Unità immaginaria

In matematica l'unità immaginaria $i$ (a volte rappresentata dalla lettera greca iota $\iota$) permette di estendere il campo dei numeri reali $\mathbb {R}$ al campo dei numeri complessi $\mathbb {C}$. L'unità immaginaria è caratterizzata dall'essere un numero il cui quadrato è uguale a $-1$.

In elettrotecnica, l'unità immaginaria viene sempre rappresentata dalla lettera $j$, poiché la lettera $i$ è già utilizzata per indicare l'intensità di corrente.

La necessità di estendere il campo dei numeri reali $\mathbb {R}$ nasce dal fatto che non è possibile in tale campo calcolare la radice quadrata di un numero negativo e più in generale che non tutte le equazioni polinomiali $f(x)=0$ hanno una soluzione. In particolare l'equazione $x^{2}+1=0$ non ha soluzioni reali. Ma, se si considerano i numeri complessi, allora quella equazione, e in effetti tutte le equazioni polinomiali $f(x)=0$, dove $f(x)$ è un polinomio a coefficienti reali o complessi, hanno almeno una soluzione: questo fatto prende il nome di teorema fondamentale dell'algebra, e dice formalmente che $\mathbb {C}$ è la chiusura algebrica di $\mathbb {R}$.

Definizione

Per definizione, l'unità immaginaria $i$ è una soluzione dell'equazione

$x^{2}+{1}={0}.$

L'anello $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ (che è un campo in quanto il polinomio $x^{2}+1$ è irriducibile su $\mathbb {R}$) e $\mathbb {R} ^{2}$ risultano essere isomorfi come spazi vettoriali su $\mathbb {R}$ attraverso l'isomorfismo $\varphi$ che manda $a+bx$ in $(a,b)$. In tal senso l'unità immaginaria non è altro che l'immagine di $x$ secondo $\varphi$ e si ha $\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)=\mathbb {R} [i].$

Le operazioni sui numeri reali possono essere estese ai numeri complessi considerando $i$ come una quantità incognita durante la manipolazione delle espressioni, e poi usando la definizione per sostituire $i^{2}$ con $-1$.

i e -i

L'equazione $x^{2}+1=0$ ha, in effetti, due soluzioni distinte che sono opposte. Più precisamente, una volta che è stata fissata una soluzione $i$ dell'equazione, allora $-i(\neq i)$ è anch'essa una soluzione. Dato che l'equazione stessa è l'unica definizione per $i$, sembra che questa definizione sia ambigua (più precisamente, non sia ben definita). Però non si ha alcuna ambiguità una volta che si sceglie una soluzione e la si fissa, indicandola con $i$.

Questa considerazione è sottile. Una spiegazione più precisa consiste nell'affermare che, sebbene il campo complesso definito come $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$ è unico a meno di isomorfismi, esso non è unico a meno di un unico isomorfismo. Infatti esistono esattamente due automorfismi di $\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$, l'identità e l'automorfismo che manda $x$ in $-x$. Si noti che questi non sono solo gli unici automorfismi del campo $\mathbb {C}$, ma sono gli unici automorfismi del campo $\mathbb {C}$ che fissano qualunque numero reale. Si vedano le voci complesso coniugato e gruppo di Galois.

Un problema simile si ha se i numeri complessi vengono interpretati come matrici reali $2\times 2$, perché entrambe le seguenti matrici

${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\mbox{ e }}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

sono soluzioni dell'equazione $x^{2}=-1$. In questo caso l'ambiguità è dovuta alla scelta che si fa riguardo a quale sia la "direzione positiva" con cui viene percorso la circonferenza unitaria. Una spiegazione più precisa è la seguente: il gruppo degli automorfismi del gruppo ortogonale speciale $\mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )$ ha esattamente due elementi: l'identità e l'automorfismo che scambia le rotazioni in senso orario in rotazioni in senso antiorario.

Avvertenza

Talvolta l'unità immaginaria viene scritta come ${\sqrt {-1}}$, ma bisogna fare molta attenzione quando si manipolano formule che contengono radicali. Questa notazione è riservata alla funzione radice quadrata principale, che è definita solo per numeri reali $x\geq 0$, o alla parte principale della funzione radice quadrata complessa. L'applicazione delle proprietà delle radici quadrate principali (reali) al ramo principale delle radici quadrate complesse produce risultati scorretti:

${-1}=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {({-1})\cdot ({-1})}}={\sqrt {1}}=1.$

Infatti la regola

${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {a\cdot b}},$

è valida solo per valori di $a$ e $b$ reali e non negativi.

Per evitare di fare errori nel manipolare i numeri complessi la strategia migliore è quella di non usare mai un numero negativo sotto un segno di radice quadrata che non è preceduto da $\pm$, in modo da far intendere che vengono considerate entrambe le radici.

Potenze di i

Le potenze di $i$ si ripetono periodicamente (sono cicliche con periodo $4$):

$i^{-3}=i$

$i^{-2}={-1}$

$i^{-1}={-i}$

$i^{0}=1$

$i^{1}=i$

$i^{2}={-1}$

$i^{3}={-i}$

$i^{4}={1}$

$i^{5}=i$

$i^{6}={-1}$

Questa proprietà può essere espressa in forma più compatta in questo modo, dove $n$ è un qualunque intero:

$i^{4n}=1$

$i^{4n{+1}}=i$

$i^{4n{+2}}=-1$

$i^{4n{+3}}=-i$

Radici dell'unità immaginaria

Le due radici quadrate di $i$ (cioè le due soluzioni dell'equazione $z^{2}=i$) sono complesse, ricavabili dall'espressione: ${\sqrt {i}}=\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}$. Ciò può essere verificato nel modo seguente:

$\left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}\$	$=\left(\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}(1+i)^{2}\$
	$=(\pm 1)^{2}{\frac {1}{2}}(1+i)^{2}\$
	$={\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\$
	$={\frac {1}{2}}+i-{\frac {1}{2}}\$
	$=i\$

Per $-i$ la radice quadrata sarà quella di $i$ moltiplicata per l'unità immaginaria stessa. Quindi:

${\sqrt {-i}}=\pm \ i{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\ =\pm {\frac {i-1}{\sqrt {2}}}.$

Come per ogni altro numero complesso, le radici $n$-esime dell'unità immaginaria si calcolano facilmente tramite la sua descrizione in coordinate polari. Infatti:

$i=e^{{\frac {\pi }{2}}i}=e^{({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}\qquad k=0,1,2,\dots$

Imponendo che un generico numero complesso $z=\rho e^{\theta i}$ sia radice $n$-esima di $i$ si deve avere:

$(\rho e^{\theta i})^{n}=e^{({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i},$

$\rho e^{\theta i}=e^{({\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}})i},$

da cui:

$\rho =1,$

$\theta ={\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}}.$

La disposizione delle radici nel piano complesso è quella di poligoni regolari inscritti nella circonferenza complessa di raggio $1$: tenendo conto della non unicità della rappresentazione polare dei numeri complessi, per la radice quadrata avremo due radici distinte (ponendo ad esempio $k=0,1$), per la radice cubica ne avremo tre ($k=0,1,2$) e così via. Ritornando alla rappresentazione nel piano complesso tramite la formula di Eulero otteniamo:

${\sqrt[{n}]{i}}=\cos {\left({\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}}\right)}+i\sin {\left({\frac {\pi }{2n}}+{\frac {2\pi k}{n}}\right)}\qquad k=0,1,2,\dots ,n-1.$

i e la formula di Eulero

Prendendo la formula di Eulero $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, e sostituendo ${\frac {\pi }{2}}$ al posto di $x$, si ottiene

$e^{i{\frac {\pi }{2}}}=i.$

Se entrambi i membri dell'uguaglianza vengono elevati alla potenza $i$, ricordando che $i^{2}=-1$, si ottiene l'identità

$i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}=0{,}2078795763\dots$

In effetti è facile trovare che $i^{i}$ ha un infinito numero di soluzioni nella forma di

$i^{i}=e^{-{\frac {\pi }{2}}-2\pi n},$

dove $n$ è un qualunque intero. Dal punto di vista della teoria dei numeri, $i$ è un numero irrazionale quadratico, come ${\sqrt {2}}$, e applicando il teorema di Gel'fond-Schneider si può concludere che tutti i valori ottenuti sopra, e in particolare $e^{-{\frac {\pi }{2}}}$, sono trascendenti.

Sempre dalla formula di Eulero, o elevando al quadrato ambo i membri della precedente identità $e^{i{\frac {\pi }{2}}}=i$, si arriva elegantemente all'identità di Eulero:

$e^{i\pi }+1=0,$

che mette in relazione cinque delle più significative entità matematiche, assieme al principio di uguaglianza e le operazioni di addizione, moltiplicazione e potenza, in una semplice espressione.

Notazione alternativa

In ingegneria elettrica e campi ad essa relativi l'unità immaginaria è spesso indicata con $j$ per evitare confusione con il simbolo di corrente elettrica variabile, tradizionalmente indicato con $i$. Anche il linguaggio di programmazione Python usa $j$ per l'unità immaginaria.

Occorre prestare ulteriore attenzione ad alcuni libri di testo che definiscono $j=-i$, particolarmente in argomenti legati alla propagazione delle onde (per esempio, un'onda piana che viaggia verso destra nella direzione delle $x$ è indicata con $e^{i(kx-\omega t)}=e^{j(\omega t-kx)}$).

Alcuni testi usano la lettera greca iota per l'unità immaginaria per evitare confusione.

Bibliografia

• Giuseppe Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari nella matematica vol.1, Padova, CEDAM, 1989, ISBN 88-13-16794-6
• (EN) Lars Ahlfors, Complex Analysis, 3ª ed., McGraw-Hill, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7.
• (EN) Eberhard Freitag e Rolf Busam, Complex Analysis, 2ª ed., Berlino, Springer, 2009, ISBN 978-35-40-93982-5.

Voci correlate

• Numero complesso
• Piano complesso

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• unita immaginaria, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Unità immaginaria, su MathWorld, Wolfram Research.