Lineær funksjonal

En lineær funksjonal er i lineær algebra en lineær transformasjon fra et vektorrom inn på kroppen som vektorrommet er definert over. Egenskaper og bruk av lineære funksjonaler studeres i disiplinen funksjonalanalyse.

Mengden av alle lineære funksjonaler fra vektorrommet V inn på kroppen K utgjør selv et vektorrom med operasjonene addisjon og skalarmultiplikasjon definert punktvis. Dette rommet kalles det duale rommet til V og også det algebraisk duale rommet.

For det euklidske vektorrommet R³ kan enhver lineær funksjonal representeres ved en vektor i R³.

Formell definisjon

La V være et vektorrom over kroppen K. En lineær funksjonal $l$ er en funksjon $f:V\rightarrow K$ som er lineær:

${\begin{alignedat}{2}l(x+y)&=l(x)+l(y)\qquad x,y\in V\\l(\alpha x)&=\alpha l(x)\end{alignedat}}$

For et vektorrom definert over mengden av reelle tall R er en lineær funksjonal en lineær avbilding av en vektor inn på mengden av reelle tall.

Funksjonaler har mange likhetstrekk med en reell funksjon av en reell variabel, og funksjonaler skrives ofte tilsvarende som funksjoner ved hjelp av små bokstaver: $l=l(x)$.

Mengden av alle lineære funksjonaler på V kalles det (algebraisk) duale rommet til V og skrives V^*.

V^* er også et vektorrom, ved å definere addisjon og skalarmultiplikasjon for funksjonaler punktvis:

$(\alpha l_{1}+\beta l_{2})(x)=\alpha l_{1}(x)+\beta l_{2}(x)\quad x\in V$

Funksjonaler på et endelig-dimensjonale rom

Dersom vektorrommet V har endelig dimensjon, så kan enhver vektor i V skrives som en lineærkombinasjon av vektorene i en algebraisk basis i rommet:

$v=\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+\dots +\alpha _{n}v_{n}$

Dersom $l=l(v)$ er en vilkårlig funksjonal definert på V, så kan skalarene $\beta _{k}$ defineres ved ligningene

$\beta _{k}=l(v_{k})$

Fra lineariteten til funksjonalen følger det da at

${\begin{alignedat}{2}l(v)&=l(\alpha _{1}v_{1}+\alpha _{2}v_{2}+\dots +\alpha _{n}v_{n})\\&=\alpha _{1}l(v_{1})+\alpha _{2}l(v_{2})+\dots +\alpha _{n}l(v_{n})\\&=\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\dots +\alpha _{n}\beta _{n}\end{alignedat}}$

Definer også vektoren

$w=\beta _{1}v_{1}+\beta _{2}v_{2}+\dots +\beta _{n}v_{n}$

For hver funksjonal $l$ på V svarer det altså en og kun en vektor w i vektorrommet V. Når V har endelig dimensjon er altså mengden av funksjonaler V^* isomorf med rommet V, det vil si at de to rommene har samme algebraiske struktur.

For det euklidske vektorrommet R³ så kan enhver lineær funksjonal representeres ved hjelp av et skalarprodukt:

$l(v)=v\cdot w$

Litteratur

• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.