Jesper Uneken speelde in de jeugd van OJC Rosmalen en PSV. Hier tekende hij in 2021 een contract tot medio 2023, wat hierna verlengd werd tot 2025. Hij debuteerde in het betaald voetbal voor Jong PSV op 6 maart 2023, in de met 1–2 verloren thuiswedstrijd tegen NAC Breda. Hij kwam in de 73e minuut in het veld voor Dante Sealy. In zijn eerste seizoen bij Jong PSV kwam hij tot vier korte invalbeurten.
Op 6 april 2024 maakte hij zijn debuut voor PSV in de Eredivisie. In de laatste minuten thuis tegen AZ maakte hij gelijk zijn eerste doelpunt bij zijn debuut, de 5–1.[3] In september 2024 verlengde hij zijn contract tot medio 2027.[4]