Intero di Eisenstein

Interi di Eisenstein come punti di intersezione di un reticolo triangolare nel piano complesso

In matematica, un intero di Eisenstein, dal nome del matematico Ferdinand Eisenstein, è un numero complesso della forma:

z=a+b\omega ,

dove a e b sono numeri interi e

\omega ={\frac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}})=e^{2\pi i/3}

è una radice cubica dell'unità. Gli interi di Eisenstein formano un reticolo triangolare nel piano complesso, a differenza degli interi gaussiani che formano un reticolo rettangolare nel piano complesso.

Proprietà

Gli interi di Eisenstein formano un anello commutativo di numeri algebrici nel campo dei numeri algebrici Q(√−3). Essi formano anche un dominio Euclideo.

Per vedere che gli interi di Eisenstein sono interi algebrici si noti che ogni z = a + bω è una radice del polinomio monico

z^{2}-(2a-b)z+(a^{2}-ab+b^{2}).

In particolare, $\omega$ soddisfa l'equazione

\omega ^{2}+\omega +1=0.

Il gruppo delle unità nell'anello degli interi di Eisenstein è un gruppo ciclico formato dalle radici dell'unità seste nel piano complesso. In particolare esse sono:

\{\pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}\}.

Questi interi di Eisenstein sono gli unici con valore assoluto unitario.

Il prodotto di due interi di Eisenstein (a + bω) per (c + dω) si scrive esplicitamente come

(a+b\omega )\cdot (c+d\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega .

La norma di un intero di Eisenstein è semplicemente il quadrato del suo modulo, ed è data da

{|a+b\omega |}^{2}=a^{2}-ab+b^{2}={\tfrac {1}{4}}({(2a{-}b)}^{2}+3b^{2}),

Il coniugato di $\omega$ soddisfa la relazione

{\bar {\omega }}=\omega ^{2}.

Numeri primi di Eisenstein

Se x e y sono interi di Eisenstein, si dice che x divide y se esiste un intero di Eisenstein z tale che

y=zx.

Questo estende la nozione di divisibilità per i numeri interi ordinari. Inoltre si può estendere la nozione di primalità; un intero di Eisenstein non unitario x è un primo di Eisentein se i suoi unici divisori sono nella forma ux e u dove u è una qualunque delle sei unità.

Si può dimostrare che un numero primo ordinario (o primo razionale) della forma $x^{2}-xy+y^{2}$ può essere fattorizzato in $(x+\omega y)(x+\omega ^{2}y)$ e quindi non primo negli interi di Eisentein. Inoltre, un numero della forma x² − xy + y² è un primo razionale se e solo se x + ωy è un primo di Eisentein.