Ongelijkheid van Minkowski

De ongelijkheid van Minkowski - genoemd naar de Joods-Duitse wiskundige Hermann Minkowski - is een stelling in de functionaalanalyse die zegt dat in de L^p-ruimten de driehoeksongelijkheid geldt. Bijgevolg zijn deze ruimten genormeerde vectorruimten

Stelling

Laat $S$ een maatruimte zijn en $1\leq p\leq \infty$ . Voor de functies $f,g\in L^{p}(S)$ geldt dat $f+g\in L^{p}(S)$ en

\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}.

Als $1<p<\infty$ is er precies dan gelijkheid als $f$ en $g$ positief linear afhankelijk zijn (d.w.z $f=\lambda \,g$ voor een zekere $\lambda \geq 0$ ).

Bewijs

De ongelijkheid is triviaal voor $p=1$ en $p=\infty$ . Zij nu $1<p<\infty$ . De afbeelding $x\mapsto |x|^{p}$ is een convexe functie, daarom is:

|f+g|^{p}=2^{p}\cdot \left|{\tfrac {1}{2}}f+{\tfrac {1}{2}}g\right|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}),

en dus is $f+g\in L^{p}(S)$ .

Zonder verlies van algemeenheid kan verondersteld worden dat $\|f+g\|_{p}>0$ . Er geldt dan:

{\begin{aligned}|f+g|^{p}&=(|f+g|)(|f+g|)^{p-1}\\&\leq (|f|+|g|)(|f+g|)^{p-1}\\&=|f|\cdot |f+g|^{p-1}+|g|\cdot |f+g|^{p-1}\\\end{aligned}}

Laat $q=p/(p-1)$ , dan is $q$ de geconjugeerde index van $p$ , en is

{\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1

Volgens de ongelijkheid van Hölder is:

{\begin{aligned}\|f+g\|_{p}^{p}=\int _{S}|f+g|^{p}&\leq \int _{S}\left(|f|\cdot |f+g|^{p-1}\right)+\int _{S}\left(|g|\cdot |f+g|^{p-1}\right)\\&\leq \|f\|_{p}\cdot \||f+g|^{p-1}\|_{q}+\|g\|_{p}\cdot \||f+g|^{p-1}\|_{q}\\[.2em]&=(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})\cdot \||f+g|^{p-1}\|_{q}\\&=(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})\cdot \left(\int _{S}|f+g|^{(p-1)\cdot {\frac {p}{p-1}}}\right)^{1-{\frac {1}{p}}}\\&=(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})\cdot {\frac {\int _{S}|f+g|^{p}}{\left(\int _{S}|f+g|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}}\\&=(\|f\|_{p}+\|g\|_{p})\cdot {\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}\\\end{aligned}}

Na vermenigvuldiging van beide zijden met $\|f+g\|_{p}/\|f+g\|_{p}^{p}$ volgt hieruit de ongelijkheid van Minkowski.

Speciaal geval

Voor het speciale geval van eindige rijen $(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})$ van reële of complexe getallen, met als maat de telmaat, ziet de ongelijkheid er als volgt uit: