CN101158573A - 三维表面粗糙度评定中建立轮廓基准面的新方法 - Google Patents

Abstract

一种三维表面粗糙度评定中建立轮廓基准面的新方法，它是通过对被测表面轮廓原始采样数据实施灰色自适应加权均值滤波，有效地分离表面轮廓成分，建立三维表面粗糙度评定的灰色基准面。首先从数据文件中载入被测表面轮廓原始采样数据，根据表面的实际情况选取合适的取样区域和评定区域，然后根据选定的取样区域和评定区域，截取轮廓数据，并选择取样区域同样大小的滤波窗口，对窗口内的采样数据实施灰色自适应加权均值滤波，滤波结果作为窗口中心点的新轮廓值，使滤波窗口在整个评定区域内移动，在整个评定区域内的采样数据实施灰色自适应加权均值滤波，求得各采样点的新轮廓值，连接所有新轮廓值的光滑曲面即为三维表面粗糙度评定的灰色基准面。

Description

三维表面粗糙度评定中建立轮廓基准面的新方法

(一)技术领域：

本发明提供一种三维表面粗糙度评定中建立轮廓基准面的新方法，属于计量技术领域。

(二)背景技术：

表面粗糙度是指零件表面上具有较小波距和微小峰谷的微观几何形状误差，它直接影响零件的耐磨性、耐腐蚀性、疲劳强度、密封性、导热性及使用寿命等。因此表面粗糙度是评价机械零件表面质量的重要技术指标之一。以往对表面粗糙度的评定主要以二维参数为主，只能给出某一法向截面所对应轮廓线的粗糙度信息。比较而言，三维表面粗糙度能够从整体上全面地反映表面轮廓的微观几何形貌特征，因此随着图像分析技术、数字信号处理技术及计算机运行速度的不断提高，三维表面粗糙度评定已成为当今表面形貌测量领域的一个重要研究方向。

在三维表面粗糙度的评定中，评定基准面的建立是进行参数评定的基础和关键。关于三维表面粗糙度的评定，国内外学者开展了大量的研究工作，提出了多种建立粗糙度评定基准面的方法，如最小二乘多项式拟合法、高斯滤波法和小波频谱法等。最小二乘多项式拟合法(见：李柱主编，《互换性与测量技术》，北京：高等教育出版社，2004.)对三维表面粗糙度进行分离和评定的原理是将被测表面表示为多项式函数，利用最小二乘原理通过回归分析的方法确定多项式系数，进而给出评定基准，其优点是原理简单、易于实现；但缺点是多项式函数仅是对表面低频信号的一种近似拟合，由于受到函数形式和多项式阶次的制约，拟合精度难以得到有效地保证。而且对于多次加工生成的工件表面，也很难找到合适的多项式函数作为评定基准面。鉴于国际标准ISO11562中已经将二维表面粗糙度评定的轮廓基准线规定为高斯基准线，并且得到了较好的推广应用，因此三维表面粗糙度评定的国际标准中最有可能采用高斯滤波法。有文献(见：曾文涵等，“三维表面粗糙度高斯滤波快速算法”，计量学报.2003，24(1)：10-13.)研究了基于高斯滤波器的三维表面粗糙度评定基准面的建立方法，并提出了一种实用的快速卷积算法。高斯滤波器的最大优点是其线性相位特性，能够有效地分离出不同的表面成分，进而建立粗糙度评定基准面。但应用高斯滤波的方法进行表面粗糙度评定必须具备三个前提：(1)表面粗糙度服从高斯分布；(2)表面微观形貌由一系列谐波叠加而成；(3)不相关的形状和转化误差已被剔除。因此对于非典型分布或少数据的表面轮廓，高斯滤波的方法具有很大的局限性。还有文献(见：陈庆虎，李柱，“表面粗糙度提取的小波频谱法”，机械工程学报.1999，35(3)：41-44.)将小波分析的方法应用到表面粗糙度评定中，提出了三维表面粗糙度评定的小波基准面，该基准面由小波分解自动产生，无须假定评定基准具有某种特定函数表达式，因而不存在拟合误差。但在基准面求解的过程中，小波分解层次的确定以及基准面的选择具有一定的随机性，导致应用小波基准面进行粗糙度评定的结果在一定程度上具有随意性。

以上三种方法均属于基准评定法，随着三维表面粗糙度评定研究的深入，出现了许多非基准评定方法。国际标准ISO 12085中规定的Motif方法(见：ISO 12085：1996 Geometrical Product Specifications(GPS)-Surface texture：Profile method-Motif parameters.)以图形的方式对轮廓表面粗糙度和波纹度进行描述，能够以较少的评定参数真实地匹配轮廓的局部特性。但Motif方法的四个合并准则均来自于法国汽车业二十多年的实践经验，缺乏相应的理论依据，因而导致Motif方法的应用受到限制。分形法(见：李成贵等，“分形维数与表面的粗糙度参数的关系”，工具技术.1997，32(12)：36-38.)提出了只用一个尺度敏感参数即分形维数表征表面轮廓形貌复杂和细腻程度的方法。但分形维数能否完全表征分形表面的形貌特征尚有待进一步的研究，而且由于实际应用中并非所有的工件表面都具有分形特征，因此分形法很难成为一种普遍适用的方法。

(三)发明内容：

针对目前三维表面粗糙度评定中存在的问题，首次将灰色系统理论中的灰色关联分析方法应用到三维表面粗糙度评定中，通过对被测表面轮廓的原始采样数据实施灰色自适应加权均值滤波，有效地分离出表面轮廓成分，建立三维表面粗糙度评定的灰色基准面。该方法无须假设评定基准具有特定的函数表达式，不仅适合于大样本量、典型分布的普通表面粗糙度的提取，而且对少数据、非典型分布的表面轮廓同样适用。

本发明一种三维表面粗糙度评定中建立轮廓基准面的新方法，其技术方案的制定是基于下列原理考虑的：

首先介绍一下应用灰色自适应加权均值滤波法建立三维表面粗糙度评定轮廓基准面的原理。三维表面轮廓可以用二维函数来描述，其中包括表面粗糙度、表面波纹度及表面形状误差等误差成分。以上各误差成分的频率特征是不同的，表面粗糙度属于高频信号，相对而言表面波纹度和形状误差属于低频信号。在三维表面粗糙度评定中，将表面波纹度和轮廓形状误差等低频成分的总和作为粗糙度评定的基准面，因此可以采用将被测表面原始轮廓通过一个二维低通滤波器的方法建立粗糙度评定基准面。设r(x，y)和s(x，y)分别表示评定基准面和表面粗糙度，则三维表面粗糙度评定的数学模型可表示为一个二维函数f(x，y)：

f(x，y)＝r(x，y)+s(x，y)    (I)

一旦合理地建立评定基准面r(x，y)，就能够准确地提取出表面粗糙度s(x，y)，从而获得正确的粗糙度评定结果。

在三维表面粗糙度评定的过程中，被测表面轮廓f(x，y)经采样和量化后可以用矩阵的形式表示，即

$F=\left[\begin{array}{cccc}f\left(\mathrm{1,1}\right)& f\left(\mathrm{1,2}\right)& ...& f(1,N)\\ f\left(\mathrm{2,1}\right)& f\left(\mathrm{2,2}\right)& ...& f(2,N)\\ .& .& & .\\ .& .& ...& .\\ .& .& & .\\ f(M,1)& f(M,2)& ...& f(M,N)\end{array}\right]---\left(\mathrm{II}\right)$

其中，(u，v)为采样点的空间坐标，u＝1，2，…，M，v＝1，2，…，N，坐标(u，v)所对应的f(u，v)值为被测表面在该采样点处的轮廓值。由式(II)可知，被测表面轮廓f(x，y)由若干个具有特定位置和轮廓值的元素组成，从这个意义上讲，可以将被测表面轮廓作为二维数字信号来处理，表面粗糙度处于信号的高频部分，而评定基准面处于信号的低频部分。因此可以利用数字信号处理中常用的加权均值滤波的方法对表面轮廓的高频部分和低频部分进行分离，在建立评定基准面r(x，y)的同时，提取表面粗糙度s(x，y)。

本发明将被测表面轮廓原始采样数据等同为二维数字信号，充分利用被测表面各个采样点的空间位置信息和轮廓值的相关性，应用灰色关联分析的方法对传统加权均值滤波中的权值进行优化。权值是通过滤波窗口内各采样点的轮廓值与窗口中的所有采样点轮廓平均值的灰色关联系数来确定，以关联系数的大小确定该采样点在此次计算中的权重，用滤波窗口的加权均值代替窗口中心采样点的轮廓值，在建立粗糙度评定基准面的同时，突出轮廓中的高频成分。

本发明三维表面粗糙度评定中建立轮廓基准面的一种新方法，其建立三维表面粗糙度评定灰色基准面的流程如图1所示，其具体步骤如下：

[1]、从数据文件中载入表面轮廓数据，根据被测表面的实际情况选取合适的取样区域和评定区域。

[2]、根据选定的取样区域和评定区域，截取轮廓数据。在一个评定区域内，截取到被测表面轮廓原始采样数据的矩阵形式为：

$F^{\left(0\right)}=\left[\begin{array}{cccc}{f}^{\left(0\right)}\left(\mathrm{1,1}\right)& f^{\left(0\right)}\left(\mathrm{1,2}\right)& ...& f^{\left(0\right)}(1,n)\\ f^{\left(0\right)}\left(\mathrm{2,1}\right)& f^{\left(0\right)}\left(\mathrm{2,2}\right)& ...& f^{\left(0\right)}(2,n)\\ .& .& & .\\ .& .& ...& .\\ .& .& & .\\ f^{\left(0\right)}(m,1)& f^{\left(0\right)}(m,2)& ...& f^{\left(0\right)}(m,n)\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，m和n分别为评定区域内x轴和y轴方向上采样点的个数。若一个取样区域内x轴和y轴方向上采样点的个数均为(2r+1)，其中r为正整数，其值小于

和

中的最小者，取大小为(2r+1)×(2r+1)的滤波窗口，使其在整个评定区域内移动。设某时刻滤波窗口所对应的采样数据可用序列f⁽⁰⁾表示：

f⁽⁰⁾＝{f⁽⁰⁾(i-r，j-r)，f⁽⁰⁾(i-r，j-r+1)，…，f⁽⁰⁾(i，j)，…，f⁽⁰⁾(i+r，j+r)}    (2)

其中，i＝r+1，r+2，…，m-r；j＝r+1，r+2，…，n-r。

[3]、对式(2)中的采样数据序列f⁽⁰⁾实施灰色自适应加权均值滤波，滤波的结果作为窗口中心点(i，j)处的表面轮廓值。

3.1、选择序列f⁽⁰⁾中所有元素的均值作为参考序列，该序列只有一个元素，即

$x_0=\left(\underset{l=i-r}{\overset{i+r}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=j-r}{\overset{j+r}{\mathrm{\Σ}}}{f}^{\left(0\right)}(l,k)\right)/{(2r+1)}^2---\left(3\right)$

其中，f⁽⁰⁾(l，k)∈f⁽⁰⁾。比较序列为f⁽⁰⁾中的每个元素，共有(2r+1)²个比较序列。每个比较序列均只有一个元素，分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i-r,j-r}^{\left(0\right)}=f^{\left(0\right)}(i-r,j-r)\\ x_{i-r,j-r+1}^{\left(0\right)}=f^{\left(0\right)}(i-r,j-r+1)\\ .\\ .\\ .\\ x_{i,j}^{\left(0\right)}=f^{\left(0\right)}(i,j)\\ .\\ .\\ .\\ x_{i+r-1,j+r}^{\left(0\right)}=f^{\left(0\right)}(i+r-1,j+r)\\ x_{i+r,j+r}^{\left(0\right)}=f^{\left(0\right)}(i+r,j+r)\end{array}\right.---\left(4\right)$

3.2、采用均值化法，对式(4)中的各比较序列进行无量纲处理，即

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i-r,j-r}^{\left(1\right)}=x_{i-r,j-r}^{\left(0\right)}/x_0\\ x_{i-r,j-r+1}^{\left(1\right)}=x_{i-r,j-r+1}^{\left(0\right)}/x_0\\ .\\ .\\ .\\ x_{i,j}^{\left(1\right)}=x_{i,j}^{\left(0\right)}/x_0\\ .\\ .\\ .\\ x_{i+r-1,j+r}^{\left(1\right)}=x_{i+r-1,j+r}^{\left(0\right)}/x_0\\ x_{i+r,j+r}^{\left(1\right)}=x_{i+r,j+r}^{\left(0\right)}/x_0\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，x₀由式(3)求得。

3.3、计算差序列、最大差和最小差，三者分别为：

差序列： ${\mathrm{\Δ}}_{l,k}=|x_0-x_{l,k}^{\left(1\right)}|---\left(6\right)$

最大差： $\max {\mathrm{\Δ}}_{l,k}=\max |x_0-x_{l,k}^{\left(1\right)}|---\left(7\right)$

最小差： $\min {\mathrm{\Δ}}_{l,k}=\min |x_0-x_{l,k}^{\left(1\right)}|---\left(8\right)$

其中，l＝i-r，i-r+1，…，i+r；k＝j-r，j-r+1，…，j+r。

3.4、计算灰色关联系数

${\mathrm{\ϵ}}_{l,k}=\frac{\min {\mathrm{\Δ}}_{l,k}+0.5\max {\mathrm{\Δ}}_{l,k}}{{\mathrm{\Δ}}_{l,k}+0.5\max {\mathrm{\Δ}}_{l,k}}---\left(9\right)$

其中，l＝i-r，i-r+1，…，i+r；k＝j-r，j-r+1，…，j+r。

3.5、将式(9)求得的灰色关联系数作为对应采样点的权值，加权平均求得滤波窗口中心点(i，j)处的轮廓值，即

$\hat{f}(i,j)=\frac{\underset{l=i-r}{\overset{i+r}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=j-r}{\overset{j+r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{l,k}\·x_{l,k}^{\left(0\right)}}{\underset{l=i-r}{\overset{i+r}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=j-r}{\overset{j+r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{l,k}}---\left(10\right)$

其中，x_l，k ⁽⁰⁾为比较序列，由式(4)求得。

[4]、使滤波窗口遍历整个评定区域，重复步骤3.1~3.5，求得评定区域内各采样点所对应的轮廓值

连接所有

的光滑曲面即为三维表面粗糙度评定的灰色基准面。

本发明一种三维表面粗糙度评定中建立轮廓基准面的新方法，其优点和功效是：本发明应用灰色自适应加权均值滤波法建立的粗糙度评定基准面具有以下优点，即

(1)由于灰色关联分析是根据因素之间的发展态势的相似或相异程度来衡量因素之间相关程度的方法，因此在利用灰色自适应加权均值滤波建立轮廓基准面时，不要求原始轮廓数据服从典型分布；

(2)灰色方法非常适合解决少数据、贫信息和不确定问题，因此应用灰色自适应加权均值滤波方法建立的轮廓基准面尤其适合于难以获得大量采样数据的表面轮廓的评定；

(3)灰色自适应加权均值滤波通过滤波窗口中各采样点的轮廓值与窗口中所有采样点轮廓平均值的相似程度来确定滤波权值，随着滤波窗口在整个评定区域内移动，滤波权值自适应地改变。因此即使未事先剔出滤波窗口内采样数据的异常值，也不会对滤波效果产生明显的影响；

(4)由评定实例可以看出，灰色基准面不仅在整个评定区域内光滑自然，而且与高斯基准面具有良好的一致性，应用两基准面进行粗糙度评定的结果非常吻合。

(四)附图说明：

图1为三维表面粗糙度评定中建立轮廓基准面的一种新方法的流程图；

图2为被测表面原始轮廓；

图3(a)为灰色基准面；

图3(b)为高斯基准面；

图4为灰色基准面与高斯基准面之差；

图5(a)为灰色自适应加权均值滤波法提取粗糙度；

图5(b)为高斯滤波法提取粗糙度；

图6(a)为某一截面上的灰色基准线；

图6(b)为某一截面上的高斯基准线；

图6(c)为某一截面上灰色自适应加权均值滤波法提取粗糙度；

图6(d)为某一截面上高斯滤波法提取的粗糙度。

(五)具体实施方式：

本发明一种三维表面粗糙度评定中建立轮廓基准面的新方法，其建立三维表面粗糙度评定灰色基准面的流程如图1所示，其具体步骤如下：

[1]、从数据文件中载入表面轮廓数据，根据被测表面的实际情况选取合适的取样区域和评定区域。

[2]、根据选定的取样区域和评定区域，截取轮廓数据。在一个评定区域内，截取到被测表面轮廓原始采样数据的矩阵形式为：

$F^{\left(0\right)}=\left[\begin{array}{cccc}{f}^{\left(0\right)}\left(\mathrm{1,1}\right)& f^{\left(0\right)}\left(\mathrm{1,2}\right)& ...& f^{\left(0\right)}(1,n)\\ f^{\left(0\right)}\left(\mathrm{2,1}\right)& f^{\left(0\right)}\left(\mathrm{2,2}\right)& ...& f^{\left(0\right)}(2,n)\\ .& .& & .\\ .& .& ...& .\\ .& .& & .\\ f^{\left(0\right)}(m,1)& f^{\left(0\right)}(m,2)& ...& f^{\left(0\right)}(m,n)\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，m和n分别为评定区域内x轴和y轴方向上采样点的个数。若一个取样区域内x轴和y轴方向上采样点的个数均为(2r+1)，其中r为正整数，其值小于

和中的最小者，取大小为(2r+1)×(2r+1)的滤波窗口，使其在整个评定区域内移动。设某时刻滤波窗口所对应的采样数据可用序列f⁽⁰⁾表示：

f⁽⁰⁾＝{f⁽⁰⁾(i-r，j-r)，f⁽⁰⁾(i-r，j-r+1)，…，f⁽⁰⁾(i，j)，…，f⁽⁰⁾(i+r，j+r)}    (2)

其中，i＝r+1，r+2，…，m-r；j＝r+1，r+2，…，n-r。

[3]、对式(2)中的采样数据序列f⁽⁰⁾实施灰色自适应加权均值滤波，滤波的结果作为窗口中心点(i，j)处的表面轮廓值。

3.1、选择序列f⁽⁰⁾中所有元素的均值作为参考序列，该序列只有一个元素，即

$x_0=\left(\underset{l=i-r}{\overset{i+r}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=j-r}{\overset{j+r}{\mathrm{\Σ}}}{f}^{\left(0\right)}(l,k)\right)/{(2r+1)}^2---\left(3\right)$

其中，f⁽⁰⁾(l，k)∈f⁽⁰⁾。比较序列为f⁽⁰⁾中的每个元素，共有(2r+1)²个比较序列。每个比较序列均只有一个元素，分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i-r,j-r}^{\left(0\right)}=f^{\left(0\right)}(i-r,j-r)\\ x_{i-r,j-r+1}^{\left(0\right)}=f^{\left(0\right)}(i-r,j-r+1)\\ .\\ .\\ .\\ x_{i,j}^{\left(0\right)}=f^{\left(0\right)}(i,j)\\ .\\ .\\ .\\ x_{i+r-1,j+r}^{\left(0\right)}=f^{\left(0\right)}(i+r-1,j+r)\\ x_{i+r,j+r}^{\left(0\right)}=f^{\left(0\right)}(i+r,j+r)\end{array}\right.---\left(4\right)$

3.2、采用均值化法，对式(4)中的各比较序列进行无量纲处理，即

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i-r,j-r}^{\left(1\right)}=x_{i-r,j-r}^{\left(0\right)}/x_0\\ x_{i-r,j-r+1}^{\left(1\right)}=x_{i-r,j-r+1}^{\left(0\right)}/x_0\\ .\\ .\\ .\\ x_{i,j}^{\left(1\right)}=x_{i,j}^{\left(0\right)}/x_0\\ .\\ .\\ .\\ x_{i+r-1,j+r}^{\left(1\right)}=x_{i+r-1,j+r}^{\left(0\right)}/x_0\\ x_{i+r,j+r}^{\left(1\right)}=x_{i+r,j+r}^{\left(0\right)}/x_0\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，x₀由式(3)求得。

3.3、计算差序列、最大差和最小差，三者分别为：

差序列： ${\mathrm{\Δ}}_{l,k}=|x_0-x_{l,k}^{\left(1\right)}|---\left(6\right)$

最大差： $\max {\mathrm{\Δ}}_{l,k}=\max |x_0-x_{l,k}^{\left(1\right)}|---\left(7\right)$

最小差： $\min {\mathrm{\Δ}}_{l,k}=\min |x_0-x_{l,k}^{\left(1\right)}|---\left(8\right)$

其中，l＝i-r，i-r+1，…，i+r；k＝j-r，j-r+1，…，j+r。

3.4、计算灰色关联系数

${\mathrm{\ϵ}}_{l,k}=\frac{\min {\mathrm{\Δ}}_{l,k}+0.5\max {\mathrm{\Δ}}_{l,k}}{{\mathrm{\Δ}}_{l,k}+0.5\max {\mathrm{\Δ}}_{l,k}}---\left(9\right)$

其中，l＝i-r，i-r+1，…，i+r；k＝j-r，j-r+1，…，j+r。

3.5、将式(9)求得的灰色关联系数作为对应采样点的权值，加权平均求得滤波窗口中心点(i，j)处的轮廓值，即

$\hat{f}(i,j)=\frac{\underset{l=i-r}{\overset{i+r}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=j-r}{\overset{j+r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{l,k}\·x_{l,k}^{\left(0\right)}}{\underset{l=i-r}{\overset{i+r}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=j-r}{\overset{j+r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{l,k}}---\left(10\right)$

其中，x_l，k ⁽⁰⁾为比较序列，由式(4)求得。

[4]、使滤波窗口遍历整个评定区域，重复步骤3.1~3.5，求得评定区域内各采样点所对应的轮廓值

连接所有

的光滑曲面即为三维表面粗糙度评定的灰色基准面。

评定实例

应用Matlab7.1分别编制了高斯滤波算法和灰色自适应加权均值滤波算法，对同一个三维表面轮廓进行粗糙度评定。在本例中，评定区域取为7.5mm×10mm，评定区域内原始采样数据个数为m×n＝180×240，取样区域内采样数据个数为(2r+1)×(2r+1)＝35×35，图2所示为被测表面原始轮廓。利用两种算法建立的粗糙度评定基准面、两基准面之差及粗糙度提取结果分别如图3、图4和图5所示。由图3和图4可知，灰色基准面与高斯基准面在整个评定区域内有较好的一致性，两基准面之间的最大相对误差仅为0.05％。由图5可知，在二者共有的评定范围内，两种方法提取的表面粗糙度非常接近。为了进一步说明灰色自适应加权均值滤波方法的有效性，图6给出了某一截面上的粗糙度评定结果。在该截面上，利用高斯滤波法求得的R_a＝0.0571μm，利用灰色自适应加权均值滤波方法求得的R_a＝0.0568μm，二者的相对误差仅为0.53％。

Claims (1)

1.一种三维表面粗糙度评定中建立轮廓基准面的新方法，其特征在于：其具体步骤如下：

[1]、从数据文件中载入表面轮廓数据，根据被测表面的实际情况选取合适的取样区域和评定区域；

[2]、根据选定的取样区域和评定区域，截取轮廓数据；在一个评定区域内，截取到被测表面轮廓原始采样数据的矩阵形式为：

$F^{\left(0\right)}=\left[\begin{array}{cccc}{f}^{\left(0\right)}\left(\mathrm{1,1}\right)& f^{\left(0\right)}\left(\mathrm{1,2}\right)& ...& f^{\left(0\right)}(1,n)\\ f^{\left(0\right)}\left(\mathrm{2,1}\right)& f^{\left(0\right)}\left(\mathrm{2,2}\right)& ...& f^{\left(0\right)}(2,n)\\ .& .& & .\\ .& .& ...& .\\ .& .& & .\\ f^{\left(0\right)}(m,1)& f^{\left(0\right)}(m,2)& ...& f^{\left(0\right)}(m,n)\end{array}\right]---\left(1\right)$

其中，m和n分别为评定区域内x轴和y轴方向上采样点的个数；若一个取样区域内x轴和y轴方向上采样点的个数均为(2r+1)，其中r为正整数，其值小于和

中的最小者，取大小为(2r+1)×(2r+1)的滤波窗口，使其在整个评定区域内移动；设某时刻滤波窗口所对应的采样数据可用序列f⁽⁰⁾表示：

f⁽⁰⁾＝{f⁽⁰⁾(i-r，j-r)，f⁽⁰⁾(i-r，j-r+1)，…，f⁽⁰⁾(i，j)，…，f⁽⁰⁾(i+r，j+r)}    (2)

其中，i＝r+1，r+2，…，m-r；j＝r+1，r+2，…，n-r；

[3]、对式(2)中的采样数据序列f⁽⁰⁾实施灰色自适应加权均值滤波，滤波的结果作为窗口中心点(i，j)处的表面轮廓值；

3.1、选择序列f⁽⁰⁾中所有元素的均值作为参考序列，该序列只有一个元素，即

$x_0=\left(\underset{l=i-r}{\overset{i+r}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=j-r}{\overset{j+r}{\mathrm{\Σ}}}{f}^{\left(0\right)}(l,k)\right)/{(2r+1)}^2---\left(3\right)$

其中，f⁽⁰⁾(l，k)∈f⁽⁰⁾；  比较序列为f⁽⁰⁾中的每个元素，共有(2r+1)²个比较序列；每个比较序列均只有一个元素，分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i-r,j-r}^{\left(0\right)}=f^{\left(0\right)}(i-r,j-r)\\ x_{i-r,j-r+1}^{\left(0\right)}=f^{\left(0\right)}(i-r,j-r+1)\\ .\\ .\\ .\\ x_{i,j}^{\left(0\right)}=f^{\left(0\right)}(i,j)\\ .\\ .\\ .\\ x_{i+r-1,j+r}^{\left(0\right)}=f^{\left(0\right)}(i+r-1,j+r)\\ x_{i+r,j+r}^{\left(0\right)}=f^{\left(0\right)}(i+r,j+r)\end{array}\right.---\left(4\right)$

3.2、采用均值化法，对式(4)中的各比较序列进行无量纲处理，即

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{i-r,j-r}^{\left(1\right)}=x_{i-r,j-r}^{\left(0\right)}/x_0\\ x_{i-r,j-r+1}^{\left(1\right)}=x_{i-r,j-r+1}^{\left(0\right)}/x_0\\ .\\ .\\ .\\ x_{i,j}^{\left(1\right)}=x_{i,j}^{\left(0\right)}/x_0\\ .\\ .\\ .\\ x_{i+r-1,j+r}^{\left(1\right)}=x_{i+r-1,j+r}^{\left(0\right)}/x_0\\ x_{i+r,j+r}^{\left(1\right)}=x_{i+r,j+r}^{\left(0\right)}/x_0\end{array}\right.---\left(5\right)$

其中，x₀由式(3)求得；

3.3、计算差序列、最大差和最小差，三者分别为：

差序列： ${\mathrm{\Δ}}_{l,k}=|x_0-x_{l,k}^{\left(1\right)}|---\left(6\right)$

最大差： $\max {\mathrm{\Δ}}_{l,k}=\max |x_0-x_{l,k}^{\left(1\right)}|---\left(7\right)$

最小差： $\min {\mathrm{\Δ}}_{l,k}=\min |x_0-x_{l,k}^{\left(1\right)}|---\left(8\right)$

其中，l＝i-r，i-r+1，…，i+r；k＝j-r，j-r+1，…，j+r；

3.4、计算灰色关联系数

${\mathrm{\ϵ}}_{l,k}=\frac{\min {\mathrm{\Δ}}_{l,k}+0.5\max {\mathrm{\Δ}}_{l,k}}{{\mathrm{\Δ}}_{l,k}+0.5\max {\mathrm{\Δ}}_{l,k}}---\left(9\right)$

其中，l＝i-r，i-r+1，…，i+r；k＝j-r，j-r+1，…，j+r；

3.5、将式(9)求得的灰色关联系数作为对应采样点的权值，加权平均求得滤波窗口中心点(i，j)处的轮廓值，即

$\hat{f}(i,j)=\frac{\underset{l=i-r}{\overset{i+r}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=j-r}{\overset{j+r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{l,k}\·x_{l,k}^{\left(0\right)}}{\underset{l=i-r}{\overset{i+r}{\mathrm{\Σ}}}\underset{k=j-r}{\overset{j+r}{\mathrm{\Σ}}}{\mathrm{\ϵ}}_{l,k}}---\left(10\right)$

其中，x_l，k ⁽⁰⁾为比较序列，由式(4)求得；

[4]、使滤波窗口遍历整个评定区域，重复步骤3.1～3.5，求得评定区域内各采样点所对应的轮廓值

连接所有

的光滑曲面即为三维表面粗糙度评定的灰色基准面。

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