Hilbert-rom

Et Hilbert-rom er et (ofte reelt eller komplekst) indreproduktrom som er et komplett metrisk rom med hensyn på metrikken indusert av indreproduktet. Det kan ses på som en spesialisering av klassen av vektorrom til rom med et begrep om (grader av) ortogonalitet. Hilbert-rom er viktige eksempler på Banach-rom.

Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren David Hilbert (1862–1943).

Indreproduktrom

La $V$ være et vektorrom over $\mathbb {C}$ (evt. $\mathbb {R}$ ). Et indreprodukt på $V$ er en funksjon $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to \mathbb {C}$ slik at

(Positivitet) $\langle v,v\rangle \geq 0$ for alle $v\in V$ med likhet hvis og bare hvis $v=0$ ;
(Additivitet i hver variabel) $\langle u+v,w\rangle =\langle u,w\rangle +\langle v,w\rangle$ for alle $u,v,w\in V$ ;
(Linearitet i første variabel) $\langle \alpha u,v\rangle =\alpha \langle u,v,\rangle$ for alle $u,v\in V$ og $\alpha \in \mathbb {C}$ ;
(Antisymmetri) $\langle v,u\rangle ={\overline {\langle u,v\rangle }}$ for alle $u,v\in V$ .

Et vektorrom utstyrt med et indreprodukt kalles et indreproduktrom. To umiddelbare konsekvenser av definisjonen er at

(Antilinearitet i andre variabel) $\langle u,\alpha v\rangle ={\bar {\alpha }}\langle u,v\rangle$ for alle $u,v\in V$ og $\alpha \in \mathbb {C}$ ;
(Additivitet i andre variabel) $\langle u,v+w\rangle =\langle u,v\rangle +\langle u,w\rangle$ for alle $u,v,w\in V$ .

Definisjonen tilpasset enklet til vektorrom over reelle tall ved å fjerne alle konjugasjoner.

Det er enkelt å sjekke at et indreprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle \colon V\times V\to \mathbb {C}$ induserer en norm $\lVert \cdot \rVert :V\to \mathbb {R}$ på $V$ gitt ved $\lVert v\rVert ={\sqrt {\langle v,v\rangle }}$ for alle $v\in V$ . Et indreproduktrom kalles et Hilbert-rom hvis det er et komplett metrisk rom med hensyn på denne normen.

Sentrale eksempler

Euklidske og hermitiske rom

Det n-dimensjonale euklidske rommet $\mathbb {R} ^{n}$ er et Hilbert-rom under indreproduktet gitt ved $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\sum _{j=1}^{n}x_{j}y_{j}$ for $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n}),\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ , som kalles det euklidske indreproduktet. Tilsvarende er $\mathbb {C} ^{n}$ et indreproduktrom under det hermitiske indreproduktet gitt ved $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\sum _{j=1}^{n}x_{j}{\overline {y_{j}}}$ for $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n}),\mathbf {y} =(y_{1},\ldots ,y_{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ .

Kvadratsummerbare følger

Mengden $\ell ^{2}(\mathbb {N} )={\bigg \{}\mathbf {x} =(x_{n})_{n=1}^{\infty }:\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{2}<\infty {\bigg \}}$ av kvadratsummerbare følger av komplekse tall er et Hilbert-rom med indreprodukt gitt ved $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n}}}\$ for $\mathbf {x} =(x_{n})_{n=1}^{\infty },\mathbf {y} =(y_{n})_{n=1}^{\infty }\in \ell ^{2}(\mathbb {N} )$ .

Kvadratintegrerbare funksjoner

La $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ være et målrom. Man definerer rommet av kvadratintegrerbare funksjoner ved

${\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )={\bigg \{}f\colon X\to \mathbb {C} :f{\text{ er }}{\mathcal {A}}{\text{-målbar og }}\int _{X}|f|^{2}\,d\mu <\infty {\bigg \}}.$

Man kan forsøksvis definere et indreprodukt på ${\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ved $\langle f,g\rangle =\int _{X}fg\,d\mu$ , men denne funksjonen tilfredsstiller generelt ikke punkt 1 i definisjonen ovenfor da funksjoner som er 0 bortsett fra på en mengde av mål 0 vil få norm 0. Løsningen er å identifisere funksjoner som er like bortsett fra på en mengde av mål 0 og i steden studere det tilsvarende vektorrommet av ekvivalensklasser av funksjoner. Dette gjøres som følger: Definer en ekvivalensrelasjon $\sim$ på ${\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ved

$f\sim g\iff \mu (\{x\in X:f(x)\neq g(x)\})=0\quad {\text{for alle }}f,g\in {\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu ).$

For $f\in {\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ lar vi $[f]$ betegne ekvivalensklassen til $f$ . Vi skriver $L^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )=\{[f]:f\in {\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )\}$ for mengden av slike, som arver en vektorromssstruktur fra ${\mathcal {L}}^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ . Vi kan nå definere et indreprodukt på $L^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ ved $\langle [f],[g]\rangle =\int _{X}fg\,d\mu$ for $[f],[g]\in L^{2}(X,{\mathcal {A}},\mu ).$ Riesz-Fischer-teoremet sier at dette rommet er komplett med hensyn på den induserte normen og således er et Hilbert-rom. Merk at forrige eksempel er et spesialtilfelle av denne konstruksjonen der det relevante målrommet er $\mathbb {N}$ med $\sigma$ -algebraen bestående av alle delmengder og tellemålet.

Riesz' representasjonsteorem

Et av de viktigste grunnleggende resultater om Hilbert-rom generelt er Riesz' representasjonsteorem.

(Riesz' representasjonsteorem). La ${\mathcal {H}}$ være et Hilbert-rom over $\mathbb {K}$ (enten $\mathbb {R}$ eller $\mathbb {C}$ ) og anta at $\phi :{\mathcal {H}}\to \mathbb {K}$ være en begrenset lineær funksjonal. Da finnes en unik vektor $y\in {\mathcal {H}}$ slik at $\phi (x)=\langle x,y\rangle$ for alle $x\in {\mathcal {H}}.$ Dessuten er $\lVert y\rVert =\lVert \phi \rVert .$