Kopúnek behoorde van 2006 tot en met 2012 tot het Slowaakse nationale team, maar was daarin meestal een reservespeler. In die functie nam bondscoach Vladimír Weiss hem ook als een van zijn 23 selectiespelers mee naar het WK 2010. Daar kwam Kopúnek in de derde groepswedstrijd tegen Italië voor het eerst in actie, toen hij in de 87e minuut inviel voor Zdeno Štrba. Twee minuten later scoorde hij de 3–1 voor Slovenië in de uiteindelijk met 3–2 gewonnen wedstrijd. Mede door zijn doelpunt won de Slowaakse ploeg niet alleen de wedstrijd, maar ging die ook door naar de achtste finale, in plaats van Italië. Kopúnek viel in die achtste finale tegen Nederland (2–1 verlies) in de 71e minuut in voor Erik Jendrišek.
Slowakije
AS Bisceglie
Premjer-Liga
Premyer Liqası
NB I
1. česká fotbalová liga