Puntgroep

Een puntgroep met betrekking tot de oorsprong van een euclidische ruimte is een isometriegroep waarvan alle isometrieën de oorsprong als dekpunt hebben. Het is dus een ondergroep van de orthogonale groep. Puntgroepen met betrekking tot de oorsprong zijn van belang als mogelijke symmetriegroep van een figuur in de betreffende ruimte. Het zijn voorbeelden van de in de wiskunde gedefinieerde groepen. De naam puntgroep slaat op het symmetriepunt.

Puntgroepen worden in de scheikunde gebruikt in de theorie van de chemische binding. De kristallografie beschrijft de kristalstructuur van verschillende materialen en maakt daarvoor gebruik van de röntgenkristallografie en de spectroscopie. De kristalstructuur wordt onder andere met behulp van puntgroepen beschreven. Puntgroepen kunnen op verschillende manieren worden weergegeven, bijvoorbeeld met een grafisch programma.^[1] Ze beschrijven de symmetrie van een molecuul. Sommige moleculen hebben zo'n symmetriepunt en dit maakt dat puntgroepen in de scheikunde veel toepassing vinden. Translaties van het molecuul blijven daarbij dus buiten beschouwing. Onder andere is het chirale karakter van een molecuul of molecuulfragment gerelateerd aan de puntgroep.

Puntgroepen worden vooral binnen de kristallografie gebruikt, dus in drie dimensies. Het is mogelijk ze op dezelfde manier voor twee dimensies te definiëren als dat voor drie dimensies is gedaan. De bewerkingen in de puntgroep in twee dimensies, van een rozet, kunnen alleen de rotatie om een punt en de spiegeling zijn. Hoewel in drie dimensies alle bewerkingen uit de rotaties om een omwentelingsas en de spiegeling kunnen worden samengesteld, worden er in drie dimensies meestal vijf bewerkingen onderscheiden, die een meetkundige figuur op zichzelf afbeelden.

De symmetrie-bewerkingen binnen één puntgroep kunnen wiskundig eeneenduidig met orthogonale matrices worden beschreven, waarbij de bijbehorende matrixvermenigvuldiging is gedefinieerd als het na elkaar uitvoeren van twee symmetriebewerkingen. Dit heeft tot gevolg dat de matrix-representaties van alle symmetriebewerkingen in een puntgroep een matrixgroep vormen, waarop de representatietheorie van toepassing is. De representatietheorie maakt veelvuldig gebruik van de indeling in nevenklassen en daarnaast ook van de correlatie tussen een groep en zijn ondergroepen. De ondergroepen hebben een lagere symmetrie dan de groep zelf. Behalve een indeling van een puntgroep in ondergroepen, kent men ook een indeling in conjugatieklassen.

Begrippen

Er zijn in drie dimensies vier soorten puntsymmetrie-bewerkingen, met de identiteit meegeteld vijf. Beperkt tot discrete symmetrie zijn dit:

Spiegeling in een vlak, symbool $\sigma$ .
Niet-triviale rotatie om een as, om een lijn, symbool $C_{n}$ . De $C$ staat voor cyclisch, deze staan model voor de cyclische groepen.
Inversie door een punt, symbool $i$ . Het inversiepunt is altijd ook het symmetriepunt, het moleculaire centrum. De combinatie rotatie over een hoek van 180° en inversie levert een spiegeling op: $C_{2}i=\sigma$ .
Draaispiegeling samengesteld uit een rotatie over een hoek die niet 0° of 180° is, om een as, plus een spiegeling in een vlak loodrecht op die as, symbool $S_{n}$ , met $S_{n}=C_{n}\sigma =\sigma C_{n}$ .
Identieke afbeelding in de ruimte, symbool $E$ .

Twee keer vlakspiegeling of twee keer puntspiegeling komt weer uit bij de beginsituatie: $\sigma ^{2}=E,\ i^{2}=E$ . De index $n$ bij $C_{n}$ en $S_{n}$ geeft het aantal rotaties aan dat nodig is om weer uit te komen bij de beginsituatie: $C_{n}^{n}=E,\ S_{n}^{n}=E$ . Theoretisch kan $n$ ieder natuurlijk getal zijn, het aantal puntgroepen is dus oneindig, maar in de meeste toepassingen is $n$ niet groter dan 8 à 12.

De puntsymmetrie-elementen zijn:

Het spiegelvlak, symbool $\sigma$ met horizontaal: $\sigma _{\text{h}}$ , verticaal: $\sigma _{\text{v}}$ en diagonaal: $\sigma _{\text{d}}$ .
De rotatieas, symbool $C_{n}$ .
Het inversiepunt, symbool $i$ .
De draaispiegelingsas, symbool $S_{n}$ .

De puntsymmetrieelementen van een object of molecuul bepalen welke puntsymmetriebewerkingen mogelijk zijn. Een puntgroep als verzameling van bewerkingen wordt daarom bepaald aan de hand van de puntsymmetrieelementen. De puntsymmetrieelementen en de daarbij voorkomende bewerkingen worden gewoonlijk met dezelfde symbolen aangegeven, eventueel met een subscript als nadere precisering.

De puntgroepen kunnen globaal aan de hand van het aantal rotatieassen worden ingedeeld:

De niet-axiale groepen, dat wil zeggen dat er onder de puntsymmetrieelementen geen rotatieas as voorkomt: $C_{1}$ bij $E$ , $C_{i}$ bij i en $C_{s}$ bij $\sigma$ .
De groepen met één hoofdas: $C_{n}$ bij eigenlijke rotatie, $S_{2n}$ bij oneigenlijke rotatie en $C_{n{\text{v}}},C_{n{\text{h}}}$ bij rotatie en vlakspiegeling.
De groepen met één hoofdas en $n$ nevenassen: $D_{n}$ zonder spiegelvlakken en $D_{n{\text{d}}},D_{n{\text{h}}}$ met spiegelvlakken erbij. Dit zijn dihedrale groepen
De groepen met drie of meer hoofdassen: de kubische groepen $T,\,T_{\text{h}},\,T_{\text{d}},\,O$ en $O_{\text{h}}$ en de icosahedrale groepen $I$ en $I_{\text{h}}$ . De subscripten verwijzen ook hier naar spiegelvlakken.
De groepen voor lineaire symmetrie: $C_{\infty {\text{v}}},D_{\infty {\text{h}}}$ en voor bolsymmetrie: $R_{3}$ . Dit zijn oneindige groepen.
Daarnaast nog een aantal dubbelgroepen. Deze worden gevormd door als extra operator nog tijdsinversie (spininversie) toe te voegen. Dubbelgroepen zijn vooral nuttig bij het beschrijven van overgangsmetaalcomplexen.

De hoofdas wordt altijd als

z

-as gedefinieerd: h voor horizontaal duidt dan op het

xy

-vlak, v voor verticaal duidt op de

x_{i}z

-vlakken en d voor diagonaal op de vlakken diagonaal tussen

x_{i}z

en

x_{i+1}z

.

Voorbeeld

De groepselementen van een puntgroep zijn niet de symmetrie-elementen, maar de symmetrie-operatoren.

Nemen we als voorbeeld $D_{4{\text{h}}}$ , een dihedrale groep, de puntgroep in de driedimensionale ruimte van een vierkant, dat per definitie in het horizontale $xy$ -vlak ligt.

De puntgroep $D_{4{\text{h}}}$ wordt door een verzameling van zes symmetrie-elementen bepaald: één verticale $C_{4}$ -as, langs de $z$ -as, vier horizontale $C_{2}$ -assen, dit zijn de twee $C_{2}'$ -assen langs $x$ -as en $y$ -as en de twee $C_{2}''$ -assen diagonaal tussen $x$ - en $y$ -as, en het σ_h-vlak, het $xy$ -vlak. De twee $C_{2}'$ -assen kunnen door $C_{4}$ in elkaar worden overgevoerd, zo ook de twee $C_{2}''$ -assen. Het resultaat is een minimale verzameling van vier onafhankelijke symmetrie-elementen. De vier bijbehorende symmetrieoperatoren, $C_{4},\,C_{2}',\,C_{2}''$ en $\sigma _{\text{h}}$ vormen de genererende verzameling van de groep $D_{4{\text{h}}}$ dat is: deze minimale verzameling van vier symmetrie-operatoren genereert de volledige verzameling van 16 symmetrie-operatoren van de groep $D_{4{\text{h}}}$ : $E,\,C_{4},\,C_{4^{2}}=C_{2}(z),\,C_{4^{3}},\,C_{2}'(x)C_{2}'(y),\,2C_{2}''$ , beide diagonaal tussen $x$ en $y$ , $i,\,S_{4},\,S_{4^{3}},\,\sigma _{\text{h}},\,2\sigma _{\text{v}},\,2\sigma _{\text{d}}$ .

De groep $D_{4{\text{h}}}$ bezit dus 16 groepselementen, in de taal van de groepentheorie: de orde van de groep $D_{4{\text{h}}}$ is 16. Dit is de groepsorde, te onderscheiden van de orde van de afzonderlijke elementen.

$C_{4}$ is een element van de orde 4, het genereert een cyclische ondergroep van de orde 4: $C_{4},\,C_{4^{2}}=C_{2},\,C_{4^{3}}$ en $C_{4},\,C_{4^{2}}=C_{2},\,C_{4^{4}}=E$ . Dit is de groep $C_{4}$ , te onderscheiden van het element $C_{4}$ dat de groep genereert, net als $C_{4^{3}}$ . $S_{4}$ is ook een element van de orde 4 en genereert de cyclische ondergroep $S_{4}$ ook, net als $S_{4^{3}}$ . Het element $E$ is van de orde 1 en genereert de triviale ondergroep $C_{1}$ . De andere elementen van de groep $D_{4{\text{h}}}$ zijn van de orde 2, zij genereren de cyclische ondergroepen $C_{2},\,C_{i}=S_{2}$ of $C_{s}=C_{h}$ , die groepen van de orde 2 zijn.

Deze cyclische groepen zijn niet de enige ondergroepen van $D_{4{\text{h}}}$ . Andere ondergroepen worden gevormd door twee of meer genererende elementen. $D_{4{\text{h}}}$ heeft bijvoorbeeld als niet-cyclische ondergroepen van de orde 8: $D_{4},\,C_{4{\text{h}}},\,C_{4{\text{v}}},\,D_{2{\text{d}}},\,D_{2{\text{h}}}$ en als niet-cyclische ondergroepen van de orde 4: $D_{2},\,C_{2{\text{h}}},\,C_{2{\text{v}}},\,D_{2{\text{d}}},\,D_{2{\text{h}}}$ .

Puntgroepen in de kristallografie

Een kristal kan worden gezien als opgebouwd uit eenheidscellen, die in een rooster zijn gestapeld volgens een bepaalde translatiesymmetrie. De puntsymmetrie van de eenheidscel moet verenigbaar, compatibel, zijn met de translatiesymmetrie van het rooster. De combinatie, in de driedimensionale Euclidische ruimte, van de translatiesymmetrie-elementen met de compatibele puntsymmetrieelementen levert de kristallografische ruimtegroepen op, daarvan zijn er precies 230.

Terwijl er oneindig veel puntgroepen zijn, zijn maar weinig puntgroepen compatibel met de translatiesymmetrie van een kristal. Een 5-tallige, 7-tallige of hogere as bestaat niet in kristallen, omdat daarmee de ruimte niet kan worden gevuld. Een rooster opgebouwd door een onbepaald aantal translaties kan alleen de volgende rotatieassen bevatten: $C_{1},\,C_{2},\,C_{3},\,C_{4}$ en $C_{6}$ . Daarnaast kan nog een inversiecentrum $i$ als onafhankelijk puntsymmetrieelement aanwezig zijn. Bedenk daarbij dat oneigenlijke rotaties en spiegelvlakken worden gegenereerd door combinaties van eigenlijke rotaties en inversie.

Een eerste selectie aan de hand van deze symmetriebewerkingen als genererende elementen geeft de volgende puntgroepen: $C_{n},\,S_{n}$ ^[2], $C_{n{\text{h}}},\,C_{n{\text{v}}},\,D_{n},\,D_{n{\text{h}}},\,D_{n{\text{d}}}$ voor $n=1,2,3,4\ {\text{of}}\ 6$ , en de kubische puntgroepen $T,\,T_{\text{d}},\,T_{\text{h}},\,O,\,O_{\text{h}}$ . Zo genoteerd, zitten bij deze 40 groepen echter dubbeltellingen en uitsluitingen. Dubbel geteld zijn er 6: $C_{1{\text{v}}}\equiv C_{1{\text{h}}},\,D_{1}\equiv C_{2},\,D_{1{\text{h}}}\equiv C_{2{\text{v}}},\,D_{1{\text{d}}}\equiv C_{2{\text{h}}},\,S_{1}\equiv C_{1{\text{h}}}$ en $S_{3}\equiv C_{3{\text{h}}}$ , in de tabel is steeds een van beide in grijs aangegeven. $D_{4{\text{d}}}$ en $D_{6{\text{d}}}$ moeten worden uitgesloten, in de tabel in rood aangegeven, omdat deze twee groepen de uitgesloten $S_{8}$ respectievelijk $S_{12}$ bevatten, die in de tabel 'De belangrijkste puntgroepen, hun groepselementen gegroepeerd in conjugatieklassen en hun subgroepen' vet aangegeven. Er blijven precies 32 puntgroepen over die compatibel zijn met translatiesymmetrie en de ruimtegroepen, dit zijn de 32 kristallografische puntgroepen. De systematiek ervan is in onderstaande tabel samengevat:

De 32 kristallografische puntgroepen
in geel
n	1	2	3	4	6
kubisch	T	T_d	T_h	O	O_h
C_n	C₁	C₂	C₃	C₄	C₆
C_nv	C_1v=C_1h	C_2v	C_3v	C_4v	C_6v
C_nh	C_1h	C_2h	C_3h	C_4h	C_6h
D_n	D₁=C₂	D₂	D₃	D₄	D₆
D_nh	D_1h=C_2v	D_2h	D_3h	D_4h	D_6h
D_nd	D_1d=C_2h	D_2d	D_3d	D_4d	D_6d
S_n	S₁=C_1h	S₂	S₃=C_3h	S₄	S₆

Kristallografische puntgroepen, internationale notatie

De Schoenflies notatie is geschikt voor alle puntgroepen, maar niet geschikt voor ruimtegroepen. Arthur Moritz Schoenflies 1853-1928 kwam uit Duitsland en heeft een belangrijke bijdrage geleverd aan de toepassing van de groepentheorie op de kristallografie. Kristallograaf Carl Hermann uit Duitsland en mineraloog Charles-Victor Mauguin uit Frankrijk hebben beide een notatie bedacht, die tegelijk kan worden toegepast op de 3-dimensionale ruimtegroepen en op de 32 kristallografische puntgroepen. Deze notatie wordt de Internationale notatie of Hermann-Mauguinnotatie genoemd. Hoewel de Internationale notatie niet geldt voor alle puntgroepen, heeft zij in de kristallografie de voorkeur over de Schönflies notatie omdat het een gemakkelijke notatie voor translatiesymmetrie elementen biedt en omdat het bovendien de richtingen van de symmetrie-assen aangeeft.

De toepassing van de Internationale notatie blijft hier tot de puntgroepen beperkt. Net als de Schönflies notatie baseert de Internationale notatie zich op de symmetrie-elementen. Bij de classificatie voor oneigenlijke rotaties wordt in de Internationale notatie het inversie-element i gebruikt, in de Schönflies notatie wordt het reflectie-element met een σ wordt aangegeven. Met de gegeven systematiek voor het vaststellen van de 32 kristallografische is ook de systematiek van de Hermann–Mauguin notatie voor puntgroepen goed duidelijk te maken.

De symbolen voor eigenlijke rotaties worden verkort tot cijfers, dus C₁, C₂, C₃, C₄ en C₆ worden weergegeven als 1, 2, 3, 4 en 6.
De symbolen voor oneigenlijke rotaties, hier dus rotaties met inversie, hebben een streep boven de cijfers, dus C₁i, C₂i, C₃i, C₄i en C₆i worden weergegeven als 1, 2, 3, 4, 6. Merk hier dus op: C₁i ≡ i, dus 1 ≡ C_i, zo ook C₂i ≡ σ en 2 ≡ C_s. Op dezelfde wijze vindt men 3 ≡ S₆, 4 ≡ S₄ en 6 ≡ S₃.
Het symbool voor spiegeling is in Internationale notatie m. Let hier op: omdat C_s ≡ 2 het symbool m krijgt, vervalt het symbool 2.
- Als het spiegelvlak de n-voudige eigenlijke rotatieas bevat, in Schönflies is dit σ_v of σ_d, is het samengestelde symbool nm, met n=1,2,3,4 of 6.
- Als het het spiegelvlak loodrecht op de n-voudige eigenlijke rotatieas staat, in Schönflies is dit σ_h, is het samengestelde symbool ${\tfrac {n}{m}}$ , met n=1,2,3,4 of 6.

Als extra regel geldt dat men met het minimale aantal symbolen volstaat, dit betekent voor de niet-cyclische groepen dat men zich beperkt tot de genererende elementen. Dus bijvoorbeeld C_3v met symmetrie-elementen C₃ en 3σ_v wordt in Internationale notatie niet 3mmm, maar 3m , en D₃ met C₃ en 3C₂ wordt niet 3222 maar 32. Als er echter onafhankelijke assen of vlakken zijn, kunnen de symbolen wel twee of drie keer voorkomen. Zo wordt de groep D₂ met drie onafhankelijke C₂ assen aangegeven met 222. Een bijzonder geval is D_3h, men is geneigd die groep te schrijven als ${\tfrac {2}{m}},{\tfrac {2}{m}},{\tfrac {2}{m}}$ , maar dan is er overtolligheid, en dit is vereenvoudigd tot mmm. De groep T met meervoudige 2- en 3-tallige assen is 23 geworden en niet 32, want 32 is de groep D₃. De 3-tallige as komt ook bij de andere kubische groepen op de tweede plaats.

Het bepalen van de puntgroep

De Schoenflies notatie is gevolgd, die in de scheikunde het meeste wordt gebruikt en die voor alle puntgroepen bruikbaar is. De Schoenfliessymbolen krijgen in het geval van dubbelgroepen een * of een ' als superscript, we laten dit hieronder verder buiten beschouwing. In de kristallografie gebruikt men een andere puntgroepnotatie, de Internationale of Hermann-Mauguin notatie, die alleen op de verzameling van kristallografische puntgroepen van toepassing is.

Lineair ? ja →
- inversie ja? → D_∞h
- inversie nee? → C_∞v

Lineair ? nee →
- 2 of meer C_n, n ≥ 3 ? ja →
  - → inversie ? ja → C₅ ? ja → I_h
  - → inversie ? ja → C₅ ? nee → O_h
  - → inversie ? nee → T_d

Lineair ? nee → 2 of meer C_n, n ≥ 3 ? nee → C_n ? ja.
- Kies C_n met grootste n → nC₂ loodrecht op C_n ? ja →
  - σ_h ? ja → D_nh
  - σ_h ? nee → nσ_d ? ja → D_nd
  - σ_h ? nee → nσ_d ? nee → D_n

Lineair ? nee → 2 of meer C_n, n ≥ 3 ? nee → C_n ? ja →
- Kies C_n met grootste n: nC₂ loodrecht C_n met grootste n ? nee, geen →
  - σ_h ? ja → C_nh
  - σ_h ? nee → σ_v ? ja → C_nv
  - σ_h ? nee → σ_v ? nee → S_2n ? ja → S_2n
  - σ_h ? nee → σ_v ? nee → S_2n ? nee → C_n

Nota bene: als men uitkomt bij C_n of C_nv, moet men controleren op de aanwezigheid van een S_2n-as. De S_2n-as wordt zichtbaar door het object of molecuul te projecteren langs de C_n-as. Is er zo'n S_2n-as, dan geldt C_n → S_2n en C_nv → D_nd.

Lineair ? nee → 2 of meer C_n, n ≥ 3 ? nee → C_n ? nee →
- σ ? ja → C_s
- σ ? nee → i ja ? → C_i
- σ ? nee → i nee ? → C₁

Tabellen

De 32 kristallografische puntgroepen in Schönflies notatie en in Internationale notatie.
Schoenflies symbool	Internationaal symbool
C₁	1
C_i	1
C₂	2
C_s	m
C_2h	${\tfrac {2}{m}}$
D₂	222
C_2v	mm (mm2)
D_2h	mmm
C₄	4
S₄	4
C_4h	${\tfrac {4}{m}}$
D₄	422
C_4v	4mm
D_2d	42m (4m2)
D_4h	${\tfrac {4}{m}}$
C₃	3
S₆	3
D₃	32
C_3v	3m
D_3d	3m
C₆	6
C_3h	6
C_6h	${\tfrac {6}{m}}$
D₆	622
C_6v	6mm
D_3h	6m2 (62m)
D_6h	${\tfrac {6}{m}}$
T	23
T_h	m3 (m3)
O	432
T_d	43m
O_h	m3m (m3m)

De kristallografische puntgroepen van de roosterpunten moeten compatibel zijn met de symmetrie van het bravaisrooster waarvan de roosterpunten een onderdeel zijn. Er zijn puntgroepen die daar nooit aan voldoen. De belangrijkste puntgroepen, kristallografische en overige, staan in de volgende tabel.

De belangrijkste puntgroepen, hun groepselementen gegroepeerd in conjugatieklassen en hun ondergroepen
puntgroep (Schoenflies notatie)	orde van de groep	elementen van de groep = symmetrieoperatoren (gegroepeerd naar conjugatieklassen)	ondergroepen (symmetrie-verlaging)
C₁	1	E
C_s = S₁	2	E, σ
C_i = S₂	2	E, i
C₂	2	E, C₂
C₃	3	E, C₃, C₃²
C₄	4	E, C₄, C₂, C₄²	C₂
C₅	5	E, C₅, C₅², C₅³, C₅⁴
C₆	6	E, C₆, C₃, C₂, C₃², C₆⁵	C₃, C₂
C₇	7	E, C₇, C₇², C₇³, C₇⁴, C₇⁵, C₇⁶
C₈	8	E, C₈, C₄, C₂, C₄³, C₈³, C₈⁵, C₈⁷	C₄, C₂
D₂	4	E, C₂(z), C₂(y), C₂(x)	C₂ (3 x)
D₃	6	E, 2C₃, 3C₂	C₃, C₂
D₄	8	E, 2C₄, C₂(=C₄²) 2C₂^,, 2C₂^,,	C₄, C₂ (3 x)
D₅	10	E, 2C₅, 2C₅², 5C₂	C₅, C₂
D₆	12	E, 2C₆, 2C₃, C₂, 3C₂^,, 3C₂^,,	C₆, D₃ (2 x), D₂, C₃, C₂ (3 x)
C_2v = D_1h	4	E, C₂, σ_v(xz), σ_v(x^,z)	C₂, C_s (2 x)
C_3v	6	E, 2C₃, 3σ_v	C₃, C_s
C_4v	8	E, 2C₄, C₂, 2σ_v, 2σ_d	C₄, C_2v (2 x), C₂, C_2d (2 x)
C_5v	10	E, 2C₅, 2C₅², 5σ_v	C₅, C_s
C_6v	12	E, 2C₆, 2C₃, C₂, 3σ_v, 3σ_d	C₆, C_3v (2 x), C_2v, C₃, C₂, C_s (2 x)
C_2h = D_1d	4	E, C₂, i, σ_h	C₂, C_i, C_s
C_3h = S₃	6	E, C₃, C₃², σ_h, S₃, S₃⁵	C₃, C_s
C_4h	8	E, C₄, C₂, C₄³, i, S₄^3,σ_h, S₄	C₄, S₄, C_2h, C₂, C_i, C_s
C_5h	10	E, C₅, C₅², C₅³, C₅⁴, σ_h, S₅, S₅⁷, S₅³, S₅⁹	C₅, C_s
C_6h	12	E, C₆, C₃, C₂, C₃², C₆⁵, i, S₃⁵, S₆⁵, σ_h, S₆, S₃	C₆, C_3h, S₆, C_2h, C₃, C₂, C_i, C_s
D_2h	8	E, C₂(z), C₂(y) C₂(x), i, σ_h (xy), σ_v(xz), σ_v(yz)	D₂, C_2v (3 x), C_2h (3 x), C₂ (3 x), C_s (3 x)
D_3h	12	E, 2C₃, 3C₂, σ_h, 2S₃, 3σ_v	C_3h, D₃, C_3v, C_2v, C₃, C₂, C_s (2 x)
D_4h	16	E, 2C₄, C₂, 2C₂^,, 2C₂^,,, i, 2S₄, σ_h, 2σ_v, 2σ_d	D₄, D_2d (2 x), C_4v, C_4h, D_2h (2 x), C₄, S₄, D₂ (2 x), C_2v (4 x), C_2h (3 x), C₂ (3 x), C_i, C_s (3 x)
D_5h	20	E, 2C₅, 2C₅², 5C_2,σ_h, 2S₅, 2S₅³, 5σ_v	D₅, C_5v, C_5h, C₅, C_2v, C₂, C_s (2 x)
D_6h	24	E, 2C₆, 2C₃, C₂ 3C₂^,, 3C₂^,,, i, 2S₃, 2S₆, σ_h, 3σ_v, 3σ_d	D₆, D_3h (2 x), C_6v, C_6h, D_3d (2 x), D_2h, C₆, C_3h, D₃ (2 x), C_3v (2 x), S₆, D₂, C_2v (2 x), C_2h (3 x), C₃, C₂ (3 x), C_i, C_s (3 x)
D_8h	32	E, 2C₈, 2C₈³, 2C₄, C₂, 4C₂^,, 4C₂^,,, i, 2S₈, 2S₈³, 2S₄, σ_h, 4σ_d, 4σ_v	onder andere D₈, C₈, S₈, C_8h, C_8v, D_4h en hun ondergroepen
D_2d	8	E, 2S₄, C₂, 2C₂^,, 2σ_d	S₄, D₂, C_2v, C₂ (2 x), C_s
D_3d	12	E, 2C₃, 3C₂, i, 2S₆, 3σ_d	D₃, C_3v, S₆, C₃, C_2h, C₂, C_i, C_s
D_4d	16	E, 2S₈, 2C₄, 2S₈³, C₂, 4C₂^,, 4σ_d	D₄, C_4v, S₈, C₄, C_2v, C₂ (2 x), C_s
D_5d	20	E, 2C₅, 2C₅², 5C₂, i, 2S₁₀³, 2S₁₀, 5σ_d	D₅, C_5v, C₅, C₂, C_i, C_s
D_6d	24	E, 2S₁₂, 2C₆, 2S₄, 2C₃, 2S₁₂⁵, C₂, 6C₂^,, 6σ_d	D₆, C_6v, S₁₂, C₆, D_2d, D₃, C_3v, D₂, C_2v, S₄, C₃, C₂ (2 x), C_s
S₄	4	E, S₄, C₂, S₄³	C₂
S₆	6	E, C₃, C₃², i, S₆⁵, S₆	C₃, C_i
S₈	8	E, S₈, C₄, S₈³, C₂, S₈⁵, C₄³, S₈⁷	C₄, C₂
T	12	E, 4C₃, 4C₃², 3C₂	D₂, C₃, C₂
T_h	24	E, E, 4C₃, 4C₃², 3C₂, i, 4S₆, 4S₆⁵, 3σ_h	T, D_2h, S₆, D₂, C_2v, C_2h, C₃, C₂, C_i, C_s
T_d	24	E, 8C₃, 3C₂, 6S₄, 6σ_d	T, D_2d, C_3v, S₄, D₂, C_2v, C₃, C₂, C_s
O	24	E, 6C₄, 3C₂(=C₄²), 8C₃, 6C₂	T, D₄, D₃, C₄, D₂ (2 x), C₃, C₂ (2 x)
O_h	48	E, 8C₃, 6C₂, 6C₄, 3C₂(=C₄²), i, 6S₄, 8S₆, 3σ_h, 6σ_d	O, T_d, T_h, T, D_4h, D₄, D_3d, D_2d, C_4h, C_4v, D_2h (2 x), D₃, C_3v, S₆, C₄, S₄, C_2v (3 x), D₂ (2 x), C_2h (2 x), C₃, C₂ (2 x), S₂, C_i, C_s
I	60	E, 12C₅, 12C₅², 20C₃, 15C₂	D₅, C₅, D₃, C₃, C₂
I_h	120	E, 12C₅, 12C₅², 20C₃, 15C₂, i, 12S₁₀, 12S₆³, 20S₆, 15σ	onder andere I, S₁₀, D_5h, C_5v, D_3h en hun ondergroepen
C_∞v, lineaire groep zonder i	∞	E, 2C_∞ (en ∞ hieruit gegenereerde operatoren), ∞σ_v	onder andere C_nv en hun ondergroepen
D_∞h, lineaire groep met i	∞	E, 2C_∞ (en ∞ hieruit gegenereerde operatoren), ∞σ_v i, 2S_∞ (en ∞ hieruit gegenereerde operatoren), ∞C₂	C_∞v, en onder andere D_nh en hun ondergroepen
R₃, volle rotatiegroep.	∞	∞C_∞, ∞σ, i	Onder andere O, D₄, D₃ en hun ondergroepen

voetnoten

↑ (en) Otterbein University. symmetry^{[dode link]}.
↑ In onder meer het artikel Symmetriegroep aangeduid als $S_{2n}$

bronvermelding

Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Crystallography op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.
Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Punktgruppe op de Duitstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.
Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Groupe ponctuel de symétrie op de Franstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.

[1] (en) Otterbein University. symmetry^{[dode link]}.

[2] In onder meer het artikel Symmetriegroep aangeduid als $S_{2n}$

[1]

[2]