Utente:Baroc/Sandbox4

Dato un triangolo rettangolo, il seno di un angolo acuto è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto all'angolo e dell'ipotenusa

In matematica, in particolare in trigonometria, dato un triangolo rettangolo, il seno di uno dei due angoli interni adiacenti all'ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto all'angolo e dell'ipotenusa.

Più in generale, il seno di un angolo $\alpha$, espresso in gradi o radianti, è una quantità che dipende solo da $\alpha$, costruita usando la circonferenza unitaria.

Definendo come $\sin(x)$ il seno nell'angolo $x$, si ottiene la funzione seno, una funzione trigonometrica di fondamentale importanza nell'analisi matematica.

Definizione

Nel triangolo rosso in figura, il seno di $x$ è dato da

$\sin(x)={\overline {DC}}$

Più in generale, si definisce il seno di un angolo $x$ (espresso in gradi o radianti) a partire dalla circonferenza goniometrica, ovvero dalla circonferenza di raggio unitario nel piano cartesiano. Presa la semiretta uscente dall'origine che forma un angolo $x$ con l'asse delle ascisse come in figura, il seno dell'angolo è quindi definito come il valore della coordinata $y$ del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza (in figura, è la lunghezza del segmento $CD$).

Il dominio della funzione seno è l'insieme dei numeri reali, mentre il codominio è l'intervallo reale $[-1;+1]$, ossia applicando tale funzione a qualunque numero reale si ottiene sempre un numero reale compreso tra $-1$ e $+1$, estremi inclusi.

La tabella seguente elenca i principali valori notevoli assunti dalla funzione seno:

$x$ in radianti	0	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi }{4}}$	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{2}}$	$\pi$	${\frac {3\pi }{2}}$	$2\pi$
$x$ in gradi	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
$\sin(x)$	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$1$	$0$	$-1$	$0$

Nei testi di matematica il seno di $x$ è solitamente indicato con la notazione $\sin(x)$ oppure $\operatorname {sen}(x)$, ove $\sin$ è un'abbreviazione del latino sinus usata anche nei paesi di lingua inglese.

Esiste un'altra definizione di seno che si collega alle rotazioni: il seno di un angolo $x$ è la componente lungo l'asse delle ordinate del versore $i$, versore dell'asse delle ascisse, ruotato di $x$.

Funzione seno

La funzione seno è definita associando ad $x$ il seno dell'angolo $x$ (rappresentato in radianti), ed è indicata con $\sin(x)$. Poiché $x$ e $x+2\pi$ definiscono lo stesso angolo, la funzione seno è una funzione periodica di periodo $2\pi$ (dove $2\pi$ è l'angolo giro).

Rappresentazione grafica della funzione seno

Disegno y = sin(x) usando il cerchio trigonometrico unitario.

Seno e coseno

Tra seno e coseno esiste la relazione fondamentale:

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,$

che è conseguenza del teorema di Pitagora. Infatti nel triangolo $OCD$ nella figura in alto il coseno di $x$ è definito come

$\cos(x)={\frac {\overline {OC}}{\overline {OD}}}.$

D'altra parte il teorema di Pitagora applicato al triangolo $OCD$ fornisce la relazione

${\overline {DC}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}={\overline {OD}}^{2},$

e quindi

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=\left({\frac {\overline {DC}}{\overline {OD}}}\right)^{2}+\left({\frac {\overline {OC}}{\overline {OD}}}\right)^{2}={\frac {{\overline {DC}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}}{{\overline {OD}}^{2}}}={\frac {{\overline {OD}}^{2}}{{\overline {OD}}^{2}}}=1.$

Vale anche la relazione:

$\sin(x)=\cos \left(x-{\frac {\pi }{2}}\right).$

Come per il coseno, la cosecante di un angolo è $1$ diviso il seno dell'angolo.

Proprietà analitiche della funzione seno

La funzione seno (blu) e la sua approssimazione data dal polinomio di Taylor di 7º grado (rosa).

La derivata della funzione seno è la funzione coseno. Abbiamo cioè

$\sin 'x=\cos x.$

La derivata seconda è invece

$\sin ''x=-\sin x.$

La funzione seno è una funzione analitica, la cui espansione in serie di Taylor è

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}.$

In analisi matematica questa uguaglianza è spesso usata per definire il seno. La stessa serie definisce il seno come funzione olomorfa su tutto il piano complesso.

Equazioni fondamentali relative al seno

Si riportano qui di seguito alcune equazioni fondamentali riguardanti la funzione seno;

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}(x)=1,$

$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y,$

$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y,$

con l`aggiunta della condizione che:

$0<x\cos x<\sin x<x{\text{ per }}0<x<1.$

Esiste anche un'identità trigonometrica che mette in relazione la funzione seno alla funzione tangente:

$\sin(x)={\frac {2\tau }{1+\tau ^{2}}}\quad {\text{ con }}\quad \tau =\tan {\frac {x}{2}}.$

Questa identità si rivela di fondamentale importanza nella risoluzione di equazioni goniometriche in cui l'incognita figuri come argomento sia di un seno sia di un coseno (o di funzioni derivate da queste). Esiste, infatti, un'analoga identità per quanto riguarda il coseno, il che permette la risoluzione dell'equazione nell'incognita $\tau$.

Definizioni correlate

• Il reciproco del seno (definito dove il seno è diverso da zero) è la cosecante

$\csc x={\frac {1}{\sin x}}$

• La funzione seno, ristretta all'intervallo $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ è iniettiva e quindi ha una inversa, chiamata arcoseno (indicato con $\arcsin$ o con $\sin ^{-1}$ che riprende la notazione della funzione inversa). Per definizione si ha quindi:

$x=\arcsin y\Longleftrightarrow y=\sin x,\quad -{\frac {\pi }{2}}\leq x\leq {\frac {\pi }{2}},\quad -1\leq y\leq 1.$

Storia e origine del nome

Il concetto di seno fu introdotto dal matematico e astronomo indiano Aryabhata I (in devanāgarī: आर्यभट) (476 - 550), nella sua opera Aryabhatiya (499).

Il seno è per definizione la metà di una corda, cioè un segmento che unisce due punti (detti estremi) di una circonferenza. La parola sanscrita per metà corda è jya-ardha, a volte sostituito con ardha-jya e abbreviato in jya (corda). Questo termine fu importato nella lingua araba come jiba, un termine senza significato prima di allora ma che rifletteva la pronuncia fonetica del nome jya. Secondo le regole della lingua araba, questo nome venne scritto con le due consonanti jb, senza vocali. Successivamente, quando i traduttori occidentali attinsero alle fonti arabe, interpretarono la parola jb come jaib, il cui significato era baia. Infine, l'italiano Gherardo da Cremona (1114 - 1187) tradusse la parola in latino come sinus, il cui significato era appunto baia.

In Italia il seno di un angolo viene indicato con $\mathrm {sen} (x)$.

Voci correlate

• Funzione trigonometrica
• Sinusoide
• Coseno
• Tangente
• Arcoseno
• Circonferenza goniometrica
• Formula di Eulero
• Formule di duplicazione
• Formule di bisezione
• Formule di prostaferesi
• Formule di Werner
• Teorema dei seni
• Funzione periodica
• Seno iperbolico

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