Traccia (matrice)

In algebra lineare, si definisce traccia di una matrice quadrata la somma di tutti gli elementi della sua diagonale principale.

Nel caso di endomorfismi di uno spazio vettoriale, è possibile definire la traccia di un endomorfismo considerando la traccia della sua matrice associata rispetto ad una qualsiasi base dello spazio. Poiché la traccia è invariante per similitudine, questo valore non dipende dalla base scelta.

Definizione

Si definisce traccia $\operatorname {tr} (A)$ di una matrice $A$ la somma di tutti gli elementi sulla sua diagonale principale:

$\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}$

dove $a_{ii}$ rappresenta l'elemento posto sulla $i$-esima riga e $i$-esima colonna di $A$.

Dalla definizione segue che una matrice hermitiana ha traccia reale in quanto i suoi elementi sulla diagonale principale sono reali. D'altro canto, una matrice antisimmetrica a valori in un campo con caratteristica diversa da $2$ ha traccia nulla, poiché tutti gli elementi sulla diagonale principale sono nulli.

L'insieme delle matrici la cui traccia è nulla è inoltre uno spazio vettoriale.

Proprietà

Tra le proprietà più immediate della traccia vi sono le seguenti:

• Calcolare la traccia è una trasformazione lineare:

$\operatorname {tr} (A+B)=\operatorname {tr} (A)+\operatorname {tr} (B)$

$\operatorname {tr} (cA)=c(\operatorname {tr} (A))$

• Una matrice $A$ e la sua trasposta $A^{T}$ hanno la stessa traccia:

$\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} \left(A^{T}\right)$

come si nota dal fatto che la trasposta rappresenta la rotazione degli elementi della matrice rispetto alla diagonale, la quale rappresenta un'invariante di tale trasformazione.

• Data la matrice identità $I_{n}$, la traccia è la dimensione dello spazio, ovvero $\operatorname {tr} (I_{n})=n$. La traccia di una matrice idempotente $A$ (tale per cui $A^{2}=A$) è il rango di $A$, mentre la traccia della matrice nilpotente è zero.
• Se $A$ è una matrice simmetrica e $B$ è una matrice antisimmetrica, allora:

$\operatorname {tr} (AB)=0$

• Data una matrice $A$ di dimensione $m\times n$ e una seconda matrice $B$ di dimensione $n\times m$, si ha:

$\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$

Si tratta di una conseguenza immediata del procedimento di moltiplicazione di matrici, infatti:

$\operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\left(AB\right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}B_{ji}A_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(BA\right)_{jj}=\operatorname {tr} (BA)$

La traccia è cioè invariante rispetto ad una permutazione ciclica:

$\operatorname {tr} (ABCD)=\operatorname {tr} (BCDA)=\operatorname {tr} (CDAB)=\operatorname {tr} (DABC)$

Si nota che una generica permutazione non è consentita:

$\operatorname {tr} (ABC)\neq \operatorname {tr} (ACB)$

La traccia di un prodotto può essere scritta come una somma del tipo:

$\operatorname {tr} (X^{\mathrm {T} }Y)=\operatorname {tr} (XY^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} (Y^{\mathrm {T} }X)=\operatorname {tr} (YX^{\mathrm {T} })=\sum _{i,j}X_{ij}Y_{ij}$

in cui si nota la somiglianza con il prodotto interno tra vettori.

• La traccia è invariante per similitudine, ovvero due matrici simili hanno la stessa traccia:

$\operatorname {tr} (M^{-1}AM)=\operatorname {tr} ((M^{-1}A)M)=\operatorname {tr} (M(M^{-1}A))=\operatorname {tr} ((MM^{-1})A)=\operatorname {tr} (A)\$

• Data una matrice $A$ di dimensione $m\times n$ e una seconda matrice $B$ di dimensione $m\times n$, si ha:

${\frac {\partial (\operatorname {tr} (AB^{T}))}{\partial B}}=A$

La traccia è, a meno di segno, il coefficiente di $x^{n-1}$ nel polinomio caratteristico di una matrice. La traccia inoltre è pari alla somma degli autovalori della matrice, in quanto una matrice è sempre simile ad una forma canonica di Jordan, una matrice triangolare superiore che ha anch'essa gli autovalori $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ sulla diagonale principale.

Nel caso di una matrice diagonalizzabile, in particolare, questo segue dall'invarianza per similitudine, e dal fatto che una matrice diagonale ha i suoi autovalori sulla diagonale.

In una matrice quadrata di ordine due gli autovalori dipendono solo dalla traccia e dal determinante della matrice, poiché in tal caso il polinomio caratteristico è dato da:

$\lambda ^{2}-\mathrm {tr} (A)\lambda +\mathrm {det} (A)$

La traccia corrisponde alla derivata del determinante. Se $A$ è una funzione differenziabile da $\mathbb {R}$ allo spazio delle matrici di dimensione n:

${\frac {d}{dt}}\det A(t)=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} (A(t))\,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)$

dove $\mathrm {adj} A$ è la matrice aggiunta di $A$. Si tratta della formula di Jacobi.

Prodotto interno

Per una matrice $A$ di dimensione $m\times n$ con entrate reali o complesse, indicando con l'asterisco la trasposta complessa coniugata si ha:

$\operatorname {tr} (A^{*}A)\geq 0$

dove vale l'uguaglianza se e solo se $A=0$. L'assegnazione:

$\langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (B^{*}A)$

definisce un prodotto interno sullo spazio delle matrici $m\times n$ (reali o complesse). La norma indotta da tale prodotto interno è detta norma di Frobenius.

Segue che se $A$ e $B$ sono semi-definite positive e hanno la stessa dimensione, allora:

$0\leq \operatorname {tr} (AB)^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{2})\operatorname {tr} (B^{2})\leq \operatorname {tr} (A)^{2}\operatorname {tr} (B)^{2}$

come si può dimostrare utilizzando la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Generalizzazioni

Nel caso di operatori compatti in spazi di Hilbert si introduce la nozione di operatore di classe traccia.

Se $A$ è un'algebra associativa su un campo $k$ allora la traccia di $A$ è spesso anche definita come una generica mappa $tr:A\to k$ che annulla il commutatore $tr([a,b])=0$ per ogni coppia $a,b\in A$. Si tratta di una traccia definita a meno della moltiplicazione per uno scalare non nullo.

Una supertraccia è una generalizzazione della traccia nell'ambito della teoria delle superalgebre.

L'operazione di contrazione di un tensore generalizza la traccia al caso di generici tensori.

Operatori di classe traccia

Sia dato un operatore lineare limitato $A$ su uno spazio di Hilbert separabile $H$. Data una base ortonormale $\{\phi _{n}\}$ di $H$, si definisce traccia di $A$ il numero:

${\rm {Tr}}A:=\sum _{n}^{\infty }\langle A\phi _{n},\phi _{n}\rangle$

$A$ è detto di classe traccia se la traccia del suo modulo è finita, ovvero se la somma precedente è assolutamente convergente e indipendente dalla scelta della base.

${\rm {Tr}}|A|<\infty \$

La traccia di un operatore può essere scritta in modo equivalente come la somma di termini positivi:

$\|A\|_{1}={\rm {Tr}}|A|:=\sum _{k}\langle (A^{*}A)^{1/2}\,e_{k},e_{k}\rangle$

Si tratta di un funzionale lineare sullo spazio degli operatori di classe traccia. Se $H$ ha dimensione finita, ogni operatore è di classe traccia e la precedente somma è equivalente alla definizione di traccia di una matrice.

Un operatore $A$ non negativo e autoaggiunto è di classe traccia se:

${\rm {Tr}}(A)<\infty \$

Inoltre, un operatore autoaggiunto è di classe traccia se lo sono la sua parte positiva $A^{+}$ e negativa $A^{-}$.

In tale contesto l'analogo della norma di Frobenius è detto norma di Hilbert–Schmidt.

Esempi

$A={\begin{pmatrix}3&0&1\\0&4&5\\0&1&2\end{pmatrix}}\Rightarrow {\mbox{tr}}(A)=3+4+2=9.\,\!$

$B={\begin{pmatrix}3&0&1\\0&4&5\\0&1&-7\end{pmatrix}}\Rightarrow {\mbox{tr}}(B)=3+4+(-7)=0.\,\!$

Bibliografia

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• (EN) N. Jacobson, Basic algebra , 1 , Freeman (1985)
• (EN) S. Lang, Algebra , Addison-Wesley (1965)
• (EN) P.M. Cohn, Algebra, 1, Wiley (1982) pp. 336
• (EN) F.R. Gantmacher, The theory of matrices, 1, Chelsea, reprint (1959)

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Classe traccia
• Determinante
• Diagonale principale
• Matrice quadrata
• Polinomio caratteristico
• Supertraccia
• Traccia parziale

Collegamenti esterni

• (EN) D.A. Suprunenko, Trace of a square matrix, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) L.V. Kuz'min, Trace, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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