性的传感器线型排列，相邻的两个传感器的间隔d大小为λ/2，λ为远场窄带信号{s_k(n)}的波长，相干信号和不相关信号同时存在的p个波长为λ的远场窄带信号{s_k(n)}沿角度{θ_i(k)}入射到均匀线性阵列上时，该均匀线性阵列所采样接收到的信号x(n)表示为式(1)：

$x\left(n\right)=\underset{k=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right){\mathrm{\β}}_k{s}_1\left(n\right)+\underset{k=q+1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)s_k\left(n\right)+w\left(n\right)$

$=A_c\left(\mathrm{\θ}\right)\mathrm{\β}{s}_1\left(n\right)+A_u\left(\mathrm{\θ}\right)s_u\left(n\right)+w\left(n\right)---\left(1\right)$

$=A\left(\mathrm{\θ}\right)s\left(n\right)+w\left(n\right)$

其中β_k是复的信号衰减系数，且β₁＝1，s_k(n)＝β_ks₁(n)，其中k＝1，2，...，p，，q为小于p的自然数，p为大于等于1的整数且p＜M，n为信号采样数目，β[β₁，β₂，...，β_q]^T，τ_k2πdcosθ_k/λ，A_c(θ)[a(θ₁)，a(θ₂)，...，a(θ_q)]，A_u(θ)[a(θ_q+1)，a(θ_q+2)，...，a(θ_p)]，A(θ)[A_c(θ)β，A_u(θ)]，s_u(n)[s_q+1(n)，s_q+2(n)，...，s_p(n)]^T，s(n)[s₁(n)，s_u(n)]^T，x(n)[x₁(n)，x₂(n)，...，x_M(n)]^T，w(n)[w₁(n)，w₂(n)，...，w_M(n)]^T，w(n)为附加噪音信号且为复的白高斯随机过程，其均值为零，方差为σ²，且w(n)和远场窄带信号{s_k(n)}相互独立，远场窄带信号{s_k(n)}是复的白高斯随机过程，均值为零；

步骤2：不相关信号的波达方向估计，即根据式(1)导出阵列协方差矩阵R_x为式(2)：

$R_{x}E\left\{x\left(n\right)x^H\left(n\right)\right\}$

$=A_c\left(\mathrm{\θ}\right)R_{s_c}{A}_c^H\left(\mathrm{\θ}\right)+A_u\left(\mathrm{\θ}\right)R_{s_u}{A}_u^H\left(\mathrm{\θ}\right)+{\mathrm{\σ}}^2{I}_M---\left(2\right)$

$=A\left(\mathrm{\θ}\right)R_s{A}^H\left(\mathrm{\θ}\right)+{\mathrm{\σ}}^2{I}_M$

其中E{·}和(·)^H分别表示期望运算和复共轭转置， $R_{s_c}E\left\{\mathrm{\β}{s}_1\left(n\right)s_1^{*}\left(n\right){\mathrm{\β}}^H\right\}={\mathrm{\δ}}_1^2{\mathrm{\β\β}}^H,$ $R_{s_u}E\left\{s_u\left(n\right)s_u^H\left(n\right)\right\}=\mathrm{diag}\{{\mathrm{\δ}}_{q+1}^2,{\mathrm{\δ}}_{q+2}^2,...,{\mathrm{\δ}}_p^2\},$ $R_{s}E\left\{s\left(n\right)s^H\left(n\right)\right\}=\mathrm{diag}\{{\mathrm{\δ}}_1^2,{\mathrm{\δ}}_2^2,...,{\mathrm{\δ}}_p^2\},$ ${\mathrm{\δ}}_k^2=E\left\{s_k\left(n\right)s_k^{*}\left(n\right)\right\}$ 是第k个远场窄带信号s_k(n)的能量，I_M是M×M单位矩阵；随后对R_x进行特征值分解如式(3)所示：

$R_x=U_s{\mathrm{\Λ}}_s{U}_s^H+U_n{\mathrm{\Λ}}_n{U}_n^H---\left(3\right)$

其中U_s是M×(p-q+1)的矩阵，它的列向量是按从大到小排列的前p-q+1个特征值所对应的特征向量，U_n的是M×(M-(p-q+1))的矩阵，它的列向量是剩余的M-(p-q+1)个特征值所对应的特征向量，Λ_s和Λ_n分别为(p-q+1)×(p-q+1)对角矩阵和(M-(p-q+1))×(M-(p-q+1))对角矩阵；

U_s的列张成的空间对应信号子空间，和[A_c(θ)β，A_u(θ)]的列张成的空相同，而且信号子空间和U_n的列张成的噪声子空间是正交的，据此导出|[(A_c(θ)β)^HU_n]|²＝0，

其中O表示零矩阵，最后最小化式(4)导出不相关信号的波达方向估计值；

$f\left(\mathrm{\θ}\right)=a^H\left(\mathrm{\θ}\right)U_n{U}_n^{H}a\left(\mathrm{\θ}\right)---\left(4\right)$

步骤3：相干信号的波达方向的估计，即通过阵列协方差矩阵R_x导出初始扩展的协方差矩阵R_d如式(5)所示，

其中

为准信号协方差矩阵，由此准信号协方差矩阵

的第k个对角元素为

而准信号协方差矩阵

的对角元素表示远场窄带信号{s_k(n)}的能量，是非零的，随后将初始扩展的协方差矩阵R_d进行平方，得到平方结果矩阵如式(6)所示，

其中

它的对角元素为

其中向量为

的第k行，且向量

是非零的，

其次，对平方结果矩阵

利用子空间平滑技术，可以得到平方结果矩阵

的子阵如式(7)和式(8)所示，

$R_{d,l}^q{F}_l{R}_d^q={\stackrel{\‾}{A}}_c\left(\mathrm{\θ}\right){\mathrm{\Φ}}^{l-1}{\stackrel{\‾}{R}}_s{A}_c^H\left(\mathrm{\θ}\right)---\left(7\right)$

$R_{d,l}^q{F}_l{J}_M{R}_d^{q*}={\stackrel{\‾}{A}}_c\left(\mathrm{\θ}\right){\mathrm{\Φ}}^{-(M-l)}{\stackrel{\‾}{R}}_s^{*}{A}_c^T\left(\mathrm{\θ}\right)---\left(8\right)$

其中l＝1，2...q，选择矩阵F_l＝[O_m×(l-1)，I_m，O_m×(M-m-l+1)]，J_m是一个m×m的反单位矩阵，

是由A_c(θ)的的前m行组成的子阵，m＝M-q+1，由式(7)和式(8)，导出过程扩展的协方差矩阵R如式(9)所示，

$R[R_{d,1}^q,R_{d,2}^q,...,R_{d,q}^q,{\stackrel{\‾}{R}}_{d,1}^q,{\stackrel{\‾}{R}}_{d,2}^q,...,{\stackrel{\‾}{R}}_{d,q}^q]---\left(9\right)$

将m×q的矩阵

分成上子阵A_c1(θ)和下子阵A_c2(θ)如式(10)所示，

${\stackrel{\‾}{A}}_c\left(\mathrm{\θ}\right){\left[\begin{array}{c}{A}_{c1}\left(\mathrm{\θ}\right)\\ A_{c2}\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right]}_{\}m-q}^{\}q}---\left(10\right)$

根据A_c1(θ)是Vandermode矩阵，是非奇异的，而A_c2(θ)由A_c1(θ)的行向量的线性组合来表示，通过一个q×(m-q)的线性运算矩阵P，导出式(11)，

P^HA_c1(θ)＝A_c2(θ)    (11)

并据此将过程扩展的协方差矩阵R分为前子阵R₁和后子阵R₂，导出式(12)，

$R{\left[\begin{array}{c}{R}_1\\ R_2\end{array}\right]}_{\}m-p}^{\}p}---\left(12\right)$

由式(7)-式(12)，导出式(13)，

P^HR₁＝R₂    (13)

因此，矩阵P可以由R₁和R₂来计算，

$P={\left(R_1{R}_1^H\right)}^{-1}{R}_1{R}_2^H---\left(14\right)$

构建构造矩阵

有根据该构造矩阵Q并且信号采样数n为有限值，角度

通过最小化式(15)来获取，

其中，

该

的求解是通过矩阵求逆引理，

是变量x的估计。

Claims (1)

1.基于均匀线阵的混合信号方向估计方法，其特征在于，步骤如下：

步骤1：首先设置均匀线性阵列，该均匀线性阵列由M个各向同性的传感器线型排列，相邻的两个传感器的间隔d大小为λ/2，λ为远场窄带信号{s_k(n)}的波长，相干信号和不相关信号同时存在的p个波长为λ的远场窄带信号{s_k(n)}沿角度{θ_i(k)}入射到均匀线性阵列上时，该均匀线性阵列所采样接收到的信号x(n)表示为式(1)：

$x\left(n\right)=\underset{k=1}{\overset{q}{\mathrm{\Σ}}}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right){\mathrm{\β}}_k{s}_1\left(n\right)+\underset{k=q+1}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}a\left({\mathrm{\θ}}_k\right)s_k\left(n\right)+w\left(n\right)$

$=A_c\left(\mathrm{\θ}\right)\mathrm{\β}{s}_1\left(n\right)+A_u\left(\mathrm{\θ}\right)s_u\left(n\right)+w\left(n\right)---\left(1\right)$

$=A\left(\mathrm{\θ}\right)s\left(n\right)+w\left(n\right)$

其中β_k是复的信号衰减系数，且β₁＝1，s_k(n)＝β_ks₁(n)，其中k＝1，2，...，p，q为小于p的自然数，p为大于等于1的整数且p＜M，n为信号采样数目，β[β₁，β₂，...，β_q]^T，

τ_k2πdcosθ_k/λ，A_c(θ)[a(θ₁)，a(θ₂)，...，a(θ_q)]，A_u(θ)[a(θ_q+1)，a(θ_q+2)，...，a(θ_p)]，A(θ)[A_c(θ)β，A_u(θ)]，s_u(n)[s_q+1(n)，s_q+2(n)，...，s_p(n)]^T，s(n)[s₁(n)，s_u(n)]^T，x(n)[x₁(n)，x₂(n)，...，x_M(n)]^T，w(n)[w₁(n)，w₂(n)，...，w_M(n)]^T，w(n)为附加噪音信号且为复的白高斯随机过程，其均值为零，方差为σ²，且w(n)和远场窄带信号{s_k(n)}相互独立，远场窄带信号{s_k(n)}是复的白高斯随机过程，均值为零；

步骤2：不相关信号的波达方向估计，即根据式(1)导出阵列协方差矩阵R_x为式(2)：

$R_{x}E\left\{x\left(n\right)x^H\left(n\right)\right\}$

$=A_c\left(\mathrm{\θ}\right)R_{s_c}{A}_c^H\left(\mathrm{\θ}\right)+A_u\left(\mathrm{\θ}\right)R_{s_u}{A}_u^H\left(\mathrm{\θ}\right)+{\mathrm{\σ}}^2{I}_M---\left(2\right)$

$=A\left(\mathrm{\θ}\right)R_s{A}^H\left(\mathrm{\θ}\right)+{\mathrm{\σ}}^2{I}_M$

其中E{·}和(·)^H分别表示期望运算和复共轭转置， $R_{s_c}E\left\{\mathrm{\β}{s}_1\left(n\right)s_1^{*}\left(n\right){\mathrm{\β}}^H\right\}={\mathrm{\δ}}_1^2{\mathrm{\β\β}}^H,$ $R_{s_u}E\left\{s_u\left(n\right)s_u^H\left(n\right)\right\}=\mathrm{diag}\{{\mathrm{\δ}}_{q+1}^2,{\mathrm{\δ}}_{q+2}^2,...,{\mathrm{\δ}}_p^2\},$ $R_{s}E\left\{s\left(n\right)s^H\left(n\right)\right\}=\mathrm{diag}\{{\mathrm{\δ}}_1^2,{\mathrm{\δ}}_2^2,...,{\mathrm{\δ}}_p^2\},$ ${\mathrm{\δ}}_k^2=E\left\{s_k\left(n\right)s_k^{*}\left(n\right)\right\}$ 是第k个远场窄带信号s_k(n)的能量，I_M是M×M单位矩阵；随后对R_x进行特征值分解如式(3)所示：

$R_x=U_s{\mathrm{\Λ}}_s{U}_s^H+U_n{\mathrm{\Λ}}_n{U}_n^H---\left(3\right)$

其中U_s是M×(p-q+1)的矩阵，它的列向量是按从大到小排列的前p-q+1个特征值所对应的特征向量，U_n的是M×(M-(p-q+1))的矩阵，它的列向量是剩余的M-(p-q+1)个特征值所对应的特征向量，Λ_s和Λ_n分别为(p-q+1)×(p-q+1)对角矩阵和(M-(p-q+1))×(M-(p-q+1))对角矩阵；

$f\left(\mathrm{\θ}\right)=a^H\left(\mathrm{\θ}\right)U_n{U}_n^{H}a\left(\mathrm{\θ}\right)---\left(4\right)$

U_s的列张成的空间对应信号子空间，和[A_c(θ)β，A_u(θ)]的列张成的空相同，而且信号子空间和U_n的列张成的噪声子空间是正交的，据此导出|[(A_c(θ)β)^HU_n]|²＝0，

其中O表示零矩阵，最后最小化式(4)导出不相关信号的波达方向估计值；

步骤3：相干信号的波达方向的估计，即通过阵列协方差矩阵R_x导出初始扩展的协方差矩阵R_d如式(5)所示，

其中

为准信号协方差矩阵，由此准信号协方差矩阵

的第k个对角元素为

而准信号协方差矩阵

的对角元素表示远场窄带信号{s_k(n)}的能量，是非零的，随后将初始扩展的协方差矩阵R_d进行平方，得到平方结果矩阵

如式(6)所示，

其中

它的对角元素为

其中向量

为

的第k行，且向量

是非零的，

其次，对平方结果矩阵

利用子空间平滑技术，可以得到平方结果矩阵

的子阵如式(7)和式(8)所示，

$R_{d,l}^q{F}_l{R}_d^q={\stackrel{\‾}{A}}_c\left(\mathrm{\θ}\right){\mathrm{\Φ}}^{l-1}{\stackrel{\‾}{R}}_s{A}_c^H\left(\mathrm{\θ}\right)---\left(7\right)$

$R_{d,l}^q{F}_l{J}_M{R}_d^{q*}={\stackrel{\‾}{A}}_c\left(\mathrm{\θ}\right){\mathrm{\Φ}}^{-(M-l)}{\stackrel{\‾}{R}}_s^{*}{A}_c^T\left(\mathrm{\θ}\right)---\left(8\right)$

其中l＝1，2...q，选择矩阵F_l＝[O_m×(l-1)，I_m，O_m×(M-m-l+1)]，J_m是一个m×m的反单位矩阵，

是由A_c(θ)的的前m行组成的子阵，m＝M-q+1，由式(7)和式(8)，导出过程扩展的协方差矩阵R如式(9)所示，

$R[R_{d,1}^q,R_{d,2}^q,...,R_{d,q}^q,{\stackrel{\‾}{R}}_{d,1}^q,{\stackrel{\‾}{R}}_{d,2}^q,...,{\stackrel{\‾}{R}}_{d,q}^q]---\left(9\right)$

将m×q的矩阵

分成上子阵A_c1(θ)和下子阵A_c2(θ)如式(10)所示，

${\stackrel{\‾}{A}}_c\left(\mathrm{\θ}\right){\left[\begin{array}{c}{A}_{c1}\left(\mathrm{\θ}\right)\\ A_{c2}\left(\mathrm{\θ}\right)\end{array}\right]}_{\}m-q}^{\}q}---\left(10\right)$

根据A_c1(θ)是Vandermode矩阵，是非奇异的，而A_c2(θ)由A_c1(θ)的行向量的线性组合来表示，通过一个q×(m-q)的线性运算矩阵P，导出式(11)，

P^HA_c1(θ)＝A_c2(θ)    (11)

并据此将过程扩展的协方差矩阵R分为前子阵R₁和后子阵R₂，导出式(12)，

$R{\left[\begin{array}{c}{R}_1\\ R_2\end{array}\right]}_{\}m-p}^{\}p}---\left(12\right)$

由式(7)-式(12)，导出式(13)，

P^HR₁＝R₂    (13)

因此，矩阵P可以由R₁和R₂来计算，

$P={\left(R_1{R}_1^H\right)}^{-1}{R}_1{R}_2^H---\left(14\right)$

构建构造矩阵

有

根据该构造矩阵Q并且信号采样数n为有限值，角度

通过最小化式(15)来获取，

其中，

该

的求解是通过矩阵求逆引理，

是变量x的估计。