Sottogruppo di Frattini

In algebra, e più precisamente in teoria dei gruppi, il sottogruppo di Frattini $\Phi (G)$ di un gruppo $G$ è l'intersezione di $G$ e di tutti i sottogruppi propri massimali di $G.$ In particolare, secondo la definizione, se $G$ non ha sottogruppi propri massimali allora $\Phi (G)$ coincide con $G$ stesso. È simile al radicale di Jacobson che si incontra nella teoria degli anelli. Intuitivamente può essere pensato come il sottogruppo di "piccoli elementi", infatti è caratterizzato dall'essere l'insieme di tutti i "non generatori" di $G.$

Il suo nome deriva da Giovanni Frattini, che ne definì il concetto in un lavoro pubblicato nel 1885.

Proprietà

$\Phi (G)$ coincide con l'insieme di tutti i "non generatori" di $G$ ^[1]. (Un elemento $a\in G$ è un non generatore se può essere sempre rimosso da un insieme di generatori del gruppo senza che quest'ultimo perda tale qualità; cioè $a$ è tale che per ogni $X$ insieme generatore di $G,$ si ha che $X\setminus \{a\}$ è ancora un insieme generatore di G^[2].)
$\Phi (G)$ è sempre un sottogruppo caratteristico di $G;$ in particolare, è sempre un sottogruppo normale di $G$ ).
Se $G$ è un gruppo finito, allora $\Phi (G)$ è un gruppo nilpotente^[3].
Se $G$ è un p-gruppo, allora $\Phi (G)=G^{p}[G,G].$ Così il sottogruppo di Frattini, rispetto all'inclusione, è il più piccolo sottogruppo normale $N$ tale che il gruppo quoziente $G/N$ è un $p$ -gruppo abeliano elementare^[4], il che equivale a dire isomorfo alla somma diretta di gruppi ciclici di ordine $p.$ Inoltre, se il gruppo quoziente $G/\Phi (G)$ (chiamato anche il quoziente (o fattore) di Frattini di $G$ ) ha ordine $p^{k},$ allora $k$ è il più piccolo numero di generatori di $G$ (cioè la minima cardinalità per un insieme di generatori di $G$ ). In particolare, un p-gruppo finito è ciclico se e solo se il suo quoziente di Frattini è ciclico (di ordine $p$ ). Un $p$ -gruppo è un gruppo abeliano elementare se e solo se il suo sottogruppo di Frattini è il gruppo banale.

Esempio

Un esempio di gruppo con sottogruppo di Frattini non banale è un gruppo ciclico di ordine $p^{2},$ con $p$ numero primo. Se indichiamo con $G$ il gruppo ciclico e con $a$ un suo generatore, allora si ha $\Phi (G)=\left\langle a^{p}\right\rangle$ .